Projet de fin d études

Unversté Franços Rabelas Tours Ecole Polytechnque Unverstare de Tours Département Informatque Projet de fn d études Ordonnancement Juste à Temps avec geston des stocks Chopn Antone Mrault Arnaud 3ème année -3 Ensegnants : T Kndt Vncent Esteve Bertrand

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I.Remercements Nous tenons à remercer toute l équpe ordonnancement du laboratore de l école polytechnque unverstare de Tours pour leur écoute et leur attenton. Nous remercons plus partculèrement Bertrand Estève et Vncent T kndt pour leur encadrement, leur patence, ans que leurs nombreux consels. Nous remercons auss Jean Charles Bllaut pour sa partcpaton à la résoluton du problème.

Sommare I. REMERCIEMENTS... SOMMAIRE... 5 INTRODUCTION... 7 II. ORDONNANCEMENT JUSTE À TEMPS... 8 A. LE JUSTE À TEMPS... 8 B. LE MULTICRITÈRE... 1 III. ETAT DE L ART... 1 A. ARTICLE DE OUENNICHE ET BOCTOR: LOT SIZING AND SCHEDULING PROBLEMS... 1 B. ARTICLE DE SRISKANDARAJAH ET WAGNEUR : LOT STREAMING... 1 C. ARTICLE DE YOON ET VENTURA : MINIMIZING THE MEAN WEIGHTED ABSOLUTE DEVIATION FROM DUE DATES IN LOT-STREAMING FLOW SHOP SCHEDULING... 16 D. ARTICLE DE OUENNICHE ET BOCTOR: THE MULTI-PRODUCT, ECONOMIC LOT-SIZING PROBLEM IN FLOW SHOPS... 19 E. ARTICLE DE OUENNICHE ET BOCTOR: THE TWO-GROUP HEURISTIC TO SOLVE THE MULTI-PRODUCT ECONOMIC LOT SIZING AND SCHEDULING PROBLEM IN FLOW SHOPS... 1 IV. APPROCHE PAR DÉCOMPOSITION (MÉTHODE DE MARTEL)... A. HYPOTHÈSES... B. ETUDE DU CAS OÙ PI,1 > PI,... 7 C. ETUDE DU CAS OÙ PI,1PI,... 38 D. FACTORISATION DES FONCTIONS DE COÛTS... E. CONCLUSION... 5 F. MODÈLE MATHÉMATIQUE... 51 G. RÉCAPITULATIF... 53 V. APPROCHE PAR DÉCOMPOSITION (PRODUIT-CONSOMMÉ)... 55 A. ETUDE DU CAS OÙ PI,1PI,... 55 B. ETUDE DU CAS OÙ PI,1 > PI,... 57 C. PREUVE... 58 D. GÉNÉRALISATION: PROBLÈME DE FLOWSHOP À M MACHINES... 59 E. CALCUL DES CONSOMMATIONS ET PRODUCTION... 6 5

F. PARTICULARISATION DANS LE CAS DU FLOWSHOP MACHINES... 61 VI. IMPLÉMENTATION CPLEX... 65 A. INITIALISATION... 65 B. ETUDE DE LA FONCTION DE COÛT DANS LE CAS... 65 C. ETUDE DE LA FONCTION DE COÛT DANS LE CAS... 66 D. TABLEAU DES VARIABLES... 67 E. IMPLÉMENTATION DES CONTRAINTES... 68 F. FONCTION OBJECTIF... 7 G. FONCTIONNEMENT DU PROGRAMME... 73 VII. HEURISTIQUES... 76 A. HEURISTIQUE DÉVELOPPÉE POUR UNE PREMIÈRE APPROCHE... 76 B. IMPLÉMENTATION D ALGORITHMES GÉNÉTIQUES... 8 C. C. PREMIER ALGORITHME GÉNÉTIQUE... 83 D. SECOND ALGORITHME GÉNÉTIQUE... 89 E. IMPLÉMENTATION D UNE RECOVERY BEAM SEARCH (RBS)... 91 F. CAMPAGNES DE TESTS... 93 CONCLUSION...99 BIBLIOGRAPHIE... 1 ANNEXES...11 6

Introducton Le thème de notre projet de fn d études est l étude de l Ordonnancement Juste à Temps avec geston des stocks. Nous avons tout d abord étudé la lttérature exstante sur des problèmes se rapprochant du nôtre. En effet des études ont déjà été menées sur l ordonnancement avec geston de stock. Nous nous sommes donc nsprés des artcles exstants en y ajoutant les méthodes de juste à temps et multcrtères pour élaborer un premer modèle. La réalsaton de ce modèle s nspre de la méthode de Martel. Nous nous sommes attachés ensute à le smplfer pour permettre la créaton d un programme utlsant Cplex fournssant une soluton optmale au problème. Le défaut d un tel programme étant son manque de rapdté, nous avons par la sute réalsé des heurstques, dont nous avons pu tester l effcacté. Nous allons donc vous présenter dans un premer temps quelques défntons fondamentales sur les méthodes utlsées dans notre problème, pus nous nous attarderons sur les artcles étudés. Par la sute, nous aborderons la réalsaton du modèle mathématque, pus la réalsaton du programme Cplex, et enfn nous étuderons les dfférentes heurstques et évaluerons leurs performances. 7

II.Ordonnancement Juste à Temps A.Le juste à temps 1.Défnton Donnée par Brauer Le juste à temps (JIT) est une approche ndustrelle qu se concentre sur un but smple, à savor, produre les artcles avec la qualté et dans les quanttés au temps précs où ls sont exgés. Autre défnton (www.ashland.edu ou www.ashland.edu/~rjacobs/m53jt.html): Le juste à temps est une phlosophe de producton qu a pour but de produre la bonne parte dans le bon endrot au bon moment, sans pertes de temps entre les actvtés qu ajoutent un coût sans valeur ajoutée, telle que déplacer et stocker. Le JIT (également connu sous le nom de producton sans stock) dot amélorer les coûts en rédusant les nveaux de stock, en amélorant la qualté du produt, en rédusant les talles de lots, les délas d'exécuton de la lvrason, et en rédusant d'autres coûts (comme ceux lés à l'nstallaton de machne et à la panne d'équpement). Dans un système juste à temps, la capacté de stockage sous utlsée est employée comme stock tampon pour fare face aux dfférents problèmes pouvant survenr. Le JIT s'applque prncpalement aux procédés de fabrcaton répéttfs dans lesquels les mêmes composants et produts sont fabrqués à pluseurs reprses. L'dée générale est de mettre en place des procédés par flux (quelque sot le mode d agencement de processus utlsé par le servce à savor, par tâche ou un tratement par lots) en lant des centres de traval de sorte qu'l y at un flux de produt égal et équlbré dans tous les procédés de la producton, semblables à ce que l on trouve dans une chaîne de montage. Pour attendre cet objectf, on tente de condure tous les nveaux de stockage vers zéro et de trouver la talle déale de lot d'une unté..poston du Problème Dans un modèle JIT tout ne concerne pas l ordonnancement, à savor : Le postonnement des machnes de sorte à rédure les temps de déplacement, Rédure la durée des temps de chargement, etc. Pour parvenr à un modèle JIT nous allons plus partculèrement nous ntéresser à : Rédure les coûts, Rédure les délas (retard pour un clent et temps de producton d une commande). Rédure la talle de lots. La phlosophe du JIT montre que le produt est le plus mportant et non la machne. Le but prncpal de cette phlosophe est de satsfare le clent, et d élmner les gaspllages. 8

Dans la lttérature on peut constater qu l exste deux modèles de juste à temps : Modèle 1 : Son but est de satsfare au bon moment le clent, c est à dre ne pas commencer trop tôt la producton, et optmser les stocks Modèle : Ce modèle est basé sur les prncpes de dversté et de réactvté. Il établt une réducton des temps de chargement (le mons de setup tme possble). Son fonctonnement est basé sur le prncpe du Lot-Sreamng (lsser la charge). Représentaton du Just n Tme Dsponble Ateler Setup tme Dsponble Clent Process tme Queue tme Transport tme Leadtme On peut également remarquer le modèle japonas du JIT, cependant l apparaît comme étant un cas extrême de la méthode. Modèle Japonas : - aucun défaut - aucun temps de chargement - aucun stock - aucune manutenton - aucun déla - aucune panne - talle de lot untare Le but de notre PFE est de trouver un modèle mathématque qu mnmse dans le même temps les stocks, les délas, et les talles de lot. Ce traval sera fat après avor étudé pluseurs artcles nous permettant d analyser les hypothèses de traval que nous devrons mettre en œuvre. 9

Exemple : Soluton déale Temps auss fable que possble d Ce schéma explcatf montre l agencement optmal des tâches, afn d obtenr le coût le plus fable (Pas de temps d attente concourt à rédure les stocks ntermédares). De plus, le fat de fnr à la date souhatée permet de ne pas ajouter de coût de retard ou d avance au job. Remarques : Notre problème ne s occupe que de la parte ordonnancement. L déal serat de prendre en compte le stock de matère premère avec la geston scentfque des stocks. Stock de matère premère Geston scentfque des stocks Stock de produts sem-fns Ordonnancement Stock de produts fns B.Le multcrtère 1.Présentaton En général, dans de nombreux artcles, le Just n Tme est représenté par un seul crtère. n mn z = α E + β T = 1 Ce crtère nous permet d obtenr une soluton optmale à mondre coût. Cependant cette soluton peut ne pas forcément convenr à un décdeur. C est pourquo une approche multcrtères apporterat un ensemble de solutons acceptables selon les crtères retenus. 1

Exemple : Avec jobs on obtent une soluton optmale mono-crtère (mnmsant les coûts): J1=1(Retard) et J=. Cette soluton n est pas forcement acceptable pour un décdeur car elle pénalse le clent N 1. Avec l approche multcrtères on obtent un ensemble de solutons. En reprenant l exemple on peut trouver les solutons : J1=1(Retard) et J=. J1=3(Avance) et J=5(Retard) Ces solutons ne mnmsent pas le coût mas peuvent apporter une melleure soluton pour le décdeur..optma de Pareto En reprenant la formule générale, on consdère : Z = α E + β T 1...n Les crtères Z sont appelés crtères de dévaton pondérée. Il s agt donc de trouver un optmum de Pareto pour ces crtères. On rappelle qu un ordonnancement S est un optmum de Pareto strct s et seulement s l n exste pas un autre ordonnancement S tel que Z(S') Z(S) = 1...n, avec au mons une égalté strcte. Ce problème, déjà traté dans la lttérature, est NP-dffcle au sens fort. En mnmsant la somme Z, sachant que nous bornons les Z par des valeurs b, on consdère : mn Z Sachant que Z b On retrouve c une relaton de domnance que nous allons explquer par un exemple : Z1 1 Z 3 Z3 Soluton domnée domnante La premère lgne du tableau montre que la soluton est domnée par la seconde lgne. Ce qu nous permet de dre que la soluton domnée n a plus d ntérêt pour le décdeur. Soluton domnante Soluton domnée 11

III.Etat de l art A.Artcle de Ouennche et Boctor: Lot szng and schedulng problems Dans cette artcle, Ouennche et Boctor se proposent de résoudre un problème de flowshop à n machnes avec stock ntermédare, nspré du modèle de Martel et du lot szng. Prenons un exemple de flowshop à deux machnes, n produts, avec stock d encours entre la machne 1 et la machne. La capacté de stockage est nfne. Chaque produt a son stock. Au début tous les stocks son consdérés vdes. Modèle Mathématque : Sur une pérode de producton H composée de cycles dentques de longueur T, Ouennche et Boctor proposent de trouver une valeur optmale de T qu mnmse le coût. Dans cet artcle le crtère est Cmax. Le but est de trouver l équlbre entre T = H et T.ε = H avec ε. 1

Lot szng : Découpage des jobs en lots ndépendants qu seront tratés par dfférents cycles T. Cette méthode convent pour une producton de masse. H T 1 T Cycles dentques s H=1 Le modèle proposé est de la forme : Mn z = TA + BT Avec A le coût d nstallaton d une machne qu augmente quand T1 augmente et B le coût de stockage qu dmnue quand T1 augmente. Le problème est dt NP-Dffcle. Les deux auteurs proposent de résoudre ce problème avec types de résolutons : - PSE vor PSE tronquée (solutons optmales) - heurstques (solutons approchées mas rapdes) Pour une PSE tronquée, l faut trouver une relaton de domnance afn de supprmer les morceaux d arbre qu ne peuvent pas donner de bonnes solutons. Deux heurstques sont abordées pour trouver une soluton approchée : - Recherche tabou, - Recut smulé. Exemple : Courbe de nveau nstantané de stock avec le modèle de Martel à machnes 13

B.Artcle de Srskandarajah et Wagneur : Lot streamng L artcle de Srskandarajah et Wagneur propose de mnmser le MakeSpan. C est à dre, rédure les temps morts entre les dfférentes opératons. Pour cela les auteurs utlsent le lot streamng, méthode qu permet de lsser la charge. Lot streamng : C est le fat de couper une tache en un certan nombre de sous lots de talles égales. Les sous lots ne sont pas ndépendants. Cec permet de commencer à produre sur la machne suvante avant la fn de la producton de la tache sur la machne courante. Exemple : Méthode tradtonnelle : Le job est transféré s l est termné sur la machne 1. M1 1 M M3 3 6 9 18 Lot streamng : L ntérêt est de fludfer le passage sur les dfférentes machnes. Les sous lots sont consécutfs. M1 1.1 1. 1.3 M.1..3 M3 3.1 3. 3.3 11 1

Srskandarajah et Wagneur proposent le modèle mathématque suvant pour répondre à leur problème : Exemple d applcaton du modèle mathématque avec machnes et lot streamng : 15

C.Artcle de Yoon et Ventura : Mnmzng the mean weghted absolute devaton from due dates n lot-streamng flow shop schedulng L objectf de la méthode proposée est de mnmser la dévaton absolue pondérée (moyenne) avec quatre mécansmes de recherche par vosnage. Modèle mathématque : L artcle trate des sous lots de talles égales, des sous lots de talles dfférentes, des stocks ntermédares de capacté lmtée et nfne, sans délas entre les opératons successves. De plus les setup tme ne sont pas prs en compte. No-wat flowshop: Ce type de flowshop ne permet pas d nterrupton entre les tâches successves. Cec rajoute la contrante suvante au modèle : Stock ntermédare lmté : On note b la capacté du stock entre deux machnes et + 1. Il représente le nombre de tâches maxmum qu peuvent être stockées. Cec rajoute la contrante suvante au modèle : Deux cas peuvent alors se présenter : Blocage autorsé : Lorsque le stock ntermédare est plen, la machne précédente ne peux recommencer une tâche sans qu l sot en parte vdé et que la machne sot lbérée. 16

Exemple : Cec rajoute la contrante suvante au modèle : Blocage non autorsé : Lorsque le stock ntermédare est plen, la machne précédente ne peut commencer une tâche avant qu une place sot dsponble dans le stock. Exemple : Cec rajoute la contrante suvante au modèle : Problèmes de sous lots consstants : Des sous lots sont dts consstants lorsqu ls sont de talles dfférentes. Les contrantes suvantes sont alors rajoutées au modèle : 17

1.Méthode d nter changement par pare : Il exste quatre méthodes pour ntalser les séquences de jobs : Les mécansmes de recherche par vosnage utlsés sont : API (Adjacent Parwse Interchange) : cette méthode consste à nter-changer une pare de jobs consécutfs NAPI (Non Adjacent Parwse Interchange) : cette méthode consste à nter-changer une pare de jobs non consécutfs EFSR (Extracton and Forward Shft Renserton) : cette méthode consste à extrare un Job et à le rénsérer plus lon dans la séquence. EBSR (Extracton and Backward Shft Renserton) : cette méthode consste à extrare un Job et à le rénsérer avant dans la séquence. Le mécansme est stoppé lorsque plus aucune améloraton de la foncton objectf n est obtenue. 18

D.Artcle de Ouennche et Boctor: The mult-product, economc lot-szng problem n flow shops Cet artcle propose une heurstque effcace pour résoudre un problème de lot-szng mult produts et mult phases de mnmsaton des coûts. Modèle mathématque de base : On en dédut le cycle T* optmal : La méthode de résoluton propose alors de défnr une borne nféreure et une borne supéreure telle que : et : Une fos que ces deux bornes sont trouvées on détermne une soluton approchée en chosssant pour chaque étape une valeur de T. Pus on détermne les dates de début qu mnmsent le coût. En fxant T on obtent un programme lnéare. 19

1.La méthode pussance de Cette méthode permet de résoudre des problèmes mult produts, en posant l hypothèse : T = m F avec m =,1,,... T est un multple enter de F Le modèle devent alors :

E.Artcle de Ouennche et Boctor: The two-group heurstc to solve the mult-product economc lot szng and schedulng problem n flow shops Cet artcle consdère les problèmes mult-produts. La procédure réalsée tent compte des contrantes de capactés et garantt l obtenton d une soluton réalsable. 1.Concepts de Base : Explcaton des contrantes : Pour évter des retards quand un produt est réalsé sur des cycles de longueur T, la producton dot être de talle rt (avec r taux de demande de fn du produt). Par conséquent, le tratement à la pérode j nécesste rt / p j untés de temps. Par restrcton, l est nterdt de trater un produt à une pérode donnée, sans qu l sot termné à la pérode précédente. rt (1) d j 1 + p j 1 d j, j =,..,m De plus, le cycle T dot être suffsamment grand pour permettre le chargement et le tratement des opératons à chaque pérode. rt () t j + p j T, j = 1,..,m Le temps qu s écoule entre le début du tratement du premer produt et la fn du tratement du derner produt dans la séquence est nféreur ou égal à T A chaque pérode un produt ne peut être traté sans que le temps de chargement de la machne correspondant ne sot réalsé. Contrantes de non négatvté : (5) T dj Toutes ces contrantes sont lnéares. 1

.Détermnaton de la foncton objectf m Coût total de stockage entre machnes : h j= r d j + rt d j 1 rt p j p j 1 j 1 Coût total de stockage de fn : h. r 1 prm T Foncton objectf à mnmser : Le cycle optmal T* est donc : 3.Procédure de résoluton 1. On détermne une borne nféreure. On détermne une borne supéreure Où Zlb est la valeur de la foncton objectf z du cycle commun correspondant à la borne nféreure 3. On trouve une valeur approchée de T* dans l ntervalle [Tlb,Tub]. Chaque étape consste à chosr une valeur de T, pus pour cette valeur on détermne les dates de début qu mnmsent le coût total. Cec peut être réalsé en résolvant le programme lnéare obtenu à partr du cycle commun en fxant la valeur de T. Il peut être avantageux de résoudre le dual de ce problème lnéare.

.La méthode TG (two-group) Cette méthode restrent les cycles T à être des multples enters d une pérode élémentare F. C est à dre T = m F pour tout. Chaque multplcateur m prend comme valeur sot 1 ou sot K (où K est un enter postf). Les produts sont alors dvsés en deux prncpaux groupes. Le premer, nommé Go, content no produts devant être tratés sur chaque pérode élémentare ( m = 1 ). Les produts restants appartenant au second groupe, nommé Gk, sont tratés une fos toutes les K pérodes élémentares ( m = K ). Le cycle global sera de longueur T = KF. On dvse alors Gk en K sous ' ' ' groupes, nommés J1, J,..., J k de cardnaltés respectves n1,n,...n k. On assgne alors un unque sous-groupe à chaque pérode élémentare. Pour résumé, la méthode TG dvse les produts en groupes Go et Gk, pus calcule une lmte supéreure du multple K. Pour chaque valeur de K entre et sa lmte supéreure, on dvse Gk en K sous groupes. Pus on détermne la séquence σ k pour chaque sous produts Pk et on résout le modèle mathématque pour détermner les valeurs de F et dj qu mnmsent le coût total. Pour préserver du temps de calcul, l faut être sur que les parttons choses ans que les séquences de producton σ k sont telles que le modèle mathématque correspondant possède un ensemble non vde de solutons réalsables. 3

IV.Approche par décomposton (méthode de Martel) A.Hypothèses Notre étude portera sur un problème de FlowShop de permutaton à machnes en JIT, avec lot streamng. De plus, nous ntégrerons la noton de mult-crtéres. 1.Les coûts : Nous allons consdérer dans notre modèle les coûts suvants : Coût de setup (chargement et montage sur une machne). Coût de stockage de : * Produt sem fn (entre la machne 1 et la machne ), * Produt fn, Coût de dvson d un job en sous-lots, Coût de mécontentement du clent (retard). On ne prendra pas en compte la capacté des stocks ans que le coût de stockage des matères premères pour les rasons suvantes : Superflu et complqué, Lé surtout à une stratége d approvsonnement, Approvsonnement déconnecté de l ordonnancement. Dans le cas normal, s les jobs sont non dvsbles (ex : constructon d un avon) la foncton de coût se résume (s on ne prend pas en compte les stocks ntermédares) à : Z j = α j E j + β j T j j = 1,..,n Rappel de la défnton : Lot streamng : C est le fat de couper une tache en un certan nombre de sous lots de talles égales. Les sous lots ne sont pas ndépendants. Cec permet de commencer à produre sur la machne suvante avant la fn de la producton de la tache sur la machne courante. Dans le cas d opératons dvsbles, on a ntérêt à utlser la méthode du lot-streamng, car elle tend à décroître le coût de stockage de produts sem fns, et les délas de producton. Le lot-szng est quant à lu plus appropré pour la producton de masse or le juste à temps concerne prncpalement les produts fabrqués à façon. On s ntéressera dans un premer temps au cas de travaux dvsbles. C est à dre qu ls sont consttués en lots tratés successvement.

.Setup Tme : On a des Setup Tme dépendants de la séquence. On utlsera une matrce contenant le temps du setup du job j après le job ( Sj ).Cette matrce est la même pour toutes les machnes. j Sj En premer leu on tendra compte du temps des Setup Tme et non des coûts des Setup Tme. 3.L nserton de temps mort L nserton de temps mort volontare n est autorsée qu entre les opératons. On ne peut donc pas avor de temps morts sur la premère machne. Exemple : M1 M j : Temps morts volontare j j d j j j dj : Temps morts mposés.les données Comme on s autorse la méthode du lot-streamng, on consdère que le nombre de sous-lots par opératon, et quelque sot le traval, est découpé en sous lots de talles dentques sur toutes les machnes. La durée d un sous-lot sur la machne Mj, avec j={1,}, pour le traval P, j est. On note γ, le coût untare de stockage de entre M 1 et M pendant une unté de temps. On note λ, le coût d un sous lot ; ce qu évte au problème de tendre vers un nombre de lots contenant un seul élément. 5

On pose : P, j : Temps opératore de sur Mj. q : Nombre d éléments consttuant. n : Nombre de jobs : Le nombre de sous-lots par opératon. γ : Coût untare de stockage d un élément de pendant 1 unté de temps dans un stock de produt sem-fn. κ : Coût untare de stockage d un élément de pendant 1 unté de temps dans un stock de produt fn. λ : Coût untare d un sous-lot. β : Coût de mécontentement clent (retard) par unté de temps S, j : Setup tme du traval j précédé de. d : Date de fn du job Nous allons dans notre étude dstnguer deux cas : La machne 1 produt auss vte vore plus vte que la machne ne consomme ( P1 P ), et le cas où la machne 1 produt mons vte que la machne ( P1 > P ). Pour établr la foncton de coût d un traval nous allons tout d abord nous ntéresser au stock ntermédare. 6

B.Etude du cas où P,1 > P, 1.Coût des stocks de produt sem fn ( avec P1 > P ) Le stock ntermédare est défn entre deux machnes. Pour un modèle à deux machnes le calcul du stock ntermédare peut varer selon les dates de début des jobs sur la deuxème machne. Nous allons tout d abord supposer que P1 > P ; ce qu équvaut à dre que la machne consomme plus vte que la machne 1 ne produt. Pluseurs cas peuvent alors apparaître : Cas «ABF» M1 1 3 Nveau Instantané du stock (NIS) A µ1 B µ F µ6 M 1 3 7

Cas «ABCF» M1 1 3 Cas«A[DE]F»3 M1 NIS 1 A NIS B µ1 M M A µ1 D C F µ µ3 µ6 E D E F µ5 µ µ5 µ 3 µ6 1 3 1 8

Cas «AF» M1 1 «AGF» Cas 3 1 M1 NIS 3 A NIS µ1 µ6 A M µ1 F G F 1µ7 3 µ 6 M 1 3 9

Cas «ABC[DE]F» M1 Nous allons étuder plus partculèrement ce derner cas pour trouver une foncton 3 ntermédare pour le job 5. Le calcul mathématque nous donnant1la valeur du coût du stock du coût de stockage ntermédare revent à calculer l are stuée sous les pentes de stockage multplée par le coût untare de stockage ntermédare. Le nombre de pentes sera foncton du nombre de sous lots. On remarque qu l y a au maxmum pentes pour le stock. NIS a)calcul de l are de A : A Calcul de µ 1 : B C D E D E F C est la date de début du lot 1 du deµ 5début µ 1 job sur la machne µ µ 3 mons µ 5 laµ date µ du lotµ 16 du job sur Mla machne 1. µ 1 = mn( P,1;t,,1 t,1,1 ) 1 3 5 Calcul de la hauteur : C est la quantté de pèces produtes pendant µ 1 untés de temps,.e. la vtesse de producton de la machne 1 multplée par le temps de producton. h = µ 1. q P,1 La valeur de A est donc : A= 1 µ 1. q P,1 b)calcul de l are de B : Le prncpal problème pour B est de détecter les premers lots consécutfs sans temps mort. Calcul de : Supposons que k sous-lots sont tratés consécutvement sur M, sans temps mort. On a : P C,,k = t,,1 + k, P,1 C,1,k = t,1,1 + k Il faut trouver la plus pette valeur de k telle que : C,,k < C,1,k + 1 3

t,,1 + k. k. k> P, < t,1,1 + (k + 1) P,1 P, P,1 P < t,1,1 t,,1 +,1 ( t,1,1 t,,1 ) + P,1 P, P,1 ( t,1,1 t,,1 ) + P,1 d où = mn ;, car P, P,1 P, P,1 P,1 NB : Dans le cas où t,1,1 t,,1 = on a = (cas ADEF). Calcul de µ : C est le nombre de lots consécutfs multplé par la durée d un sous-lot. P, µ = mn. ;max(;t,1,1 + P,1 t,,1) On notera que le derner terme de µ n est le mnmum que dans le cas «ABF». Calcul de la hauteur : On notera que la grande hauteur de l are B est la valeur de la hauteur pour l are A. On s ntéresse donc à la pette hauteur qu correspond au nombre d éléments du traval dans le stock ntermédare. Autrement l s agt du nombre d éléments produts à la date t,1,1 + µ 1 + µ mons le nombre d éléments consommés à cette même date. h= ( µ + t,,1 t,1,1 ) q q q q µ. = ( µ + µ 1 ) µ. P,1 P, P,1 P, L are B se compose d un rectangle et d un trangle, et on a donc : q q B = ( µ + µ 1 ) µ..µ + 1 µ.q. 1 1.µ P, 1 P, P, P,1 c)calcul de l are de C : Calcul de µ 3 Cette valeur correspond à la largeur du premer temps mort. Ce temps mort n est pas forcément maxmal suvant la date de début du job sur la machne. Snon nous calculerons la valeur de l are de E. 31

Pour tenr compte du cas «ABF» afn que C dsparasse de l équaton fnale du coût de stock de produts sem fns: µ 3 = max ;mn( ; + 1). P,1 µ 1. P, Calcul de la hauteur On notera que la pette hauteur de l are C est la pette hauteur de l are B, déjà calculée. On s ntéresse donc à la grande hauteur qu est le nombre de pèces en stock (.e. nombre de pèces produtes mons le nombres de pèces consommées). On a : h= q On en dédut alors l are C, composée d un rectangle et d un trangle : q q q q q C = ( µ + µ 1 ) p,1 µ p, µ 3 + 1 µ 3 ( µ + µ 1 ) p,1 + µ p, q q q µ µ 3+ 1 µ 3 C = 1 ( µ + µ 1) p,1 p, La valeur ½ devant la deuxème lgne correspond à une factorsaton de la forme ntale de C. Note : Dans le cas «A[DE]F, C est égal à. 3

d)calcul de l are de D : D et E sont un motf qu revent sans cesse suvant le nombre de sous lots et du recouvrement qu l peut se produre entre le tratement d éléments sur la machne 1 et sur la machne. Calcul de µ 5 µ 5 = p, p, Où, correspond au temps nécessare à la consommaton d un sous lot du job sur la machne quand l y a un temps mort avant le sous lots (sauf dans le cas partculer A[DE]F). Calcul de la hauteur : D correspond a une pente descendante qu démarre toujours de valeur de la producton de la machne 1. h= q et qu descend à la µ 5 q p,1 µ 5 q µ 5q on a alors : D = + p,1 e)calcul de l are de E : Calcul de µ µ = P,1 P, Largeur du temps mort après le sous lot +1 du job. Calcul des hauteurs : Elle sont les mêmes que pour D, sauf que la pente est montante. E devent donc : µ 5q q µ 5q E = µ ( P,1 + 1 P,1 ) µ q µ 5.q E = + P,1 33

f)calcul du plateau G : Calcul de µ 7 G n apparaît que s la date de début du job sur la machne est supéreure à la date de fn du job sur la machne 1. µ 7 = max( ; t,,1 t,1,1 P,1 ) Calcul de la hauteur La hauteur de G est fxe : elle est égale à la quantté q du job. G a donc pour valeur : G = µ 7.q g)calcul de l are F : Pour calculer F nous allons nous ntéresser à 3 ponts partculers : α, γ, β. Ces 3 ponts défnssent la hauteur et la durée de F. α F γ β Sot e la quantté produte par la machne 1 et f la quantté consommée par la machne. e = q β = t,1,1 + P,1 + µ 7 Pour le cas ABF, AF, AGF : f = max(; C,1 t,,1 ). q P, α = e f γ = t,,1 + p, γ β = t,,1 + P, t,1,1 P,1 µ 7 = mn( P,;t,,1 + P, t,1,1 P,1 ) Autre cas : 3

f ' = ( 1) α = e f ' q γ '= C,1 + P, γ ' β = P, En généralsant : α = e mn( f, f ' ) µ 6 = γ β = max(t,,1 + p, t,1,1 p,1 µ 7; P, )= max mn( P,;t,,1 + P, t,1,1 P,1 ); P, q F = 1.µ 6. q mn max(;c,1 t,,1). ; 1.q P, h)coût des stocks de produts sem fns ( avec P1 > P ): CSPSF = γ ( A +B + C + max ( ; 1 )( D + E ) + F +G) Remarque : Selon les dfférents cas étudés la valeur de dffère: Cas «ABF» Cas «ABCF» Cas «ABC[DE]F» Cas «A[DE]F» Cas «AGF» Cas «AF» = = 1 < = = = 35

.Coût des stocks de produts fns (avec P1 > P ) Nous allons mantenant nous ntéresser au stock de produts fns toujours en consdérant que P1 > P. On peut supposer 3 cas pour la lvrason du produt fn : - La lvrason est réalsée dès la mse en stock d un sous lot du produt fn, - La lvrason est réalsée progressvement dès la fn du produt sur la machne jusqu à la date due, - La lvrason est entèrement effectuée à la date due. Les deux premers cas ne sont pas consdérés car sans ntérêt : Le premer cas n est pas prs en compte car l revent à calculer des coûts de stockage ntermédare (produts sem-fns). Le clent étant consdéré comme une machne 3. Le second cas paraît redondant et mons pertnent que le trosème. On suppose donc que le produt fn est un traval lvré en un seul bloc à la date due. 1 3 5 q q A µ ' 1 C B µ ' 1 µ ' 1 D TM1 µ 3 µ ' 1 E TM µ µ ' 1 FF d a)calcul de [ABCDE] : µ '1 = P, q 1 A =.µ '1. q B = A+ P,. q C = B + P,. p q D = C +,. On peut généralser par : [ABCDE] = 1 P, q 36

Preuve du calcul : [ABCDE] = A + P, q 1 Moyenne de la sute [ABCDE] = A + ( j =1 1 ( j) j =1 j ) = ( + 1) P, q ( 1) [ABCDE] = P q 1 1 P, q +, ( 1) [ABCDE] = 1 P, q b)calcul de FF : Cette are correspond à l avance du produt. Plus le produt sera en avance par rapport à la date due, plus cette are sera grande. Cependant s le produt est en retard, on consdère que FF est nul. FF = max( ; d C, ).q c)calcul de TM1 : TM1 apparaît unquement s pluseurs lots se succèdent sur la machne avant un temps mort. La durée de TM1 est égale à la durée du temps mort sot µ 3 (défn page 8). TM 1 = µ 3. q où est le nombre de sous-lots tratés sans temps mort (cf page 7) d)calcul de TM : TM correspond à la somme des temps mort non transtores. TM = 1 v = + 1 µ. v.q où µ est défn page 9 e)coût des stocks de produt fns ( avec P1 > P ): CSPF = κ ( [ABCDE] + TM1 + TM +FF ) 37

C.Etude du cas où P,1 P, 1.Coût des stocks de produt sem fn ( avec P1 P ) Nous allons mantenant calculer les coût de stockage de produt sem-fn avec P,1 P,. Nous allons dans un premer temps calculer l are suvant les cas «ABC» et «ADE» pus nous multplerons cette are par le coût untare γ. Cas «ABC» M1 NIS B C A µ µ1 M µ3 Cas «ADE» M1 NIS A M µ1 D E µ µ3 38

a)calcul de l are de A : Comme dans le cas P, < P,1, et concernant la valeur de l are de A, nous allons calculer la durée pendant laquelle seule la machne 1 produt, multplée par la quantté d éléments fabrqués. Donc on pose µ 1 : µ 1 = mn( P,1 ; t,,1 t,1,1 ) Le premer terme correspond au cas «ADE» où le job sur la machne 1 est termné avant le début du job sur la machne. On prend le deuxème terme snon (.e. cela sgnfe qu l y a recouvrement). Calcul de la hauteur : Comme pour la durée, nous reprenons le calcul fat pour le cas P, < P,1. h= µ1 q P,1 On a donc : A= q 1 µ 1² P,1 Cette formule d are étant smlare au cas où P, < P,1. b)calcul de l are de B : Le calcul de l are de B revent à calculer la pente montante de durée µ. On a µ = max(; t,1,1 + P,1 t,,1 ) La valeur de µ vaut zéro s l n y a pas recouvrement. Calcul de la hauteur : On notera que la pette hauteur de l are B est la valeur de la hauteur pour l are A. On s ntéresse donc à la grande hauteur qu correspond au nombre d éléments du traval dans le stock ntermédare. Autrement l s agt du nombre d éléments produts à la date t,1,1 + µ 1 + µ mons le nombre d éléments consommés à cette même date. µ q h = q P, 39