CDO Collateralzed debt Oblgatons Kam Yuen CHU Ezzoubr KODAD Dmtre NEDEV Responsable : Therry RONCALLI 1
Table des matères Introducton P.3 1. Descrpton du CDO et du marché P.5 1.1 La structure de CDO P.5 1.2 Qu est ce qu un CDO? P.6 1.3 Perfectonnement de crédt dans les transactons de CDO P.7 1.4 Perfectonnement de crédt dans les transactons de valeur de marché P.8 1.5 Les nvestsseurs dans les dfférents tranche P.9 2. CDO Synthétque P.10 2.1 Structures synthétques entèrement placées P.10 2.2 Structures synthétques partellement placées P.11 3. Quelques méthodes d évaluaton des CDO P.13 3.1 CDO est comme une opton P.13 3.2 Méthode quanttatve P.15 3.3 Méthode Standard & Poor s P.16 3.4 Méthode de Moody s P.17 4. Prcng de CDO P.25 4.1 La dstrbuton de la perte P.25 4.2 Evaluaton P.26 4.3 Algorthme de smulaton P.27 4.4 Résultats numérques P.29 Concluson P.31 Bblographe P.32 Annexe P.33 2
Introducton : Une des caractérstques des évolutons dans la sphère fnancère des deux dernères décennes, a conssté dans la prse de conscence crossante de la part des établssements bancares de l mportance de la geston du rsque et en partculer du rsque de crédt en tant que rsque prncpal qu elles encourent de par leur méter. L mpératf stratégque de geston du rsque de crédt s est fat de plus en plus pressant à la lumère notamment de la crse fnancère qu a frappé les pays d Ase en 1997 et des exgences de performances et de rentablté des fonds propres qu s exercent sur les banques. Le rsque de crédt nhérent à un actf fnancer se défnt comme le rsque de pertes assocé à une ncapacté d un emprunteur (mse en règlement judcare, défaut) ou plus généralement à la dégradaton de sa capacté à fare face à ses engagements fnancers vs-à-vs de ses créancers. Contrarement aux rsques de marché qu sont des rsques lés aux évolutons des taux d ntérêt ou des cours de change et à la volatlté de ces évolutons et qu toutes choses égales par alleurs affectent de façon homogène la valeur des actfs fnancers, le rsque de crédt est très drectement lé à la stuaton ndvduelle de chacun des émetteurs/emprunteurs et à sa structure fnancère. Il est de ce fat plus complexe à mesurer et sa geston se prête mons asément à la standardsaton. La geston tradtonnelle du rsque de crédt fat référence à tros prncpes : - geston mcro du rsque de crédt consstant pour la banque de se prémunr en cas de défaut de la contreparte en structurant la transacton de telle façon à lmter son rsque de perte notamment en contrôlant les termes de prêt (tarfcaton de crédt basée sur la prme de rsque de l emprunteur, crédt trggers, nantssement, syndcaton). - geston macro qu sgnfe une dversfcaton du rsque sur les dfférents emprunteurs, secteurs ndustrels et géographque. - geston a posteror du rsque de crédt une fos le crédt accordé, s la qualté de l emprunteur se détérore, l ne reste généralement plus que deux solutons pour les 3
banques : avor recours aux provsons ou ben solder leur poston en enregstrant une perte. Or, les méthodes classques de geston du rsque de crédt se sont avérées hstorquement nsatsfasantes et relatvement neffcaces et leur défaut majeur reste de ne pas pouvor désagréger le rsque de crédt de l actf sous-jacent et de permettre ans son transfert vers une parte terce. Ce constat est à l orgne de l émergence de nouvelles technques de geston du rsque de crédt qu reposent sur la ttrsaton des créances bancares et les produts dérvés et qu depus connassent une crossance spectaculare au pont qu aujourd hu s mposent comme approche domnante d une geston dynamque du rsque de crédt. Sur le marché de transfert de rsque, un des segments partculèrement dynamques est composé par les Collateralzed debt oblgatons (CDO) qu consttuent une sous-classe mportante des Asset Baced Securttes (ABS). En effet, les CDO représentent plus de la moté des fnancements structurés en Europe et leur succès n est pas prêt à se démentr pusque dans la perspectve de Bâle 2, les banques seront nctées à transférer les rsques de classes d actfs de mons bonne qualté va ces véhcules. Nous nous proposerons ans à travers notre présentaton de donner un aperçu sur quelques méthodes d évaluaton de CDO après avor établ leurs prncpales caractérstques, étape nécessare pour comprendre la logque de leur modélsaton. Dans la premère parte, nous verrons donc comment utlser les CDO en tant qu nstruments de marché fnancer. Pus nous étuderons les dfférentes méthodes (quanttatve, S&P, Moody s) pour évaluer les CDO. Fnalement, nous termnerons par une smulaton de CDO fondée sur l utlsaton de copulas. 4
1. Descrpton du CDO et du marché 1.1 La structure de CDO Les CDO ont un Specal purpose company or vehcule (SPV), qu ressemble à un compte avec un actf, un passf et auss un manager. Typquement, les CDO se composent d un portefeulle dversfé d actfs non lqudes et de crédts rsqués comme Collateralzed bond oblgatons (CBO) ou les prêts Collateralzed Loan Oblgatons (CLO). Banque orgnal (Créateur) Vente actfs ou CDS Intérêt & Nomnal SPV Lqudté Placement Tranche Senor Mezzanne Equty Fgure 1: Schema d un cash CDO La structure de CDO assgne des produts d'ntérêts et de remboursement nomnal d un regroupement de dfférents nstruments d'emprunt à une collecton prortare de ttres appelée tranches. La tranche Senor est payée avant celle de Mezzanne et celles qu est nféreures. D autre part, ce sont les nvestsseurs qu achètent les actfs dans les dfférentes tranches. La tranche Senor semble mons rsquée pusque les tranches nféreures absorbent les pertes. A chaque date de paement, la tranche equty reçot des dstrbutons en espèces après que les paements programmés de dette et d'autres coûts ont été payés. La classe equty s'appelle également la poston de frst-loss dans un portefeulle collatérale. C'est parce qu'l est exposé au rsque de la premère perte dans un portefeulle. De plus, elle est subordonnée à la tranche mezzanne. La tranche equty est un actf à fort effet de lever, potentellement hautement rémunérateur pusqu l reçot tous les flux qu n ont pas été versés aux autres parts du CDO, on parle de marge excédentare. Pus, la tranche mezzanne est subordonnée à la tranche senor. Cette tranche reçot des marges de crédt élevées et leur rehaussement, ben qu nféreur à celle de la tranche Senor, leur assure une 5
protecton face à d éventuels défauts. Par contre, la tranche Senor est placée en premère place pour recevor les flux versés par les oblgatons. Pendant la phase de rénvestssement, les dstrbutons de la classe equty se composent de l'ntérêt excessf sur un portefeulle rempl, des produts d'ntérêts collatéraux mondres restants après le paement d'ntérêt de dette et d'autres honorares. Le manager rénvestt le prncpal montant collatéral. Par contre, dans la pérode de remboursement, les paements des ntérêts excessfs dmnuent graduellement comme le prncpal portefeulle collatéral. Le montant est employé pour rembourser la dette de la classe senor. Après que toutes les classes de dette aent été rachetées, et s la classe equty n a pas chos d'appeler la transacton, les paements prncpaux restant passe à la classe equty. Le fgure 2 c-dessous montre un exemple de structure des captaux permanents Classes A Ratng : AAA + /AAA % de la structure captal 70% B Ratng : AA/ A C Ratng : BBB + / BBB - D Ratng : BB + / NR 14% 8% 4% Equty Non Ratng 4% 1.2 Qu est ce qu un CDO? Les CDO nvests en prêts et oblgatons, sont appelés Cash CDO. En effet, la structure possède drectement des actfs. Ans, l amortssement du nomnal des parts n est dû unquement au paement du prncpal. Ce n est pas toujours le cas. D autres types de CDO mettent en jeu des dérvés de crédt. Ans, certan CDO proposent une exposton à des rsques sur des sous-jacents synthétsés (qu on étude dans la parte 2), en mettant dans le portefeulle d actf, non pas le prêt ou l oblgaton en queston, mas un CDS (Credt Default 6
Swap). Dans ce cas, le CDO reçot un paement pérodque d une contreparte cherchant à se protéger contre le rsque de défaut de l actf de référence. En retour, le CDO devra payer à l acheteur de protecton les pertes de défaut de l actf s celu-c fat défaut. La défnton exacte de perte de défaut et défaut peut être négocée selon les exgences du CDO et de l acheteur de protecton. Tout d abord, on étude le Cash CDO. La plupart des CDO peuvent être placé dans l un ou l autre de deux groupes prncpaux : de transactons d'arbtrage et de blan. CDO Arbtrage Blan Cash Flow Valeur de marché Cash Flow Fgure 2 : Répartton des types de CDO Selon la façon dont le CDO protège ses tranches Senor et Mezzanne des pertes de crédt, l exste des Cash Flow CDO et des CDO à valeur de marché (fgure 2 c-dessus). Cash Flow CDO : Un Cash Flow CDO est un portefeulle collatérale qu n'est pas soums au commerce d actf par le CDO manager. Il fat en sorte de redrger les cash-flows des parts nféreurs vers celles supéreurs en cas de défaut. Valeur de marche CDO : Les sous-jacents sont pérodquement évalués au prx donné par le marché. Pus une marge est rajouté ou soustrate à cette valeur, afn de prendre en compte les fluctuatons futures de la valeur de marché. S cette valeur descend en dessous 7
de la part des tranches supéreures, les ttres du CDO dovent être vendus et les tranches supéreures payées jusqu à ce que cette valeur re-dépasse leur part. Blan CDO : Les CDO de réajustement de blan fnancer sont lancés par des détenteurs de ttre, telle que les banques. Leur but est de sortr des engagements de leur blan. Elles désrent vendre leurs ttres ou transférer leur rsque. Leur but est de lbérer des lgnes de crédt, et de dmnuer les captaux économques et réglementares nécessares. Arbtrage CDO : Le but de l'arbtrage CDO est de capturer l'occason d'arbtrage qu exste dans le crédt spread, entre le rendement collatéral élevé et les parts de tranches fortement évaluées. L dée est de créer une garante avec un coût de placement plus bas que les retours prévus des notes publées. Ic, les ntéressés espèrent ans avor une exposton sur le marché de crédt avec un effet de lever mportant. 1.3 Perfectonnement de crédt dans des transactons Cash-flow Dans la tranche senor, les CDO sont protégés par la dffuson de subordnaton, sur collateralsaton et de spread excessf. La tranche senor est une tranche prortare sur tous les Cash-flow génères par la garante par rapport aux autres tranches non senor. La sur collateralsaton assure une autre protecton de la tranche senor en mposant une valeur collatérale mnmum en deux tests d'assurance: test d'assurance de valeur et d'ntérêt. Le test de valeur exge que la tranche senor (et plus tard les autres tranches) est au mons un certan pourcentage de la garante fondamentale de collatéral. Ce test est applcable surtout aux tranches nféreures comme mezzanne. Par contre l autre test, le test d assurance d ntérêt est applqué pour s assurer que les produts d'ntérêts collatéraux sont suffsants pour couvrr des pertes et qu ls effectuent toujours un paement des ntérêts à la tranche senor. Ce support de crédt est également connu comme un spread excessf. 1.4 Perfectonnement de crédt dans les transactons de valeurs de marché Les taux antcpés sont une forme prmare de perfectonnement de crédt dans des transactons de valeur de marché. Le taux antcpé est le pourcentage maxmum du taux de marché qu peut être employé pour publer la dette. Les agences ratng, comme Moody s ou S&P, assgnent dfférents taux antcpés à dfférents types de garantes. Ils dépendent de la volatlté du retour de captaux, et de la lqudté des captaux sur le marché. Des captaux avec une volatlté de retour plus élevée et une lqudté nféreure ont donnés des taux 8
antcpés plus fable. Le test de valeur mnmum (Mnmum Net Worth test) est également conçu pour offrr la protecton de crédt aux supports de la tranche senor, en créant le coussn comme la tranche equty. Cec est réalsé en mposant que la valeur excessve des actfs du marché sans les notes de dette est supéreure ou égale que la valeur nomnale de captaux propres. MAV - Dette > = % * Equty. 1.5 Les nvestsseurs dans les dfférentes tranches La structure du CDO crée des profls de rsque adaptés aux besons des nvestsseurs qu ne peuvent être proposés par une autre structure que les CDO. Ces expostons aux rsques correspondent aux besons des nvestsseurs, c est-à-dre, à leur goût pour le rsque et à leur contrante de captal. Certans nvestsseurs préfèrent avor des actfs purement spéculatfs tands que d autres préfèrent avor des actfs sans rsque. Le CDO permet de séparer le rsque de crédt de son portefeulle d actfs en tranches et de les vendre à l nvestsseur attré par ce rsque précs. 1.5.1.1 Les nvestsseurs en part Equty Les nvestsseurs en tranche equty sont en poston de fnancement de l actf sousjacent sous forme de partcpaton sans recours. En effet, en cas de rendement fable du CDO, ces nvestsseurs ne peuvent espérer meux de leur part Equty que l actf sous-jacent lumême. Mas, la structure du CDO permet à ses nvestsseurs de bénéfcer d un effet de lever mportant entre le taux de défaut des actfs et le fnancement de cette tranche. 1.5.1.2 Les nvestsseurs en autre part La tranche Senor est généralement attractve car elle propose un rendement supéreur à celu proposé par des frmes et des actfs de même note de crédt et de même maturté. De plus, la tranche Senor propose une dstrbuton des pertes en cas de défaut nféreure à celle d une oblgaton ndvduelle. Lorsqu une oblgaton (ndvduelle) fat défaut, le nveau de pertes supporté par les nvestsseurs est assez élevé. Enfn, les tranches Senor et Mezzanne d un CDO permettent de dversfer le rsque. Ans, le CDO permet à un certan profl d nvestsseur de prendre poston sur de nouveaux ndustrels, de nouveaux pays, en conservant ses contrantes sur les rsques encourus. 9
2 CDO Synthétque Dans la plupart des cash-flows CDO, des captaux sont transférés dans le SPV. C est une analyse de prêt à prêt qu est nécessare pour vérfer que se sot conforme au programme de ttres et auss pour vérfer qu l n y a aucune clause spécale attachée à aucun prêt lmtant son transfert. 2.1 Structures synthétques entèrement placées Hstorquement, le CDO entèrement placé a été le premer à être employé comme une alternatve à une structure plus tradtonnelle. Dans un CDO synthétque entèrement placé, les SPV montrent ses notes pour approxmatvement 100% d un portefeulle de référence. Le montant de ces notes est généralement nvest dans des valeurs de ttres de haute qualté comme garante qu ont un rsque de 0%. Afn de protéger son exposton de rsque de crédt dans un prêt de portefeulle, la banque orgnale (créateur) entre dans un CDS avec sot le même SPV sot avec une banque de l OCDE. Avec les CDS, le créateur achète une protecton de crédt en échange d une prme. Nous montrons les deux mécansmes de structures synthétques entèrement placées c-dessous. Rsque 0 % Cash Intérêt & Prncpal Banque orgnale Prme de Swap SPV Intérêt & Prncpal Notes Equty Protecton de crédt Placement Fgure 3 : CDO synthétques entèrement placées avec CDS et SPV 10
Rsque 0 % Cash Intérêt & Prncpal Prme de Swap Prme de Swap Intérêt & Prncpal Banque orgnale Banque OCDE SPV Notes Equty Protecton de crédt Protecton de crédt Placement Fgure 4: CDO synthétques entèrement placées avec CDS et la banque OCDE La tranche equty détenu par le créateur (Banque orgnale) apporte un pods de rsque de 100%. Par conséquent, comme avec l'exemple sur la fgure 3, la banque réalserat un premer dégagement captal. Un captal de contrôle addtonnel dépendrat de la présence d'une banque de l OCDE dans sa structure. S les CDS sont drectement lés avec le SPV (fgure 3), et s les recettes de la note sont nvestes dans des actfs avec un rsque de 0%, alors mons captal de contrôle sont ajouté à la transacton. Par contre, s les CDS sont drectement lés avec une banque de l'ocde (fgure 4), le captal de contrôle sur les CDS est un certan pourcentage du montant notonnel du même swap. 2.2 structures partellement placées Dans la structure du CDO entèrement placé, la banque orgnale est lon de réalser une utlsaton de captale effcace. Les CDO-CLO entèrement placé peuvent parfos être un nstrument relatvement cher. Cependant, l est vra qu un nstrument de CDO-CLO reste mons exposé au rsque que le spread de crédt qu peut s élargr. Les structures c-dessous qu sont d une transacton partellement placée de CDO, sont très semblables à celle entèrement placée. La banque orgnale (créateur) achète la protecton de crédt drectement contre un SPV (la fgure 5) ou une banque de l'ocde (fgure 6). La dfférence est que le SPV puble une quantté nféreure de notes parce qu l garantt une 11
quantté nféreure de collatéral. Le «super Senor CDS» est un haut paper fnancer de qualté, avec pratquement une probablté zéro d'être exposé à une perte de crédt. Super senor CDS Prme de swap 0% de Rsque Prêt non placement Banque orgnale Protecton crédt Banque Cash Intérêt & Prncpal OCDE Prêt placement Banque orgnale Prme de swap Intérêt & Prncpal SPV Protecton crédt Placement Notes Equty CDS Junor Fgure 5 : CDO synthétques partellement placées avec CDS et la banque OCDE Super senor CDS Prmedeswap 0% de Rsque Prêt non placement Banque orgnale Protecton crédt Banque OCDE Cash Intérêt& Prncpal Prêt placement Banque orgnale Prme de swap Prme de swap Intérêt & Prncpal Banque OCDE SPV Protecton crédt Protecton crédt Notes Equty CDS Junor Placement Fgure 6 : CDO synthétques partellement placées avec CDS et SPV 12
3 Quelques méthodes d évaluaton des CDO Il y a pluseurs facteurs qu affectent la valeur de toutes les tranches de CDO (de dette et d equty). Mas le plus mportant est la qualté de crédt dans un portefeulle fondamental, qu dépend de la probablté de défaut et de la dversfcaton. Nous allons essayer de trater pluseurs méthodes pour calculer la valeur du CDO. 3.1 CDO est comme une opton La dernère approche est d'évaluer une valeur de marché du CDO comme un nstrument dérvé dans un portefeulle collatéral. Nous pouvons commencer par le schéma cdessous pour explquer la structure du blan du CDO. Captaux Oblgatons Tranche de Zéro coupon Tranche Equty Fgure 7 : Smple Blan de CDO Nous pouvons écrre la valeur des actfs comme : Captaux = Tranche de zéro coupon + Captaux propres (1) En fat, nous savons que le CDO est caractérsé par pluseurs tranches qu ont dfférent ratng selon le type de protecton offert aux nvestsseurs. Depus qu elles offrent un nveau dfférent de rsque de crédt (selon leurs Ratngs), les prx du stre et la probablté du défaut sont dfférents. Nous supposons qu l y a 3 tranches prncpales : Senor, Mezzanne et Equty. 13
Le proft de l'nvestsseur de la tranche Equty peut être défnt comme : P E = E - mn (E, L) (2) P E = Max (E - L, 0) = Put (E, L) Où L est la perte collatérale, E est la talle de la tranche equty Put(E, L) est la tranche equty. Par conséquent, s les pertes (L) sont plus grandes que la talle de la tranche Equty (E), la tranche Equty est épusée et la dfférence est payée par les nvestsseurs de la tranche mezzanne. Il est toujours possble, à partr de l'équaton (2) de récupérer la tranche Equty comme opton d'achat : P E = A - Z mn (A-Z, A-L) (3) P E =A-Z + max (A-Z, L-A) P E = max (A-Z, 0) Où A est valeur de l actf à maturté, Z est la valeur de la tranche à zéro coupon Le proft de l'nvestsseur de la tranche Senor est : P S =A E max (L E, 0) (4) P S =A- E Call (E, L) Où Call(E, L) est la tranche equty. Pus le proft pour l nvestsseur de la tranche mezzanne: P M = max [mn (M-E, M-L),0] P M = (M-E)- max (L-E,0) + max (L-M,0) (5) Où M est la talle de la tranche mezzanne. 14
Dans l équaton (5), le proft de la tranche mezzanne est dentque à celu d un portefeulle qu content une oblgaton à zéro coupon et deux optons d'achat (comme une longue opton d'achat sur le prx d'exercce M et une courte opton d'achat sur le prx d'exercce E.) 3.2 Méthodes quanttatves stochastques Nous exposons c, l un des modèles probablste pour détermner la dstrbuton des temps de défaut. Sot le temps de défaut assocé à l actf, le temps de d arrêt assocé au premer défaut du portefeulle,, s écrt, mn Notons : F (t) la foncton de répartton du temps de défaut de l émetteur, F (t) = Q ( <= t) la probablté de défaut avant la date t. Les los assocées aux temps de défauts des émetteurs peuvent être détermnées suvant dfférentes méthodologes. L une d entre elle consste àconsdérer un modèle à ntensté(détermnste ou stochastque). Après avor détermné chacune des los assocées aux temps de défaut des émetteurs, l est nécessare de précser leur structure de dépendance. Nous pouvons utlser une foncton de répartton de la lo normale centrée rédute notée N. G H 1 0 H (6) Où G est un vecteur gaussen centré de matrce de varance covarance K de matrce de varance-covarance K j s j. j (H 0,, H n ) est un vecteur gaussen centré rédut. Alors le temps de défaut se calcule comme sut : 1 F ( ( G )) (7) Ces fonctons sont appelées foncton de copule normale. 15
Dans ce qu sut nous allons présentés d une manères très bref le modèle à ntensté stochastque. Celu-c stpule que, pour un pett ntervalle de temps, les actfs font défaut de manère ndépendante, avec une probablté proportonnelle à une ntensté commune de défaut. Sur l ntervalle suvant, elle est encore ndépendante, et proportonnelle à une nouvelle ntensté. L évoluton de cette ntensté sut un processus stochastque et on a : (8) Avec, F t la fltraton assocée, autrement dt, l nformaton dsponble en t. La dynamque du processus d ntensté étant donnée par, (9) Où W est un mouvement brownen standard. On obtent pour un ttre fxé, la probablté de surve suvante t s S( t) 1 Eexp( du F u t 1 exp ( s) ( s) ( t) t (10) En sachant que des solutons explctes pour (s) et (s) Gârleanu (1999) 1 ont été calculées par Duffe et 3.3 Méthode Standard & Poor s Dans le Ratng de CDO, la méthode de S&P emploe un modèle de smulaton de Monte Carlo appelé CDO Evaluator. Ce modèle estme la dstrbuton de taux de défaut dans un portefeulle collatérale. Il prend en compte le crédt ratng de l emprunteur, la probablté de défaut, la maturté et la corrélaton entre chaque actf. Le résultat est la dstrbuton de la probablté du taux de défaut d un portefeulle globale. S&P n'emploe pas le score de dversté de la méthode de Moody pour smplfer le calcul de la corrélaton de défaut entre chaque actf dans le portefeulle. Plutôt, elle assume 1 Dans «Rs and Valuaton of Collateralzed Debt Oblgatons» 16
une corrélaton des actfs entre les actfs des secteurs d entreprse dfférente et entre les actfs du même secteur de l entreprse. Le générateur de smulatons donne un grand nombre de valeurs dstrbués selon une normale multvarée X~N (0,1). À chaque expérence, le trage de l actf est comparé à son seul de défaut, et s'l est nféreur, l actf fat défaut. Le seul de défaut est calculé par la probablté de défaut des actfs et la maturté. Tous les actfs ayant fat défaut sont addtonnés et dvsés par le nombre total des actfs présents dans le portefeulle. Cec estme le taux de défaut dans la j ème expérence. 3.4 Méthode de Moody s Moody s affecte à chaque actf une note ; celle-c correspond à son ratng. Cec permet de calculer un ratng moyen, pondéré par les nomnaux de chaque actf. Il s agt précsément du FRMA. FRMA N V * R 0 N 0 V (12) Où R nomnal de l actf. V : nomnal de l actf. En réalté, pour une maturté donnée, le facteur de ratng correspond à une probablté de défaut. On pourra trouver en annexe, les tableaux Moody s des facteurs de ratng ans que des probabltés de défaut. Le score de dversté, notée DS, représente un nombre d actfs ndépendants. Moody s modélse le portefeulle sous-jacent réel par un portefeulle vrtuel de DS actfs dentques et ndépendants. La probablté de défaut de chacun de ces actfs étant égale à la probablté de défaut moyenne dédute du FRMA. Pour rendre ce portefeulle fctf assez représentatf du portefeulle réel, ces deux portefeulles ont la même espérance de pertes et sensblement la même varance : facteur de ratng et DS. 17
Moody s consdère 33 secteurs d actvté et 2 zones géographques. Il consdère que les actfs appartenant à des secteurs dfférents ou à des zones géographques dfférentes (Europe/US) sont ndépendants. Cependant, pour certans secteurs, on ne fat pad de dstncton géographque (le secteur est vu «mondal»). La formule de calcul du score de dversté est la suvante : DS 1 8* 2 N 1 (13) Où N est la somme des contrbutons des actfs appartenant au secteurs, et est défnt comme sut : N j No mn al j Mn 1, Où j : Actf j appartenant au secteur No mn al. Moyen Consdérons un exemple d étude d un portefeulle sous-jacent, selon la méthodologe de Moody s. Sot le portefeulle présenté dans le tableau suvant : A l ade de la table des facteurs de ratng de Moody s, en annexe A, et pour une maturté de 10 ans, on obtent FRMA=120,6 ce qu équvaut à une cote de crédt A2. La probablté de défaut est donc 1,20%. 18
Pus Moody s utlse un facteur de stress 2. Supposons que le ratng voulu pour une tranche sot Aa1. le ratng moyen du portefeulle est A2 (dédut du ratng factor de 120) ; pus, Moody s affecte un facteur de stress de 1,31 à A2 et 1,4 à Aa1. Afn de noter la tranche, Moody s consdère alors une probablté ajustée de défaut de : p * 0,012 1,4 1,31 De plus le nomnal moyen obtenu est 66. Les tableaux suvants présentent les contrbutons. 0,0128 Dans cet exemple, les actfs du secteur 4 sont consdérés comme ndépendants car d orgnes dfférentes. On obtent ans : Ans Moody s calcule les pertes de chaque tranche pour chacun des scénaros possbles : 0 défaut, 1 défaut,, DS défauts. Pus chaque scénaros est probablsé suvant une lo bnomale en utlsant la méthode appelée «Bnomal Expanson Technque» que sera explquée dans le chaptre suvant. 2 Moody s «stresse» la probablté de défaut suvant le cote de crédt souhaté. L affectaton d un facteur de stress selon la notaton désrée de la tranche est destnée à augmenter la probablté de défaut. 19
La Méthode «Bnomal Expanson Technque» La BET consttue une approche fable et satsfasant d estmaton des pertes totales espérées pour les CBO/CLO. Elle offre un certan nombre d avantages dans la détermnaton de ratng appropré : - elle capte les effets des «événements se stuant dans les extrêmes de la dstrbuton = tal events» en représentant tous les possbles scenar de défauts. - sa mse en œuvre est beaucoup mons ntensve en calcul que la smulaton Monte Carlo Cette Méthode est basée sur le concept de score de dversté (DS) explquée c-dessus. Rappelons que l dée est de construre un groupe (pool) fctf d actfs homogènes et non corrélés (prêts ou oblgatons) qu va reprodure le comportement en termes de défaut du vra pool. Dans ce cas, le comportement du vra pool peut être modélsé en utlsant un portefeulle consttué de DS oblgatons, chaque oblgaton ayant la même valeur ( égal au collatéral dvsé par DS). Il est également supposé que toutes ces oblgatons ont la même probabltés de défaut (détermnée par la probablté moyenne pondérée du défaut assocé au vra pool). En fn de compte, en ce qu concerne les défauts, le comportement de ce pool homogène de DS actfs peut être complètement décrt en termes de DS scénaros possbles : un défaut, deux défauts, jusqu à DS défauts. La probablté Pj que le scénaro j (c est-à-dre l occurrence de j defauts) se produt peut être calculée en utlsant la formule bnomale : P j DS! j!( DS j DS j p (1 p ) j)! Où p est la probablté moyenne pondérée de défaut du pool (stressée par le facteur appropré). 20
S on suppose que Ej est la perte pour la note à évaluer sous le scenaro j ( la perte exprmée en pourcentage peut faclement se calculer en prenant la valeur des cash flow reçus par le porteur de la note, en supposant qu l y a j défauts et en utlsant le taux de coupon de la note comme taux d actualsaton) Fnalement, en prenant en compte tous les scénaros possbles, la perte totale espérée (EL), est calculée comme sut : EL DS j1 P j E j (14) Exemple d applcaton de la BET Nous avons utlsé l exemple produt par Moody s dans son artcle nttulé «The Bnomal Expanson Method Appled to CBO/CLO Analyss», et avons mplémenté un programme sous VBA pour obtenr modélser cette méthode. On Consdère la structure suvante, avec deux tranches : On suppose que le pool collatéral a un score de dversté de 20, une probablté moyenne de défaut de 25% (après applcaton du facteur de stress), un taux de recouvrement de 30%, une maturté de 6 ans, et qu l pae un coupon moyen de 11%. En plus, on suppose pour smplfer- que les oblgatons sont remboursables n fne et que les ntérêts sont rénvest à 11% par an. 21
Evdemment la tranche Senor a la prorté de recevor les cash flow générés par le collatéral. En prncpe, la parte Senor est supposée recevor les cash flow suvants : {2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 2.4 +80} Tant que le nombre de défauts reste en dessous de 10, la parte Senor ne supportera pas de pertes. Néanmons à partr de 10 défauts, la tranche Senor va supporter des pertes. Les pertes sous chaque scénaro de défaut sont calculées par actualsaton, en applquant un taux d actualsaton de 6%. Par exemple s l y a 10 défauts, la tranche Senor reçot {2.4, 2.4, 2.4,2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 2.4, 78.86} procurant une perte de 3,1%. Dans ce cas, l a été supposé que les défauts sont front-loades c est-à-dre que 50% se produsent à la fn de la premère année et 10% à la fn de chaque année suvante. La capture d écran suvante récaptule les résultats de notre calcul. 22
Les résultats essentels sont reprs dans le tableau c-dessous. La premère colonne ndque le nombre de défauts sous le scénaro ; la deuxème colonne ndque la probablté que ce scénaro se produt et la trosème colonne ndque les pertes sous ce scénaro. 23
# Defauts Prob. Loss 0 0,3171% 0,00% 1 2,114% 0,00% 2 6,695% 0,00% 3 13,390% 0,00% 4 18,969% 0,00% 5 20,233% 0,00% 6 16,861% 0,00% 7 11,241% 0,00% 8 6,089% 0,00% 9 2,706% 0,00% 10 0,992% 3,10% 11 0,301% 7,90% 12 0,075% 12,69% 13 0,015% 17,48% 14 0,003% 22,28% 15 0,000% 27,07% 16 0,000% 31,56% 17 0,000% 34,78% 18 0,000% 38,05% 19 0,000% 41,61% 20 0,000% 45,16% La perte totale espérée est la suvante EL 0,3171% 0,00%... 0,000% 45,16% 0,067% En se référant à la table «Moody s Idealzed Cumulatve Expected Loss Rates» (table3 de l annexe A), qu ndque la perte totale espéré pour les dfférents ratngs et les dfférentes maturtés ; en dédut que la tranche Senor va être noté Aa3 (le taux est égal à 0.10065% pour Aa3) 24
4 Prcng de CDO Notre analyse est organser comme sut : Après une descrpton de la dstrbuton de la perte pour les dfférentes tranches de CDO dans le 4.1, 4.2 et 4.3 vont présenter une méthode d évaluaton basée sur les fonctons copules pour évaluer les tranches de CDO. Dans le 4.4 nous étuderons l mpact des dfférentes hypothèses drectrces (corrélaton et taux de recouvrement) sur les prx des tranches du CDO. 4.1. La dstrbuton de la perte Tous d abord, nous ctons les notatons utlsées tout au long de l analyse : N est le nombre des «noms» nclus dans le groupe collateral. A est le notonnel du ème nom. R est le taux de recouvrement (détermnste) correspondant au ème nom. T= t est la maturté mesurée en années à partr de la date d aujourd hu t =0. est le temps de défaut pour le ème nom (nous avons consdéré le modèle à ntensté stochastque). B(0,t) est le facteur de dscount utlsant le taux sans rsque (supposé être détermnste). s est le juste prx de la tranche du CDO, exprmée en ponts de base. On consdère L ( 1 R ) A, la perte pour le ème nom. On peut, donc, défnr la perte accumulée L(t) sur le portefeulle à l nstant t comme sut : N L( t) 1 L 1 t La dstrbuton des pertes va varer en foncton de la prorté de chaque tranche ; s on consdère que et sont les seuls nféreure et supéreure qu défnssent une tranche donnée. Alors la prorté de chaque tranche sera défne par la poston relatve de ces deux (15) seuls. S N A 1 =0 alors on parle de la tranche equty ; s 0 et, on consdère alors la tranche mezzanne, et fnalement s N A 1 on parle de la tranche senor. 25
Désormas, la perte cumulée, L ( t) pour une tranche donnée, sera égale à zéro s L(t), égale à L (t) s L (t), et égale à s L (t). D une manère formelle on a L, L ( t ) 1 L ( t ) 1 L ( t ) N ( t ),, 1 A (16) 4.2. Evaluaton Le prx d une tranche de CDO est défn par l équvalence entre la jambe relatve au défaut (DL) est celle relatve aux prmes (PL). En utlsant le représentaton donnée par Gregory & Laurent [12], on peut exprmer DL comme l espérance de la valeur actuelle (des paements en cas de défaut) depus le temps de défaut : DL T 0 B(0, t) dl, ( t) (17) La jambe relatve aux prmes peut être exprmer comme l espérance de la valeur présente des prmes payées, pondérés par le captal restant(le montant orgnale dmnué des pertes accumulées) à chaque date de paement, et qu dot être payée 1 / fos 3 par an : PL n 1 s, B(0, t ) mnmax L( t ),0, (18) * La valeur de la tranche de CDO est ensute défne comme étant le spread s, tel que : Par conséquent, * * * s, PL( s, ) DL( s, ) 0 s *, n 1 s, T, B(0, t) dl ( t) 0 B(0, t ) mnmax L( t ),0, (19) L mplantaton numérque de ces dfférentes formules est explcté dans la parte qu sut. 3 =1 pour une fréquence annuelle, =1/2 pour une fréquence semestrelle, etc. 26
4.3. Algorthme de smulaton 4 L algorthme présenté c, consste à une procédure de Monte Carlo développée spécalement pour l estmaton de la dstrbuton de perte du groupe de collateral d un CDO et la * smulaton du spread s pour des tranches avec des seuls et défns. La procédure de, smulaton peut être résumé comme sut : 1. Pour chaque smulaton répéter les étapes suvantes : a. Générer un vecteur de dmenson N de varables unformes corrélées en utlsant l algorthme présenté en annexe B.1. b. Pour chaque nom, transformer la varable unforme correspondante en un taux de défaut en utlsant la procédure présenté en annexe B.2. c. Trer le vecteur de dmenson N des temps de défaut dans l ordre crossant, et sélectonner le vecteur des temps de défaut T j 1,2,..., N j,,..., ) ( 1 2 M tel que d. Calculer les flux des paements en cas de défaut selon la procédure suvante :. En se basant sur la réalsaton du vecteur, smuler la perte accumulée en calculant (15). L (T ), comme décrt dans la formule. S L (T ) <, les payements de défaut sont égaux à 0.. S L (T ), sélectonner le temps de défaut t nf 0 / L( t) et pour chaque défallant m 1,2,..., M dont le temps de défaut est supéreure ou égal à, smuler le paement actualsé DL w, c'est-à-dre, en se donnant le vecteur des temps de défaut,,..., ), smuler DL w w w w, ( 1 B( 0, ) L B(0, ) (1 R ) A w w M pour w, 1,..., M, et fnalement fare la somme de tous ces paement,.e. DL DL. M w w 4 Une parte du programme mplémenté (en Gauss) est donnée en annexe C. 27
v. S L (T ) sélectonner comme décrt c-dessus, et calculer t chaque défallant m 1,2,..., M le temps de défaut suvant: nf 0 / L( t). Ensute pour dont le temps de défaut est supéreure ou égal à et est nféreur à, smuler DL w, c'està-dre, en se donnant le vecteur des temps de défaut, (, 1,..., ), smuler DL w B( 0, ) L B(0, ) (1 R ) A w w, 1,...,, w w w w pour e. Calculer la jambe relatve aux paements des prmes selon la procédure suvante :. En se basant sur la réalsaton du vecteur, pour chaque date de paement de prme (t1, t 2,, t n ) smuler la perte accumulée pour 1,2,..., n ensute calculer la jambe suvante : PL n 1 B(0, t ) mn max L ( t ),0, L ( t ) 2. Calculer la moyenne arthmétque de DL et PL et applque la formule (19) pour * détermner la valeur du spread. s, 28
4.4. Résultats numérques L applcaton de l algorthme c-dessus, concerne un CDO dont les caractérstques sont : T = 5 ans N = 100 A = 100 1,2,..., N S = 150 bp Taux sans rsque = 5% Tranche Equty 0%-3% Tranche Mezzanne 3%-14% Tranche Senor 14%-100% Les graphques c-dessous, représentent les surfaces des prx des tros tranches en foncton de dfférentes hypothèses sur le taux de recouvrement (supposé constant) et la corrélaton : Tranche Senor (prcer avec une copule gaussenne) Tranche Mezzanne (copule gaussenne) Tranche Equty (copule gaussenne) 29
Comme résultat général, on peut remarquer l exstence d une relaton entre les prx et la corrélaton pour les dfférentes tranches de CDO : Elle est postve pour la tranche senor, Elle est négatve pour la tranche equty, Pour la tranche mezzanne, elle semble être smlare à celle de la parte equty pour des valeurs de taux de recouvrement nféreures à 60%. Pour des valeurs plus élevées de corrélaton, le sgne de la relaton de cette tranche ressemble à celu de la tranche junor. Concernant la dépendance vs-à-vs du taux de recouvrement, pour la tranche senor les spreads sont strctement décrossants, et l nverse est constaté pour la tranche equty. 30
Concluson Les CDO représente donc une famlle de produts fnancers capable de transformer de manère structurée le rsque d un portefeulle d actfs. Inexstants au début des années 80, leur crossance dépasse la plupart des estmatons. En effet, le marché des CDO a su s adapter au marché. Tout d abord, en ce qu concerne les motvatons des acteurs, qu elles soent d arbtrage ou de réajustement de blan fnancer, pour lbérer des lgnes de crédt, ou ben les deux à la fos, les CDO représente le produt répondant à ces attentes. De plus les règles de paement des parts peuvent varer d une transacton à une autre. Cec offre une grande flexblté à la structure du produt. Mas sa mse en place nécesste une analyse, préalable, méthodque, précse, fable et homogène avec les agences de notatons. L avenr des CDO est lon d être terns. En effet, de nouveau CDO apparassent et la dversté quant aux actfs du portefeulle sous-jacent s accentue. Avec l apparton des fonds de penson comme sous-jacent, les CDO eux-mêmes jouent parfos le rôle du sous-jacent, on observe ans des CDO de CDO. 31
Bblographe BLUHM Chrstan : CDO Modelng : Technques, Examples and Applcaton. Duffe D. and GARLEANU N. Rs and Valuaton of Collateralzed Debt Oblgatons. GOZLAN Olver, Mémore de DEA de Geston Fnancère: Analyse et Modélsaton de CDO. GALIANI Stefano : Copula functons and ther applcaton n Prcng and Rs. Managng Multname Credt Dervatve Products. PICONE Domenco Collateralsed Debt Oblgatons. Moody s Investors Servce, specal report: The Bnomal Expanson Method appled to CBO/CLO Analyss. RONCALLI Therry Geston des Rsques Multples. 32
Annexe A Table1. Facteur de ratng (Moody s) Table2. Taux de défaut (Moody s) 33
Table3. Pertes totales espérées 34
Annexe B B.1. Générer des varables unformes corrélées par la méthode des copules 5 1. Copule Gaussenne L algorthme permettant de générer des varables aléatores ssues d une copule Gaussenne gaussenne G R avec une matrce de corrélaton R est le suvant :. Trouver la matrce de Cholesy «A», correspondante à la matrce de corrélaton R, telle que: R A A'.. Smuler un vecteur de dmenson N, z ( z1, z2,..., z N )' de varables ndépendantes suvant la lo normale standard..calculer x z' A. v. Calculer u (x). On a donc, u ~ G Gaussenne R 2. Copule de Student L algorthme permettant de générer des varables aléatores ssues d une copule de Student student GR, avec une matrce de corrélaton R et un degré de lberté, est le suvant :. Trouver la matrce de Cholesy «A», correspondante à la matrce de corrélaton R, telle que: R A A'.. Smuler un vecteur de dmenson N, z ( z1, z2,..., z N )' de varables ndépendantes suvant la lo normale standard. 2.Smuler une varable aléatore s suvant la lo. v. Calculer y z' A. v. Calculer x y s. v. Calculer u (x). t 5 L algorthme est faclement programmable sous Gauss. PROC Copula (Quel,R,DoF,N); LOCAL A,z,x,u,y,s; A=CHOL(R); z=rndn(n,1); IF Quel==1; x=z'*a; u=cdfn(x); ELSE; s=sumc(rndn(dof,1)^2); y=z'*a; x=(sqrt(dof)./sqrt(s)).*y; u=1-cdftc(x,dof); ENDIF; RETP(u); ENDP; 35
On a donc, u ~ G Student R, B.2. Générer la dstrbuton des temps de défaut Affn de smuler la dstrbuton des temps des défauts, nous proposons l algorthme suvant :. Smuler un vecteur de dmenson N, u u, u,..., u )' de varables unformes suvant la copule C.. Calculer la probablté de surve ( 1 2 N S n (t) comme ndquée dans la formule (10) pour chaque entté n 1,2,..., N..Pour chaque entté, défnr n ( t) ln S n ( t). v. Pour chaque entté, smuler le temps de défaut suvant : nf t 0 / ( t) ln u n n n 36