ère S Fonctons de référence bectfs : - Revor et compléter l étude des fonctons de référence vues seconde. - Sgnaler en partculer quelques proprétés géométrques de leurs courbes représentatves et reler ces proprétés à des proprétés algébrques des fonctons. - Revor dverses notons sur les fonctons (notatons, vocabulare, ensemble de défnton, varatons, courbes ) - Revor les technques d études du sens de varaton d une foncton - Revor et compléter les connassances d algèbre sur les denttés remarquables 4 ) Tableau de varaton (pour mémore) Varatons de f Lorsqu une foncton n est pas défne en un réel, on met une double barre. 5 ) Dfférence entre foncton crossante et foncton strctement crossante Prélmnare : rappels sur le sens de varaton d une foncton ) Défntons f est une foncton défne sur un ntervalle I de. Foncton crossante Foncton décrossante f est crossante sur I sgnfe que pour tous réels u et v de I tels que u v, f u f v. f est strctement crossante sur I sgnfe que pour tous réels u et v de I tels que u v f u f v., f est décrossante sur I sgnfe que pour tous réels u et v de I tels que u v, f u f v. f est strctement décrossante sur I sgnfe que pour tous réels u et v de I tels que u v f u f v., Foncton monotone Une foncton est monotone sur I s elle est crossante sur I ou décrossante sur I. ) Remarques Les défntons sont données sous formes de phrases quantfées («pour tous» ). n ne parle de fonctons crossantes ou décrossantes que sur un ntervalle. Les mots qu marchent ensemble : n dot touours précser «foncton crossante sur», «foncton décrossante sur», «foncton monotone sur» (et non pas crossante tout court). I. Fonctons affnes ) Défnton f : a b (a et b coeffcents réels) D f ) Cas partculers a 0 f : b foncton constante b 0 f : a foncton lnéare 3 ) Tableau de varaton ( a 0 ) Foncton crossante Le sens de varaton de f est donné par le sgne de a. Foncton strctement crossante 3 ) Comment étuder le sens de varaton d une foncton (pour mémore) Une méthode générale : Pour étuder le sens de varaton d une foncton f sur un ntervalle I, on prend deu réels quelconques u et v dans I tels que u v f u et f v (par eemple, en utlsant la technque de la dfférence). ; on compare Cette méthode est dffcle à mettre en œuvre pour certanes fonctons ; nous étuderons un ben melleur moyen cette année. a 0 + Var. de f f est strctement crossante sur. a 0 + Var. de f f est strctement décrossante sur.
Prncpe de démonstraton : f v. au av a u v n prend deu réels quelconques u et v tels que u v. n dot comparer f u et n effectue la dfférence f u f v au b av b au b av b u v 0 et on regarde le sgne de a. 4 ) Représentaton graphque La représentaton graphque de la foncton f : a + b est la drote d équaton rédute y a + b. Tracé coeffcent drecteur (pente s le repère est orthonormé) ordonnée à l orgne. Prncpe de démonstraton pour le sens de varaton sur 0 ; : n prend deu réels quelconques u et v dans 0 ; tels que u v. n effectue la dfférence f u f v u v u vu v u v 0 et u v 0 donc f u f v 0 sot f u f v Même prncpe sur ; 0. 3 ) Représentaton graphque (au mons 5 valeurs). d où le résultat. 0 4 0 4 ou ponts pont et le coeffcent drecteur C f : y 5 ) Formule du coeffcent drecteur a f f II. La foncton carré ) Défnton f : D f (on peut calculer le carré de n mporte quel réel) ) Tableau de varaton 0 + Var. de f f est strctement décrossante sur ; 0 et strctement crossante sur 0 ;. Le mnmum de f sur est 0 ; l est obtenu pour 0. 0 n devrat mettre des flèches pour montrer que la courbe conserve la même allure hors de la zone de la représentaton. C f est une parabole de sommet qu admet l ae des ordonnées pour ae de symétre dans un repère orthogonal. La courbe prend une forme arronde en ; elle vent «coller» l aes des abscsses autour du pont. n dt que C f est tangente à l ae des abscsses en (nous reverrons cette noton plus tard). 4 ) Justfcaton de la symétre sot f f n dt que la foncton carrée est pare.. Les ponts M et M d abscsses respectves et ont la même ordonnée et sont symétrques par rapport à (y). N.B. : S le repère n est pas orthogonal, on a une symétre oblque d ae (y) de drecton (). 3 4
III. La foncton nverse ) Défnton f : D f \ 0 * (on ne peut pas calculer l mage de 0) C f : y ) Tableau de varaton 0 + Var de f f est strctement décrossante sur chacun des ntervalles 0 ; et ; 0. Prncpe de démonstraton pour le sens de varaton sur 0 ; : n prend deu réels quelconques u et v dans 0 ; tels que u v. v u n effectue la dfférence f u f v. u v uv v u 0 et uv 0 donc f u f v 0 f u f v d où le résultat. Même prncpe sur ; 0. sot Attenton : la foncton nverse n est pas strctement décrossante sur *. En effet, prenons un contre-eemple.. f f. f f. n a : 3 ) Représentaton graphque n devrat mettre des flèches pour montrer que la courbe conserve la même allure hors de la zone de la représentaton. C f est une hyperbole consttuée de branches symétrque par rapport à l orgne du repère. (La courbe est en deu morceau ; on dt c que la courbe de la foncton nverse est consttuée de deu branches. n trace séparément ces deu branches sachant qu elles sont symétrques par rapport à l orgne. n met le nom de la courbe seulement sur l une des deu). 4 ) Justfcaton de la symétre * sot * f f n dt que la foncton nverse est mpare.. Les ponts M et M d abscsses respectves et ont des ordonnées opposées et sont symétrques par rapport au pont. IV. La foncton cube ) Défnton 6 valeurs 0 3 f : D f (on peut calculer le cube de n mporte quel réel) ) Tableau de varaton 0 + Var. de f 0 5 6
f est strctement crossante sur. Démonstraton pour le sens de varaton sur [0 ; +[ : n prend deu réels quelconques u et v dans [0 ; +[ tels que u v (). n sat que comme la foncton carrée est crossante sur [0 ; +[ on a : u v (). Comme les négaltés () et () ne comportent que des nombres strctement postfs on peut les multpler membre à membre. 3 3 n obtent u v f u f v. Par sute, f est strctement crossante sur [0 ; +[. sot Même prncpe sur ] ; 0]. 3 ) Représentaton graphque (au mons 5 valeurs) 0 3 8 0 8 4 ) Justfcaton de la symétre 3 3 sot f f n dt que la foncton cube est mpare.. Les ponts M et M d abscsses respectves et ont des ordonnées opposées et sont symétrques par rapport à. V. La foncton racne carrée ) Défnton f : D f 0 ; (on peut calculer la racne carrée de n mporte quel nombre postf ou nul ; 0 este et 0 0) ) Tableau de varaton 0 + C f : 3 y Var. de f 0 f est strctement crossante sur +. La courbe est symétrque par rapport à l orgne. Le mnmum de f sur + est 0 ; l est obtenu pour 0. Prncpe de démonstraton pour le sens de varaton sur 0 ; : n prend deu réels quelconques u et v dans 0 ; tels que u v. n effectue la dfférence u v u v u v u v u v f u f v u v. u v u v u v n multple le numérateur et le dénomnateur par u v qu est la quantté conuguée de u v. En général, on utlse plutôt ce genre de technque afn de se «débarrasser» d une racne carrée au dénomnateur. C est le contrare que l on fat c : on met des racnes carrées au dénomnateurs alors qu l n y f u f v. en avat pas ; on complque l écrture mas cela nous smplfe la recherche du sgne de n a : u v 0 et u v 0 donc f u f v 0 sot f u f v d où le résultat. 7 8
3 ) Représentaton graphque Au mons 4 ponts ) Représentaton graphque n trace les drotes 0 4 9 0 3 : y : y 0 4 y 0 4 ' : y 0 4 y 0 4 C f : y C f : y Dans le plan mun d un repère orthonormé, on obtent C f en utlsant la représentaton de la foncton carrée sur + et en utlsant la symétre d ae la ère bssectrce du repère (d équaton y = ). C f est une dem-parabole de sommet. La courbe C f est «collée» à l ae des ordonnées au vosnage du pont (elle «part vertcalement» à partr du pont ). n dt que C f est tangente à l ae des ordonnées au pont. V. La foncton valeur absolue ) Défnton f : D f s 0 s 0 C f est la réunon de deu dem-drotes fermées d orgne (V de valeur absolue). La foncton valeur absolue est une foncton «affne par ntervalles». C f est symétrque par rapport à l ae des ordonnées. Sur la calculatrce, touche Abs sur le claver ; snon, sur certanes calculatrces, aller dans le catalogue. 3 ) Justfcaton de la symétre sot f f. n dt que la foncton valeur absolue est pare. Les ponts M et M d abscsses respectves et ont la même ordonnée et sont symétrques par rapport à (y). 9 0
VII. Comparason d un réel strctement postf avec son carré, son cube, sa racne carrée. Il s agt de comparer, ) Proprété 3,, S 0, alors 3. S, alors S, alors 3. ) Illustraton graphque 3. où est un réel strctement postf. Sur un même graphque, on représente les courbes représentatves des fonctons carrée, cube, racne carrée ans que la drote d équaton y. n observe alors les postons relatves de ces courbes sur l ntervalle ]0 ; +[ c est-à-dre que l on cherche comment elles se postonnent les unes par rapport au autres. 3 ) Démonstraton algébrque er cas : 0 () () donne. n peut multpler les deu membres de l négalté par. n obtent alors. En multplant les deu membres de l négalté () par ( > 0), on obtent. 3 En multplant les deu membres de l négalté () par ( 0), on obtent. 3 Fnalement, on peut écrre. e cas : () n procède de la même manère que dans le er cas. 3 e cas : (3) Ce cas est évdent. VIII. Appendce : denttés remarquables ) Identtés du second degré a et b sont des réels quelconques. N.B. : Dans les deu premères denttés remarquables, on parle de - termes carrés ; - doubles produts ou de termes rectangles. Ces termes peuvent s eplquer par l llustraton graphque des denttés remarquables par les ares dans un carré. Chaque terme apparaît comme l are d un rectangle ou d un carré. a, b, c sont des réels quelconques. a b c a b c ab bc ca ) Identtés du trosème degré a et b sont des réels quelconques. 3 3 3 a b a 3a b 3ab b 3 3 3 a b a 3a b 3ab b a b a b a ab b 3 3 a b a b a ab b 3 3 3 ) Démonstratons a b a ba b a ab ba b a ab b a b a ab b a ba b a ab ab b a b a b a ba b 3 a ba ab b a a b ab ba ab b 3 3 a 3a b 3ab b 3 3 a b a ab b a b a ab b a ba b a b termes rectangles a b a ba b 3 a ba ab b a 3a b 3ab b 3 3 a b a ab b a ab ab ba ab b 3 3 a b 3 3
a b a ab b a ab ab ba ab b N.B. : 3 3 a b 3 a b 3 3 3 3 3 a b a b a b 3 3 4 ) Utlsaton Développements et factorsatons. Eemple : 3 (Vor eercces) 5 ) Complément : le trangle de Pascal + + + 3 3 4 6 4 a b 0 a b a b a b a ab b 3 3 3 a b a 3a b 3ab b 3 4
Notes personnelles A présenter à part (en proecton) Foncton nverse asymptote vertcale Certanes courbes comme les fonctons ont des noms. Certanes courbes ont des noms de même que les fonctons. bectf : sgnaler certanes proprétés géométrques des courbes. Ces proprétés seront relées plus tard à certanes proprétés algébrques des fonctons. Foncton carrée ae de symétre centre de symétre asymptote horzontale Foncton cube sommet centre de symétre Foncton racne carrée : pont d arrêt en. 5 6
Complément pour aller plus lon possble : Eploraton des fonctons de référence pour les grandes valeurs de ou les pettes valeurs de. Plus généralement pour les valeurs de proches des bornes ouvertes des ensembles de défnton. Pour les élèves, une dffculté consste à regarder les valeurs de pour très pett négatf. n obtent un nombre très grand postf. n prépare ans le traval sur les lmtes qu sera reprs beaucoup plus tard et l on peut donner les tableau de varatons complétés. Les fonctons carrées, nverses, cubes, racnes carrées, valeurs absolues ne sont pas des fonctons affnes n lnéares. La courbe de la foncton carrée tout comme la courbe de la foncton nverse et celles des autres fonctons de référence étudées dans ce chaptre n est pas une drote. Meu elles ne contennent aucun segment de drote. En seconde, normalement, on a étudé un algorthme permettant de placer des ponts de la représentatons graphques (algorthme smple qu permet de comprendre comment fat la calculatrce pour tracer une courbe de fonctons. Courbe de la foncton carrée La courbe de la foncton carrée s appelle une parabole de sommet. La courbe est symétrque par rapport à l ae des ordonnées dans un repère orthogonal. n dt que la foncton carrée est pare (cette noton sera reprse plus tard). Ce chaptre permet de revor les technques algébrques d étude du sens de varaton d une foncton Ce chaptre permet de revor les prncpes de tracés de courbes : n établt un tableau de valeurs ce qu permet de placer quelques ponts dans le repère. n rele harmoneusement les ponts à la man. Monotone Foncton cube et racne carrée monotones sur (ce qu n est pas le cas des fonctons carrée, nverse et valeur absolue). n commence à revor la rédacton lée à l analyse lorsque les obets manpulés sont des fonctons (rédacton nouvelle de la seconde contrarement à la géométre où les obets sont manpulés depus plus longtemps). Le chaptre permet de revor sur des «eemples concrets» les concepts autour des fonctons (varatons, etremums, courbes). Cela évte de fare un chaptre «Généraltés sur les fonctons» avec des choses plus théorques. Fnr sur les 4 «trucs» à ne pas confondre sur les fonctons qu seront ms dans le chaptre suvant. La courbe de la foncton carrée arrve platement au pont (sommet de la parabole). Algorthme de tracé pont par pont de la courbe. Courbe de la foncton nverse La courbe s appelle une hyperbole. Elle est symétrque par rapport à l orgne. La courbe se rapproche ndéfnment des aes sans amas les attendre. n dt que les aes sont asymptotes à la courbe. Ce chaptre permet de revor comment on défnt une foncton (flèche «a pour mage») Ce chaptre permet de revor ce qu est «étuder une foncton». 7 Compétences à avor sur ce chaptre : Savor tracer à la man les courbes des fonctons carrée, nverse, cube, racne carrée, valeur absolue. Qu est-ce l ensemble de défnton d une foncton? Noton d équaton de courbe : même chose que pour les équatons de drotes. Relaton vérfée par les coordonnées d un pont de la courbe. Les : qu sgnfent «a pour équaton». Attenton au notatons dotes : D() où D est une drote ; C D, C () D() etc lorsque l on étude les postons relatves. 8
Illustratons géométrques des denttés remarquables Trosème degré Second degré Illustraton géométrque dans l espace. e n trouve dans les Eléments d Euclde (II sècle avant Jésus-Chrst) la fgure c-dessous qu permet d établr cette dentté remarquable pour des réels a et b strctement postfs. en utlsant la géométre : Lorsque a et b sont deu nombres postfs, on peut établr l'égalté en consdérant la fgure c-dessous : 9 ABCD est un carré de côté a + b, AEFG est un carré de côté a, FHCI est un carré de côté b, EBHF et GFID sont deu rectangles de largeur a et de longueur b. Eprmons de deu manères dfférentes l'are du carré ABCD : 0
ABCD est un carré de côté a + b, donc ou : = (a + b)² = a² + a b + b² + a b = a² + ab + b² D'où : (a + b)² = a² + ab + b²