Tire : Résoluion d'une équaion différenielle du second[...] Dae : 21/09/2009 Page : 1/6 Résoluion d'une équaion différenielle du second ordre par la méhode de NIGAM Résumé : Nous présenons dans ce documen, une méhode de résoluion de l'équaion différenielle linéaire du second ordre obenue lors du calcul d'un specre d'oscillaeur.
Tire : Résoluion d'une équaion différenielle du second[...] Dae : 21/09/2009 Page : 2/6 1 Inroducion Lors du calcul d'un specre d'oscillaeur, on es amené à résoudre une équaion différenielle du second ordre don la soluion es une inégrale de DUHAMEL. Si cee inégrale peu êre calculée exacemen à l'aide de la ransformée de LAPLACE pour ceraines foncions analyiques simples (Dirac, Sinus, Cosinus, Heavyside, ) [bib1] elle doi êre inégrée numériquemen dans le cas général. Ce documen présene une méhode efficace pour résoudre ce problème. Cee méhode es mise en oeuvre dans le Code_Aser, dans l'opéraeur CALC_FONCTION, mo clé faceur SPEC_OSCI. 2 Soluion analyique de l'équaion Lors du calcul du specre d'oscillaeur d'un accélérogramme [R4.05.03], on es amené à résoudre l'équaion différenielle linéaire du second ordre où q es le déplacemen relaif q2 q 2 q= es l'accéléraion du mouvemen imposé à la base es la pulsaion de l'oscillaeur es l'amorissemen rédui de l'oscillaeur Avec des condiions iniiales sur q e q. La soluion de cee équaion s'écri sous la forme : q = 0 h. q 0 g q 0 h éq 2-1 où q 0 e q 0 son le déplacemen e la viesse à l'insan iniial. Expression de h e g selon la valeur de l'amorissemen rédui. - Si 1 (amorissemen sous criique) e h = 1 x sin 2 1 2 g =e [ cos 1 2 éq 2-2 1 sin ] 2 1 2
Tire : Résoluion d'une équaion différenielle du second[...] Dae : 21/09/2009 Page : 3/6 - Si =1 (amorissemen criique) h =e g = 1 e - Si 1 (amorissemen sur-criique) h = g =e [ e ch 2 1 2 1. sh 2 1 2 1 sh 2 1 ] 3 Méhode numérique La méhode numérique implanée dans le Code Aser a éé proposée par NIGAM e JENNINGS [bib2] dans le cas de l'amorissemen sous criique qui correspond à nore problème sismique iniial [R4.05.03]. En inroduisan la formulaion [éq 2-2] dans [éq 2-1] on es donc condui à résoudre l'équaion différenielle : q 2 q 2 q = avec condiions iniiales nulles, don la soluion s écri : q = 1 0 e sin [ ] avec = 1 2 En supposan que varie linéairemen à l'inérieur de chaque inervalle, on peu alors écrire : = [ ] pour [ 0, ] α() τ α(- )
Tire : Résoluion d'une équaion différenielle du second[...] Dae : 21/09/2009 Page : 4/6 d'où l'équaion à résoudre : (exprimée dans la nouvelle variable ) où q 2 q 2 q =ab pour [0, ] a= b=[ ] / avec les condiions iniiales : q 0 =q q 0 = q La soluion de cee équaion es la superposiion d'une soluion pariculière e des soluions du problème homogène. une soluion pariculière : q p = a 2 2b 3 b 2 les soluions du problème homogène : q h =e [C 1.cos C 2. sin ] Par suie : q =e [C 1.cos C 2.sin ] a 2 2 b e en dérivan q (par rappor à ) on a : b. 3 w 2 q = e C 1 cos C 2 sin e C 1 sin C 2 cos b 2 Les coefficiens C 1 e C 2 son alors déerminés par les condiions iniiales au débu de l'inervalle (c'es-à-dire pour = 0). C 1 =q a 2b 2 3 C 2 = 1 [ q q a 2 2 1 2 b] e en reporan C 1 e C 2 dans l'expression de q e q on obien l'égalié maricielle pour = : { q q } = A,, { q } q B,, { }
Tire : Résoluion d'une équaion différenielle du second[...] Dae : 21/09/2009 Page : 5/6 4 Coefficiens des marices A e B du sysème à résoudre Marice A : Marice B : a 11 =e [ e a 12 = a 21 = 1 sin 2 d cos ] sin 1 2 e sin [ a 22 =e cos [ b 11 =e 22 1 2.sin d [ b 12 =e b 21 =e [ 1 2 sin ] 2 3 1 2 22 1 2.sin d 2 3.cos d ] 1 22 1 2. cos 2 3 1 2 b 22 = e [ 22 1 cos d ] 2 2 3 1 sin 2 d. sin cos ] 1 2 1 2 sin 2. cos 2 3. sin cos ] 1 avec = 1 2 2 2 3
Tire : Résoluion d'une équaion différenielle du second[...] Dae : 21/09/2009 Page : 6/6 5 Calcul de q( ) Connaissan q e q, il es dès lors possible de donner l'expression analyique de l'accéléraion q. q = e [C 1 cos C 2 sin ] e C 1 sin C 2 cos 1 2 q = 2 e [ C 1 cos C 2 sin ] e C 1 sin C 2 cos e C 1 sin C 2 cos e [ C 1 2 cos C 2 2 sin ] q =[ 2 2 ] e.[ C 1 cos C 2 sin ] or 2 = 2 1 2, d'où q = 2 e [C 1 cos C 2 sin ] 6 Bibliographie [1] R.J. GIBERT : Vibraions des srucures, Collecion de la Direcion des Eudes e Recherches d'elecricié de France, n 69, Eyrolles 1988. [2] N.C. NIGAM & P.C JENNINGS : Calculaion of Response specra from moion earhquake Bull. of he Seismological sociey of America, Vol.59 n 2 pp 909-922 April 1969. [3] D. SELIGMANN, L. VIVAN : Réponse sismique par méhode specrale [R4.05.03]. 7 Descripion des versions du documen Aueur(s) Aser Organisme(s) 6 D.Selligmann, EDF/R&D/TESE O.Boieau, EDF-R&D/SINETICS Descripion des modificaions Texe iniial