Ce documen de formaion es desiné au enseignans. Il se conforme au insrucions du programme de mahémaiques des classes de Terminales (2). Sa lecure nécessie la connaissance des variables aléaoires discrèes, coninues uniformes e eponenielles. Inroducion de la loi normale cenrée réduie Les lois de probabilié discrèes donnan lieu à des calculs fasidieu dans ceraines siuaions (par eemple la déerminaion d'inervalles de confiance), on cherche à approcher les résulas par ceu de calculs effecués avec des variables aléaoires coninues à densié. Dans le cadre des programmes de Terminales, ce problème es raié pour les lois binomiales approchées par des lois normales. Pour les lois de probabilié discrèes, les probabiliés son représenées graphiquemen par des haueurs de bâons alors que pour les lois de probabilié à densié, les probabiliés son représenées graphiquemen par des aires de paries de plan comprises enre la courbe représenaive de la densié e l'ae des abscisses. Il impore donc dans un premier emps de représener les probabiliés de chaque valeur non plus par une haueur de bâon mais par une aire. Soi n un enier naurel non nul e p un réel de ],[. Pour une variable aléaoire X suivan la loi binomiale de paramères n e p, on a P(X = ) = n p ( p) n, pour enier naurel inférieur ou égal à n. Pour représener la loi de probabilié de X, on peu uiliser un diagramme en bâons. On peu aussi, dans nore perspecive, consruire un hisogramme sur les classes 2., + 2 d'ampliude, pour enier naurel inférieur ou égal à n. Chaque classe ne conien qu'une seule valeur de probabilié non nulle e l'hisogramme es formé des recangles d'aire P 2 X < + 2 = P(X = ) = n p ( p) n, pour enier naurel inférieur ou égal à n. Comme l'ampliude des classes es, la haueur des recangles es n p ( p) n. Représenaions de la loi de probabilié binomiale B (46 ;,35) P(X = ) représene une probabilié de, avec un diagramme en bâons avec un hisogramme Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22
Quand n varie, on obien des hisogrammes qui diffèren par leurs posiions e par leurs dispersions. Hisogrammes de lois de probabilié binomiales B (n ;,35) représene une probabilié de, n = 5 représene une probabilié de, n = 2 représene une probabilié de, n = 4 Fichier GeoGebra -binomiale hisogramme.ggb Pour réduire la variabilié, sabilisons dans un premier emps la posiion de l'hisogramme en considéran X E(X). La variable aléaoire X E(X) a pour espérance mahémaique E( X E(X) ) = E(X) E(X) =. Pour cee raison, on qualifie X E(X) de variable cenrée Représenons par un hisogramme la loi de probabilié de X E(X), c'es-à-dire de X np sur les classes np 2., np + d'ampliude, pour enier naurel inférieur ou égal à n. Chaque classe ne conien 2 qu'une seule valeur de probabilié non nulle e l'hisogramme es formé des recangles d'aire P np 2 X np < np + 2 = P(X = ) = n p ( p) n, pour enier naurel inférieur ou égal à n. Comme l'ampliude des classes es, la haueur des recangles es n p ( p) n. On uilise la propriéé éudiée en classe de Premières : pour ous a e b réels E(aX + b) = a E(X) + b. Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22 2
Hisogramme de la loi de probabilié de X np pour p =,35 représene une probabilié de, n = 5 représene une probabilié de, n = 2 représene une probabilié de, n = 4 Fichier GeoGebra 2-binomiale cenrée hisogramme.ggb Rese la variabilié de la dispersion. Sabilisons-la en considéran la variable aléaoire X E(X). σ(x) Son espérance mahémaique 2 E X E(X) σ(x) = E( X E(X) ) = σ(x) E(X) E(X) =, X E(X) σ(x) σ(x) es encore cenrée. 2 Voir noe. Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22 3
Elle a pour écar-pe 3 σ X E(X) σ(x) variable réduie. Représenons par un hisogramme la loi de probabilié de classes np 2., np( p) np + 2 np( p) d'ampliude = σ( X E(X) ) = σ(x) σ(x) σ(x) =. Pour cee raison, on qualifie X E(X) σ(x) X E(X), c'es-à-dire de σ(x) X np np( p) de sur les, pour enier naurel inférieur ou égal à n. Chaque np( p) classe ne conien qu'une seule valeur de probabilié non nulle e l'hisogramme es formé des recangles d'aire P np 2 np( p) X np np( p) < ou égal à n. Comme l'ampliude des classes es np + 2 np( p) = P(X = ) = n p ( p) n, pour enier naurel inférieur, la haueur des recangles es np( p) n p ( p) n np( p). Hisogramme de la loi de probabilié de X np np( p) pour p =,35 représene une probabilié de, n = 5 3 On uilise la propriéé : pour ous a e b réels V(aX + b) = a 2 V(X) ou encore σ(ax + b) = a σ(x) qui fai défau dans le programme de Première. Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22 4
représene une probabilié de, n = 2 représene une probabilié de, n = 4 Fichier GeoGebra 3-binomiale cenrée réduie hisogramme.ggb On obien des hisogrammes don les posiions e les dispersions, lorsque n varie, son beaucoup plus sables. On peu consaer que plus n augmene, plus le graphique évoque une "cloche". L'hisogramme es limié par l'ae des abscisses e une ligne brisée qui, lorsque n augmene, end à se confondre avec la représenaion graphique d'une foncion f. Le mahémaicien Abraham de Moivre a découver que cee courbe es la courbe représenaive de la foncion f définie par f () = 2 2. Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22 5
Représenaion de f e de la loi de probabilié de X np np( p) p =,35 f () n = 5 f () n = 2 f () n = 4 Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22 6
Ce qui précède illusre le héorème suivan : Théorème de Moivre-Laplace (au programme de la classe de erminale S uniquemen e admis) Soi p un réel de ], [. On suppose que, pour ou enier naurel non nul n, la variable aléaoire X n sui la loi binomiale B (n, p). On pose Z n = X n np np( p), variable cenrée e réduie associée à X n. Alors, pour ous réels a e b els que a b, on a : lim P(a Z n b) = n + a b 2 2 d. Propriéés La foncion f, définie sur IR, par f () = 2 2 es posiive. On adme que l'aire du domaine compris enre la courbe de f e l'ae des abscisses dans un repère orhonormé, vau. Ceci perme d'affirmer que f es une densié de probabilié. Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22 7
Loi normale cenrée réduie Définiion Toue variable aléaoire X coninue don la loi a pour densié f définie sur IR par f () = 2 2 es die suivre la loi normale cenrée réduie noée N (, ). Propriéés Pour inervalle J de IR, P(X J) es l'aire du domaine compris enre la courbe de f e l'ae des abscisses dans un repère orhonormé. En pariculier, pour ous réels a e b els que a b, on a : P(a X b) = Éude de f a b 2 2 d. f es paire donc sa représenaion graphique es smérique par rappor à l'ae des ordonnées dans un repère orhogonal. lim f () = e donc du fai de la parié + lim f () =. f es dérivable sur IR e pour ou réel, f () = croissane sur IR. f () 2 2. On en dédui que f es décroissane sur IR+ e Représenaion graphique de f Remarque : La courbe représenaive de f présene deu poins d'infleion d'abscisses e. Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22 8
Calculs de probabiliés Soi X une variable aléaoire suivan la loi normale cenrée réduie e soi a e b deu réels. P(X IR) =, l'aire de la parie comprise enre l'ae des abscisses e la courbe représenaive de f es égale à unié d'aire. La smérie de la courbe impose : P(X ) = P(X ) =,5. P(X a) = P(X a) (X > a) e (X a) éan des événemens conraires : P(X > a) = P(X a) f éan coninue, elle adme des primiives sur IR, qui ne peuven pas êre eprimées à l'aide de foncions usuelles ; il n' a pas de formule de calcul de P(a X b). Cependan, des echniques mahémaiques permeen d'en évaluer des valeurs approchées qui son accessibles dans des ables, dans les calcularices ou les logiciels (ableurs...). Aenion! () Pour une variable aléaoire X suivan la loi normale cenrée réduie, les calcularices ne fournissen pas de valeurs approchées de probabiliés du pe P(X a) ou P(X a) mais seulemen de celles du pe P(a X b) où a e b son des nombres réels. Pour le calcul de P(X a), on peu procéder la façon suivane : Si a, on uilise P(X a) =,5 + P( X a). Si a, on uilise P(X a) =,5 P(a X ). f () P(a X ) f (),5 P( X a),5 P(a X ) a a Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22 9
Pour le calcul de P(X a), on peu procéder la façon suivane : Si a, on uilise P(X a) =,5 P( X a). f () P( X a) Si a, on uilise P(X a) =,5 + P(a X ). f () P(a X ),5 P( X a),5 a a Espérance e variance de X L'espérance mahémaique de X es E(X) = + f () d. Le programme donne comme définiion : E(X) = lim 2 2 d + lim + 2 2 d. 2 2 d = 2 2 = 2π + 2 2 ainsi lim 2 2 d = 2π. 2 2 d = 2 2 = 2 2 + 2π ainsi lim + 2 2 d = 2π. On en dédui que E(X) = 2π + =. Ce qui jusifie la dénominaion de cenrée pour la loi de X. 2π Dans le cadre des programmes de Terminales, on adme que la variance de X es, ce qui jusifie la dénominaion de réduie pour la loi de X. Démonsraion : Le calcul de la variance ne figure pas dans les conenus des programmes de Terminales, elle es donnée ici à ire d'informaion pour l'enseignan. La variance de X es l'espérance de ( X E(X) ) 2 c'es l'inégrale + ( E(X) ) 2 + f () d, soi 2 f () d puisque E(X) =. + 2 f () d = lim 2 2 2 d + lim + 2 2 2 d Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22
Posons u() = 2π e v() = e 2 2. u e v son deu foncions dérivables, à dérivées coninues sur IR avec u () = 2π Par une inégraion par paries : Pour réel négaif, Ainsi lim De même pour réel posiif : 2 2 2 d = 2 2 2 d = + 2 = 2. 2 2 + 2 2 d = e v () = e 2 2 + P( X ). 2 2. 2 2 2 d = 2 2 + 2 2 d = 2 2 + P( X ). Ainsi lim + 2 2 2 d = + 2 = 2. On en dédui que V(X) = 2 + 2 =. Des valeurs remarquables pour la loi normale cenrée réduie Théorème (au programme de erminale S) Si X es une variable aléaoire suivan la loi normale cenrée réduie N (, ) alors, pour ou α ], [, il eise un unique réel posiif u α el que P( u α X u α ) = α. Démonsraion (eigible en Terminale S) : D après la smérie de la courbe représenaive de f, on a pour ou réel posiif u : u P( u X u) = 2P( X u) = 2 f () d = 2 H(u) où H es la primiive de f qui s'annule en : H() =. En an que primiive de f, h es dérivable e donc coninue sur IR. Comme f es posiive sricemen sur IR, H es sricemen croissane sur IR. lim u + H(u) = lim u + u f () d s'inerprèe comme l'aire de la parie de plan comprise enre l'ae des abscisses, l'ae des ordonnées e la courbe représenaive de f. On a donc lim H(u) = u + 2. Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22
La foncion 2H adme donc le ableau de variaions suivan : + 2 H() Pour ou réel α compris sricemen enre e, le réel ( α) es égalemen compris sricemen enre e e donc, d après le corollaire du héorème des valeurs inermédiaires, il eise un unique réel u α sricemen posiif el que 2H(u α ) = α c'es-à-dire el que P( u α X u α ) = α. f () P( u α X u α ) = α P(X u α ) = α 2 P(X u α ) = α 2 ² u α u α Il a quelques valeurs approchées rès uilisées qu il fau connaîre : u,,65, u,5,96 e u, 2,58 (à 2 près). On a donc P(,65 X,65),9, P(,96 X,96),95 e P( 2,58 X 2,58),99. Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22 2
Les aures lois normales Soi µ un nombre réel e σ un nombre réel sricemen posiif. Définiion Une variable aléaoire X sui la loi normale N (µ, σ 2 ) si e seulemen si la variable aléaoire Y = X µ σ sui la loi normale cenrée réduie. Propriéé X = σ Y + µ ainsi l'espérance mahémaique de X es E(X) = σ E(Y) + µ = µ car E(Y) =. La variance de X es 4 V(X) = σ 2 V(Y) = σ 2 car V(Y) =. Les deu paramères µ e σ 2 de la loi normale N (µ, σ 2 ) s'inerprèe comme l'espérance mahémaique e la variance de X. On adme que la loi normale N (µ, σ 2 ) es une loi à densié. Cee densié es la foncion g définie sur IR par g() = σ 2 σ µ 2 (cee epression ne figure pas dans les programmes de Terminales). L'inerpréaion de σ comme l'écar-pe de X eplique son influence sur la forme de la représenaion graphique de sa densié. Ci-dessous : en rouge, la densié de la loi normale N, 4 d'espérance e d'écar-pe 2 ; en bleu, la densié de la loi normale N (, ) d'espérance e d'écar-pe ; en ver, la densié de la loi normale N (, 4) d'espérance e d'écar-pe 2. 4 Voir noe 3. Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22 3
Calculs de probabiliés Soi X une variable aléaoire suivan la loi normale N (µ, σ 2 ) e soi a e b deu réels. P(X IR) =. P(X µ) = P X µ σ µ µ σ = P(Y ) =,5. P(X µ) = P X µ σ µ µ σ = P(Y ) =,5. P(µ σ X µ + σ) = P µ σ µ X µ σ σ µ + σ µ σ = P( Y ),68 (à 2 près) P(µ 2 σ X µ + 2 σ) = P µ 2 σ µ X µ σ σ µ + 2 σ µ σ = P( 2 Y 2),95 (à 2 près) P(µ 3 σ X µ + 3 σ) = P µ 3 σ µ X µ σ σ µ + 3 σ µ σ = P( 3 Y 3),997 (à 3 près) Les résulas précédens peuven s'illusrer sur les graphiques suivans à l'aide de la courbe représenaive de la densié de la loi normale N (µ, σ 2 ) :,68 σ σ,95 2σ 2σ,997 3σ 3σ Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22 4
Les calcularices ou des logiciels (ableurs...) permeen seulemen d'avoir des valeurs approchées des probabiliés du pe P(a X b) où a e b son des nombres réels. () Pour le calcul de P(X a), on peu procéder la façon suivane : Si a µ, on uilise P(X a) =,5 + P(µ X a). Si a µ, on uilise P(X a) =,5 P(a X µ). Pour le calcul de P(X a), on peu procéder la façon suivane : Si a µ, on uilise P(X a) =,5 P(µ X a). Si a µ, on uilise P(X a) =,5 + P(a X µ). On rouvera des complémens sur les lois normales dans les deu aricles publiés dans l'ouvrage de la commission Iner-IREM Saisique e probabiliés : Saisique au lcée, volume : Les ouils de la saisique, juille 25, brochure APMEP n 56. Phénomènes gaussiens e lois normales Michel HENRY, p. 2 Théorie des erreurs, courbes en cloche e normalié Jean-François PICHARD, p. 29 Brigie CHAPUT - Claudine VERGNE - Commission iner-irem Saisique e Probabiliés - Mai 22 5