Chapitre 1 : Les suites umériques I. Le raisoemet par récurrece 1. Présetatio Soit P( ) la propriété : «7 + 2 est divisible par 3». O veut vérifier que cette propriété est vraie pour tout etier aturel. Pour cela, il faudrait procéder à ue ifiité de vérificatios (pour tous les etiers aturels, ce qui est, évidemet. impossible). Grâce au raisoemet par récurrece, il est possible de coclure e trois étapes. 2. Axiome de récurrece Pour démotrer que pour tout etier aturel supérieur ou égal à 0, la propriété P( ) est vraie, o procède e deux étapes : Iitialisatio : O vérifie que la propriété est vraie pour 0, c'est-à-dire que P( 0 ) est vraie (e gééral 0 = 0 ou 0 = 1 ) ; Hérédité : O suppose qu il existe u etier tel que P qu'alors P +1 O peut alors coclure que P Applicatio ( ) soit vraie, et o démotre ( ) elle est vraie. ( ) est vraie pour tout etier aturel 0. Motrer par récurrece que 7 + 2 est divisible par 3. Exercice 1 Démotrer par récurrece : 4 1 est multiple de 3. 1+ 2 + 3+...+ = ( +1 ) 2 1+ 3+ 5+...+ 2 1 2 +1. 1+ x ( ) = 2.. ( ) 1+ x, avec x u réel positif (iégalité de Beroulli). Exercice 2 u est la suite défiie par u 0 = 10 et pour tout ombre etier aturel : u +1 = 1 2 u +1. 1. Démotrer par récurrece que tout etier aturel, u 0. 2. Démotrer par récurrece de la suite u est décroissate. 3. Coclure. Chapitre 1 : Les suites umériques 1
II. Limite fiie ou ifiie d'ue suite 1. Suites majorées, miorées, borées Défiitio Soit M et m deux ombres réels. O dit que la suite( u ) est : Majorée par M si, pour tout!, u M ; Miorées par m si, pour tout!, u m ; Borée si u ( ) est à la fois majorée et miorée. Exemples! *, o a 1 0 >. La suite 1 est doc miorée par 0. Tout ombre égatif est aussi u miorat de la suite. Le miorat (comme le majorat) 'est doc pas uique. ( ) est doc miorée par 0, qui est de plus le miimum de cette suite (atteit au rag 0).!, o a 2 0. La suite 2 2. Limite fiie d'ue suite Défiitio La suite( u ) admet pour limite le réel l si, tout itervalle ouvert coteat l cotiet toutes les valeurs u à partir d'u certai rag. O écrit alors = l. 3. Limite ifiie d'ue suite Défiitio Soit A!. La suite u ( ) admet pour limite + (resp. ) si tout itervalle de la forme A;+ ( ; A ) cotiet toutes les valeurs u à partir d'u certai rag. Chapitre 1 : Les suites umériques 2
O écrit alors = + (resp. = ). Propriété Les suites de terme gééral 1, 1 2, 1 sot covergetes et leur limite est 0. Les suites de terme gééral, 2, sot divergetes et leur limite est +. Exercice 3 u est la suite défiie par u 0 = 75et pour tout!, u +1 = 0,6u + 50. 1. Démotrer par récurrece que! u < u +1 125. 2. E déduire que la suite u coverge vers u ombre réel 1. 3. Expliquer pourquoi l est solutio de l'équatio x = 0,6x + 50. E déduire la limite de la suite u. Exercice 4 u est la suite défiie par u 0 = 1 et pour tout!, u +1 = 2u + 3. 1. Démotrer que pour tout!, u > 0 et e déduire que la suite u est croissate. 2. Motrer que si u est majorée, alors elle coverge vers u ombre réel égatif. 3. Motrer que u 'est pas majorée et détermier sa limite. III. Opératios sur les limites Soit deux suites de ombres réels( u )et v m deux ombres réels. 1. Additio : + v ( ) admettat ue limite fiie ou ifiie, et soit l et lim v l + m l+ m + + + + FI FI Chapitre 1 : Les suites umériques 3
2. Produit : lim u v lim v l, l 0 0 + m, m 0 l m 0 ± ± 0 0 0 FI FI + ± FI + ± FI + u 3. Quotiet : lim v lim v m, m 0 l, l 0 0 ± l m 0 ± 0 ± FI ± + 0 0 FI Remarques Le sige du Résultat s obtiet à l aide de la règle des siges. Il y a 4 formes idétermiées pricipales : ; 0 ; et 0 0. Exercice 5 Détermier les limites suivates : Chapitre 1 : Les suites umériques 4
lim 32 + 5 4 lim 2 +1 lim 3 2 + 2 1 2 2 + 5 IV. Propriétés sur les limites de suites 1. Limites et comparaiso Soit ( u )et ( v ) deux suites vérifiat les deux coditios : à partir d'u certai rag o a u v ; lim u = + Alors lim v = +. Remarque De maière aalogue : si u v à partir d'u certai rag et si lim v =, alors =. Démostratio (type bac) Soit A! (ce ombre est fixé arbitrairemet). Puisque = +, alors il existe u rag p 1 à partir duquel tous les termes u appartieet à l'itervalle A;+. O sait de plus qu'à partir d'u certai rag p 2, o a u v. Posos p = max p 1 ; p 2 u A;+ u v ( ) alors, pour tout p, o a : aisi v A;+. Fialemet, tout itervalle de la forme A;+ cotiet tous les termes v à partir du rag p». Et doc lim v = +. Soit l! et( u ) ue suite croissate. Si lim u = l, alors tous les termes de la suite u Remarque ( ) sot iférieurs ou égaux à l. O pourrait dire aussi que la suite ( u )est majorée par le ombre l. Chapitre 1 : Les suites umériques 5
des gedarmes Soit l! et ( u ), ( v )et ( w ) trois suites vérifiat les deux coditios : à partir d'u certai rag o a u v w ; = lim w = l Alors lim v = l. 2. Covergece mootoe Toute suite croissate et majorée est covergete. Toute suite décroissate et miorée est covergete. Toute suite croissate et o majorée a pour limite +. Toute suite décroissate et o miorée a pour limite. Démostratio Ue suite est majorée lorsqu'il existe M! tel que, pour tout!, u M. Aisi, ue suite 'est pas majorée lorsque, pour tout M!, il existe p! tel que u p > M. Soit M! et u ( ) o majorée, il existe p! tel que u p > M. État doé que la suite est croissate, alors, pour tout etier, tel que u u p > M p, u u p, doc : Ce qui sigifie bie que, l'itervalle M;+ cotiet tous les u à partir du rag p. Autremet dit : = +. 3. Limite d'ue suite géométrique Soit q!. O a les résultats suivats : si 1< q < 1, alors lim q = 0 ; si q > 1, alors lim q = + ; si q < 1, alors la suite q ( ) 'admet pas de limite. Chapitre 1 : Les suites umériques 6
Démostratio (type bac) soit q!, q > 1. Alors : q = 1+ x, avec x > 0. O sait alors, grâce à l'iégalité de Beroulli que, pour tout etier : pour tout x > 0, 1+ x ( ) 1+ x. Pour x > 0, o a lim x = + O a doc : à partir du rag 0, 1+ x lim ( 1+ x) = + O e déduit que : lim 1+ x Exercice 6 ( ) 1+ x ; ( ) = + autremet dit lim q = +. Soit ( u )suite défiie sur! par u = 2 + ( 1). 1. Cojecturer so comportemet à l'ifii à l'aide de la calculatrice. 2. Démotrer cette cojecture. Exercice 7 Soit( u )ue suite décroissate et strictemet positive. Motrer que la suite( v ), défiie sur!, par v = 1 est covergete. 1+ u Exercice 8 Étudier limite à l'ifii de 3 4. Exercice 9 u est la suite défiie sur! par u = 2. 1. Quel est le rôle de l'algorithme ci-dessous? Etrée Saisir la valeur de A Iitialisatios u pred la valeur 0 pred la valeur 0 Traitemet Tat que u < = A pred la valeur +1 u pred la valeur 2 FiTatque Sortie Afficher 2. Qu'affiche l'algorithme lorsque l'o saisit e etrée : A = 10 3? A = 10 6? 3. Démotrer que la suite u a pour limite +. Chapitre 1 : Les suites umériques 7