Termiale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites umériques» Page sur 6 Gééralités sur les suites ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Exercice : O cosidère la suite ( ) ) Tracer das u repère ( ) u défiie par u = et u = + u + O, i, j avec ue uité graphique de cm les premiers termes de cette suite ) Cojecturer les variatios et la limite de cette suite Exercice : O cosidère la suite ( ) ) Tracer das u repère ( ) u défiie par : u =,5 et u+ = u pour N O, i, j avec ue uité graphique de cm les premiers termes de cette suite ) Cojecturer les variatios et la limite de cette suite Exercice : O cosidère la suite ( ) 5u u défiie pour N par : u = et u+ = u O admet que la coditio u / est satisfaite sio la suite e serait plus défiie à partir d u certai rag ) Motrer que si u terme est égal à alors le terme précédet aussi E déduire qu aucu terme de la suite e peut être égal à ) O cosidère alors la suite auxiliaire ( v ) défiie pour N par a) Motrer que ( v ) est ue suite arithmétique b) Exprimer alors v puis u e foctio de Exercice : O cosidère la suite ( ) v u = u u défiie pour N par : u = et u+ = u + ) Calculer u, u et u La suite est-elle géométrique? ) O cosidère alors la suite ( ) Motrer ( v ) est géométrique v défiie pour N par v = u+ u ) O pose pour N, S = v + v + v + + v a) Exprimer S e foctio de b) Motrer que S = u+ u E déduire l expressio de u + puis celle de u e foctio de Démostratio par récurrece -------------------------------------------------------------------------------------------- Exercice 5 : Motrer par récurrece que pout tout N, + est u multiple de N R ( x) + Exercice 6 : Motrer par récurrece sur que pout tout et x, o a ( )( ) + + x + + Exercice 7 : Motrer par récurrece que + + + = pour tout etier 6 Exercice 8 : + O cosidère la suite ( u ) défiie pour N par : u = et u+ = u pour N ) Calculer quelques premiers termes et cojecturer ue formule explicite de la suite ) Démotrer cette cojecture par récurrece
Termiale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites umériques» Page sur 6 Variatio et limite ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercice 9 : O cosidère la suite ( ) u défiie sur N par u = e ) O cosidère la foctio f défiie sur R par f : x xe x a) Etudier ses limites b) Etudier ses variatios ) E déduire que la suite ( ) ) Détermier la limite de la suite ( u ) O cosidère la suite ( u ) défiie par u est décroissate à partir d u certai rag Exercice : u = et u = + u + ) Rappeler les cojectures faites à l exercice u ) Etudier les variatios de ( ) ) O cosidère la suite auxiliaire ( ) v défiie par v = u a) Motrer que la suite ( v ) est géométrique b) Détermier alors la limite de ( v ) c) Exprimer u e foctio de v E déduire la covergece de ( ) u
Termiale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites umériques» Page sur 6 Suites mootoes borées -------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercice : Démotrer les cojectures de l exercice Exercice : Vrai-Faux Les propositios suivates sot-elles vraies ou fausses? Justifier ) Toute suite covergete est borée ) Toute suite croissate o majorée diverge vers + ) Comme pour tout N, o a si, la suite de terme gééral si est covergete ) Toute suite covergete et majorée est croissate 5) Toute suite croissate est miorée Exercice : O cosidère la suite ( u ) défiie par u = et u = + si u ) A l aide de la calculatrice, cojecturer le comportemet de cette suite u, ) Démotrer que, pour tout etier aturel, o a [ ] ) Démotrer que la suite ( u ) est strictemet décroissate ) Démotrer que la suite est covergete Détermier sa limite Exercice 5 : u défiie par u = et u = u + + ) Démotrer que, pour tout etier aturel, o a u u + O cosidère la suite ( ) ) E déduire que la suite ( u ) est covergete ) Détermier sa limite Exercice 6 : (BAC) Soit a u ombre réel tel que < α < O cosidère la suite ( u ) défiie par u = α, et pour tout etier aturel, ) Soit h la foctio défiie sur par h( x) = x + x a) Etudier le ses de variatio de la foctio h ; h x ; b) Motrer que pour tout x ] [ o a aussi ( ) ] [ c) E déduire que pour tout etier aturel o a : < u < u ) Etudier les variatios de la suite ( ) ) Motrer que la suite ( u ) Exercice 7 : Suites de Héro + Soiet a R, f la foctio défiie sur et la suite ( ) u E ( a ) u défiie par O cosidère la suite ) Etudier les variatios de f est covergete Détermier sa limite R par ( ) = + pour N u+ = f ( u ) a f x = x + x ) Démotrer par récurrece que pour tout N, o a a < u+ < u u ) E déduire que la suite est covergete ) Détermier sa limite 5) Pour a =, et 5, comparer u et a Que pesez-vous de la rapidité de covergece des suites d Héro? u = + u + u
Termiale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites umériques» Page sur 6 Suites adjacetes -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercice 8 : Soiet ( u ) et ( ) v deux suites défiies pour N par u = + et + v u + + = + Motrer que les deux suites sot adjacetes E déduire qu elles coverget Exercice 9 : Soiet ( u ) et ( ) ) Calculer u, v, u et v ) O pose w = v u u + v u + v v deux suites défiies par u =, v =, u + = et v + = pour tout N Démotrer que la suite ( w ) est géométrique et préciser sa limite ) Démotrer que les suites ( u ) et ( v ) sot adjacetes Que peut-o e déduire? ) O pose alors t = u + 8v Démotrer que la suite ( t ) est costate E déduire la limite des suites ( u ) et ( ) Exercice : Moyees arithmétiques et géométriques Soiet deux réels < a < b a + b b par a = a, b = b, a+ = ab et b + = ) Motrer par récurrece que a a b b pour tout N ) Motrer par récurrece que les deux suites sot mootoes b a ) Motrer que E remarquat que ab a, motrer que b+ a+ pour tout N E déduire que la suite différece ted vers b sot covergetes O défiit deux suites ( a ) et ( ) ) E déduire que les suites ( ) a et ( ) v Exercice : (BAC) ) La suite u est défiie par : u = et u+ = u + pour tout etier aturel 7 x a) Représeter das u repère adapté la droite d'équatio y = + et le poit A de coordoées ( ; ) 7 u Costruire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite ( ) b) Démotrer que si la suite ( u ) est covergete alors sa limite est c) Démotrer que pour tout etier aturel o a : u 8 u et doer sa limite d) Etudier la mootoie de la suite ( ) l = 8 ) Soit u etier aturel supérieur ou égal à a) Démotrer que : + = k k = 9 v est défiie par v =,777777 avec décimales cosécutives égales à 7 b) O cosidère alors la suite ( ) Aisi v =,, v =,7 et v =,77 E utilisat le a) démotrer que la limite de la suite v est u ombre ratioel r (c'est-à-dire le quotiet de deux etiers) ) La suite ( ) u et la suite ( ) v sot-elles adjacetes? Justifier
Termiale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites umériques» Page 5 sur 6 Exercice : (BAC) Partie A O cosidère les suites de poits A et B défiies pour tout etier aturel de la maière suivate : sur u axe orieté O, u doé ci-dessous, le poit A a pour abscisse et le poit B a pour abscisse ( ) Le poit A + est le barycetre des poits (A, ) et (B, ) Lle poit B + est le barycetre des poits podérés (A,) et (B,) ) Sur le graphique placer les poits A, B ) O défiit les suites (a ) et (b ) des abscisses respectives des poits A et B a + b a + b Motrer que : a + = O admet de même que b + = Partie B ) O cosidère la suite (u ) défiie, pour tout etier aturel, par u = b - a a) Motrer que la suite (u ) est géométrique E préciser la raiso b) Doer l'expressio de u e foctio de l'etier aturel c) Détermier la limite de (u ) Iterpréter géométriquemet ce résultat ) a) Démotrer que la suite (a) est croissate (o pourra utiliser le sige de u) b) Etudier les variatios de la suite (b ) ) Que peut-o déduire des résultats précédets quad à la covergece des suites (a ) et (b )? Partie C ) O cosidère la suite (v ) défiie, pour tout etier aturel, par v = a +b Motrer que la suite (v ) est costate ) Détermier la limite des suites (a ) et (b ) Exercice : Séries de Riema O appelle séries de Riema les suites défiies pour N par u = = + + + +, p état u etier fixé p p p p k k= ) Motrer que les séries de Riema sot croissates ) Cas p = (Série harmoique) a) Démotrer que u + u pour tout N u est divergete b) E déduire que la série harmoique ( ) ) Cas p = a) Motrer que les suites ( u ) et ( ) b) E déduire que la suite ( u ) est covergete v défiies par u = et v = u + pour N sot adjacetes k k=
Termiale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites umériques» Page 6 sur 6 ) Cas p O cosidère la suite ( w ) défiie par Justifier que w u pour N où ( ) w p k = k= u est la suite avec p = E déduire que les suites de Riema ( w ) coverget