TRAITEMENT DU SIGNAL

J AUVRAY raiemen du Signal RAIEMEN DU SIGNAL Cours de M Jean AUVRAY

J AUVRAY raiemen du Signal BIBLIOGRAPHIE [] raié d élecricié Ecole polyechnique de Lausanne ome VI Ediions DUNOD Frédéric de Coulomb héorie e raiemen des signaux [] Inroducion à la héorie de la communicaion E Roubine éd : MASSON 3 omes Signaux cerains Signaux aléaoires héorie de l informaion [3] Inroducion à la héorie du signal PICINBONO ed :DUNOD [4] Méhodes e echniques du raiemen de signal J MAX ed :MASSON omes [5 Disribuions Signal E ROUBINE ed : EYROLLES [6] Méhodes rapides de ransformaion du signal LIFERMAN Ed : MASSON [7 Elémens de héorie du signal Signaux cerains J P DELMAS Signaux aléaoires M CHARBI Communicaions analogiques D VENRE Collecion Ellipse [8] héorie de la ransmission de l informaion SPAARU Ed : MASSON 973 [9] Voir aussi ouvrages de la collecion du CNE, en pariculier les livres de BELLANGER

J AUVRAY raiemen du Signal INRODUCION Le raiemen du signal es une discipline indispensable que ou ingénieur doi connaîre au moins dans ses grandes lignes. L amélioraion des performances des sysèmes au cours des dernières années es due pour la plus grande parie à l applicaion des echniques de raiemen de signal pluô qu au perfecionnemen du maériel. Un RADAR acuel a des performances sans communes mesure avec celle d un RADAR de 96 e cependan sa srucure maérielle es sensiblemen la même, mais les echniques de raiemen de signal faisan appel à des raiemens numériques sophisiqués permeen d exraire de l écho reçu une quanié beaucoup plus grande d informaion. Le bu du raiemen du signal es en effe d exraire le maximum d informaion uile sur un signal perurbé par le brui. Cee phrase compore 4 mos imporans : Signal e brui, raiemen, informaion. qui von êre expliciés dans les chapires successifs de ce cours. On pense le plus souven que le brui es un signal aléaoire qui se superpose au signal uile, en réalié les noions de signal e brui son rès relaives. Pour un echnicien des élécommunicaions qui écoue un émeeur loinain relayé par un saellie, le signal provenan d une source asrophysique (soleil, quasar placée malenconreusemen dans la même direcion es un brui. Mais pour l asronome qui s inéresse à la source asrophysique, c es le signal du saellie qui es gênane, ainsi le brui c es ce qui se superpose au signal que vous voulez éudier. La grandeur essenielle es le rappor signal sur brui, quoien des puissances du signal e du brui, c es ce quoien qu il fau augmener au maximum. L amplificaion n es pas un procédé de raiemen du signal car elle ne conribue en aucune manière à la séparaion du signal e du brui, ces deux élémens son amplifiés de la même façon e le rappor S/B es inchangé, il es même un peu dégradé par suie du brui propre de l amplificaeur. Bien sûr une amplificaion du signal reçu es souven nécessaire pour aeindre un niveau pour lequel il es possible d appliquer des méhodes de raiemen, mais nous n aborderons pas ce sue ici. Un sysème de mesure a de façon générale la srucure ci dessous, le phénomène physique que l on veu éudier es présené à un capeur qui le ransforme en un signal élecrique ension ou couran ( plus raremen un signal opique A ce niveau un brui es aoué.l ensemble chemine sur un canal de ransmission lui même bruyan. Il aein enfin le récepeur derrière lequel es effecué le raiemen. Signal élecrique + brui Brui Sysème physique Capeur raiemen Informaion uile e brui résiduel Brui Pour améliorer le rappor signal sur brui il fau connaîre les caracérisiques respecives de ces deux consiuans, puis de quelle façon elles son modifiées à la raversée d un sysème, linéaire ou non. Ce cours sera donc organisé de la façon suivane : Dans une première parie nous verrons commen es décri un signal e quelles son les paramères qui le définissen. Nous éudierons ensuie le comporemen d un signal appliqué à un sysème linéaire puis non linéaire. La roisième parie sera alors consacrée aux méhodes radiionnelles de raiemen de signal Il fau remarquer que nous parlerons de raiemen aussi bien analogique que numérique, ceraines méhodes fon appel à des opéraions mahémaiques si complexes qu il difficile de les effecuer de façon analogique, les echniques numériques son alors mises en œuvre, mais il ne s agi que d un problème echnique. Par exemple la ransformée de Fourier d un signal bidimenionnel (une image es le plus souven effecué à l ordinaeur mais il es possible de l obenir par voie puremen opique bien plus rapidemen. 3

J AUVRAY raiemen du Signal I. LES SIGNAUX DESCRIPION E CARACERISIQUES ------------------------------------------------------------------------------------------------- Nous supposerons dans ou ce qui sui que les signaux son mis sous forme de ensions élecriques. On disingue habiuellemen : cerains ou déerminises. Ils peuven êre représenés par une foncion v( qui perme de calculer leur valeur pour ou passé ou fuur. Ces signaux peuven êre : - Périodiques x(x(+k éan la période F/ la fréquence de récurrence. Ils possèden alors une puissance moyenne + oale W x ( d es infinie + / P x ( d mais leur énergie / - Non périodiques ou impulsionnels On disingue alors les signaux absolumen inégrables : + + x ( d < ( Ils consiuen l espace L, ou de carré sommable x( d < ( ils consiuen l espace L - Ces signaux n on pas de puissance moyenne - aléaoires.ils obéissen aux lois du hasard e leur fuur es inconnu. Ils possèden en général une puissance moyenne Lim x d P ( La plupar des signaux naurels son aléaoires, considérons par exemple le signal recueilli derrière un microphone devan lequel parle un conférencier. A un insan o il es possible à parir de l enregisremen du signal effecué depuis le débu de la conférence de calculer une foncion mahémaique v(qui représene exacemen ce signal,v( es alors l ampliude de la ension fournie par le micro à l insan si <<o, par conre v( pour >o n a rien à voir avec la vraie valeur à l insan.il n exise pas de foncion v( représenan le signal pour ou.nous verrons plus loin la conséquence qui en découle pour la ransformaion de Fourier. naurels aléaoires ou non ( le signal périodique d un généraeur son forcémen coninus e indéfinimen dérivables. Il n en es pas ouours de même des modèles mahémaiques que l on uilise pour les représener. Ainsi un signal carré idéal n exise pas. REPRESENAION DES SIGNAUX PAR PROJECION SUR DES BASES DE FONCIONS ORHOGONALES Nous nous inéresserons ici à des signaux déerminises qui son décris par une foncion v(. Cee foncion éan connue il devrai êre possible de calculer la ransformaion subie par ces signaux à la raversée d un sysème de caracérisiques connues, en fai sauf dans des cas rès simples, le calcul es rès difficile,sinon impossible. On uilise courammen la ransformaion de 4

J AUVRAY raiemen du Signal Fourier e la foncion de ransfer des sysèmes ( du moins s ils son linéaires.mais cee ransformaion n es qu un exemple de proecion sur une base de foncions. Définiions Considérons l espace E des foncions possédan une propriéé P (par exemple elles son périodiques de période, ou de carré sommable ec.elles consiuen un espace vecoriel si : La combinaison linéaire de deux foncions de E apparien aussi à E : Si f E e f E a.f +a.f E Il exise un produi scalaire noé : <f f > qui à deux foncions f e f, prises dans leur ensemble fai correspondre un nombre. Aenion f (.f ( produi de deux valeurs à deux insans ne saisfai pas à la condiion. La définiion du produi scalaire es le plus souven : f f f ( u f ( u D du les foncions pouvan êre complexes. D es le domaine dans lequel son définies ces foncions. D ou la propriéé a. f f a. f f ( Deux foncions son orhogonales si f f Base de foncions Des foncions φ apparenan à l espace E e dépendan d un paramère enier consiuen une base si : Elles son orhogonales à φ φ δ ( si si L une d enre elle ne peu pas êre fabriquée par une combinaison linéaire des aures, c es à dire qu il n exise pas de coefficiens a els que a φ C es par exemple le cas des rois veceurs direceurs héorème fondamenal i, Soi φ une foncion de la base e f une foncion quelconque de E f φ es un nombre e f donc φ. φ une foncion f φ. φ es une foncion, dans un espace à 3 dimensions. f φ φ φ. es un nombre qui peu s écrire aussi en veru de la propriéé ( f φ φ φ f φ car φ φ δ soi f φ. φ φ f φ en comparan les deux ermes de gauche des produis scalaires : f f φ. φ c es à dire f a. φ avec a f φ La foncion f es une somme pondérée de ermes de la base 5

J AUVRAY raiemen du Signal LA RANSFORMAION DE FOURIER Soi E l ensemble des foncions périodiques de période, la somme de deux foncions de période es bien une foncion de même période. Les foncions de la base son : scalaire : e π, elles son bien de période,leur produi φ φ + / / d exp( ( exp( π.exp( π π / / d es bien nul si car la foncion sous le signe somme es de période, e si Ces foncions complexes consiuen donc une base, alors en veru du résula précéden ; si f es une foncion de période : f c.exp( π avec c f (.exp( d π / résula classique, on usifie la présence du signe - dans l exponenielle sous le signe somme, c es à cause du produi scalaire. Nous uiliserons beaucoup la forme précédene, le coefficien enier varie de -à + ce qui inrodui des fréquences négaives qui roublen parfois cerains uilisaeurs mal informés.on écri souven : f ( + a cos(π + b sin(π il es facile de vérifier en expriman les sinus e cosinus en somme ou différence d exponenielles complexes que : c ( a. sign(. b soi Parie réelle de c parie réelle de c - Parie Img de c - Parie img de c - Les coefficiens c possèden une symérie hermiienne Base coninue :inégrale de Fourier Dans ce qui précède es un nombre enier, mais il es possible d imaginer des bases coninues pour lesquelles ce paramère serai un nombre réel, la sommaion discrèe Σ es alors remplacée par une inégrale.par exemple pour des signaux non périodiques on peu êre ené de définir un produi scalaire : + f ( u g ( u du cee inégrale peu êre finie si les foncions son absolumen inégrables car l une des formes de l inégalié de Schwarz es fg f. g or dans ce cas les deux ermes de droie son finis. Malheureusemen la définiion direce des foncions de base renconre quelques difficulés de convergence, il fau faire appel à des inégrales plus complexes, cependan le résula subsise, ce son les formules essenielles de la ransformaion de Fourier que nous renconrerons ou au long de ce cours : x( + X ( πf. e πf df avec + / X ( πf + x(. e πf Nous renconrerons plus loin un aure exemple de base coninue, mais la base de Fourier es de loin la plus imporane. d 6

J AUVRAY raiemen du Signal Inérê de la ransformaion de Fourier Parmi oues les bases possibles la base de Fourier oue un rôle esseniel car ses foncions de base son des foncions propres de l opéraeur linéaire. Soi s i le signal de sorie d un sysème recevan à son enrée un signal e i, ce sysème es linéaire si recevan e λ e + λe il fourni en sorie un signal s λ s + λs. On di qu il obéi au principe de superposiion. Si les propriéés son les mêmes à ou insan, on di que le sysème es saionnaire les signaux d enrée e de sorie son alors reliés par une équaion différenielle à coefficiens consans : m m d d d am s( + a s(... as( b e(... be( m m + + m + + d d d Le sup de m e es le degré du sysème. Remarquez qu il n y à pas de ermes consans. m d s m s Il es facile alors de vérifier que exp(s es une foncion propre, en effe e s e m d L équaion devien alors : m H. a s e( +... + Hae( b s e( +... be( m + D ou la valeur propre : b s +... + b H ( s m ams +... + a résula classique, H es la foncion de ransfer en s du sysème linéaire. La base de Fourier consiue un cas pariculier avec sπf Les foncions de base de Fourier ne son pas réelles, il es impossible de réaliser un généraeur fournissan de elles foncions, exp( π f es ce que l on appelle un signal analyique, nous y consacrerons plus loin un chapire. Par conre l associaion de deux foncions de la base peu êre réel. En effe : exp( πf + exp( πf cos πf Les ermes de fréquences f e f son indissociables Une sinusoïde n es pas une foncion propre de l opéraeur linéaire, c es le signal analyique qui lui es associée qui l es. A la raversée du sysème chaque foncion propre es mulipliée par la valeur propre correspondane : Exp(πf devien H(f Exp(πf Exp(-πf devien H(-f Exp(-πf Le erme réel en cosinus devien donc : πf πf [ H ( πf. e + H ( πf. e ] Mais ce signal réel es forcémen une sinusoïde de fréquence f A. cos(π f + ϕ A πf ϕ πf ϕ qui s écri aussi [ e e + e e ] Par idenificaion : A ϕ A ϕ H ( πf. e H ( πf. e la foncion de ransfer possède une symérie hermiienne. Dans ou ce qui sui nous représenerons les foncions de ransfer, e les ransformées de Fourier sur un axe de - à + en n oublian pas que les paries pour f> e f< son indissociables Formule fondamenale des sysèmes linéaires C es une conséquence de ce qui précède. 7

J AUVRAY raiemen du Signal ou signal peu êre développé en inégrale de Fourier c es à dire êre considéré comme la somme d un nombre infini de composanes exponenielles complexes. + πf x( X ( πf. e df πf mais chacune de ces composanes X ( πf. e df es une foncion propre de l opéraeur linéaire, e se rouve donc mulipliée par la valeur propre associée, donc devien : πf H ( πf. X ( πf. e df Le sysème obéi au principe de superposiion, le signal de sorie es donc une combinaison linéaire des valeurs précédenes, soi : + πf y( H ( π f. X ( πf. e df. expression monran que la ransformée de Fourier du signal de sorie es : Y ( π f H ( πf. X ( πf C es la formule fondamenale bien connue des sysèmes linéaires. Remarque : Exp(p es une foncion propre de l opéraeur linéaire, or une foncion peu égalemen êre représenée en uilisan une ransformée de Laplace : x( a+ a X ( p. e p dp avec X ( p x(. e par un raisonnemen sricemen idenique au précéden on obien la relaion enre les ransformées de Laplace : Y(p X(p.H(p qui es employée en héorie des filres. - Les 4 héorèmes Nous cierons ici 4 résulas que l on uilise rès souven : p d W héorème de Parceval a Considérons un signal d énergie finie ( impulsionnel Cee énergie es + W x ( d qui peu aussi s écrire en développan l un des ermes sur une base de foncions ( base discrèe, es un enier + W x(. a φ d a x(. φ ( d + mais l inégrale es à une conugaison près un produi scalaire soi W a + x (. φ ( d a L énergie oale es la somme des carrés des ermes du développemen Cee suie de nombres consiue le specre d énergie du signal sur la base ϕ, il s agi d un specre de raies. Pour un signal apparenan à L e possédan donc une ransformée de Fourier x ( d x( X ( πf.exp( πf df. d X ( πf x(.exp( πf d. df X ( πf. df Un inervalle de fréquence df ranspore une énergie X(πf ²df ;le erme S x (f X(πf, es la densié specrale d énergie du signal ou DSE.( unié Joules par herz 8

J AUVRAY raiemen du Signal Cee relaion x d ( X ( π f df consiue le héorème de Parceval Compe enu de la formule fondamenale des sysèmes linéaires, la relaion enre la DSE des signaux d enrée e de sorie d un filre linéaire es donc : S Y ( f H ( πf. S x ( f b signaux périodiques Ces signaux n appariennen pas à L, ils on une énergie oale infinie, ils n on pas de ransformée de Fourier mais seulemen une décomposiion en série de Fourier.C es la héorie des disribuions qui a permis d unifier ces deux noions. Il fau dans ce cas ravailler en erme de puissance moyenne. Cee puissance moyenne vau : + / + / / P x ( d x(. cn exp( π n cn x( exp( πn d cn n n / / / n La puissance moyenne es la somme des carrés des modules coefficiens.ce résula rese bien sûr valable pour oue aure base de foncions orhogonales. c Signaux d énergie oale infinie n ayan pas de ransformée de Fourier Il n exise pas de signaux physiques déerminises de ce ype ; ce serai par exemple le cas de x/ non réalisable car infini pour, mais les bruis aléaoires enren dans cee caégorie Limions le signal à une durée (de / à +/, nous obenons un signal x ( de durée finie donc d énergie finie, Sa ransformée de Fourier X (πf exise.il possède une puissance moyenne : P / x / ( d Un calcul analogue au précéden condui à : + P X f df ( π Il suffi de faire endre vers l infini pour définir la puissance moyenne du signal iniial : P Lim X ( π f df + Cee puissance es comme plus hau réparie le long de l axe des fréquences, on défini une densié specrale de puissance ( DSP ou specre de puissance S( f Lim X ( πf qui à la raversée d un filre linéaire subi la même ransformaion que la DES du cas précéden. héorème du reard. C es une simple propriéé due esseniellemen à la forme pariculière des foncions propres d une base de Fourier.. x( à pour ransformée x ( πf e d x( '. e en posan - il vien : πf. e d X ( πf. e πf πf Le reard se radui par un déphasage de la ransformée. Ce héorème n exise pas bien sûr pour une base différene. 9

J AUVRAY raiemen du Signal 3 héorème du produi de convoluion Lui aussi n exise que pour Fourier. Soien deux foncions x e y de ransformées de Fourier X e Y.On peu écrire : πfθ πfu X ( f. Y ( f x( θ. e dθ. y( u. e du en posan u-θ dud ( car θ es une consane pour la seconde inégrale X ( f. Y ( f x( θ. y( θ dθ. e πf Il es d usage de définir le produi de convoluion : + [ y] ( x x( u. y( u du d L équaion ci dessus devien : πf X ( f. Y ( f ( x y. e d Ce qui monre que la ransformée de Fourier du produi de deux foncions es le produi de convoluion de leurs ransformées. C es un résula esseniel. On noera x. y X. Y ou x I I 4 héorème de Wiener Kinchine C es de rès loin le plus imporan des 4 La foncion d auocorrélaion d un signal déerminise x( d énergie finie es définie par + R X ( τ x(. x( τ d On peu l écrire aussi : πf ( τ RX ( τ x(. X ( πf. e dfd on en inerverissan les ermes sous le signe somme : πf πfτ πfτ RX ( τ X ( πf. x(. e d. e df X ( πf e df Ce qui monre que la ransformée de Fourier de Rx es le specre d énergie Specre d énergie e foncion d auocorrélaion son ransformées de Fourier l une de l aure. C es le héorème annoncé. Pour un signal à énergie infinie nous verrons que ce héorème subsise. - ransformée de Fourier e signaux es es son des signaux physique ou non de caracérisiques bien connues desinés à eser le comporemen des sysèmes. Le signal pore Signal pore. π a( -A/ +A/ /A Signal idéal don l inérê es surou héorique, il es non causal puisque cenré sur l insan C es un signal absolumen inégrable de ransformée de Fourier : sin( πfa Π A ( πf π A (.exp( πf d πfa +

J AUVRAY raiemen du Signal Sinc(x sin( πx πx la foncion sin c( x es appelée sinus cardinal, elle oue un rôle imporan en raiemen de signal, sa forme es représenée ci conre. On noera : - Le signal pore à une surface oale égale à - Sa ransformée de Fourier es réelle. A ce propos il es facile de monrer que la ransformée de Fourier d un signal es réelle d il es cenré sur l insan, c es à dire x(x(- - 9% de l énergie du signal es conenue dans le lobe cenral de largeur A, ainsi le produi : durée du signal.largeur du specre es de l ordre de l unié Ce résula es général e bien connu des élecroniciens ; pour passer des impulsions de durée τ il fau un amplificaeur de fréquence de coupure de l ordre de /τ. Passage à la limie foncion de Dirac des physiciens. Le produi d une foncion de par le signal pore de largeur A, limie le signal à une fenêre de largeur A cenrée sur l origine. L inégrale suivane es l énergie de ce signal ronqué. W π (. f ( d A A Noons que nous avons repoussé à l infini les bornes d inégraion ce qui ne change en rien le résula puisque le erme à inégrer es nul en dehors de ±A. Que devien dee inégrale si la largeur A end vers zéro? Lim + A π A (. f ( d Avan l inroducion des disribuions les physiciens faisaien le raisonnemen suivan : Si A end vers zéro la seule valeur de f( qui inervien es f(, valeur consane que l on + peu sorir du signe somme : Lim A π A (. f ( d f (. Lim A π A (. d Mais pour oue valeur de A non nulle la somme de π A ( vau, il doi en êre de même à la limie e + + l on écri alors : Lim A π A (. f ( d f (. Lim A π A (. d f ( On inrodui alors la foncion de Dirac δ( δ ( Lim A π A ( e f (. δ ( d f ( En réalié ce passage à la limie inuiif n es pas valable la foncion δ nulle parou sauf à l origine e de surface ne peu pas exiser.l inégrale précédene n a pas mahémaiquemen de sens, nous l uiliserons malgré ou mais avec précauions. C es Lauren Schwarz qui en inroduisan la héorie des disribuions à résolu le problème. héorie des Disribuions ( rappels rapides. Lauren Schwarz inrodui des foncions de base ϕ( définies dans un inervalle D, indéfinimen dérivables e nulles aux bornes de D. Une disribuion es alors un opéraeur (foncionnelle linéaire qui à oue foncion ϕ fai correspondre un nombre. On noera (D,ϕnombre Par exemple f ( u. ϕ ( u. du nombre soi : Sinc( πa -/a /a D La foncion f es uilisée pour définir la disribuion, elle s idenifie avec cee dernière. Ainsi il es naurel de définir la dérivée d une disribuion à parir de la dérivée de la foncion + +

J AUVRAY raiemen du Signal ( f ', ϕ f '( θ ϕ( θ dθ D ϕ ( θ u Mais une inégraion par parie avec df donne dθ v dθ ( f ', ϕ [ f. ϕ] D f. ϕ' ( f, ϕ' D En effe le premier erme es nul car ϕ es nulle aux bornes Soi la relaion essenielle ( f ' ϕ ( f, ϕ' qui es généralisable à oue foncion même non dérivable puisque la foncion de base ϕ es ouours dérivable par définiion. Une disribuion définie ainsi à parir d une foncion es die régulière. Mais oue opéraion qui à oue foncion de base fai correspondre un nombre peu définir une disribuion, ainsi la disribuion de Dirac qui fai correspondre à une foncion sa valeur à l origine.soi (δ,ϕ ϕ( Si la foncion δ exisai on aurai l inégrale : δ (. ϕ( d ϕ(, c es l inégrale des physiciens. Ainsi la héorie des disribuions donne un sens à une noaion qui n es pas mahémaiquemen valable. En praique on renconrera souven cee formule, il fau reenir que le signe δ ne peu êre uilisé que s il rese sous le signe somme. Une disribuion qui n es ainsi reliée à aucune foncion es non régulière, mais nous admerons que la formule de dérivaion écrie plus hau rese valable, ainsi il es possible de définir la dérivée d un Dirac qui physiquemen n a aucun sens. En effe : ( δ ', ϕ ( δ, ϕ' ϕ '( La disribuion qui es la dérivée de δ fai correspondre à une foncion la valeur à l origine de sa dérivée (au signe près. Un résula égalemen classique es la dérivée de l échelon E (E pour < e E pour > dϕ ( E ', ϕ ( E, ϕ'. du [ ϕ( ϕ( ] ϕ( du car la foncion ϕ es nulle aux bornes, ϕ(. La disribuion E fai correspondre à une foncion sa valeur à l origine, c es une disribuion δ. Ce résula considéré comme inuiif, ( la dérivée de E es nulle parou e infinie à l origine,es ainsi usifié. On peu définir de même, bien que cela soi mahémaiquemen plus délica, la ransformée de Fourier d une disribuion : ( If, ϕ ( f, Iϕ Un élecronicien adme assez facilemen que la ransformée de Fourier d un op de Dirac soi égale à l unié (specre infini l expression précédene perme de le monrer, en effe : ( Iδ, ϕ ( δ, Iϕ Φ( ϕ( uexp( πfu du. ϕ( u du f ℵ La comparaison des deux expressions exrêmes monre que Iδ Inversemen on serai ené d écrire la ransformée inverse :.exp( π f df δ ( qu il es facile de usifier physiquemen. ( La somme d une infinié de cosinusoïdes de oues fréquences es nul pour ou sauf à car alors ous les cosinus valen e leur somme es infinie.

J AUVRAY raiemen du Signal Applicaions des foncions δ Specre d un signal sinusoïdal Une foncion cos(πf es la somme de deux foncions de base de l opéraeur de Fourier,sa ransformée de Fourier compore donc deux ermes seulemen d ampliude ½ pour les fréquences ±f. En ermes de disribuions on écrira : I cos f ( f δ ( f f + δ ( f + π ; Foncion δ e produi de convoluion ; La foncion δ es la foncion unié de l opéraeur de convoluion. δ ( f ( δ ( u. f ( u du f ( ( Remarque : le produi de convoluion peu êre défini par f ( u. g( u du ou f ( u. g( u du, on peu passer de l une à l aure par changemen de variable De même : δ ( τ f ( f ( τ Dans l opéraion de convoluion la foncion δ décalée provoque un décalage de la foncion.ce résula sera uilisé rès fréquemmen par la suie. Peigne de Dirac C es la périodisaion d un op de Dirac avec la période. Nous noerons : pgn ( δ ( La ransformée de Fourier d un δ éan égal à, la ransformée du peigne précéden es, en veru du héorème du reard : Pgn ( π f.exp( πf Mais le peigne de Dirac es une foncion périodique de période, il es donc possible de la décomposer en série de Fourier : pgn ( c exp( π avec + / c pgn (.exp( π d / Mais dans l inervalle ±/ il n y a qu une seule den du peigne,c es un δ, soi : + c (.exp( f d exp( f δ π π oues les raies du specre on la même ampliude /.On noera donc symboliquemen la Peignes de Dirac pgn ( F Pgn (f / Specre d un cosinus ½ -Fo F +Fo / 3

J AUVRAY raiemen du Signal ransformée de Fourier du peigne de Dirac : I ( pgn ( pgnf / ( f δ ( f La ransformée de Fourier d un peigne de Dirac dans le domaine emps es un peigne de Dirac dans le domaine fréquence Périodisaion d un moif Un signal x( de durée finie de ransformée de Fourier X(πf es reprodui périodiquemen le long de l axe des emps,le signal ainsi consrui es la sommaion de ces moifs décalés. Soi : x ( Peu s écrire en veru du résula précéden : δ x x ( ( ( δ ( La ransformée du produi de convoluion es un produi normal, il vien donc : I x ( X ( π. δ ( f Ce résula es illusré sur la figure suivane.on di que la périodisaion du moif provoque un échanillonnage de son specre, nous rerouverons ce résula plus loin. τ x( F X(f f Périodisaion F f / Exemple : Specre d un signal RADAR. Signal RADAR E moif répéé avec la période es une salve de sinusoïdes de fréquence fo e de durée τ ( figure ci conre. Ce moif a pour expression : τ cos( π f O. π ( τ Sa ransformée de Fourier es donc : [ δ ( f f + δ ( f + f ] ( πfτ sin πfτ sinπ ( π ( f f f τ sinπ ( f + + f τ π ( f + f SIGNAUX ANALYIQUES E RANSFORMAION DE HILBER Définiions f τ τ Au signal physique cos(πf on a fai correspondre le signal analyique exp(πf don le signal physique es la parie réelle.c es ce que l on fai lorsque l on uilise la noaion complexe pour éudier les réseaux. Or on peu remarquer que le specre (dans ce qui sui nous uiliserons souven le 4

J AUVRAY raiemen du Signal erme de specre au lieu de ransformée de Fourier du signal analyique es obenue en replian sur la parie droie de l axe des fréquence la parie négaive du specre du signal physique. Cee même opéraion peu êre Specres du cosinus e du signal analyique associé : appliquée à un signal quelconque e perme de définir son signal analyique associé. ½ Nous désignerons par a x ( le signal analyique associé à x( ( de -Fo +Fo -Fo +Fo ransformée X(πf e A x (πf son Specre du cosinus Specre de exp(π fo specre. Alors ce specre es défini par Ax ( πf pour f < Ax ( πf. X ( πf pour f C es à dire : A x ( π f X ( πf + Sign( f. X ( πf ( Le signal analyique lui même es obenu en effecuan la ransformée de Fourier inverse de cee expression. Mais il fau connaîre la ransformée de la foncion sign(x qui vau pour x< e + pour x>. Remarquons pour cela que : X ( π f x(.exp( πf d dx a pour dérivée : π. x(.exp( πf d df expression qui monre que -π.x( es la ransformée de dx/d Prenons alors Xsign(f. d( sign( f I π. I( sign( df mais comme il a éé vu plus hau : d( sign( f d( sign δ ( donc I df df compe enu de la ligne précédene : I( sign( f π π La ransformée de l expression ( condui à : ( x( + x( a x f ( f π Le calcul du produi de convoluion, pose un problème de convergence, il fau prendre pour l inégrale la valeur principale de Cauchy Pour une foncion f( non définie pour a a e f ( u du Lim + e f ( u du f ( u du a+ e VP Dans le cas présen x( VP x( u. du π π u Cee expression es par définiion la ransformée de Hilber de x( H ( x( x( π 5

J AUVRAY raiemen du Signal Le signal analyique es donc : a x ( x( + H ( x( le signal physique en es bien sa parie réelle. Propriéés de la ransformée de Hilber C es une ransformaion qui se limie au domaine emps conrairemen à la ransformée de Fourier. Le filre de Hilber es un filre linéaire don la réponse impulsionnelle es /π, il n es donc pas causal.la foncion de ransfer de ce filre es : H H ( π f I. sign( f π Filre de Hilber Il possède bien une symérie hermiienne. Appliquons cee ransformaion à une sinusoïde : [ exp( πf + exp( πf ] devien [ H ( f >.exp( πf + H ( f < exp( πf ] soi H [.exp( πf +..exp( πf ] [ exp( πf exp( πf ] sin(πf Le filre de Hilber ransforme un cosinus en sinus, c es un quadraeur parfai. Il n es malheureusemen pas physiquemen réalisable car non causal, on peu seulemen réaliser des quadraeurs foncionnan dans une bande limiée de fréquence. Propriéé d un filre causal Pour un filre causal on peu écrire h(h(.sign( en effe pour f< h(-h( ne peu êre saisfaie que si h(. La ransformée de Fourier de cee relaion donne H ( πf H ( πf πf Posons H(πfHR+HI Paries réelle e imaginaire de H HR( f + HI( f. HR( f + HI( f πf πf πf πf HR( f H[ HI( f ] On voi que HI( f H[ HR( f ] Au signe près paries réelle e imaginaires son ransformées de Hilber l une de l aure. Propriéés des signaux analyiques ( signal analyique e sysème linéaire Pour un filre linéaire les specres d enrée e de sorie son reliés par : Y(πfH(πf.X(πf En inroduisan la foncion U( pour < e pour > le specre du signal analyique correspondan es : AY ( f. U ( f. Y ( f. U ( f H ( f X ( f H ( f AX ( f analyiques se ransformen à ravers un sysème linéaire comme les signaux réels qui leurs son associés. Cas pariculier des signaux à bande éroie :enveloppe complexe. Considérons d abord un signal modulé en ampliude. Son specre es obenu en décalan de par e d aure de la poreuse le specre du signal BF modulan, résula classique. X( H H H(x( 6

J AUVRAY raiemen du Signal Modulaion d ampliude Poreuse Specre du signal analyique décalé de -fo Specre du signal analyique -Fo +Fo Specre d une modulaion d ampliude -Fo +Fo La figure ci dessus représene le specre du signal analyique A x (f ainsi que ce qu il devien si on le décale de fo.a x (f+fo es cenré sur l origine, c es au faceur près exacemen le specre du signal BF modulan, qui apparaî à l oscilloscope comme l enveloppe du signal HF. Dans le cas ou le specre de Ax n es pas symérique par rappor à une poreuse, sa ranslaion auour de l origine ne possède pas la symérie hermiienne, Le signal BF correspondan n es plus réel, on l appelle enveloppe complexe, nous la noerons α x ( Enveloppe complexe non réelle : modulaion BLU Poreuse supprimée Specre du signal analyique décalé cenré sur f Specre du signal analyique -Fo +Fo -Fo +Fo Specre d une modulaion BLU Dans le cas général : α x ( I[ Ax ( π ( f + f ] ax (.exp( πf en veru du héorème du reard Soi finalemen : x( Re a ( Re α (.exp( πf [ ] [ ] x x Cee enveloppe complexe n a d inérê que si le signal x es à bande éroie, c es alors un signal BF le plus souven complexe. Représenaion de l enveloppe complexe. Ces représenaions n on d inérê que si le signal es à bande éroie. Représenaion en phase e quadraure On pose α x ( p( + q( Le signal analyique s écri alors ax ( α x (.exp( πf [ p( + q( ][. cos πf + sin πf ] don la parie réelle es : x( Re[ ax ( ] p(.cos πf q( sin πf p( e q( son des signaux BF qui modulen en ampliude deux poreuses en quadraure. On renconre souven cee décomposiion en élécommunicaions (V PAL ou NSC, modulaions numériques à plusieurs éas de phase 7

J AUVRAY raiemen du Signal Représenaion en module e phase φ ( On pose cee fois α x ( a( ; e Soi ax ( α x (.exp( πf a(.exp( πf + φ( Don la parie réelle es : x( a(.cos(π f + φ( a( es l ampliude insananée, φ( la phase insananée. Pour un signal à bande éroie le signal x( apparaî à l oscilloscope comme une poreuse de fréquence voisine de fo, don l ampliude varie lenemen [a(] e don la phase flucue [φ(]. 8