Angles orientés et trigonométrie Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : conversion d un angle en degrés ou en radians Exercice 2 : cercle trigonométrique et repérage de points Exercice 3 : calculs de mesures d angles orientés Exercice 4 : formule trigonométrique fondamentale Exercice 5 : mesure principale d un angle orienté Exercice 6 : programmation (programme de calcul donnant la mesure principale d un angle orienté) Exercice 7 : application de formules trigonométriques Exercice 8 : résolutions d équations trigonométriques dans l ensemble des réels Exercice 9 : résolution d équation trigonométrique dans l ensemble des réels puis dans un intervalle des réels Exercice 10 : calcul du cosinus et du sinus d un angle Exercice 11 : formules d addition Exercice 12 : angles orientés et ensembles de points Exercice 13 : résolution d une inéquation trigonométrique 1
Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile 1- Donner la mesure en radians de chaque angle suivant : 2- Donner la mesure en degrés de chaque angle suivant : Correction de l exercice 1 Point méthode : Conversion radians/degrés Pour convertir les radians en degrés (et vice versa), on utilise un tableau de proportionnalité, en considérant qu un même angle mesure ou. degrés radians 1- Donnons la mesure en radians de chaque angle. degrés radians degrés radians degrés radians 2
degrés radians 2- Donnons la mesure en degrés de chaque angle. degrés radians degrés radians degrés radians degrés radians Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile Construire un cercle trigonométrique et placer les points images des nombres réels suivants : 3
Correction de l exercice 2 Rappel : Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 et muni d un sens direct (sens inverse des aiguilles d une montre). Point méthode : Comment placer un point image sur un cercle trigonométrique? Tout d abord, il faut bien comprendre que les points associés à et sont confondus. En effet, cela revient à effectuer tours complets (un tour représentant un chemin de longueur radians) supplémentaires sur le cercle, dans le sens direct ou dans le sens direct. Pour placer par exemple le point image du nombre, on commence par parcourir, c est-à-dire 502 tours complets depuis le point image du nombre (ci-dessous en rouge). Il reste donc ensuite à parcourir, c est-à-dire (soit trois quarts de tours dans le sens direct). On a donc : A partir du point image du nombre, on parcourt un chemin de longueur dans le sens direct ou indirect. Nombre Chemin parcouru Aucun chemin parcouru ; point immobile Un tour de cercle complet dans le sens direct Un demi-tour de cercle dans le sens direct Un demi-tour de cercle dans le sens indirect (sens des aiguilles d une montre) Un quart de tour de cercle dans le sens direct Un huitième de tour de cercle dans le sens direct Un sixième de tour de cercle dans le sens indirect 502 tours dans le sens direct et 3 quarts de tour dans le sens direct Construisons un cercle trigonométrique et plaçons les points images des nombres réels suivants : 4
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Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen Soit un carré de centre tel que ( ). Déterminer une mesure de chacun des angles orientés suivants : ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) et ( ). Correction de l exercice 3 Soit un carré de centre tel que ( ). Commençons par représenter ci-contre le carré et l angle droit direct ( ). D C Remarque préliminaire : est un carré de centre tel que ( ). Donc ( ) ( ) ( ) ( ). π I π En outre, ( ) ( ) ( ) ( ). A B Rappel : Mesures d angles orientés de deux vecteurs non nuls Soient, et des vecteurs non nuls et soit l angle orienté. (relation de Chasles) w v u (angles égaux) (angles opposés) u v (angles supplémentaires) (angles supplémentaires) Déterminons désormais une mesure de chacun des angles proposés. Déterminons une mesure de l angle ( ). Les angles ( ) et ( ) sont opposés donc ( ) ( ). Or, ( ). Donc ( ) ( ). 6
Déterminons une mesure de l angle ( ). D après la relation de Chasles, ( ) ( ) ( ) =. Déterminons une mesure de l angle ( ). est le centre de donc est le milieu de. Autrement dit,. Ainsi, ( ) ( ). Déterminons une mesure de l angle ( ). D après ce qui précède, par égalité des vecteurs et, ( ) ( ). Or, les angles ( ) et ( ) sont supplémentaires donc ( ) ( ). Ainsi, on obtient : ( ) ( ) ( ) Comme la demi-droite est une bissectrice de l angle ( ), on a ( ), d où : ( ) ( ) ( ) Déterminons une mesure de l angle ( ). est un carré donc. Ainsi, ( ) ( ) ( ) ( ) Déterminons une mesure de l angle ( ). ( ) ( ) ( ) Résumons les résultats obtenus ci-dessus : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exercice 4 (1 question) Niveau : facile Montrer que, pour tout,. 7
Correction de l exercice 4 Pour tout, Par conséquent, comme, pour tout,. Exercice 5 (1 question) Niveau : facile Donner la mesure principale de chacun des angles suivants : Correction de l exercice 5 Rappel : Mesure principale d un angle orienté Si est une mesure en radians d un angle orienté, toutes les mesures de cet angle sont de la forme : ou bien Parmi toutes les mesures d un angle orienté, une et une seule appartient à l intervalle ] ]. Cette mesure s appelle la MESURE PRINCIPALE de l angle. Point méthode : Comment déterminer la mesure principale d un angle orienté? Pour déterminer la mesure principale en radians d un angle orienté, il convient d écrire sous la forme de telle sorte que ] ] (ou bien avec ] ]). Donnons la mesure principale respective des angles,, et. 1-8
Or Donc est la mesure principale de l angle. 2- Or Donc est la mesure principale de l angle. 3- Or Donc est la mesure principale de l angle. 4- Or Donc est la mesure principale de l angle. 9
Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen Soit un angle dont la mesure en radians est de la forme avec et. Ecrire un programme permettant de préciser la mesure principale de l angle. Correction de l exercice 6 Soit un angle dont la mesure en radians est de la forme avec et. Déterminer la mesure principale de l angle revient à déterminer les entiers et (non nul) tels que : { Calculatrices CASIO G20 ou plus Programme MESPRINC Calculatrices TEXAS TI 80 Programme MESPRINC Calculatrices TEXAS TI 82 ou plus Programme MESPRINC Remarques : est supposé entier naturel non nul. A l aide de ces programmes, on peut vérifier les résultats obtenus à l exercice précédent. 10
Exercice 7 (1 question) Niveau : facile Montrer que est un entier naturel. Correction de l exercice 7 Remarque : Au lieu de se lancer dans d interminables calculs de développement, il convient de bien observer l écriture de et de remarquer qu il est possible d en organiser les termes par couple. En effet, Ainsi, Or, pour tout réel, on a : Donc 11
donc est un entier naturel. Rappel : Angles associés Exercice 8 (1 question) Niveau : facile Résoudre dans les équations suivantes : Correction de l exercice 8 Rappel : Résolution d équation trigonométrique { Résolvons dans l équation : Pour tout, L ensemble des solutions de l équation est donc : { } 12
Résolvons dans l équation : Pour tout, { { { { L ensemble des solutions de l équation est donc : { } Résolvons dans l équation : Pour tout, { { { { L ensemble des solutions de l équation est donc : { } Exercice 9 (2 questions) Niveau : moyen Résoudre dans puis dans l équation suivante : 13
Correction de l exercice 9 Résolvons dans l équation suivante : Pour tout réel X, X (X π ) Pour tout réel, { { { { { Déterminons désormais les solutions de l équation dans. D après ce qui précède, les solutions de l équation dans sont : { } Si : Si : Si : 14
Pour toutes les autres valeurs de, donc les solutions de l équation dans sont : { } Exercice 10 (1 question) Niveau : facile Calculer le sinus et le cosinus de l angle sachant que. Correction de l exercice 10 Pour tout réel, Or, pour tout réel, D où, pour tout réel, Il s ensuit que : En définitive, si, alors {. Exercice 11 (1 question) Niveau : moyen Calculer le sinus et le cosinus de. 15
Correction de l exercice 11 Rappel : Formules d addition et de différence En appliquant la formule d addition, on obtient : ( ) En appliquant la formule d addition, on obtient : ( ) Vérification : Il est possible (et même fortement conseillé) de vérifier les résultats précédents en utilisant l égalité trigonométrique fondamentale. ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exercice 12 (1 question) Niveau : moyen Soient et deux points distincts du plan. Dans chacun des 3 cas, préciser l ensemble des points tels que : ( ) ( ) ( ) 16
Correction de l exercice 12 Précisons l ensemble des points tels que ( ) L angle orienté ( ) est nul donc les vecteurs et sont colinéaires et de même sens. Autrement dit, les points, et sont alignés dans cet ordre ou les points, et sont alignés dans cet ordre. L ensemble des points tels que ( ) est la droite privée du segment. En effet, ne peut appartenir au segment car, sinon, on aurait les vecteurs et de sens contraire. Autrement dit, ( ) Représentons ci-dessous cet ensemble en vert. M A B M Précisons l ensemble des points tels que ( ) L angle orienté ( ) est un angle plat direct donc les vecteurs et sont colinéaires et de sens contraire. Autrement dit, les points, et sont alignés dans cet ordre. L ensemble des points tels que ( ) est l ensemble des points appartenant au segment privé des points et. Autrement dit, ( ). Représentons ci-dessous cet ensemble en vert. A M B Représentons l ensemble des points tels que ( ) L ensemble des points tels que ( ) est l ensemble des points appartenant au demi-cercle de diamètre privé de et, représenté ci-contre en vert. π M A B Remarque : De manière générale, l ensemble des points tels ( ) avec est un arc de cercle de diamètre privé des extrémités et. 17
Exercice 13 (1 question) Niveau : difficile Résoudre dans [ ] l inéquation suivante : Correction de l exercice 13 Résolvons dans [ ] l inéquation suivante : Rappel : Formules de duplication Pour tout réel, Etudions désormais le signe de. Pour cela, posons. Remarquons par ailleurs que, pour tout réel,, donc. L expression devient. En posant le discriminant de ce trinôme du second degré d inconnue, donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes : 18
En outre, comme, le trinôme est factorisable et. Enfin, comme et, on obtient que : D où, pour tout réel, [ ] Or, dans [ ], on a : D où le tableau de signes suivant : Remarques : Lors de l étude du produit, il ne faut pas oublier le facteur, faute de quoi les signes seraient erronés. En notant l ensemble des solutions de l inéquation dans [ ], [ [ ] [ 19