4ème Séance: Cinématique 3D, Mouvements ciculaies 1
2 Rappels de théoie 1 ) Mouvement ciculaie unifome (MCU) ω = vitesse angulaie ω = θ t ω = constante v = vitesse linéaie v = x t v = constante v = constante Aute expession de la vitesse angulaie: ω =2π f = 2π T avec: f = féquence = Nombe de tous/seconde T = 1 f a x θ ω = Péiode = Temps pou faie 1 tou v Pou le sens de v ou ω : v = ω Donc: ou ègle du ti-bouchon x = θ ω = v a = accéléation centipète ou adiale a = v2 = ω2 a = constante a = constante
2 ) Analogie ente le MCU et le MRU MCU ω = constante θ(t) =θ(0) + ω t MRU v = constante x(t) =x(0) + v t ω θ(t) v θ(0) x(0) x(t) 3
3 ) Mouvement ciculaie unifomément accéléé (MCUA) Repenons le cas du MCU et faisons vaie ω avec le temps. Soit α = dω dt α = constante = MCUA α = accéléation angulaie Gandeus angulaies α = constante α = dω dt ω(t) =ω(0) + α t ω = dθ dt θ(t) =θ(0) + ω(0) t + α t2 2 Gandeus linéaies a t = constante a t = dv dt v(t) =v(0) + a t t v = dx dt x(t) =x(0) + v(0) t + a t t 2 a t = accéléation tangentielle 2 Note: Equations analogues à celles du MRUA 4
Gandeus angulaies Gandeus linéaies α at Si v augmente Si v diminue Si ω augmente v ou ω Si ω diminue θ x x = θ = ω(t) = v(t) = α = a t 5
Accéléation adiale a (t) = v(t)2 = ω(t) 2 a Contaiement à a t, a vaie au cous du temps Accéléation linéaie t : a t a = Accéléation totale: a(t) = a 2 t + a (t) 2 MCUA MCU Losque α =0 6
Execice 1 Calcule la vitesse angulaie en adls et tace le vecteu vitesse angulaie pou : - Un disque tounant i 33 tous/min. - Laoue d'un v61o de 70 cm de diamdte qui oule e 30 km/h. - La gande aiguille d'une monte. Quelle est la vitesse angulaie en adls de otation de la tee et quelle est I'acc6leation centipdte d'un point de 1'6quateu teeste? Disque ω =2 π f = 2 π 33 60 Roue de vélo ω = v 30000 = 3600 0.7 2 Monte = 3.456 ad/s = 23.81 ad/s Aiguille des minutes (1 tou en une heue): Aiguille des secondes (1 tou en 1 minute): ω =2 π f = 2 π 3600 =1.7 10 3 ad/s ω =2 π f = 2 π 60 7 ω v =0.10 ad/s
Rotation de la tee ω Equateu teeste Chaque plan paallèle à l équateu teeste = Disque en MCU de vitesse angulaie ω Image adaptée de: planetaium-galilee.com La tee effectue 1 otation (1 tou) en 1 jou a ω v ω =2 π f = 2 π 24 3600 =7.27 10 5 ad/s A l équateu: 6400 km a = ω 2 =0.0338 m/s 2 Remaque: Aux pôles: =0 v = ω =0 & a = ω 2 =0 8
Execice 2 Piee fait toune i la vitesse de 120 tous i la minute et pendant deux minutes, une pie'le qui a 6t6 attachfie i une code de 0.5 m de long. A la fin du mouvement, quels sont I'angle balaye pa la piee, sa vitesse angulaie, son acc6leation angulaie, la distance pacouue pa la piee, sa vitesse lin6aie, son acc6leation lin6aie et sa pdiode de 6volution? Données =0.5 m t = 120 s ω =2 π f = 2 π 120 60 =4 π ad/s Angle balayé θ(t) =θ(0) + ω t = θ = θ( t) θ(0) = ω t = 480π ad Vitesse angulaie ω =4π ad/s Accéléation angulaie dω dt = 0 ca ω = constante en fonction du temps 9
Distance pacouue x = θ = 240π m Vitesse linéaie v = ω =2π m/s Accéléation linéaie a = v2 =8π2 m/s 2 Péiode de évolution T = 2π ω =0.5 s 10
lin6aie et sapdiodede 6volution O -nxecice Execice 3III \-/ MaintenantPiee fatigue, il fait toune de moins en moins vite sa piee attach6ei une elle passede 120 tous i la minute i 30 tous i la codeae O.Sm de long. En 3 secondes, minute. A la fin du mouvement,quelssont I'anglebalayepa la piee,sa vitesseangulaie,son acc6l6ation angulaie, la distance pacouue pa la piee, sa vitesse lin6aie et son acc6leationlin6aie? /4 Données M/ ExeeicefV - m =V0.5 ω(0) = 2 π f (0) = 2 π 120 = 4π ad/s 60 pa Une loude oue de 60 cm de diamdteest mise en mouvement une code que I'on a une pidce sevantde poids. toun6eautoude saciconfdence,et i laquelleon a suspendu 2 π 30 = 2 π5.4 fm( t) = = π ad/s t = 3asbesoinde 12sω( t) poupacowi entombant. Celle-ci 60 Quel est le nombe de tous/min atteint et combien de otations la oue ex6cute-t-elle? pendantce temps Accéléation angulaie ω(t)/ = ω(0) +Vα t Execice = ω( t) = ω(0) + α t ω( t) ω(0) α = faisantun = π ad/s2 une diection Une balle estlanc6eavecunevitessevo dans= t aveci'hoizontale.elle atteiit 2 secondesplus tad su une 60o ande deangulaie Vitesse plate-fomede 5 mdtesde haut. estla vitesseinitiale de cetteballe? ω( t) =Quelle π ad/s hoizontaleet veticalede la Quellessont les composantes vitesseinitiale de cetteballe? A qtelinstantest-elleau sommetde11satajectoie? *----* 5m
Angle balayé θ(t) =θ(0) + ω(0) t + α t2 2 = θ = θ( t) θ(0) = ω(0) t + α ( t)2 2 Distance pacouue =7.5π ad x = θ =3.75π m Vitesse linéaie v( t) =ω( t) =0.5π m/s Accéléation linéaie a ( t) = v( t)2 =0.5π 2 m/s 2 a t = α = 0.5π m/s 2 = a( t) = a ( t) 2 + a 2 t =5.18 m/s 2 12
Execice 4 Vitesse (angulaie) initiale nulle Une loude oue de 60 cm de diamdte est mise en mouvement pa une code que I'on a toun6e autou de sa ciconfdence, et i laquelle on a suspend une pidce sevant de poids. Celle-ci a besoin de 12s pou pacowi 5.4 m en tombant. Quel est le nombe de tous/min atteint et combien de otations la oue ex6cute-t-elle pendant ce temps? Données MCUA x =5.4m t = 12 s =0.3m ω(0) = 0 ad/s x 13
Féquence finale ω(0) = 0 ad/s = v(0) = 0 m/s x = a t t 2 Donc: = a t =0.075 m/s 2 = 2 Dès los: ω( t) =ω(0) + α t =3ad/s = f( t) = 3 2π tou/s Nombe de otations en 12 secondes θ = x = 5.4 = 18 ad 0.3 1 tou = 1 otation = 2π ad 1 ad = 1 2π tou Donc: n = 18 2π = 3 2π =2.86 tous 60 tou/min = 28.65 tou/min 14 α = a t =0.25 ad/s2