Topologie dans un réseau : l exemple des points de Dirac

Chpitre 6 Topologie dns un réseu : l exemple des points de irc Sommire Points de irc dns une zone de Brillouin....... 2 - Reltion de dispersion linéire........... 2-2 Chirlité des points de irc............ 2 2 Le réseu en «mur de briues».............. 3 2- Hmiltonien de Hubbrd.............. 3 2-2 Pires de points de irc.............. 4 3 Le réseu du grphène................... 5 3- Mille élémentire et réseu réciproue...... 5 3-2 Points de irc pour le grphène......... 6 3-3 Remrues complémentires............ 7 4 Le grphène en version tomes froids"......... 8 4- Rélistion du réseu en «mur de briues»... 8 4-2 Oscilltions de Bloch et points de irc...... 9 4-3 Perspectives..................... 5 Références.......................... Les points de irc jouent un rôle centrl dns de nombreux phénomènes de l mtière condensée. On les rencontre notmment dns le grphène, pour leuel ils confèrent ux électrons de conduction un mouvement ultr-reltiviste. Ils pprissent églement dns les isolnts topologiues, où ils sont l origine des étts de bord conducteurs. Un point de irc est crctérisé pr un contct entre deux bndes vec une reltion de dispersion linéire, ce ui permet d illustrer plusieurs crctéristiues bien connues de l éution de irc pour des prticules de msse nulle, comme le prdoxe de Klein ou le Zitterbewegung. Cette reltion de dispersion très différente d un bs de bnde hbituel (où E 2 se mnifeste églement en présence d un chmp mgnétiue, en donnnt nissnce à un effet Hll untiue entier «norml». L existence des points de irc est une conséuence de l géométrie, ou plutôt de l topologie (u sens défini plus loin de l structure des bndes. L flexibilité des réseux optiues conduit plusieurs uteurs à imginer des structures de fisceux lumineux permettnt d obtenir de tels points dns l structure de bnde (Zhu et l. 27; Wunsch et l. 28; Lee et l. 29. Nous llons dns ce chpitre dégger d bord les crctéristiues d un réseu périodiue permettnt de fire pprître des points de irc. Nous décrirons ensuite l première mise en évidence de ces points de irc vec des tomes froids, fite dns le groupe de T. Esslinger à Zurich (Trruell et l. 22.

TOPOLOGIE ANS UN RÉSEAU : L EXEMPLE ES POINTS E IRAC. Points de irc dns une zone de Brillouin Points de irc dns une zone de Brillouin - Reltion de dispersion linéire e mnière générle, on définit un point de irc comme un point dns l zone de Brillouin où deux bndes se touchent de mnière linéire (figure 6.. ns le cs prticulier où les deux bndes se touchent de mnière isotrope, l reltion de dispersion u voisinge de s écrit E( = ± c + ɛ, (6. où c l dimension d une vitesse et ɛ est l énergie u point de contct. ns le grphène, le potentiel chimiue est égl à ɛ de sorte ue le comportement des électrons de conduction permet de simuler l électrodynmiue untiue de fermions de msse nulle. L vitesse de groupe c ux points de irc y est environ /3 ème de l vitesse de l lumière. L reltion de dispersion (6. peut se rencontrer dès l dimension. Toutefois, l spect bi-dimensionnel du grphène joute une deuxième crctéristiue essentielle, l chirlité de ces points de irc, ue nous llons mintennt décrire. -2 Chirlité des points de irc Pour donner une intuition de l origine de cette chirlité, considérons un réseu dns un modèle de liisons fortes, tel ue l mille du réseu E( comporte deux sites A et B. Supposons de plus u une prticule sur un site A (resp. B ne peut suter ue sur un site de type B (resp. A, ce site pprtennt ou bien à l même cellule, ou bien à une cellule djcente (voir figures 6.2 et 6.4. Si l énergie sur site est l même pour A et B (E A = E B ɛ, on sit (cf. cours 3 ue l hmiltonien de Hubbrd dns l espce réciproue Ĥ( est une mtrice 2 2 du type : dont les énergies propres sont ( ɛ f Ĥ( = (, (6.2 f( ɛ E ± ( = ɛ ± f(. (6.3 Nous déterminerons un peu plus loin l vleur explicite de l fonction f( pour deux types de réseux, le réseu crré en forme de «mur de briues» et le réseu hexgonl du grphène. Plçons-nous à deux dimensions, de sorte ue est un vecteur ( x, y. Un point de irc est un point de l zone de Brillouin pour leuel f( =, (6.4 de sorte ue les deux énergies propres (6.3 sont dégénérées. Posons u voisinge de δ = = δ (cos ϕ u x + sin ϕ u y (6.5 et supposons ue sur ce voisinge, on le développement f( = c(δ x ± iδ y = c δ e ±iϕ, (6.6 Nous verrons un peu plus loin ue ce développement u voisinge d un zéro est, moyennnt une générlistion très simple, nturel pour l fonction complexe f( x, y. Au voisinge de, l hmiltonien (6.2 s écrit donc FIGURE 6.. Point de irc f( = c(δ x + iδ y : Ĥ( = ɛ ˆ + c ˆσ δ, (6.7 f( = c(δ x iδ y : Ĥ( = ɛ ˆ + c ˆσ δ, (6.8 Cours 6 pge 2 y b

TOPOLOGIE ANS UN RÉSEAU : L EXEMPLE ES POINTS E IRAC 2. Le réseu en «mur de briues» où les ˆσ j (j = x, y sont les mtrices de Puli ˆσ x = (, ˆσ y = ( i. (6.9 i L hmiltonien (6.7 6.8 est formellement identiue à celui d une prticule de spin /2 u voisinge d un zéro du chmp mgnétiue. ns l bse + z, z de ˆσ z, c est-à-dire l bse des fonctions de Wnnier w A, w B centrées sur les sites A et B, les étts propres χ ± de (6.7 6.8 ssociés ux énergies E ± ( données en (6.3 sont du type : f( = c(δ x + iδ y : χ ± = ( 2 ± e iϕ f( = c(δ x iδ y : χ ± = 2 ( ± e iϕ (6. (6. L chirlité due u terme e ±iϕ pprit clirement sur ces expressions. Plus précisément, si on considère un cercle centré sur le point de irc et u on suit dibtiuement un des deux étts propres χ ± sur ce cercle, l phse géométriue ccumulée vut ±π, correspondnt u chngement de signe bien connu d un spin /2 und il effectue une rottion de 2π. 2 Le réseu en «mur de briues» Avnt de présenter le cs du grphène, vec son réseu hexgonl régulier, considérons le réseu en mur de briues représenté sur l figure 6.2b, ui est légèrement plus simple à triter mthémtiuement et ui correspond à ce ui été rélisé pr le groupe de Zurich. Ce réseu est obtenu en prtnt d un réseu crré de mille (fig. 6.2 et en supprimnt un lien horizontl sur deux, les liens verticux étnt tous conservés. Notons u on peut psser de ce mur de briues u grphène pr une déformtion continue en prennt des liisons rticulées ux nœuds des réseux.. Un mçon nous dirit ue pour un vri mur de briues, il fudrit intervertir lignes horizontles et verticles, mis nous prenons ici l convention utilisée pr Trruell et l. (22. ($ (b$ (c$ A 2 B y b FIGURE 6.2. Réseu «mur de briues». ( Réseu crré de côté. (b On obtient le réseu «mur de briues» en supprimnt un lien sur deux selon l direction horizontle. (c Espce réciproue et zone de Brillouin. y 2- Hmiltonien de Hubbrd L mille élémentire de ce réseu, ( représentée en grisé sur l figure 6.2b comporte deux sites, notés A et B. On génère le réseu en copint l x cellule unité selon le réseu de Brvis crré B {r j = j + j 2 2, j, j 2 Z} (6.2 (2 vec les deux vecteurs dns l bse crtésienne u x, u y : ( ( =, 2 =. (6.3 Le réseu de Brvis de l espce réciproue est églement crré, engendré pr les deux vecteurs b = π (, b 2 = π (. (6.4 Les vecteurs b, b 2 vérifient bien l reltion générle i b j = 2π δ i,j. (6.5 b 2 x Cours 6 pge 3

TOPOLOGIE ANS UN RÉSEAU : L EXEMPLE ES POINTS E IRAC 2. Le réseu en «mur de briues» L zone de Brillouin correspondnte est représentée en grisé sur l figure 6.2c. Plçons-nous dns le régime des liisons fortes et notons J x, J y les élément de mtrice tunnel le long des directions horizontle et verticle de l figure 6.2b. Rppelons les règles d écriture de l hmiltonien de Hubbrd, déjà vues en cours 4. On sit en toute générlité ue les fonctions propres de l hmiltonien sont les fonctions de Bloch ψ (r = e i r u (r. Le vecteur peut être choisi dns l zone de Brillouin et u (r est une fonction périodiue sur le réseu. ns l limite des liisons fortes et en se limitnt à l bnde fondmentle, l ensemble des fonctions périodiues sur le réseu est un espce vectoriel de dimension 2, chue fonction étnt crctérisée pr deux coefficients (α, β : u = α j w A,j + β j w B,j, (6.6 où w A/B,j sont les fonctions de Wnnier centrées sur les nœuds A/B de l cellule j. L fonction de Bloch correspondnte s écrit unt à elle coefficients (α, β : Ĥ( ( α β = E( ( α β, (6.8 où l hmiltonien de Hubbrd dns l espce réciproue l structure proposée en (6.2. En prticulier le coefficient f( correspond u couplge d un site B donné (j x, j y vec ses trois voisins de type A : l un de ses voisins pprtient à l même cellule unité (lien horizontl J x, le deuxième à l cellule (j x +, j y et le troisième à l cellule (j x, j y + (liens verticux J y. On donc f( = J x J y ( e i + e i2 = J x 2J y e ix cos( y. (6.9 Les points de irc, s ils existent, correspondent ux zéros de cette fonction et sont donc obtenus pour sin( x = x = mod. π/ (6.2 cos( x cos( y = J x 2J y. (6.2 ψ = j e ir j (α w A,j + β w B,j, (6.7 2-2 Pires de points de irc notre but étnt de trouver les vleurs (α, β pour ue ψ soit étt propre de l hmiltonien de Hubbrd. Écrivons explicitement cet hmiltonien. Les énergies de l prticule sur un site A ou sur un site B sont égles, et notées E. L hmiltonien de Hubbrd contient pr hypothèse uniuement les termes de sut entre proches voisins. Qund un électron est sur un tome de type B, il peut uniuement suter vers un site A, ui peut être celui de s propre cellule (j, sut horizontl ou celui des deux cellules djcentes (j + ou j + 2, suts verticux. Il en v de même pour un électron sur le site A de l cellule j, ui peut suter vers (B, j, (B, j et (B, j 2. Posons ue ψ défini pr (6.7 est étt propre de cet hmiltonien de Hubbrd vec l vleur propre E(, et projetons cette éution ux vleurs propres sur une cellule donnée j. On rrive u système 2 2 pour les L existence de solutions possibles u système d éutions (6.2-6.2 dépend de l vleur du rpport J x /(2J y : Si J x > 2J y, ce système n ps de solution. L fonction f( ne s nnule en ucun point de l zone de Brillouin et il n y ps de points de irc. Les deux sous-bndes E ± f( sont séprées pr un gp non nul. Si J x = 2J y, l fonction f( s nnule ux utre coins de l zone de Brillouin. Il s git d un zéro d ordre deux selon l direction y, donc ps d un point de irc u sens strict du terme. Si J x < 2J y, l fonction f( s nnule sur deux points de irc situés symétriuement sur l xe verticl x =, ux points tels ue cos( y = J x /(2J y (figure 6.3. Qund J x devient très petit devnt J y, ces points se rpprochent de y = ±π/(2. Cours 6 pge 4

TOPOLOGIE ANS UN RÉSEAU : L EXEMPLE ES POINTS E IRAC 3. Le réseu du grphène y ( x Qund on diminue continûment le prmètre J x /J y et u on psse sur l vleur 2, les points de irc pprissent superposés l un sur l utre en un coin de l zone de Brillouin, ce ui est encore comptible vec (2, puisue (2 et ( (Montmbux et l. 29. ( = diffèrent lors d un vecteur du réseu réciproue FIGURE 6.3. Positions des deux points de irc pour le réseu en «mur de briues», dns le cs J x < 2J y. Plçons-nous dns le cs J x < 2J y et développons l fonction f( u voisinge d un point de irc. On trouve : (2 f( ij x [δ x + i δ y tn(,y ], (6.22 ce ui est voisin de l forme prticulière supposée en (6.6. Plus précisément, puisue tn(,y n ps le même signe pour les deux points de irc (il est négtif pour le point situé dns l prtie supérieure de l zone de Brillouin, positif pour l utre, les deux points de irc ont des chirlités opposées. On note ue l fonction f( n est générlement ps isotrope utour des points de irc, suf si tn(,y =, ce ui est obtenu pour J x = 2 J y. Le fit ue les points de irc pprissent pr pires est une conséuence directe de l invrince pr renversement du temps du problème considéré. Nous vons vu u cours 2 ue cette invrince entrine ue si ψ est étt propre pour l vleur propre E(, lors ψ ψ est étt propre pour l même vleur propre. On en déduit ue si ( est un point de irc ssocié à une certine chirlité, (2 = ( est églement un point de irc, vec une chirlité opposée du fit de l conjugison complexe intervennt dns ψ ψ. 3 Le réseu du grphène L étude des points de irc du grphène se fit d une mnière très voisine de ce ue nous venons de fire pour le réseu en «mur de briues», et nous nous contenterons donc de présenter les grndes lignes de l démrche à suivre pour les trouver. 3- Mille élémentire et réseu réciproue Le grphène est obtenu en plçnt un tome de crbone pr site d une structure hexgonle de côté. L cellule unité de cette structure comporte deux sites, notés A et B sur l figure 6.4. On génère le réseu hexgonl en copint cette cellule unité (représentée en grisé sur l figure sur tous les nœuds du réseu de Brvis tringulire B {r j = j + j 2 2, j, j 2 Z} (6.23 où les vecteurs, 2 sont définis pr (voir ussi l figure 6.4 : = 3 2 ( 3 3, 2 = 2 ( 3. (6.24 Le réseu réciproue B { Q j = j b + j 2 b 2, j, j 2 Z } est engendré pr les vecteurs b = 2π ( 3, b 2 = 2π ( 3 3. (6.25 3 Le réseu réciproue est donc églement tringulire. Cours 6 pge 5

TOPOLOGIE ANS UN RÉSEAU : L EXEMPLE ES POINTS E IRAC 3. Le réseu du grphène A 2 B A 2 B FIGURE 6.4. Guche : structure hexgonle du grphène. Cette structure se compose d une cellule unité à deux sites A et B, u on répète en l disposnt sur les nœuds d un réseu tringulire j + j 2 2, j, j 2 Z. Une cellule unité est représentée en grisé. roite : réseu réciproue pour le grphène, j b + j 2 b 2, j, j 2 Z. L zone de Brillouin est hexgonle et les points de irc sont les sommets de cet hexgone. Zone de Brillouin. Rppelons ue les fonctions de Bloch ψ sont déterminées en leur imposnt d être étts propres simultnément de l hmiltonien et des opérteurs de trnsltion ˆT et ˆT 2 lissnt le réseu invrint. Les vleurs propres ssociées à ces deux opértions de trnsltion sont notées e iθ = e i et e iθ2 = e i2. L zone de Brillouin est un domine 2 centré en =, pour leuel un et seul vecteur correspond à un couple (θ, θ 2. C est un hexgone de côté 4π/(3 3, dont l orienttion est pivotée de 3 pr rpport ux hexgones du réseu dns l espce réel (figure 6.4. 3-2 Points de irc pour le grphène Pr un risonnement identiue à celui mené pour le réseu «mur de briues», on trouve ue l hmiltonien de Hubbrd dns l espce réci- 2. Plus précisément, on l définit comme l mille de Wigner Seitz centrée en = du réseu réciproue. y b ( (2 b 2 x proue l forme nnoncée en (6.2 (Wllce 947 ( E f Ĥ( = (, (6.26 f( E vec l fonction f( définie pr f( = J ( + e i + e i 2. (6.27 Cherchons les zéros de f(k, en nnulnt à l fois l prtie réelle f r et l prtie imginire f i : Annultion de f r ( : + cos( + cos( 2 =, Annultion de f i ( : sin( + sin( 2 =. (6.28 eux types de zéros pprissent. Le premier correspond à c est-à-dire cos( = cos( 2 = 2, 3 sin( = sin( 2 = 2 = 4π 3 mod 2π, 2 = 2π 3 Le deuxième type de zéro est donné pr = 2π 3 mod 2π, 2 = 4π 3 (6.29 mod 2π. (6.3 mod 2π. (6.3 En écrivnt le vecteur solution sous l forme = α b + α 2 b 2, on en déduit imméditement les coordonnées (α, α 2 de ces points de irc dns l espce réciproue. Il y deux points de irc (un de chue chirlité dns l zone de Brillouin, et ces points sont loclisés en ( = 3 (2b + b 2 = 2π ( 3 3 ux + u y, (6.32 3 (2 = 3 (b + 2b 2 = 2π 3 3 ( 3 ux u y. (6.33 Ces points sont situés en bord de zone de Brillouin, ux sommets de l hexgone limitnt cette zone (figure 6.4. Notons ue chcun des six sommets Cours 6 pge 6

TOPOLOGIE ANS UN RÉSEAU : L EXEMPLE ES POINTS E IRAC 3. Le réseu du grphène de l hexgone limitnt l zone de Brillouin est un point de irc. Toutefois, il fut fire ttention u double comptge. Un vecteur et un vecteur différnt d un vecteur du réseu réciproue correspondent à un seul étt de Bloch. C est le cs pour les utre utres sommets de l hexgone correspondnt à l zone de Brillouin : ils se déduisent de ceux mrués sur l figure 6.4 pr soustrction de b, b 2 et b + b 2. Pr illeurs, on peut vérifier ue l fonction f( est u premier ordre isotrope utour de ces deux zéros, vec f( i 3J 2 (δ x ± i δ y, (6.34 ce ui correspond (u fcteur globl i près à l forme nnoncée en (6.6. L vitesse c est donnée ici pr c = 3 J/2 et elle est de l ordre de 6 m/s pour le grphène (Cstro Neto et l. 29. Effet Hll untiue norml. L chirlité des points de irc d importntes conséuences. Citons-en simplement une ici. Qund on plce un tel mtériu dns un chmp mgnétiue, les niveux d énergie (niveux de Lndu sont repérés pr un entier n et vrient en E n n. En prticulier, il y un niveu d énergie nul, ce ui est très différent du cs ordinire où on trouve E n (n + /2. L pprition de cet étt d énergie nulle peut s interpréter semi-clssiuement en évlunt l ction sur une trjectoire cyclotron dns l espce réciproue encerclnt le point de irc. À l ction hbituelle vient s jouter l phse de Berry ssociée à l chirlité du point de irc, ui remplce n+/2 pr n+/2±/2 (Mikitik & Shrli 999; ceci permet en prticulier l pprition d un étt d énergie nulle, ui joue un rôle importnt dns l effet Hll untiue norml observé sur le grphène (Zhng et l. 25; Novoselov et l. 25. 3-3 Remrues complémentires L chirlité des zéros de f(. Nous vons vu dns les exemples ui précèdent ue l recherche des points de irc se rmène à celle des zéros d une fonction f( à deux vribles réelles, x et y, à vleurs dns le pln complexe. Les zéros d une telle fonction ont générlement une structure de vortex, vec un enroulement de phse positif ou négtif. C est cet enroulement de phse ui vient donner s chirlité à un point de irc. Précisons l origine de cet enroulement de mnière très ulittive. Selon l vleur de, l prtie réelle f r ( de f( peut être positive ou négtive. Les domines du pln ( x, y correspondnt à une vleur positive de f r et ceux correspondnt à une vleur négtive de f r sont séprés pr des lignes (ouvertes ou fermées le long desuelles f r s nnule. Il en v de même pour l prtie imginire f i, ui s nnule le long d utres lignes du pln ( x, y. Un zéro de l fonction complexe f( correspond à un point où deux lignes de zéros, l une pour f r, l utre pour f i, se croisent. Ce croisement définit générlement 3 utre udrnts, correspondnt ux 4 choix possibles pour les signes du couple (f r, f i : (+, +, (+,, (,, (, +. Selon u on trouve cet ordre en tournnt utour du zéro dns le sens direct ou dns le sens rétrogrde, on une chirlité ou son opposé pour le point de irc. 3. On peut imginer des solutions plus rres, où le zéro de f r ou f i est double, mis nous décrivons ici uniuement l sitution «stndrd». Robustesse des points de irc. Supposons ue les prmètres du réseu soient choisis tels ue l fonction f( it effectivement 2 (ou 4,6,... zéros dns l zone de Brillouin. Qund les prmètres du réseu sont modifiés en mintennt une même énergie pour les deux sites, seule l fonction f( chnge. Mis les zéros de f( sont protégés topologiuement pr leur chirlité : en d utres termes, les deux courbes définissnt f r ( = et f i ( = vont continuer à se croiser (en un utre point si on modifie légèrement ces courbes. L seule mnière de fire disprître les croisements dns ce contexte est de fire fusionner deux zéros, l un de chirlité positive et l utre de chirlité négtive, en rélisnt une sitution où les deux courbes f r ( = et f i ( = deviennent tngentes l une à l utre. Pour un remplissge des étts de type grphène, ce cs prticulier de fusion de points de irc correspond à une trnsition topologiue entre une phse semi-métlliue et un isolnt de bnde, et il est étudié en détil pr Montmbux et l. (29. Énergies sur site. Si les points de irc résistent à une modifiction (légère de l fonction f(k, il n en v ps de même vis à vis d une dissymétrie entre les deux nœuds A et B. Si on modifie l hmiltonien de Hubbrd en donnnt une énergie E + (resp. E ux sites A (resp. B, lors les Cours 6 pge 7

TOPOLOGIE ANS UN RÉSEAU : L EXEMPLE ES POINTS E IRAC 4. Le grphène en version tomes froids" vleurs propres de deviennent ( E + f Ĥ( = (, (6.35 f( E kx E ± ( = E ± [ f( 2 + 2] /2 (6.36 et on retrouve deux sous-bndes «ordinires», séprées pr un gp 2 et sns propriété topologiue remruble. Si une telle dissymétrie est difficile à créer sur du grphène réel (voir pr exemple Montmbux et l. FIGURE 6.5. Construction d un réseu en «mur de briues» (Trruell et l. 22. en Guche : réseu crré obtenu en superposnt V (29 et refs. in, elle pprît en revnche isément dns des réseux optiues, comme nous llons le voir ci-dessous. et V ( 2 = V Y cos 2 (ky. roite : ugmenttion ou diminution des coefficients (r = V X sin 2 (kx LETTER tunnels horizontux y pr le terme V (b 2 (r = 2 V t = X V Y cos(kx cos(ky. es t = T V(x, y vleurs typiues sont (en unité de E B r : V X = 4., V Y = 2., V X =.3. 4 Le grphène en version tomes froids" ~{VXcos 2 (kxzh=2{v ( X cos 2 (kx{v Y cos 2 (ky ðþ p {2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V X V Y cos(kxcos(kycos(q verrouillées en phse l une pr rpport à l utre 4 Le groupe de Tilmn Esslinger à Zurich récemment rélisé un réseu x where VX, V X nd V Y denote single-bem optiue de type «mur de briues», dns leuel il pu mettre en évidence V 2 lttice (r = depths V Y cos (proportionl to lser bem intensities, is visibility of interference 2 (ky 2 V X V Y cos(kx cos(ky V X cos 2 (kx (6.38 des points de irc et montrer ue leurs pttern positions nd étient k 5 2p/l. contrôlbles We cn djust two phses continuously, nd grâce u prmètre J x /J y. L existence de ces choose points h 5 de p nd irc Q 5 été (Methods. montrée grâce ux oscilltions de Bloch, les prticules étnt trnsférées vec (2 of Les intensités de ces ondes sont choisies telles ue Vrying reltive intensities bems llows us to relize vrious lttice structures (Fig. b. In y une forte probbilité de l bnde inférieure vers following, l bnde we focus supérieure on und V X V X V Y V Y < V X. (6.39 honeycomb lttice, whose rel-spce potentil is shown in Fig. c. x elles pssent u voisinge de ces points de contct. En prtiue, seuls les trois termes les plus importnts T B /2 sont pertinents pour T B /2 T B The honeycomb lttice consists of two sublttices, formtion A nd B. dutherefore, réseu recherché et nous négligerons le utrième terme, wvefunctions re two-component spinors V. Tunnelling between X cos 4- Rélistion du réseu en «mur desublttices briues leds» 2 (kx, dns notre discussion. Trjectory to formtion of two energy bnds, which re well seprted from higher bnds nd hve Prenons conicl intersection pour commencer t θ = π, soit V (r = V X sin 2 (kx ; ce pr- zone ser vrié ircultérieurement, points. notmment pour obtenir les résultts de Le potentiel lumineux utilisé résulte detwo l superposition usi-momentum de plusieurs points in Brillouinmètre ondes lumineuses sttionnires. L onde l These plus intense points est reune topologicl onde st-defecttionnire selon l direction x crént le potentiel respective ssocited Berry phses of p nd 2p. on fbriue This gurntees un réseu ir crré dont les sites sont les points in l figure bnd 6.8. structure, Avec seulement with les termes en V et en V ( 2 = V Y cos 2 (ky, stbility with respect to lttice perturbtions, such tht lrge rnge of V (r = V X cos 2 (kx lttice + θ/2 nisotropies chnge (6.37 only positions of irc points kx = inside π/2 [modulo Trjectory π], ky = [modulo π]. (6.4 Brillouin zone. In contrst, breking inversion symmetry of 2 où θ est un prmètre ue l on peut juster potentil vrint by introducing légèrementn l fréuence de cette onde. On superpose un réseu opens optiue n energy dns gpletpln irc xy points, proportionl to. In our energy offset,, between 4. ns l rticle sublttices de Trruell et l. (22, le terme en V X V Y est réduit pr un fcteur multiplictif α.9 ui crctérise l visibilité de l interférence entre l onde sttionnire selon y et celle selon x. Nous omettrons ici ce coefficient ui ne joue ps de rôle u niveu de formé pr deux ondes lumineuses sttionnires implementtion, selon les directions depends x et only y, on vluenotre of description phse hsemi-untittive. nd cn be precisely djusted (Methods. As shown in Fig. c, d, primitive irc points Brgg reflections lttice vectors re perpendiculr, leding to sure Brillouin zone with two irc points inside. Their positions re symmetric round b Phse, centre nd re fixed to usi-momentum Cours 6 pge x 58, owing to timereversl nd reflection symmetries of system 2.9π.95π.π.5π.π. The bnd structure ky ky kx RESEARCH

TOPOLOGIE ANS UN RÉSEAU : L EXEMPLE ES POINTS E IRAC 4. Le grphène en version tomes froids" Notons ue l effet tunnel est plus fible selon x ue selon y puisue V X > V Y. Le terme en V (b 2 (r = 2 y V X V Y cos(kx cos(ky v venir moduler t = t = T V(x, y B certins coefficients tunnels (figure 6.5 : ~{VXcos 2 (kxzh=2{v ( X cos 2 (kx{v Y cos 2 (ky ðþ Les liens verticux sont centrés sur des points tels ue p kx = π/2 modulo π et ky = π/2 modulo π. Les éléments de mtrice {2 tunnels ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V X V Y cos(kxcos(kycos(q de ces liens sont peu ffectés pr V (b 2 puisue puisue (b x where VX, V X 2 nd (r V Y denote cos(kx est single-bem lttice depths (proportionl to lser bem intensities, is visibility of interference nul le long de ces liens. Les liens horizontux sont centrés sur pttern des points nd k 5 tels 2p/l. ue We cn kx djust = two phses continuously, nd choose h 5 p nd Q 5 (Methods. Vrying reltive intensities modulo π et ky = modulo π. Au centre de ces liens, on donc (2 of cos(kx = ± et cos(ky = ±. Le potentiel V (b bems llows us to relize vrious lttice structures (Fig. b. In y following, 2weyfocus prend on une honeycomb vleur lttice, whose rel-spce poten- mtrice is shown tunnel. in Fig. eux c. cs sont x significtive et modifie les éléments detil T B /2 T B /2 T B possibles : The honeycomb lttice consists of two sublttices, FIGURE A nd B. 6.6. Therefore, Guche : oscilltions de Bloch induites pr une force le long de l xe wvefunctions re two-component spinors Un lien horizontl centré sur un point tel ue cos(kx et cos(ky. x. Tunnelling Milieu : distribution between initile dns l espce des. roite : distribution dns l espce bnds, des which prèsre une oscilltion de Bloch (période τ B. On distingue nettement les Trjectory sublttices leds to formtion of two energy sont de même signe (et égux à ± correspond à une vleur négtive de V (b tomes ui sont pssés u voisinge d un point de irc u cours de l oscilltion well seprted from higher bnds nd hve conicl intersection t 2 ui vient bisser ltwo brrière usi-momentum tunnel entre points lesin deux Brillouin zone irc points. et ui ont lors été trnsférés vers l bnde supérieure [figure extrite de Trruell sites concernés pr ce lien : l effetthese tunnel points entrere cestopologicl deux sitesdefects est in bnd structure, with ugmenté. respective ssocited Berry phses of p nd 2p. This et l. gurntees (22]. ir stbility with respect to lttice perturbtions, such tht lrge rnge of Un lien horizontl centré sur un point lttice nisotropies tel ue cos(kx chnge etonly cos(ky positions of irc points inside sont de signe opposés correspond à une vleur positive de V (b Trjectory Brillouin zone. In contrst, breking 2 inversion de sorte symmetry u un of tome reste 2 dns l bnde u il occupit u début de l extinction, et l effet tunnel correspondnt (déjà potentil fibleby enintroducing bsence denv energy (b 2 estoffset,, between sublttices encore diminué. opens n energy gp t irc points, proportionl to et. on In our effectue un temps de vol ui révèle insi l popultion de implementtion, depends only on vlue of chue phse hbnde. cn be Au finl, on rélise effectivement le réseu precisely en «mur djusted de briues (Methods.» recherché. lttice vectors re perpendiculr, leding to sure Brillouin zone As shown in Fig. c, d, primitive irc points Brgg reflections Le gz tomiue utilisé est un ensemble de fermions polrisé et sns interctions ( with two irc points inside. Their positions re symmetric round 4 K. Les b tomes occupent initilement plutôt le centre de l Phse, centre nd re fixed to usi-momentum x 5, zone owingdetobrillouin time- de irc nd reflection symmetries of system 2.9π.95π.π.5π.π et ne rencontrent donc ps dns un premier temps les 4-2 Oscilltions de Bloch et pointsreversl points. The bnd de structure irc ui sont situés plutôt en bord de bnde (figure 6.3. En re- bnds topologiclly l seconde prtie de l oscilltion de Bloch (près réflexion de Brgg for our lttice implementtion is in two lowestvnche,.4 euivlent to tht of hexgonl lttice with six-fold sur une symmetry. proi For de l zone de Brillouin peut les mener u voisinge Pour sonder l position des points de irc, deep lttices, l méthode both configurtions utilisée à Zurich été d observer le résultt d oscilltions binding de Bloch. Hmiltonin. Ces oscilltions se Δ A B des n lso mppoints to de sme irc tight- et l trnsition peut lors se produire (figure 6.6. A B.3 produisent selon l direction x sous l effet d une Weforce chrcterize constnte irc cusée points pr by probing L energy position splitting des pics ynt été trnsférés dns l bnde supérieure Δ /h = 39 renseigne directement trnsitions. sur l position des points de irc. Cette position est, Hz un grdient de chmp mgnétiue. Qundbetween l trjectoire twodns lowest-energy l espce bnds des through interbnd psse u voisinge d un point de irc, l tome The strting peut point vecofune experiment forte pro-ibbilité être trnsféré vers l bnde supérieure of N<5, (pour une fermionic étude 4.2 rpport J x /J y, les points disprissnt und ce non-intercting, rppelons-le, ultrcoldfonction gs du détillée K toms in jf, m F ærpport 5 j9/2, 29/2æ devient stte, trop élevé. Le groupe de Zurich étudié l position des de cette trnsition, voir Lim et l. (22. Le where pssge F denotes vers l hyperfine bnde excitée mnifold nd m F points Zeemn de stte. irc The en vrint le potentiel V X. Le résultt, montré sur l figure cloud is prepred in lowest-energy bnd of honeycomb lttice. peut ensuite être détecté pr l techniue with du bnd VX=E mpping présentée u R ~4:(2, V X =E R ~:28( nd V Y =E 6.7, R ~:8(, est en bon which ccord vec les prédictions. Notons ue le modèle de liisons chpitre 2 de ce cours : on éteint dibtiuement lso cuses le réseu wek hrmonic (durée.5 confinement ms with trpping fortes n est freuencies ps untittivement vlble dns ce domine de prmètres v x /2p 5 7.6( Hz, v y /2p 5 3.8(5 Hz nd v z /2p 5 32.7(5 Hz. 34 35 36 37 38 39 4 4 42 43 Here E R 5 h 2 /2ml 2 is recoil energy, h denotes Plnck s constnt etuning, δ (MHz nd m is mss of 4 K tom. Throughout mnuscript, errors in Figure 2 Probing irc points., Qusi-momentum distribution of prensis denote stndrd Cours devition. 6 Onpge ppliction 9 of wek toms before nd fter one Bloch oscilltion, of period T B (colour scle, column mgnetic field grdient, tomic cloud is subjected to constnt density of bsorption imge in rbitrry units. The cloud explores severl Trnsferred frction, LETTER RESEARCH

by decresing intensity opens nof energy X. The gpposition t irc of points, irc proportionl points to. centre In our of cloud successively psses two irc points during continuously pproches implementtion, corners depends of Brillouin only on zone vlue(fig. of 3, phse h nd Bloch cn be cycle, effectively relizing Stückelberg interferometer 23,24 in TOPOLOGIE s expected ANS fromun nréseau b precisely initio: two-dimensionl djusted L EXEMPLE (Methods. ES POINTS bnd As shown structure E IRAC in Fig. clcultion (Methods. Thelttice devitions vectors close retoperpendiculr, merging leding point re topossibly sure Brillouin identifyzone topologicl trnsition by onset of popultion trnsfer c, d, two-dimensionl primitive bnd structure. irc points As shown 4. Le grphène in Fig. Brgg 4b, reflections en version we gin tomes froids" with two irc points inside. Their positions re symmetric toround second b Phse, bnd. The results for trnsition lines obtined for centre nd re fixed to usi-momentum x 5, owing to timereversl nd reflection symmetries of system 2.9π.95π.π.5π.π. The bnd structure.35 for our lttice implementtion is in two lowest bnds topologiclly...2.3.4.3 euivlent to tht of hexgonl lttice with six-fold symmetry. For Trnsferred frction, A B deep lttices, both configurtions n lso mp to sme tightbinding Hmiltonin. A B.25 b Δ.3 We chrcterize irc points by probing energy. splitting Δ /h = 39 Hz.2 between two lowest-energy bnds through interbnd trnsitions..5 The strting point of experiment is non-intercting, ultrcold.8 gs of N<5, fermionic 4.2 K toms in jf, m. F æ 5 j9/2, 29/2æ stte, where F denotes hyperfine mnifold nd m.6 F Zeemn stte. The.5 cloud is prepred in lowest-energy bnd of honeycomb lttice. with.4. Merging VX=E R point ~4:(2, (V X = 3.4E V X =E R R ~:28( nd V Y =E R ~:8(, which lso cuses wek hrmonic confinement with trpping freuencies 2 3 4 5 6 3. v x 3.5 /2p 5 7.6( 4. Hz, v y 4.5 /2p 5 3.8(5 5. Hz nd 5.5 v.2 z /2p 5 32.7(5 Hz. 34 35 36 37 38 39 4 4 42 43 Here E R 5 h 2 /2ml V X (Eis R recoil energy, h denotes Plnck s constnt etuning, δ (MHz nd m is mss of 4 K tom. Throughout mnuscript,. errors in Figure 2 32 Probing 4 5 6irc points., Qusi-momentum 2 3 4 5distribution 6 of b FIGURE 6.7. Vrition de prensis l positiondenote des points stndrd de ircdevition. sur l xe On x = ppliction en of wek FIGURE toms 6.8. before isprition V X (E R nd fter des one points Bloch oscilltion, de irc of und Vperiod on X (E R T dissymétrise B (colour scle, les column sites A et fonction de l profondeurmgnetic potentiel field V X. grdient, Pour cette figure, tomicvcloud Y =.8 is subjected et V X W= to constnt B : probbilité density of de pssge bsorption vers imge l bnde in rbitrry supérieure units. enthe fonction cloud explores de l ngle severl θ entrnt 2 3 4 5 6.28. On s ttend à ce ue force, les deux F, in points x direction, de irc with fusionnent n effect dns euivlent le coin to de tht l produced dns by l trjectories définition de usi-momentum V (r (6.37. spce Cet ngle simultneously. θ, indiuéfor sur trjectory l échelle horizontle (blue W W W n electric field in solid-stte systems. The toms re hence ccelerted supérieure, filled circle, est contrôlé toms prremin le désccord in first du energy fisceu W bnd. crént In contrst, cette onde trjectory sttionnire, 2 zone de Brillouin pour V X = 3.4, ce ui correspond bien ux observtions [figure W W such tht ir usi-momentum extrite de Trruell et l. (22]. x increses linerly up to edgedonné of (green sur l échelle open circle horizontle psses through inférieure irc [figure point extrite t t 5 Tde B /2. Trruell There etenergy l. (22]. Brillouin zone, where Brgg reflection occurs. The cloude eventully returns to centre of bnd, performing one full Bloch splitting between bnds vnishes E nd toms re trnsferred to B 2 B B 2 second bnd. When mesuring usi-momentum B distribution t t 5 T B, y oscilltion 2 se toms re missing from first x Brillouin zone nd pper in second. We n mesure usi-momentum distribution of y 4-3 one. Perspectives b, ependence of totl frction of toms trnsferred to second V X = 3.4E R toms V X in= 4.Edifferent R bndsv 22 X = (Methods. 5.5E R x Figure 4 Topologicl bnd, j, trnsition. detuning, Frction d, of of toms ltticetrnsferred bems, which tocontrols second sublttice Owing to finite momentum width of cloud, trjectories with bnd, j, s function energy of offset, lttice. The depths mximum VX ndindictes V X, with V point Y /E R 5of.8(. inversion symmetry, different usi-moment Figure 3 Movement of irc points., istnce y re simultneously explored during L expérience from irc points to ifferent lttice where geometries 5 (h de (sure, 5Zurich p in cheuerbord, eution donc ( permis nd tringulr, de gpmettre t dimer irc en évidence nd point vnishes. l existence Bloch cycle (Fig. 2. For trjectory fr from irc points, corners of Brillouin zone, s mesured through momentum-resolved de points Insets: de wy irc from dns pek, un réseu toms behve optiue. s irc L flexibilité fermions with offerte tunble pr ces honeycomb re relized (Fig. b. We consider trjectories in usimomentum toms remin in lowest-energy bnd (trjectory. In contrst, et u il interbnd fut utiliser trnsitions. unethe digonlistion tunnelling in numériue x directiondeincreses l hmiltonien when du réseu lttice pour depth déterminer réseux mss. spce in est t illustrée show men x ( nd sur6 y (b ls.d. figure of five directions. 6.7, consecutive Ech où l onmesurements; dt contrôle point is single l solid position line isde ces when pssing through irc point (trjectory 2, toms re VX is decresed. précisément The distnce l position is extrcted des points from de irc second-bnd dns ce mesurement, points, Gussin ndon s les fit result fit to re fusionner, dt. re t lest puis,2 disprître. points per Cette digrm. expérience To n est pro- trnsfer for u un y trnsferred from first bnd to second becuse of vnishing cs. usi-momentum distribution fter one Bloch cycle (insets. The merging of mximizebblement point trjectories, de déprt wheredns cloud cettesuccessively simultionpsses du grphène pr two irc points t energy corners splitting of t Brillouin liner zone bnd is signlled crossing. by When single mesuring with full bndwidth, W/h 5 4.6 khz, nd minimum bndgp t two irc des points, tomeswefroids. set h 5e.3(p. nombreux For both spects trjectories, de l physiue onset ultr-reltiviste of line Il est oféglement missing toms possible in usi-momentum de first dissymétries bnd. t distribution, show les deux mensites 6 se s.d. Atoms of etthree B du re toréseu nine missing popultion in first ue edges of Brillouin zone, E trnsfer l on to rencontre second ubnd voisinge signls de points topologicl G /h 5 475 de irc Hz. trnsition, devrient where pouvoir être dns mesurements. cette expérience. The solid Il Brillouin suffit line ispour zone prediction cel nd de pper prendre of in two-dimensionl une second vleur bnd de bnd (Fig. θ dns 2. We irc identify points bordés pper. To vec investigte The ces systèmes. dshed how line breking Le is prdoxe oreticl inversion de prediction Klein, symmetry c est-à-dire for of l lttice trnsmission line without usi-totle (6.37 structure différente clcultion de π. without On points vu nyen fitting of (6.36 mximum prmeters. ue ceci trnsfer revient b, Energy with à splitting ouvrir irc un points. gp trnsition The energy ffects ny fitting irc d unprmeters, points, puet we d ondes nd vry à dotted trvers sublttice line une indictes brrière offset,, de which très grnde is entre between les deux two sous-bndes lowest resolution bnds. ; l oscilltion It shows of method dedisplcement is set by Bloch ne doit of lors irc chrcteristic pluscones energy cuser trnsition of from controlled tringulr by lttice freuency to dimer detuning, lttice. The d, between bottom digrms lttice bems, huteur, devrit insi pouvoir être étudié (Ktsnelson et l. 26. Rppelons ue ce prdoxe joue un rôle importnt dns le grphène réel cr il deinside trnsition Brillouin entre ces zone, pplied deux s well force sous-bndes, s ir, E B deformtion /h 5 Fl/2h 5 u moins depending 88.6(7 Hz, si l force onui which lttice is smll crée show compred cuts of nd bnd mesure structure long totl frction x xis of ( toms y 5 ; trnsferred nd y xis to ( x 5 second ; bnd, n est depth psvx. trop grnde. C est effectivement ce ui est observé expérimentlement b for empêche vlues of Vl X nd rétro-diffusion VX indicted. 5 MARCH des électrons 22 devol conduction 483 NATURE ; les électrons 33 de (figure 6.8. 22 Mcmilln Publishers irc Limited. sont All insensibles rights reserved ux effets de loclistion observés pour des élecb 34 NATURE VOL 483 5 MARCH 22 22 Mcmilln Publishers Limited. All rights reserved istnce to BZ corner ( B Energy splitting V X (E R Trnsferred frction, Cours 6 pge

TOPOLOGIE ANS UN RÉSEAU : L EXEMPLE ES POINTS E IRAC 5. Références trons «ordinires» (Cstro Neto et l. 29 et se propgent donc bllistiuement sur de longues distnces (micromètres. Pr illeurs, l mise en plce de chmps mgnétiues rtificiels sur ce réseu devrient permettre d border l étude de l effet Hll untiue norml vec des tomes froids. Zhu, Shi-Ling, Bigeng Wng & L.-M. un (27, «Simultion nd etection of irc Fermions with Cold Atoms in n Opticl Lttice», in Phys. Rev. Lett. 98 (26, p. 2642. 5 Références Cstro Neto, A. H., F. Guine, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov & A. K. Geim (29, «The electronic properties of grphene», in Rev. Mod. Phys. 8 (, pp. 9 62. Ktsnelson, M. I., K. S. Novoselov & A. K. Geim (26, «Chirl tunnelling nd Klein prdox in grphene», in Nture Physics 2, pp. 62 625. Lee, Ken Loon, Benoit Grémud, Rui Hn, Berthold-Georg Englert & Christin Minitur (29, «Ultrcold fermions in grphene-type opticl lttice», in Phys. Rev. A 8 (4, p. 434. Lim, Lih-King, Jen-Noël Fuchs & Gilles Montmbux (22, «Bloch- Zener Oscilltions cross Merging Trnsition of irc Points», in Phys. Rev. Lett. 8 (7, p. 7533. Mikitik, G. P. & Yu. V. Shrli (999, «Mnifesttion of Berry s Phse in Metl Physics», in Phys. Rev. Lett. 82 (, pp. 247 25. Montmbux, G., F. Piéchon, J.-N. Fuchs & M. O. Goerbig (29, «Merging of irc points in two-dimensionl crystl», in Phys. Rev. B 8 (5, p. 5342. Novoselov, KS, AK Geim, SV Morozov, Jing, MI Ktsnelson, IV Grigoriev, SV ubonos & AA Firsov (25, «Two-dimensionl gs of mssless irc fermions in grphene», in NATURE 438.765, 97 2. Trruell, Letici, niel Greif, Thoms Uehlinger, Gregor Jotzu & Tilmn Esslinger (22, «Creting, moving nd merging irc points with Fermi gs in tunble honeycomb lttice», in Nture 483.7389, 32 U9. Wllce, P. R. (947, «The Bnd Theory of Grphite», in Phys. Rev. 7 (9, pp. 622 634. Wunsch, B, F Guine & F Sols (28, «irc-point engineering nd topologicl phse trnsitions in honeycomb opticl lttices», in New Journl of Physics., p. 327. Zhng, YB, YW Tn, HL Stormer & P Kim (25, «Experimentl observtion of untum Hll effect nd Berry s phse in grphene», in NATURE 438.765, 2 24. Cours 6 pge