RANSFORMAION DE FOURIER Corrigé des exercices. Déterminer les transformées de Fourier des fonctions : a t I [,] t, bt sin t,ct e t /,dt t π +t 2. [ ] e a FI [,] tν e 2it 2it dt e 2iπ ν e 2iπ ν sin2. 2i 2i sin2 b On sait que I [,] t e 2iπtν dν. En prenant, on a donc I [, ]t sin ν π ν e2iπtν dν sin x sin x π F t donc F t πi x x [, ] t sin x et par parité dei [, ], on a donc F ν π I x [, ]ν. [ ] + c Fe t / ν e t 2it dt+ e t 2it e t [ ] 2it e t + 2it dt 2i + 2i donc Fe t / ν 2iπ ν + +2iπ ν 2 +4π 2 ν 2 2. d On sait que e t / 2 +4π 2 ν 2 2 e2it dν. En prenant, on a alors e t +ν 2 e2it dν F π +x 2 t et, comme t e t est paire, On a donc F π +x 2 ν e ν. 2. Soit fx e πx2. Déterminer ˆfν et en déduire une équation différentielle en ˆf que l on résoudra. [On rappelle que dx ] IR e πx2 f x xfx donc Ff Ftft existe car t tft L. Il vient alors 2i ˆfν 2iπ ˆf ν, soit ˆf ν+2 ˆfν. La solution générale de cette équation s écrit ˆfν Ke 2. Sachant que K ˆf dx, on en déduit ˆfν e 2. IR e πx2 3. Soit l équation intégrale, pour <a<bet f L IR : ft IR x t 2 + a 2 dt x 2 + b 2 Exprimer sous forme d une équation de convolution, déterminer ˆfν et en déduire ft.
2 Posons g c t t 2 + c 2. On a alors f g a g b donc ˆf.ĝ a ĝ b. Grâce aux tables de transformées de Fourier, on a π + t 2 ν e ν, d où c 2 + t 2 ν π c 2 e ν et On a alors ˆf ĝb ĝ a a b e b a ν. 2 On procède par transformées inverses successives : a b e b a ν a b c + 2 t 2 ν c. π c 2 e cν π c e cν c π + t b a 2 b a d où ft ab a b πb a 2 + t 2. 4. Soit f : IR C intégrable et ˆf sa transformée de Fourier. Pour tout >et pour tout t IR, on définit f t x e 2iπtx ˆfx dx. Démontrer que f t sin 2 πs π 2 s 2 ft + s+ft s ds. sin 2 u 2 Calculer la valeur de I du. u 2 3 Supposons f bornée. Montrer qu en tout point t IR où ft + et ft existent, on a : lim + f t 2 ft+ +ft. f t x e 2iπtx IR e 2iπxu fu du dx. On peut appliquer le théorème de Fubini car x fu du dx fu du est fini. On a alors, avec t u s, IR IR f t x e 2iπt ux dx fu du x e 2iπsx dx ft s ds IR IR Puis x e 2iπsx dx x e 2iπsx dx + + x e 2iπsx dx 2 x e 2iπsx dx x cossx dx [ x ] sinsx πs 2 s 2 [ cossx] x e 2iπsx dx + sinsx dx πs cos s 2 s 2 sin2 πs π 2 s 2
3 On parvient ainsi à f t IR sin 2 πs π 2 s 2 ft s ds. Or avec s s, sin 2 πs sin 2 πs π 2 s 2 ft s ds + π 2 s 2 ft + s d s sin 2 πs π 2 s 2 ft + s ds et f t A sin 2 u 2 ε u 2 du changement de variable t 2u, sin 2 πs π 2 ft + s+ft s ds. s2 [ ] A sin2 u A sin u cos u +2 du u ε ε u sin2u du u 3 D après et 2, f t 2 ft+ +ft π sin2u du et, avec le u sin t dt, donc I π t 2. g u, t du où ε,a + g u, t sin2 u u 2 f t + u + f t u ft + ft π π lim g u, t et g u, t 4M sin2 u + u 2 de convergence dominée de Lebesgue. où M sup f. On conclut alors grâce au théorème I 5. Résoudre l équation de Laplace 2 φ x 2 + 2 φ φ où y>, avec et φ quand y2 x x, y +, φx, pour x et φx, pour x >. [Utiliser la transformée de Fourier par rapport à x] Soit ˆφν, y IR φx, ye 2ix dx. Alors D autre part, 2 φx, y y 2 e 2ix dx 2 y 2 φx, ye 2ix dx 2 φ x 2 x, ye 2ix dx peut être intégré par parties 2 ˆφ ν, y y2 2 [ ] φ φ + x 2 x, φ ye 2ix dx x, ye 2ix +2i x x e 2ix dx 2i [ φx, ye 2ix] + 4π2 ν 2 φx, ye 2ix dx 4π 2 ν 2 ˆφx, y On a utilisé la condition que φ et sa dérivée partielle par rapport à x tendent vers quand x ±. Alors si on prend la transformée de Fourier de l équation de Laplace, on obtient 2 φ x 2 + 2 φ y 2 x, ye 2ix dx soit 2 ˆφ y 2 ν, y 4π2 ν 2 ˆφν, y.
4 Comme ˆφ pour y grand, la solution est ˆφν, y Ce ν y On applique alors la condition pour y ˆφν, C φx, e 2ix dx e 2ix dx e2i e 2i 2i sin 2 sin 2 et donc C et ˆφν, sin 2 y e ν y. y Or on a e ν y sin 2 F π t 2 + y 2 ν et Fφx, ν. On sait que FF.FG FF G donc φx, y y π dτ x τ 2 + y 2 x x + Arctan + Arctan π y y hème d étude : résolution de l équation de la chaleur Objectif : Étude de l évolution de la température à l intérieur d une tige rectiligne, homogène, de section petite par rapport à la longueur que l on suppose infinie. On note ux, t la température de la tige en l abscisse x au temps t. L équation aux dérivées partielles associée à ce modèle est l équation de la chaleur : u t a2 2 u x 2 avec a 2 λ où λ est la conductivité de la tige, ρ sa masse volumique et c sa chaleur spécifique. ρc On va résoudre ce problème dans le cas où la température est soumise à la condition initiale ux, ϕx, oùϕ est une fonction bornée et intégrable sur IR. On suppose u de classe C 2 par rapport à x, et de classe C par rapport à t. Appliquer la transformée de Fourier par rapport à x, aux deux membres de l équation de la chaleur. En déduire une équation différentielle vérifiée par ûx, t. Larésoudre. 2 Exprimer ux, t sous forme d un produit de convolution. On pose ûν, t ux, te 2ix dx. On a alors û ν, t t u t x, te 2ix dx a 2 2 u x 2 x, te 2ix dx ] + u x, te 2ix +2i x x x, te 2ix dx a 2 [ u 4a 2 π 2 ν 2 ux, te 2ix dx 4a 2 π 2 ν 2 ûν, t
5 Si on pose g ν t ûν, t, on a donc g ν t g ν t 4a2 π 2 ν 2 ln g ν t, d où lng ν t 4a 2 π 2 ν 2 t + c et g ν t Ke 4a2 π 2 ν 2t ûν, t avec, pour t,ûν, K ˆϕν. Ainsi, ûν, t ˆϕν e 2 2a 2 tν 2. On reconnaît e 2 σ 2 ν 2 avec σ a 2t, et c est F 2a x 2 πt e 4a 2 t ν. On utilise enfin la propriété FF FG FF G, puis l inverse de la transformée de Fourier pour conclure que : ux, t 2a πt ϕse x s2 4a 2 t ds.