2ème Forum sur les Impédances Élecrochimiques, C. Gabrielli (Ed.), Paris 17 Déc. 27, p. C29. MÉTHODE DE COMPENSATION DE DÉRIVE LORS D UNE MESURE D IMPÉDANCE ÉLECTROCHIMIQUE J.-P. DIARD 1, B. PETRESCU 2 1 UMR 5631 CNRS-INPG-UJF, École Naionale Supérieure d Élecrochimie e d Élecroméallurgie de Grenoble, Laboraoire d Élecrochimie e de Physicochimie des Maériaux e Inerfaces, Domaine Universiaire, BP 75, 3842 Sain Marin d Hères, France 2 Bio-Logic SAS, 1, rue de l Europe, 3864, Claix, France Résumé Pour mesurer correcemen l impédance d un sysème il fau : que le comporemen du sysème soi celui d un sysème linéaire e invarian dans le emps (SLIT), que son éa saionnaire de foncionnemen soi aein. Mesurer l impédance d un sysème qui n a pas aein son éa saionnaire enraîne des erreurs de mesure noammen en basses fréquences. On présene une méhode de compensaion de la mesure lorsque l impédance es mesurée dans ces condiions par ransformaion de Fourier des signaux d enrée e de sorie. Cee compensaion perme de réduire considérablemen le emps de mesure pour des sysèmes à consanes de emps rès grandes comme par exemple les baeries ou les sysèmes à réacion élecrochimique d inserion.
1 Inroducion Pour mesurer l impédance d un sysème il fau : que le comporemen du sysème soi celui d un sysème e invarian dans le emps (SLIT), que son éa saionnaire de foncionnemen soi aein. E E E E I I Fig. 1 Exemple de réponse en couran d un dipôle élecrique auquel on impose la somme d un échelon d ampliude E e d un rain de sinusoïdes d ampliude δe. Gauche : rain de sinusoïdes démarran lorsque le régime saionnaire es aein, droie : rain de sinusoïdes démarran dès le débu de l imposiion de l échelon. Mesurer l impédance d un sysème qui n a pas aein son éa saionnaire enraîne des erreurs de mesure noammen en basses fréquences. La ranche de signal prélevé dans la réponse pour calculer le specre de Fourier n es plus périodique e la présence du ransioire dû à l échelon d exciaion produi une conribuion dans le specre de la réponse qui va s ajouer à la réponse à la sinusoïde de commande (Fig. 2). On présene une méhode de compensaion de la mesure lorsque l impédance es mesurée dans ces condiions de dérive vers l éa saionnaire par ransformaion de Fourier des signaux d enrée e de sorie. L erreur de mesure es présenée sur un circui élecrique. Les possibiliés de la méhode de compensaion de dérive son monrées en simulan numériquemen une mesure d impédance par ransformée de Fourier. Des résulas de mesures réalisées sur un accumulaeur Li-Ion, avec e sans compensaion, son ensuie comparés.
E E E E I I Fig. 2 Exemple de réponse en couran d un dipôle élecrique auquel on impose la somme d un échelon d ampliude E e d un rain de sinusoïdes d ampliude δe. Gauche : rain de sinusoïdes démarran lorsque le régime saionnaire es aein, droie : rain de sinusoïdes démarran dès le débu de l imposiion de l échelon. 2 Mesure d une impédance lors d une dérive vers un éa saionnaire 2.1 Circui élecrique de es Soi le circui élecrique de la Fig. 3 consiué de rois condensaeurs e deux résisances. C 1 C 2 C3 R 1 R 2 Fig. 3 Circui élecrique de es. Supposons que l on désire mesurer l impédance de ce circui lorsque l on impose un échelon de ension d ampliude E à ses bornes, même si cee mesure n appore rien à la connaissance de ce circui puisqu il es linéaire e qu il suffi pour caracériser le circui élecrique d effecuer une mesure d impédance à l abandon [1]. La Fig. 4 a éé obenue ainsi que ous les résulas expérimenaux de cee communicaion à l aide d un VSP de Bio-Logic e du logiciel EC-Lab Express. Elle présene le ransioire de couran mesuré correspondan à la réponse du circui à un échelon de
ension d ampliude E = 1 mv. On peu considérer que la valeur du couran es revenue à zéro au bou d environ 2 mn. Pour mesurer l impédance de ce circui en régime saionnaire il es donc nécessaire d aendre 2 mn avan de commencer la mesure. Fig. 4 Réponse en couran du circui élecrique de la Fig. 3 à un échelon de ension pour une ampliude d échelon E de la ension de 1 mv. Procédure CA d EC-Lab Express. La Fig. 5 présene rois graphes de Nyquis de l impédance du circui de la Fig. 3. Ces rois graphes on éé mesurés successivemen sans aendre que le régime saionnaire soi aein. Les graphes présenen une différence dans la zone de fréquence médiane correspondan à l arc de cercle observé dans les fréquences inermédiaires. Les deuxième e roisième graphes son praiquemen ideniques e corresponden au graphe qui serai mesuré au poeniel de circui ouver. La durée de mesure d un graphe d impédance es d environ 8 mn e les deuxième e roisième graphe son racés dans des condiions praiquemen correces de saionnarié, ce qui n es pas le cas pour le premier. La durée d aene de l éa saionnaire peu devenir rédhibioire si l on doi effecuer un nombre élevé de mesures d impédance pour caracériser le comporemen d un sysème non-linéaire, élecrochimique ou non, comme par exemple dans le cas des sysèmes faisan inervenir des réacions élecrochimiques d inserion ainsi que pour les baeries mean en jeu de elles réacions d élecrode. Il es alors inéressan de pouvoir s affranchir de ce emps d aene de la saionnarié de foncionnemen. 2.2 Principe de la compensaion de la dérive vers l éa saionnaire Différenes méhodes de compensaion de dérive son proposés dans [2, 3]. Une méhode de mise en œuvre rès simple, don le principe es exposé dans [4, 5, 6], a éé proposée plus récemmen. La méhode de compensaion concerne la mesure de l impédance d un sysème élecrochimique par ransformée de Fourier. Elle consise à calculer les ransformées de Fourier discrèe de la ension e du couran e à effecuer une
Fig. 5 Trois graphes de Nyquis de l impédance du circui de la Fig. 3 mesurés successivemens à parir de l insan d imposiion de l échelon de poeniel e agrandissemen de la parie basse fréquence. f min = 2 mhz, f max = 1 khz avec 51 poin de mesure, E = 5 mv, δe = 1 mv. Procédure PEIS d EC-Lab Express. Graphe paraméré : premier graphe racé. compensaion en uilisan les valeurs du specre de Fourier mesurées pour les fréquences f m 1 e f m+1 adjacenes à la fréquence de mesure f m, selon les expressions : Re I cor = Re I(f m ) Re I(f m+1) + Re I(f m 1 ) 2 Im I cor = Im I(f m ) Im I(f m+1) + Im I(f m 1 ) 2 Le principe de la compensaion es présené sur la Fig. 6. En absence de dérive les valeurs de Re I(f m+1 ), Re I(f m 1 ), Im I(f m+1 ) e Im I(f m 1 ) son nulles e la compensaion ne modifie pas la mesure. (1) (2) Re I f m Re TF I Re I f m 1 Re I f m 1 f m 1 f m f m 1 f 2 Fig. 6 Principe de la méhode de compensaion de la dérive vers l éa saionnaire pour une commande en ension. Exemple de déerminaion de la compensaion pour la parie réelle du specre de Fourier.
Les possibiliés de la méhode de mesure son démonrés en simulan numériquemen la mesure de l impédance du circui de la Fig. 7. C 1 C 2 R R 1 R 2 Fig. 7 Circui élecrique uilisé pour la simulaion de la méhode de compensaion. La simulaion numérique es effecuée en uilisan la procédure NDSolve de Mahemaica. Le sysèmes d équaions différenielles qui décri le comporemen dynamique du circui de la Fig. 7 s écri : V () = I() R + V 1 () + V 2 () (3) dv 1 () I() = C 1 d dv 2 () I() = C 2 d + V 1() R 1 (4) + V 2() R 2 (5) où V () es le signal d enrée, rain de sinusoïde ou somme d un échelon de ension e du rain de sinusoïde, V 1 () e V 2 () son les ensions aux bornes des deux circuis RC parallèle e I() es le couran qui raverse le circui. La réponse de circui soumis à la somme d un échelon de ension e d un rain de sinusoïdes es présenée sur la Fig. 8, lorsque l on suppose que la mesure d impédance débue au débu de l imposiion de l échelon. I A.5.1 4 8 Fig. 8 Réponse du circui de la Fig. 7 à la somme d un échelon de ension e d un rain de sinusoïdes e à un échelon de ension seul, calculée pour R =.3 Ω, R 1 = 1 Ω, C 1 = 1 F, R 2 = 1 Ω, C 2 = 1 F, E = 1 mv e δe = 1 mv. Sur la Fig. 9 es donné un exemple de specre de Fourier calculé pour deux périodes de la sinusoïde de fréquence 1 1 Hz. La ligne de base du specre correspondan à la s
Re TF I Im TF I.5.1.15 f Hz.5.1.15 f Hz Fig. 9 Premiers poins du specre de Fourier de la réponse en couran de la Fig. 8, calculé pour deux périodes de la sinusoïde à 1 1 Hz. conribuion du régime ransioire es plus imporane sur la parie imaginaire que sur la parie réelle. La Fig. 1 présene le résula de la simulaion de la mesure d impédance du circui de la Fig. 7 par FFT lorsque la mesure de l impédance es effecuée dès l imposiion de l échelon de ension. La déformaion de l arc haue fréquence du graphe d impédance de la Fig. 1 es analogue à celle observée sur la Fig. 5 lors de la mesure de l impédance du circui de la Fig. 7 1 Im Z 1 3 1 2 Re Z Fig. 1 Graphe obenu par simulaion de la mesure de l impédance du circui de la Fig. 7 par FFT (poins) e graphe héorique du circui (rai coninu). Graphe héorique paraméré en logarihme décimal de la fréquence. La Fig. 11 présene le résula de la simulaion de la mesure en mean en œuvre la compensaion de dérive à l aide des Éqs. (1) e (2). La courbe corrigée s approche de la courbe héorique même si une légère surcompensaion peu êre noée. 2.3 Uilisaion de la compensaion de dérive vers l éa saionnaire La Fig. 12 présene rois graphes de Nyquis de l impédance du circui de la Fig. 3 mesurés successivemen à parir de l insan d imposiion de l échelon de poeniel, avec compensaion de dérive. Les rois graphes son praiquemen ideniques e corresponden au résula que l on obiendrai en circui ouver. Uiliser la compensaion de dérive vers
1 Im Z 1 3 1 2 Re Z Fig. 11 Graphe obenu par simulaion de la mesure de l impédance du circui de la Fig. 7 par FFT (poins) e compensaion de dérive e graphe héorique du circui (rai coninu). Graphe héorique paraméré en logarihme décimal de la fréquence. l éa saionnaire perme donc de réduire le emps de mesure de l impédance du circui élecrique soumis à un échelon de ension. Fig. 12 Trois graphes de Nyquis de l impédance du circui de la Fig. 3 mesurés successivemens à parir de l insan d imposiion de l échelon de poeniel, avec compensaion de dérive. Condiions de mesure comme pour Fig. 5. Procedure PEIS d EC-Lab Express. 3 Éude d une baerie Li-Ion La méhode de compensaion a éé uilisée sur une baerie Sony Energyec Li-Ion 1.35 Ah. Une méhode de caracérisaion des baeries mean en jeu des réacions d inserion consise à effecuer des décharges ou recharges parielles en imposan un couran ou une ension pendan un cerain emps, puis à laisser la baerie revenir vers son éa d équilibre en circui ouver. La durée de cee période de relaxaion peu-êre longue compe enu de la faible valeur des coefficiens de diffusion des espèces qui s insèren ou
se désinsèren dans les maériaux hôes e qui son de l ordre de 1 12 mol cm 2. 3.1 Réponse indicielle La Fig. 13 présene une réponse indicielle ypique de la baerie à un échelon de ension de 1 mv. La réponse en couran monre qu il fau aendre environ 1 h 3 pour que l on puisse considérer que la baerie a aein son nouvel éa d équilibre e qu il devienne alors possible de mesurer son impédance. Fig. 13 Réponse en couran de la baerie Li-Ion à un échelon de ension pour une ampliude d échelon E de la ension de 1 mv. E OCV = 3.9 V. 3.2 Mesure sans compensaion La Fig. 14 présene deux graphes d impédance de la baerie Li-Ion mesurés successivemen en mode poeniodynamique (procédure PEIS d EC-Lab Express) lorsqu on applique un échelon de ension de 1 mv à parir de la ension d abandon de la baerie e que l on mesure son impédance dès le débu de l imposiion de l échelon de ension. La durée oale de la mesure des deux graphes d impédance es d environ 1 h 2 mn. Les deux graphes présenen des différences observables aux basses fréquences comme le monre l agrandissemen du graphe d impédance de la Fig. 14. 3.3 Mesure avec compensaion La Fig 15 présene le résula de la mesure lorsque la compensaion de dérive es acivée. Les deux graphes d impédance son praiquemen superposés comme le monre l agrandissemen de la parie basse fréquence. La compensaion perme de mesurer l impédance de la pile avec un gain de emps de l ordre de l heure.
Fig. 14 Graphes de Nyquis mesurés successivemen de l impédance d une baerie Li-Ion e agrandissemen basse fréquence. f min = 5 mhz, f max = 1 khz avec 51 poins de mesure, une ampliude d échelon E = 1 mv e une ampliude de modulaion sinusoïdale δe = 3 mv. E OCV = 3.9 V. Graphe paraméré : premier graphe mesuré. Fig. 15 Graphes de Nyquis mesurés successivemen de l impédance d une baerie Li-Ion e agrandissemen basse fréquence, avec compensaion de la dérive. Mêmes condiions de mesure que pour la Fig. 14. 3.4 Conclusion La méhode de compensaion proposée es de mise en œuvre rès simple, elle ne nécessie que la mesure sur deux périodes de sinusoïde. Elle perme un gain de emps en rendan possible la mesure de l impédance de sysèmes qui n on pas aein leur régime saionnaire. La compensaion peu êre améliorée en augmenan le nombre de poins du specre de Fourier uilisés pour faire le calcul de la compensaion. On peu par exemple envisager
de modéliser la ligne de base du specre de Fourier de la réponse par un polynôme de degré deux ou plus. De nombreux sysèmes élecrochimiques varien dans le emps, c es le cas, par exemple, des élecrodes siège d un phénomène de corrosion e des généraeurs élecrochimiques don on mesure l impédance par méhode galvanodynamique au cours de leur foncionnemen, décharge ou charge. Cee non-saionnarié des sysèmes enraîne des erreurs sur les graphes d impédance mesurés. On peu supposer que la méhode de compensaion apporera une amélioraion dans le cas de l éude de ces sysèmes. Références [1] Bio-Logic AN#9, Linear vs. non-linear sysems in impedance measuremens, hp ://www.bio-logic.info/poeniosa/noes.hml [2] A. S. Mc Cormack, J. O. Flower, K. R. Godfrey, The suppression of drif and ransien effecs for frequency-domain idenificaion, IEEE Trans. Insrum. Meas., 43 (1994) 232-237. [3] R. Pinelon, J. Schoukens, Sysem Idenificaion. A Frequency Domain Approach, IEEE Press, New York, USA, 21. [4] B. Perescu, Sysème élecroanalyique flexible conrôlé par ordinaeur, Thèse de l Insiu Naional Polyechnique de Grenoble e de l Universié Poliehnica de Bucares, 22. [5] B. Perescu, J.-P. Pei, J.-C. Poigne, Procédé de déerminaion de l impédance d un sysème élecrochimique, Breve français n 2/8897 [6] B. Perescu, J.-P. Pei, J.-C. Poigne, Mehod of deermining he impedance of an elecrochemical sysem, US paen n 26/91892 A1.