Chapitre II Dérivabilité, théorème des fonctions implicites et applications

37 Chpitre II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites et pplictions Sommire. Les dérivées d une fonction en un point permettent de comprendre son comportement u voisinge de ce point (formule de Tylor); dns l prtique ce sont souvent les dérivées d ordre 1 ou 2 seulement qui sont utilisées. Pr exemple, il existe un critère bien connu pour qu une fonction d une vrible f(x) dmette un extremum (mximum ou un minimum) locl en un point : il fut que l dérivée de f en soit nulle, ce qui s interprète géométriquement pr le fit que l tngente u grphe de f u point (, f()) doit être horizontle. C est sur ce critère que se bsent l méthode des multiplicteurs de Lgrnge pour l recherche d extrem liés, et les équtions d Euler-Lgrnge pour l recherche d extrem dns des espces de dimension non finie (clcul des vritions). 1. Dérivbilité, différentibilité 1.1 Norme d une ppliction linéire Soit A : R n R p une ppliction linéire. Les coefficients de l mtrice de A pr rpport ux bses nturelles e j, j = 1,...,n, et e i, i = 1,...,p, de R n et R p respectivement sont définis pr : A(e j ) = p i,j e i, j = 1,...,n i=1 x 1 et lors, si. est un vecteur de R n, on : x n x 1 n A. = i,j x j x j=1 n i=1,...,p On déduit fcilement de cette expression de A que c est une ppliction continue. 1.1 Définition norme d une ppliction linéire. L norme de l ppliction linéire A : R n R p reltive à des normes données sur R n et R p est définie pr : { } A = sup A(x) R p x R n 1.. Puisque A est continue et que { x R n x 1 } est compct, l ensemble { A(x) x 1 } est borné et donc cette définition un sens. L vleur de A dépend des normes choisies sur R n et R p, même si cel n est ps noté explicitement. 1.2 Proposition. i) Pour tout x R n on : A(x) R p A x R n. ii) A définit une norme sur l espce vectoriel L(R n, R p ) des pplictions linéires de R n dns R p. iii) A = inf {K A(x) K x, x R n } Anlyse II B (nlyse réelle), pr Felice Rong Version du 26 jnvier 24, à 19h. 11

38 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Preuve: i) Si x =, l inéglité ffirmée est évidente. Sinon, x x = 1 et lors : ( A(x) = x ) A x A x. x ii) Vérifions que A est une norme sur L(R n, R p ) (cf. définition 1.2 du chp. I). (1) Si A =, lors il suit de i) que A =. (2) Si λ R, λa(x) = λ A(x), x R n et il en suit que λa = λ A. (3) Si A, B L(R n, R p ) on : (A + B)(x) = A(x) + B(x) A(x) + B(x) A + B x R n, x 1 et donc A + B = sup { (A + B)(x), x 1} A + B. iii) D près i), A {K A(x) K x, x R n } et donc A inf {K A(x) K x, x R n } Si K est tel que A(x) K x, x R n, lors A = sup { A(x), x 1} K 1 et donc j=1 A inf {K A(x) K x, x R n }. Pr exemple, si l on munit R n et R p de l norme, on peut estimer l norme de A L(R n, R p ) à l ide des coefficients de l mtrice ( i,j ) i=1,...,n de A: j=1,...,p n ( ) { } i,j x j i,j x, i = 1,...,p A(x) sup i=1,...,p i,j x j { } et donc A sup i=1,...,p j i,j n sup { i,j, i = 1,...p, j = 1,..., n}. 1.2 L inéglité fondmentle de l intégrle Rppelons que si φ : [, b] R est une fonction continue, on définit son intégrle comme étnt le nombre réel qui est limite de sommes sur les prtges de [, b]: b (1-1) φ(x)dx = lim φ(x i ) x i δ(p) i=1,...,l(p) où P = { = x < x 1 < < x k = b} est un prtge de [, b], l(p) = k, x i = x i x i 1, i = 1,...,l(P) et δ(p) = sup { x i i = 1,..., l(p)}. Dns le cs d une ppliction continue f : [, b] R p, l intégrle de f sur [, b] est le vecteur de R p obtenu en intégrnt les composntes f i, i = 1,...,p, de f: ( b b ) b f(x)dx = f 1 (x)dx,..., f p (x)dx et en ppliqunt (1-1) ux f i on voit que: Puisque b f(x)dx = lim i=1,...l(p) δ(p) f(x i ) x i i=1,...l(p) i=1,...l(p) f(x i ) x i. f(x i ) x i j en fisnt tendre δ(p) vers, on obtient l inéglité suivnt, ppelée inéglité fondmentle de l intégrle: b b (1-2) f(x)dx f(x) dx

1.3 Dérivbilité, différentibilité Soient Ω R n un ouvert et f : Ω R p une ppliction. II.1 Dérivbilité, différentibilité 39 1.3 Définition - dérivbilité. Soit Ω. On dit que f est dérivble (ou différentible) u point s il existe une ppliction linéire A L(R n, R p ) telle que, pour h R n, h ssez petit : f( + h) = f() + A(h) + r(h), vec lim h r(h) h =. Autrement dit : ou encore : f( + h) f() A(h) h si h h δ ε f( + h) f() A(h) ε h. Si l on pose φ(h) = f(+h) f() A(h) h, cel veut encore dire que : f( + h) = f() + A(h) + φ(h) h, vec φ(h) si h En d utres termes, l ppliction linéire h A(h) est une pproximtion de h f(+h) f(), vec une erreur r(h) qui est très petite pr rpport h, puisque r(h) tend vers si h. h 1.4 Remrques. (1) Si f est dérivble u point, elle est continue en ce point, cr : lim h f( + h) = lim(f() + A(h) + φ(h) h ) = f() h (2) Si f est dérivble u point Ω et v R n, v, l limite suivnte, dns lquelle t R, existe : et elle est égle à A(v). En effet : f( + tv) f() t = f( + t v) f() () = lim v t t A(t v) + φ(t v) t v t = A(/t v) /t ± φ(t v) v A(v) si t. On ppelle v () l dérivée de f dns l direction du vecteur v u point. Puisque v () = A(v), cel montre que A est entièrement déterminée pr f; on l ppelle l dérivée de f u point, et on l note df ou encore f (). En prticulier, si f : R n R p est linéire, en tout point R n elle coincide vec s propre dérivée en ce point : df = f, R n. Notons que si v =, lors v =. (3) Si f = (f 1,...,f p ) : Ω R p est dérivble u point Ω, s dérivée df = f () : R n R p peut être représentée pr une mtrice, qu on ppelle mtrice jcobienne (inventée pr Crl Jcobi, 184 1851); elle s écrit : ( ) i i f i ( + t e j ) f i () (), où () = lim = i () x j x j t t e j où e j = (,...,, 1,,...,) dénote le j-ème vecteur de l bse nturelle de R }{{} n. Pr bus de lngge, on j écrit souvent df = ( i ) x () j. Les i x () j sont ppelées dérivées prtielles de f u point. Nous verrons un peu plus loin (1.1) le théorème suivnt, qui permet de psser de l existence des dérivées prtielles de f à

4 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites l dérivée de f u sens de l définition 1.3 : si les i x (x) j existent pour x dns un voisinge de, et sont continues sur ce voisinge, lors f est dérivble u point. Pr exemple, soit f : R 2 R 3, f(x 1, x 2 ) = (x 2 1, x 1 x 2, x 3 2), lors : df (x1,x 2 ) = 2x 1 x 2 x 1 3x 2 2 (4) Dérivbilité et différentibilité. Autrefois on ppelit différentielle d une fonction f(x) (ou encore différentielle totle) l ccroissement des vleurs de f lorsqu on donnit un ccroissement infiniment petit à l vrible x; pour une fonction de deux vribles, on écrivit : df = dx 1 + dx 2 ; x 1 x 2 le reste dispru, prce que c est un infiniment petit d ordre supérieur pr rpport ux dx i (voir pr exemple Ed. Gourst, Cours d nlyse mthémtique, Guthier-Villrs, Pris (191), pge 52.) Le terme de dérivée étit reservé ux dérivées prtielles; dns les ouvrges contemporins, les notions de dérivbilité et différentibilité sont équivlentes, et correspondent à notre définition 1.3. Dns le cs de fonctions d une vrible, on écrivit df = f df (x)dx, d où l on tire : dx (x) = f (x). Ce n est ps très rigoureux, mis l nottion df dx (x) pour f (x) peut être utile, prce que l on explicite le nom de l vrible pr rpport à lquelle on dérive. Cette nottion ser utilisée dns l formule d Euler-Lgrnge u 4. 1.5 Proposition Dérivtion de fonctions composées. Soient Ω R m, Ω R n des ouverts, f : Ω R n, g : Ω R p, des pplictions, et supposons que f(ω) Ω. Supposons que f soit dérivble u point Ω, et que g soit dérivble u point b = f(). Alors l composée g f est dérivble u point et s dérivée en ce point est l composée de l dérivée de f en vec l dérivée de g en b = f() : d (g f) = dg f() df. Preuve: ( ) g(f( + h)) g(f()) = g (f()) f( + h) f() + φ g (f( + h) f()) f( + h) f() = ( ) ) g (f()) (f ()(h)) + g (f()) φ f (h) h + φ g (f( + h) f() f () (h) + φ f(h) h }{{} =ρ(h) et ρ(h) g (b) φ f ( h ) h + φ g (f( + h) f()) ( f () + φ f (h) ) h d où on déduit que ρ(h) h si h, donc ρ(h) vérifie bien les conditions de terme de reste de l définition 1.3. On imerit voir une estimtion explicite de l ccroissement f( + h) f() en termes de h ; pour des fonctions à une vrible, à vleurs dns R, on connit le théorème des ccroissements finis, qui dit que si f : [, b] R est dérivble, lors il existe ξ [, b] tel que f(b) f() = f (ξ)(b ). En générl, on ne peut ps s ttendre à voir des formules nlogues; pr exemple, si l on prend l ppliction ϕ(t) = (t 2, t 3 ), ϕ (t) = (2t, 3t 2 ) : ϕ(1) ϕ() = ϕ (ξ)(1 ) = ϕ (ξ) (1, 1) = (2ξ, 3ξ 2 ) ξ = 1/2 et ξ 2 = 1/3 il n y donc ps de solutions. Pr contre, on déduit de que, si f (ξ) M, ξ [, b], lors f(b) f() M(b ) et cette inéglité se générlise, comme nous llons voir mintennt (théorème 1.8.)

II.1 Dérivbilité, différentibilité 41 1.6 Définition - ppliction de clsse C 1. Soit f : Ω R p dérivble en tout point Ω; en ssocint à tout point Ω l dérivée en ce point df L(R n, R p ) on définit une ppliction df : Ω L(R n, R p ). On dit que f est de clsse C 1, ou 1 fois continûment dérivble, si l ppliction df : Ω L(R n, R p ) est continue, c est-à-dire si toutes les dérivées prtielles i x j (x), i = 1,...,p, j = 1,...,n sont continues sur Ω. 1.7 Proposition. Soit f : Ω R p, Ω R n, de clsse C 1 ; soit v R n et supposons que le segment { + tv t 1} soit contenu dns Ω. Alors f( + v) f() = 1 v (+tv)dt Preuve: On pose ϕ(t) = f( + tv), pour t 1, de sorte que ϕ(1) ϕ() = f( + v) f(). Il suit de 1.4(2) que ( ) ( ) ϕ(t + s) ϕ(t) f( + (t + s)v) f( + tv) lim = lim = s s s s v (+tv) et en prticulier ϕ est ussi de clsse C 1. Donc f( + v) f() = ϕ(1) ϕ() = 1 ϕ (t)dt = 1 v (+tv)dt. 1.8 Théorème des ccroissements finis. Soit f : Ω R p, Ω R n, Ω ouvert; supposons que f soit de clsse C 1. Soient, b Ω; supposons que le segment [, b] = { + t(b ) t 1} soit contenu dns Ω. Alors : f(b) f() sup { df+t(b ) t 1 } b Preuve: Tout d bord, du fit que f est C 1, il suit que l ppliction t df +t(b ) est continue; comme [, 1] est compct, le sup { df +t(b ) t 1 } un sens. Posons v = b. Il résulte de 1.7 et de l inéglité fondmentle de l intégrle que 1 f(b) f() = 1 dt v (+t(v))dt Une conséquence immédite : v (+tv) sup { df +tv (v) t 1 } sup { df +tv t 1 } v 1.9 Corollire. Soient f : Ω F, et b comme dns le théorème précédent; supposons que B(, r) Ω et que df x M, x B(, r). Alors si b B(, r) on : f(b) f() M b. Soient Ω R m R n, f : Ω R p, Ω un ouvert; notons pr (x, y) les éléments de R m R n, vec x R m, y R n. Si (, b) Ω, on note pr x (,b) l dérivée u point v = de l ppliction v f( + v, b), et pr y (,b) l dérivée u point w = de l ppliction w f(, b + w). L proposition suivnte, qui est utile pour le clcul de dérivées, générlise le théorème mentionné sous 1.4(3).

42 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites 1.1 Propostition. Supposons que les dérivées y (,b) et x (x,y), (x, y) dns un voisinge de (, b), existent, et que l ppliction (x, y) (x,y) soit continue dns un voisinge du point (, b). Alors f est dérivble u point (, b) et : x df (,b) (v, w) = (,b)(v) + x y (,b)(w). Preuve: f((, b) + (v, w)) f(, b) (,b)(v) x y (,b)(w) = f(( + v, b + w)) f((, b + w) x (,b)(v) + f(, b + w)) f(, b) }{{} y (,b)(w) }{{} I II. Soit ε > ; il s git de montrer que I + II ε (v, w) si (v, w) est ssez petit. Posons ϕ(v) = f( + v, b + w) x (,b)(v); lors ϕ(v) ϕ() = I. Puisque dϕ v = x (+v,b+w) x (,b), dϕ v dépend continûment de (v, w), et en prticulier ϕ est de clsse C 1. On que dϕ =, et lors si (v, w) est ssez petite, dϕ v < ε. Il suit de 1.9 que I ε v pour (v, w) ssez petite. L existence de y (,b) implique directement que II ε w si w est ssez petite. Cette proposition se générlise sns utre ux cs de plus de 2 fcteurs : si f : Ω R p, Ω ouvert de R n 1... R n k, espce vectoriel normé, x = (x 1,..., x k ) Ω, x i R n i, on pose f x j (ξ j ) = f(x 1,...,x j 1, ξ j, x j+1,...,x k ), qui est définie pour ξ j ({x 1 }... {x j 1 } R n j {x j+1 }... {x k }) Ω et si fj x est dérivble en ξ j = x j, on dénote s dérivée pr j f x. Il suit de 1.1, pr induction sur k, que si 1 f existe et que les j f x, j = 2,...,k, sont continues u voisinge de, lors f est dérivble et d f(h 1,...,h k ) = 1 f (h 1 ) +... + k f (h k ). Dns le cs d une ppliction f : Ω R, Ω ouvert de R n, en utilisnt l décomposition R n = R... R, }{{} n on que de i f(x) = x i (x). 1.11 Corollire. Soit f : Ω R p, f = (f 1,...,f p ), Ω, et supposons que toutes les dérivées prtielles x (x) i existent et soient continues pour x Ω. Alors f est dérivble en tout point Ω et l mtrice de df est égle à ( i ) x () j i=1,...,p, j=1,...,n En prticulier, si f : Ω R p et les dérivées i x j (x) existent et sont continues sur Ω, f est C 1 : l condition que f soit dérivble demndée dns l définition 1.6 est utomtiquement stisfite. L proposition ci-dessous étblit une propriété élémentire, mis efficce, à lquelle nous urons recours pour des pplictions u suivnt. Soit f : Ω R une ppliction, Ω R n ouvert et Ω. On dit que est un minimum (respectivement mximum) locl de f s il existe un voisinge V de tel que f(x) f() si x V (respectivement f(x) f()). On dit que est un extremum locl si c est un minimum ou un mximum locl.

II.1 Dérivbilité, différentibilité 43 1.12 Proposition. Soit f comme ci-dessus. Supposons que f soit dérivble u point. Alors, si est un extremum locl de f, on df =. Preuve: Supposons qu il s gisse d un mximum locl; soit v R n et t > ssez petit. Alors on : f( + tv) f() t f( tv) f() t et comme les 2 frctions ont pour limite v (), on doit voir v () = df (v) =, ceci pout tout v R n. Le cs d un minimum locl est semblble. 1.4 Dérivées d ordre supérieur et formule de Tylor Nous llons définir l notion d ppliction f : Ω R p de clsse C k, k N, et ses dérivées d ordre l k pr induction sur k : 1.13 Définition. On dit que f est de clsse C si f est continue, et dns ce cs il n y point de dérivées à définir. Au 1.2 on introduit l notion d ppliction de clsse C 1 (définition 1.6). Cel revient à supposer que les dérivées prtielles x () i existent pour tout Ω et sont continues, ce qui entrîne pr le corollire 1.11 que f est dérivble en tout point Ω. Supposons d voir défini l notion d ppliction de clsse C l et les pplictions l f x i1... x il : Ω R p, 1 i h n, h = 1,...,l pour tout l k 1. On dir que lors que f est de clsse C k si les fonctions ci-dessus sont de clsse C 1 et on pose: k f Ω, () = ( k 1 ) f () x i1 x i2... x ik x i1 x i2... x ik On dit encore que f : Ω R p est C si f est de clsse C k pour tout k Dns le cs d une ppliction g :], b[ R p de clsse C k, il n y qu une dérivée d ordre l, 1 l k, celle qui correspond à l suite i 1 = = i k = 1. On l note g (l) (), ou encore dl g (), si t denote l vrible dtl du domine de définition de g. On note ussi g () () = g(). On peut générliser ussi l notion de dérivée directionnelle; si v 1,...,v k R n, on définit pr induction sur k: k f () = ( k 1 ) f (). v 1... v k v 1 v 2... v k Il suit du fit que v () est linéire en v que pour tout i = 1,...,k, k f v 1... v i... v () k est linéire pr rpport à v i. L définition suivnte ser utile pour mieux comprendre les dérivées d ordre supérieur. 1.14 Définition. Soit f : Ω R p une ppliction (quelconque). Pour tout Ω et v R n tels que [, + v] Ω on pose: v f() = f( + v) f() On peut regrder v f comme un opérteur dépendnt du prmètre v: à l ppliction f il ssocie une nouvelle ppliction, celle qui à fit correspondre l ccroissement de f en reltif à l ccroissement v de l vrible. L nouvelle ppliction v f ne ser ps toujours définie, mis puisque Ω est ouvert, pour tout

44 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Ω il existe un r > tel que + v Ω si v < r, et donc v f ser bien définie pour tout v ssez petit. Dns ce qui suit on supposer, sns le dire explicitement chque fois, que les ccroissements v i sont ssez petits pour que les opérteurs que l on écrir soient bien définis. Considérons l expression v2 v1 f() = v2 (f( + v 1 ) f()) = f( + v 1 + v 2 ) f( + v 2 ) (f( + v 1 ) f()) = f( + v 1 + v 2 ) f( + v 1 ) f( + v 2 ) + f(). Elle représente l ccroissement (reltif à v 2 ) de l ccroissement (reltif à v 1 ) de f et nous ser utile pour comprendre l 2-ième dérivée comme tux d ccroissement du tux d ccroissement ; de même, à l ide de l opérteur itéré k fois on obtiendr une expression de l k-ième dérivée (voir corollire 1.16). Notons que l expression ci-dessus est symétrique en (v 1, v 2 ) : v2 v1 f() = v1 v2 f(). 1.15 Proposition. Soit f : Ω R p de clsse C k ; on : vk vk 1... v1 f() = 1 ( 1 k ) f... (+t k v k + +t 1 v 1 )dt k... dt 1. v k... v 1 Preuve: On procède pr induction sur k. Si k = 1, cel résulte de l proposition 1.7. Supposons que l formule soit vrie pour k 1 et posons w k 1 = t k 1 v k 1 + + t 1 v 1. On : hyp. induction vk... v1 f() = vk 1 v1 f( + v k ) vk 1... v1 f() = 1... 1 k 1 f (+v k +w k 1 ) dt k 1...dt 1 v k 1... v 1 1 1 ( k 1 f =... (+v k +w k 1 ) v k 1... v 1 = 1... 1 1... 1 k 1 f (+w k 1 ) dt k 1...dt 1 v k 1... v 1 ) dt k 1...dt 1 k 1 f v k 1... v 1 (+w k 1 ) k f v k... v 1 (+t k v k + +t 1 v 1 ) dt k... dt 1 où l dernière églité résulte du cs k = 1 ppliqué à k f v k 1... v 1 (+w k 1 ). Le corollire suivnt exprime une dérivée d ordre supérieur de f directement à prtir de f, plutôt que de psser pr des dérivtions successives comme il est fit dns l définition 1.13: 1.16 Corollire. Si f est de clsse C k, k ( ) f sk v () = lim k... s1 v 1 f() v k... v 1 s 1,...,s k s k s 1 Preuve: D près 1.15: sk v k... s1 v 1 f() s k... s 1 = 1 s k... s 1 = 1 1 1... 1... k f (s k v k )... (s 1 v 1 ) (+s kt k v k + +s 1 t 1 v 1 ) dt k... dt 1 k f v k... v 1 (+s k t k v k + +s 1 t 1 v 1 )dt k...dt 1

II.1 Dérivbilité, différentibilité 45 k f où l dernière églité utilise le fit que (s k v k )... (s 1 v 1 ) (x) = s 1 s k v k... v (x) 1 (linérité pr rpport à v i, i = 1,...,k). Puisque k f v k... v (x) 1 est continue en x, il suffit de poser s i = dns l dernière expression pour clculer l limite cherchée. 1.17 Corollire. Si f est de clsse C k, Ω, lors k f v k... v () 1 est symétrique en v 1,...,v k, ce qui veut dire que si σ : {1,...,k} {1,...,k} est une bijection, lors k f k f k f () = (). v k... v 1 v σ(k)... v σ(1) Preuve: On déjà remrqué que v2 v1 f() étit symétrique en v 1, v 2. Il en suit que vk... v1 f() est symétrique en v 1,..., v k, et le corollire suit lors de 1.16. L formule suivnte, dûe à Leibniz, exprime l l-ième dérivée de 2 fonctions d une vrible en termes des dérivées de chcune des fonctions : 1.18 Proposition. Soient α, β :]t r, t + r[ R deux fonctions de clsse C l. Alors l l-ième dérivée de α(t) β(t) pour expression : (α(t) β(t)) (l) (t) = l h= ( ) l α (h) (t) β (l h) (t) h Preuve: Pr induction sur l. Pour l = 1, l formule se réduit à l expression bien connue : Supposons voir montré que (α(t) β(t)) (t) = α (t) β(t) + α(t) β (t). l 1 ( ) (α(t) β(t)) (l 1) l 1 (t) = α (h) (t) β (l 1 h) (t). h On dérive en ppliqunt l formule pour l = 1 à chque terme de l somme : l 1 ( ) l 1 ( (α(t) β(t))(l 1)(t) = α (h+1) (t) β (l 1 h) (t) + α (h) (t) β (t)) (l h) h h= l (( ) ( )) l 1 l 1 = α (h) (t) β (l h) (t) + h 1 h h= h= et on conclut en remrqunt que : ( ) l 1 + h 1 ( ) l 1 = h = (l 1)! (h 1)!(l 1 (h 1))! + (l 1)! h!(l 1 h)! (l 1)!h (l 1)!(l h) (l 1)!h + (l 1)!(l h + = = h!(l h)! h!(l h)! h!(l h)! ( ) l h. Suivent des résultts préliminires à l formule de Tylor.

46 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites 1.19 Proposition. Soit g :], b[ R de clsse C k+1, t >, [, t] ], b[. Supposons que Alors g() = g () = = g (k) () =. (1-3) g(t) = t k+1 γ(t) où (1-4) γ(t) = 1 k! et en prticulier γ() = 1 (k+1)! g(k+1) (). 1 g (k+1) (t u)(1 u) k du Preuve: Montrons l ffirmtion pr induction sur k. Pour k=, on que g() = et donc : g(t) = t g (s)ds. On fit le chngement de vrible s = u t dns l intégrle : g(t) = 1 g (t u) tdu = t 1 g (t u)du. Supposons que g() = g () = = g k () = et que (1-3) et (1-4) soient vrie pour k 1: g(t) = On intègre pr prtie en remrqunt que t k (k 1)! et compte tenu du fit que g (k) () = on obtient: t k g(t) = (k 1)! t k (k 1)! ( 1 g(k) (t u) g (k) (1 u)k (t u) ( k ) (1 u)k 1 1 ( } {{ k } = 1 g (k) (t u)(1 u) k 1 du ) (1 u) k 1 (1 u)k = ( k ) du) = g (k+1) (t u) t ( ) (1 u)k du = tk+1 k k! 1 g (k+1) (t u)(1 u) k du Puisque 1 (1 u)k du = 1 uk du = 1 1 k+1, on bien que γ() = (k+1)! g(k+1) (). 1.2 Corollire formule de Tylor pour les fonctions d une vrible. Soit ϕ :] r, + r[ R une fonction de clsse C k+1. Alors, pour t < r : ϕ( + t) = ϕ() + k l=1 ϕ (l) () t l + tk+1 l! k! 1 ϕ (k+1) ( + t u) (1 u) k du.

II.1 Dérivbilité, différentibilité 47 Preuve: On pose g(t) = ϕ( + t) ϕ() ( k l= ) ϕ (l) () t l l! de sorte que g (l) () =, l k et g (k+1) (t) = φ k+1 (t), puis on pplique 1.19 à g. Le cs de fonctions à plusieurs vribles pourr se rmener u cs d une vrible grâce u lemme suivnt. Tout d bord on introduit une nottion permettnt de regrouper les dérivées supérieures qui ne diffèrent que pr l ordre des dérivtions. Soit α = (α 1,...,α n ) N n un vecteur à coefficients entiers. On pose: α = α 1 + + α n, α! = (α 1!)... (α n!) et si h = (h 1,..., h n ) R n, on pose h α = h α 1 1... hα n n R. Soit α N n, α = k; on peut lui ssocier l suite de k entiers i(α) = (i(α) 1,...,i(α) k ) définie insi : Si f : Ω R p est de clsse C k, on pose : i(α) = (1,...,1, 2,...,2,..., n,...,n). }{{}}{{}}{{} α 1 fois α 2 fois α n fois α f x α () = α f () x i(α)k... x i(α)1 ce qui revient à dériver f α 1 -fois pr rpport à x 1, α 2 -fois pr rpport à x 2, et insi de suite, u point. 1.21 Lemme. Soit f : Ω R p de clsse C k, h R n tel que { + th t 1} Ω. Posons ϕ(t) = f( + th), t 1. Alors, l k on : ϕ (l) (t) = 1 i 1,...,i l n l f x il... x i1 (+th)h i1... h il = α N n, α =l l! l f α! x α (+th)hα Preuve: On montre d bord l première églité pr induction sur l. Pour l = 1, puisque h = n i=1 h ie i, où les e i dénotent les vecteurs de l bse stndrd de R n, il suit de l définition de h et du fit qu elle est linéire en h que: Supposons d voir démontré que Alors ϕ (l) (t) = n x i i=1 ϕ (l 1) (t) = 1 i 1,...,i l 1 n ϕ (t) = ( + th) = (+th)h i. h x i 1 i n 1 i 1,...,i l 1 n l 1 f x il 1... x i1 (+th) h i1... h il 1. ( l 1 ) f (+th)h i1... h il 1 h i = x il 1... x i1 1 i 1,...,i l n l f x il... x i1 (+th)h i1... h il.

48 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Dns l somme ci-dessus, l suite d indices (i 1,...,i l ) = (1,...,1, 2,...,2,..., n...,n) }{{}}{{}}{{} α 1 -fois α 2 -fois α n fois vec α 1 + + α n = l pprît l! fois à permuttion près; en effet, il fut diviser le nombre l! de toutes α! les permuttions de l suite (1,...,1, 2,...,2,...,n...,n) pr le nombre de celles qui l lissent invrinte, }{{}}{{}}{{} α 1 -fois α 2 -fois α n -fois qui est (α 1!)... (α n!) = α!. L dernière églité énoncée suit lors du corollire 1.16 (symétrie des dérivées d ordre supérieure). 1.22 Formule de Tylor. Soit f = (f 1,...,f p ) : Ω R p de clsse C k+1, Ω et h R n tel que { + th t 1} Ω. Alors: f( + h) = f() + k l=1 α =l 1 α! α f x α () hα + r k (, h) où le terme r k (, h), ppelé terme de reste, s écrit : (1-5) r k (, h) = (k + 1) α =k+1 ( 1 1 α ) f α! hα x α (+uh)(1 u)k du. Si R > est tel que B(, R) Ω et h R, on : (1-6) r k (, h) C k h k+1 où C k est une constnte, et en prticulier lim h r k (, h) h k =. Preuve: On pose ϕ(t) = (ϕ 1 (t),...,ϕ p (t)) = f( + th), t 1. L formule (1-5) se déduit lors du corollire 1.2 ppliqué ux composntes de ϕ(t) et du lemme 1.21 ppliqués ux composntes de f. D utre prt, en reprennt (1-5), on que r k (, h) = 1 k! 1 i 1,...,i k+1 n h α ( 1 k+1 f (+uh)(1 u) du) k x ik+1... x i1 Il y n k+1 terme dns l somme sous l intégrle, et 1 (1 u)k ds = 1 k+1. On sit que l norme donnée sur R n est équivlente à l norme h = sup { h i i = 1,...,n}, donc il existe K tel que h K h. Or, si α = k + 1 : h α = h α 1 1... hα n n h k+1 Kk+1 h k+1 Si on pose : l inéglité (1-6) suit. { α f C k = sup ( + uh) xα } α = k + 1, u 1 n k+1 (k + 1)! Kk+1.

1.23 Remrques. (1) Considérons l fonction: II.1 Dérivbilité, différentibilité 49 f(x) = { e 1/t 2 si t > si t On montre que f est C en, vec toutes ses dérivées nulles en ce point. Il en résulte que tous les termes de l formule de Tylor sont nuls, suf le terme de reste. On en déduit que f(t) t k, ceci pour t ssez petit et pour tout k. (2) Un théorème dû à E. Borel ffirme que pour toute suite { k } k N R de nombres réels, il existe une fonction f : [ 1, 1] R de clsse C telle que f (k) () = k. Cel exprime l extrême flexibilité des fonctions différentibles. On un énoncé nlogue pour les fonctions de plusieurs vribles: si l on se donne une fmille { α } α N n R, il existe f : U R, U R n ouvert, U telle que α f x α () = α. (3) Si f est C et ses dérivées sont bornées sur une boule fermée de ryon fixe, on déduit de (1-5) que que l série 1 α f f() + α! x α ()hα k=1 converge uniformément sur cette même boule vers f( + h). Cel peut s ppliquer à des fonctions telles que sin(x), cos(x), e x+y.. Etude des extrem locux de fonctions 1.24 Définition. Soit f : Ω R, Ω R n ouvert, Ω. On dit que est un minimum locl strict (respectivement un mximum locl strict) s il existe un ouvert V Ω, V, tel que : x V, x f(x) > f() ( respectivement f(x) < f() ). Si l on remplce les inéglités strictes ci-dessus pr des inéglités non strictes on obtient les notions de minimum locl, resp. mximum locl, non strict. L formule de Tylor fournit un critère permettnt prfois de décider si un point est un extremum locl ou non d une fonction. 1.25 Proposition. Soit f : Ω R, Ω R n ouvert, de clsse C k+1, k 2, U. Supposons que toutes les dérivées de f d ordre u plus k 1 s nnulent en : Posons α f () = α tel que 1 α k 1. xα ϕ k (h) = α =k 1 α f α! x α ()hα. On : (1) Si ϕ k (h) > h, lors est un minimum locl. (2) Si ϕ k (h) < h, lors est un mximum locl. (3) S il existe h 1, h 2 R n tels que ϕ k (h 1 ) >, ϕ k (h 2 ) < lors n est ni un minimum ni un mximum locl, même non strict. Preuve: Remrquons que ϕ k (h) est homogène de degré k, ce qui veut dire que λ R, ϕ k (λh) = λ k ϕ k (h). Soit h R n tel que ϕ k (h ), vec h = 1. Alors il suit de l formule de Tylor que ( f( + th ) f() = ϕ k (th ) + r k (, th ) = t k ϕ k (h ) + r ) k(, th ) t k.

5 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Posons ε = ϕ k (h ) ; il suit de l inéglité (1-6) de 1.22 qu il existe δ ε tel que si t < δ ε, r k (, th ) t k h k }{{} =1 < ε = ϕ k (h ) et donc f( + th ) f() le même signe que ϕ k (h ). Cel entrîne imméditement l ffirmtion (3). Pour (1) et (2), il suffit de poser ε = inf { ϕ k (h ) h = 1 } ; puisque ϕ k (h) est continue, non nulle sur l ensemble compct {h h = 1}, il suit que ε >. L condition d extremum locl strict ser stisfite vec V = { + th t < δ ε }, 1.26 Remrques. (1) Du fit que ϕ k ( h) = ( 1) k ϕ k (h) on déduit que : si l condition (1) ou l condition (2) de 1.25 sont stisfites, lors k est pir. si est un extremum locl et k est l ordre de l première dérivée non nulle en, lors k doit être pir, sinon on pourrit ppliquer (3) de 1.25 vec h 1 un vecteur tel que ϕ k (h 1 ) et h 2 = h 1. (2) Il se peut qu une fonction f it un minimum locl en restriction à chque droite pssnt pr le point, sns que soit un minimum locl pour f (même discours pour les mxim). C est le cs pour l fonction f(x, y) = (y x 2 )(y 2x 2 ). On voit que f dmet un zéro isolé à l origine de toute droite l pssnt pr (, ), et qu elle est strictement positive sur un intervlle de l contennt (, ). Cependnt, on ne peut ps trouver une longueur d intervlle uniforme, qui fonctionne sur toute droite. Et en fit il y des points rbitrirement près de l origine en lesquels f est positive, d utres en lesquels f est négtive. ( ) (3) Si k = 2 et dét 2 f x j x () i, lors on peut décider si est un minimum locl strict, un mximum, ou bien ni l un ni l utre en exminnt l forme qudrtique q(h) = φ 2 (h) = α =2 1 2 f α! x α ()hα. En effet, q est soit définie positive, uquel cs est un minimum locl strict, soit définie négtive, et lors est un mximum locl strict, soit elle est indéfinie, et lors n est ni minimum, ni mximum locl, même non strict. On peut décider en mettnt q sous forme ( digonle. ) ( ) Dns le cs de fonctions à 2 vribles, si dét 2 f > lors q est définie, si dét 2 f < x j x i () x j x i () elle est indéfinie; si elle est définie, elle est définie positive si 2 f x 2 () > (ou 2 f 1 x 2 () > ), elle est définie 2 négtive sinon. (4) L fonction x 2 + y 4 possède visiblement un minimum bsolu en (, ), mis les critères de 1.25 ne s ppliquent ps.

II.2 Le théorème des fonctions implicites 51 2. Le théorème des fonctions implicites Soit f(x, y), (x, y) U R 2, une fonction de 2 vribles. On peut lui ssocier une correspondnce entre x et y de l mnière suivnte : à tout x fixé on fit correspondre les vleurs de y qui sont solution de f(x, y) =. On dir que cette correspondnce entre x et y peut être rendue explicite s il existe une fonction y(x) telle que : f(x, y) = y = y(x). En générl, il n est ps possible de psser de l reltion implicite f(x, y) = à l reltion explicite y = y(x). Souvent c est possible, mis seulement loclement, u voisinge d une solution prticulière de f(x, y) =. 2.1 Exemples. (1) Soit f(x, y) = x + by + c = l éqution d une droite. Si b, on peut en tirer l éqution explicite : y = b x c b, et si, on en tire que x = b y c. Le premier cs revient à supposer que y, ou encore que l droite n est ps verticle; dns le deuxième, x, ou encore que l droite n est ps horizontle. (2) De l éqution implicite x 2 + y 2 1 = on peut tirer 4 reltions explicites : y = + 1 x 2, x < 1, y > ; y = 1 x 2, x < 1, y < x = + 1 y 2, y < 1, x > ; x = 1 y 2, y < 1, x < (3) De l reltion implicite x 2 y 2 = on peut tirer les 2 reltions explicites : y = x et y = x. Ensemble, elles décrivent toutes les solutions de x 2 y 2 =. Mis u voisinge de l solution (, ), ucune des 2 ne donne une solution explicite complète. En fit il n y ps de solution explicite u voisinge de (, ) (voir figure II.1). y y y= 1-x 2 x= 1-y2 y=x O x O y(x)? x y(x)? x y=-x Figure II.1 Pssge d une reltion implicite à une reltion explicite Le théorème suivnt nous donne une condition suffisnte pour psser loclement d une reltion implicite à une reltion explicite. Considérons l décomposition en produit R n = R n p R p et notons (x, y) R n p R p, x = (x 1,...,x n p ), y = (y 1,...,y p ). 2.2 Théorème des fonctions implicites. Soit U R n un ouvert et f : U R p continue, dmettnt une dérivée prtielle y (x,y) L(Rp, R p ) dépendnt continûment de (x, y) U. Supposons que (x, y ) U soit tel que : i) f(x, y ) = ii) y (x,y ) : R p R p est bijective.

52 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Alors il existe r, R > et une ppliction continue g : B(x, r ) B(y, R ) tels que: i) B(x, r ) B(y, R ) U ii) f(x, g(x)) = x B(x, r ) et pour tout (x, y) B(x, r ) B(y, R ) on : f(x, y) = y = g(x). Pour comprendre intuitivement cet énoncé, supposons que f soit C 1 ; lors, pour (x, y) proche de (x, y ) : f(x, y) = f(x, y ) + }{{} x (x,y )(x x ) + y (x,y )(y y ) + reste = et si on néglige le reste, on en déduit que : f(x, y) = x (x,y )(x x ) + ( ) 1 ( ) y (x,y )(y y ) y = y y (x,y ) x (x,y )(x x ) à condition, bien sûr que y (x,y ) soit bijective. Cel nous donne une expression pproximtive de y en fonction de x; on peut espérer que : ( ) 1 ( ) y = y y (x,y ) x (x,y )(x x ) + ρ(x x ) vec ρ(x y ) très petit si x est proche de x. Nous verrons plus loin (voir 2.9) qu en fit lim x x ρ(x x ) x x =. Preuve: Soient r, R > tels que B(x, r) B(y, R) U et posons: { } X r,r = φ : B(x, r) B(y, R) φ continue ( ) ) c est un sous-ensemble fermé de l espce vectoriel complet C (B(x, r), R p, et donc X r,r est complet pour l métrique induite pr (voir I.3.1). Pour φ X r,r posons: ; ( ) 1 T(φ) (x) = φ(x) y (x ( ), y ) f(x, φ(x)) ; T(φ) est une ppliction continue de B(x, r) dns R p. Remrquons que T(φ) = φ f(x, φ(x)) = x B(x, r). On donc rmené l recherche d une solution explicite à un problème de point fixe. En fit, l définition de T s inspire de l 1ère vrinte de l méthode de Newton (voir I.4.2), que l on retrouve lorsque p = 1 et si l on considère x comme un prmètre. Le reste de l preuve consiste pour l essentiel à montrer que si r, R sont ssez petits, lors T est une trnsformtion contrctnte. Définissons l ppliction uxiliire ( ) 1 ( Ψ : B(x, r) B(y, R) R p, Ψ(x, y) = y y (x,y ) f(x, y)) de sorte que T(φ)(x) = Ψ(x, φ(x)) et Ψ(x, y ) = y. On que ( ) 1 Ψ ( ) y (x,y) = I p y (x,y ) y (x,y)

II.2 Le théorème des fonctions implicites 53 où I p : R p R p dénote l ppliction identité. Choisissons q tel que < q < 1. Il suit de l hypothèse que Ψ y (x,y) est continue que y (x,y) l est ussi, ( ) 1 ( ) et puisque Ψ y (x,y ) = I p y (x,y ) y (x,y ) =, il existe r 1 > et R > tel que: x x r 1, y y R Ψ y (x,y) ce qui entrîne encore, pr le théorème des ccroissements finis 1.9 que Soit δ > tel que q x x r 1, y 1 y, y 2 y R Ψ(x, y 1 ) Ψ(x, y 2 ) q y 1 y 2. et posons r = inf {r 1, δ}. Alors Ainsi, si φ X r,r, x x δ Ψ(x, y ) Ψ(x, y ) R (1 q) x x r, y y R Ψ(x, y) y Ψ(x, y) Ψ(x, y ) + Ψ(x, y ) Ψ(x, y ) q y y + R (1 q) qr + R (1 q) = R. T(φ) y = sup { Ψ(x, φ(x)) y, x x r } R et si φ 1, φ 2 X r,r, T ( φ 1 ) T ( φ2 ) = sup { Ψ(x, φ 1 (x)) Ψ(x, φ 2 (x)), x x r } q sup { φ 1 (x) φ 2 (x), x x r } = q φ 1 φ 2. Donc T est une trnsformtion contrctnte de X r,r et on peut lui ppliquer le théorème du point fixe (chp. I, th. 5.1, pge 16). L unique point fixe de T ser une ppliction continue g : B(x, r ) B(y, R ) telle que f(x, g(x)) =. L unicité du point fixe de T nous dit que g est l unique ppliction vec l propriété ci-dessus, cependnt cel n empêche ps priori que pour un x B(x, r ) il existe y B(y, R ), y g(x) vec f(x, y) =. Mis si x B(x, r ) est fixé, on peut considérer l trnsformtion t x : B(y, R ) B(y, R ),t x (y) = Ψ(x, y). On déduit imméditement des estimtions qu on vues sur Ψ que t x est une trnsformtion contrctnte, donc elle dmet un unique point fixe, qui ne peut être que g(x). 2.3 Remrques. (1) Si l on préfère trviller vec des boules ouvertes, on peut choisir r r tel que g ( B(x, r )) B(y, R ), et on ur encore: pour (x, y) B(x, r ) B(y, R ), f(x, y) = y = g(x). (2) Soit f : U R p, U R n, x U, f(x ) = et supposons que df x soit surjective. Alors, quitte à renuméroter les vecteurs de l bse nturelle de R n, on peut supposer que ( ) i dét (x ). x j i=1,...,p,j=n p+1,...,n

54 y II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites R { y (x, y ) g(x) Z(f) x { r x Figure II.2 Le théorème des fonctions implicites y y=(x-1) x x 1 y=-(x-1) x Figure II.3 L courbe d éqution y 2 x(x 1) 2 = Si l on prend l décomposition R n = R p R n p et l on note (x, x ) R n p R p, on ur que x (x ) est bijective et on pourr ppliquer le théorème des fonctions implicites pour exprimer x en fonction de x près de x = (x, x ). (3) Désignons pr Z(f) = {(x, y) R n f(x, y) = } l ensemble des zéros de f. L ppliction h : B(x, r ) B(x, R ), x (x, g(x )), est une bijection sur Z(f) (B(x, r ) B(x, R )); c est une prmétristion locle de X u voisinge de x (cf. proposition 4.8(2)). 2.4 Exemples. (1) Courbes plnes. Générlement, si x R et y R, l éqution f(x, y) = définit une courbe plne, notée Z(f). Si (x, y ) Z(f) et ( x (x,y ), y (x,y )) (, ), on dit que (x, y ) est un point régulier, sinon c est un point singulier. On ppelle droite tngente à Z(f) en un point régulier (x, y ) l droite d éqution : x (x,y )(x x ) + y (x,y )(y y ) = ; elle est proche de Z(f) près de (x, y ), prce que f(x, y) f(x, y ) = f(x, y) est pproché pr x (x,y )(x x ) + y (x,y )(y y ). Si (x, y ) est un point régulier, le théorème des fonctions implicites nous dit qu on

II.2 Le théorème des fonctions implicites 55 peut prmétrer Z(f) B(x ) B(y, R ) pr une ppliction de l forme x (x, g(x)), x B(x, r ), si y (x,y ), ou y (y, g(y)) si x (x,y ). L condition y (x,y ) signifie que l droite tngente à Z(f) en (x, y ) n est ps verticle, et elle se projette donc bijectivement sur l xe OX; le théorème des fonctions implicites nous dit qu lors l courbe elle-même, u voisinge de (x, y ), se projette bijectivement sur OX (voir figure II.3). Pr exemple, considérons l fonction f : R 2 R, f(x, y) = y 2 x(x 1) 2. On : y (x,y) = 2y, x (x,y) = 3x2 + 4x 1 et f(x, y) =, (x,y) = (x, y) = (, ) ou (1, ). y On pourr donc résoudre explicitement y en fonction de x, suf ux 2 points (, ) et (1, ). Puisque x (,) = 1, u voisinge de ce point on pourr résoudre explicitement x en fonction de y. Pr contre (1, ) est un point singulier, et on se rend compte sur l figure II.3 qu il n est ps possible de résoudre explicitement, ni y en fonction de x, ni x en fonction de y. (2) Surfces de l espce. Une éqution de l forme F(x, y, z) =, x, y, z R, définit générlement une surfce de l espce. Si P = (x, y, z ) Z(F) et df P = ( F F F x (P), y (P), y (P)) (,, ), on dit que P est un point régulier, sinon c est un point singulier. On ppelle pln tngent à Z(F) en un point régulier P = (x, y, z ) l pln d éqution : F x (P)(x x ) + F y (P)(y y ) + F z (P)(z z ) = ; il est proche de Z(F) près de (x, y, z ), prce que F(x, y, z) F(x, y, z ) = F(x, y, z) est pproché pr F x (x,y,z )(x x ) + F y (x,y,z )(y y ) + F z (x,y,z )(z z ). Au voisinge d un point régulier P, si pr exemple F z (P), on peut prmétrer Z(F) pr (x, y, z) (x, y, g(x, y)), pour (x, y) proche de (x, y ), où g(x, y) nous est fournie pr le théorème des fonctions implicites. Pr exemple, considérons F(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2, df (x,y,z) = (2x, 2y, 2z). Donc (,, ) Z(F) est l unique point singulier. Au voisinge de (, 1, 1) on peut prmétrer Z(F) pr (x, y) (x, y, x 2 + y 2 ), (x, y) proche de (, 1). (3) Courbes dns l espce. Si ϕ = (ϕ 1, ϕ 2 ) : R 3 R 2, générlement Z(ϕ) est une courbe dns l espce. Un point P = (x, y, z ) Z(ϕ) est dit régulier si dϕ P est de rng 2, sinon on dit qu il est singulier. Si P est régulier, cel signifie que dϕ 1 P et dϕ2 P sont linéirement indépendnts; en prticulier ils sont non nuls, et donc P est un point régulier sur chcune des deux surfces Z(ϕ 1 ) et Z(ϕ 2 ). Dire que dϕ 1 P et dϕ2 P sont linéirement indépendnts signifie exctement que ces plns tngents sont distincts; leur intersection est l droite tngente à Z(ϕ) en P. Au voisinge d un point régulier, on peut prmétrer Z(ϕ) pr projection sur OX, OY ou OZ. Pr exemple prenons ϕ 1 (x, y, z) = x 2 + y 2 z 2, ϕ 2 (x, y, z) = y 2 + z 2 1; Z(ϕ 1 ) est un cône circulire d xe OZ, Z(ϕ 2 ) est un cylindre circulire de ryon 1, d xe OX. En posnt ϕ = (ϕ 1, ϕ 2 ), on : ( ) 2x 2y 2z dϕ =. 2y 2z Les 2 2 mineurs de cette mtrice vlent 8yz, 4xy et 4xz. Pour que le rng de dϕ soit inférieur à 2 il fut donc que 2 des 3 coordonnées x, y, z s nnulent, et on vérifie que cel ne se produit en ucun point de Z(ϕ); donc tous les points de Z(ϕ) sont réguliers. Au point (1,, 1), le mineur de dϕ correspondntà l première et dernière colonne est non nul; on peut prmétrer Z(ϕ) u voisinge de ce point pr y ( 1 2y 2, 1 y 2 ). Dns les exemples précédents, on utilisé souvent l dverbe générlement, prce qu il est des équtions prticulières surprenntes; pr exemple, si on prend F(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 =, lors Z(F) = {(,, )}.

56 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites 2.1 Dépendnce des rcines simples d une fmille de polynômes pr rpport à des prmètres D bord un lemme qui nous donne une estimtion des rcines d un polynôme à une vrible en fonction de l tille de ses coefficients. On v supposer que le polynôme est distingué, ce qui veut dire que le coefficient du terme du plus hut degré vut 1. 2.5 Lemme. Soit f(x) = x d + d i=1 ix d i, i R et supposons que i M, i = 1,..., d. Alors, si α R et f(α) = on : α < 1 + M Preuve: Si α 1 il n y rien à démontrer. Sinon : d 1 α i < 1 α i = 1 α i=1 et lors = α d d 1 + i α i α (1 d M i=1 α d ( 1 M α et donc α < 1 + M dns tous les cs. d i=1 ( i=1 ) 1 α i > 1 1 1/ α 1 1 1/ α )) ( = α d 1 M 1 ) α 1 = 1 M 1 < = α < 1 + M α 1 2.6 Théorème. Soit F(x, λ) = x d + d 1 i= i(λ)x i une fmille de polynômes de degré d, où les coefficients sont des fonctions continues i (λ) : U R, U R n. Supposons que pour un λ U l éqution F(x, λ ) = possède exctement ν rcines, toutes simples, α 1,...,α ν R : F(x, λ ) = i t.q. x = α i, et F x (α i,λ ), i = 1,...,ν Alors il existe r > et ν fonctions continues γ i : B(λ, r) R telles que : i) γ i (λ ) = α i ii) F(x, λ) =, λ B(λ, r) i t.q. x = γ i (λ) Preuve: D près le théorème des fonctions implicites 2.2 il existe r >, R i >, i = 1,..., ν et des fonctions continues γ i : B(λ, r) ]α i R i, α i + R i [, i = 1,...,ν, telles que F(x, λ) =, x B(α i, R i ), λ B(λ, r) i t.q. x = γ i (λ). Il reste à voir que si r est choisi suffismment petit il n y ps d utres rcines. Soit r < r; lors, puisque {λ λ λ r } est compct et les (λ) continues, il existe M tel que (λ) M pour λ λ r Alors il suit du lemme qui précède que F(x, λ) si λ B(λ, r ) et x 1 + M. Posons { µ = inf F(x, λ ) } x [ 1 M, 1 + M] \ i=1,...,ν B(α i, R i ) lors µ >. Il existe r r tel que F(x, λ) µ/2 si λ λ r, x [ 1 M, 1+M]\ i=1,...,ν B(α i, R i ); les rcines de F(x, λ) ne peuvent donc être que dns i=1,...,ν B(α i, R). Remrquons que si l on dmet des rcines non simples, le théorème précèdent est fux : x 2 + λ dmet une rcine pour λ =, qui disprît dès que λ >. Aussi, le théorème est en défut pour l fmille de polynômes λx 2 x : pour λ =, x = est l unique rcine, et elle est simple, mis dès que λ il y 2 rcines simples : x = et x = 1 λ. On peut nénmoins étendre un peu l vlidité de 2.6 : ;

II.2 Le théorème des fonctions implicites 57 2.7 Corollire. Soit F(x, λ) = d i= i(λ)x i une fmille de polynômes de degré d, où les coefficients sont des fonctions continues i (λ) : U R, U R n. Soit λ U tel que l on it : i) d (λ ) ii) l éqution F(x, λ ) = possède exctement ν rcines, toutes simples. Alors l conclusion du théorème 2.6 reste vlble. Preuve: En posnt F (x, λ) = 1/ d (λ), pour λ dns un voisinge de λ, on est rmené à 2.6. On en déduit une méthode pour dessiner des courbes plnes décrites pr une éqution polynomile en deux vrible x et y, que nous llons esquisser. Soit f(x, y) = d i,j= i,jx i y j un polynôme en x et y et soit X = { (x, y) R 2 f(x, y) = } l courbe plne qu il définit. Posons f x (y) = f(x, y) = (x) + 1 (x)y + + d (x)y d, que l on considère comme fmille de polynômes en y dépendnts du prmètre x. L idée de cette méthode est de fixer x R, puis de chercher l ensemble des y solutions de l éqution f x (y) = ; ce ser un ensemble S x R qui ser soit fini, soit égl à R, si l courbe X contient l droite verticle {x} R. Puis on essie de comprendre comment S x se comporte lorsque x vrie. Des problèmes vont surgir lorsque les rcines de f x ne dépendent ps continûment de x. D près 2.7 cel ne peut rriver que dns les cs suivnts : lorsque x nnulle le coefficient de degré mximl en y : d (x) = lorsque y (x,y) = et f(x, y) = En ces points, qui sont générlement en nombre fini, il fut exminer de plus près l éqution. On v noter Σ R l ensemble de ces points. Son complémentire R \ Σ est consitué d un nombre fini d intervlles I 1,..., I N. Il suit de 2.7 que X I h se compose d une réunion finie d rcs disjoints, chcun se projetnt bijectivement sur I h, pour h = 1,...,N. 2.8 Exemple. Considérons l courbe d éqution : On clcule que y 2 (1 x) x(2x 1) 2 =. x = y2 12x 2 + 8x 1, y = 2y 2xy. Les solutions de f(x, y) =, y = sont (, ) et (1/2, ). Le coefficient du terme de degré mximum en y est 1 x, nul en x = 1. Donc Σ = {, 1/2, 1}. On vérifie que l éqution f x (y) = possède 2 solutions symétrique pr rpport à l xe Ox lorsque < x < 1/2 et 1/2 < x < 1. Le point (, ) n est ps singulier, lors que (1/2, ) l est. Pour comprendre ce qui se psse en (1/2, ) on regrde le développement de Tylor de f en ce point : f(x, y) = 1/2y 2 2(x 1/2) + r 2 et il est donc probble que X ressemble à l pire de droites 1/2y 2 2(x 1/2) 2 = u voisinge de ce point. Enfin, si x 1, les deux solutions de f x (y) = ne peuvent que tendre vers l infini, cr f(1, y) = 1 (figure II.4).

58 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites 1 1/2 Figure II.4 L courbe d éqution y 2 (1 x) x(2x 1) 2 =. 2.2 Méthode des multiplicteurs de Lgrnge pour l recherche d extrem liés Soit Ω R n un ouvert et F : Ω R k une ppliction. Posons X = {x R n F(x) = } = Z(F); si f : Ω R est une fonction, on imerit chercher les extrem locux de l restriction de f à X : on dit que X est un mximum (resp. minimum) locl de f X si r > tel que x X, d(x, ) < r f(x) f() (resp. f(x) f(). On dit lors que est un extremum locl de f, lié ux conditions F i (x) =, i = 1,...,k. Pr exemple, cherchons les points de l prbole y = x 2 qui sont à distnce minimle du point P = (, c). Dns ce cs, F(x, y) = y x 2, et on peut prendre pour f l fonction f(x, y) = x 2 +(y c) 2, c est-à-dire le crré de l distnce de (x, y) à P; minimiser f(x, y) ou l distnce proprement dite f(x, y) revient u même, mis f(x, y) est plus simple à écrire. On peut résoudre directement ce problème à l ide de l prmétristion globle de Z(F) : α(x) = (x, x 2 ); lors f(α(x)) = x 2 + (x 2 c) 2 = φ(x), φ (x) = 2x + 2(x 2 c)2x = 2x(2x 2 2c + 1). On doit chercher l vleur de x pour lquelle φ(x) est minimle, et lors φ (x) =, d où x = ou x = c 1/2 si c > 1/2. Or φ() = c 2, φ( c 1/2) = c 1/4 (c 1/2). On vérifie que c 2 c 1/4 si c 1/2; donc que l distnce minimle est tteinte pr le point (, ) si c < 1/2, sinon pr les deux points (± c 1/2, c 1/2) (figure II.5). (,c) ( c 1 2, c 1 ) ( c 1 2 2, c 1 ) 2 1 (,c ) -1 1 Figure II.5 Exemple d extremum lié : distnce minimle d une courbe à un point donné

II.2 Le théorème des fonctions implicites 59 Dns cet exemple, on s est rmené, à l ide d une prmétristion de l courbe g(x, y) =, à l recherche de points critiques d une fonction d une vrible. En générl, il n est ps possible d expliciter une prmétristion d une courbe décrite pr une éqution : le théorème des fonctions implicites est un pur théorème d existence. Nénmoins, un complément à ce théorème v nous donner l expression de l première dérivée d une prmétristion locle de l courbe g = ; c est ce que v exploiter l méthode des multiplicteurs de Lgrnge, qui permet sous certines conditions de donner des équtions des extrems d une fonction liés à une contrinte. 2.9 Complément u théorème des fonctions implicites. Sous les hypothèses du théorème 2.2 (théorème des fonctions implicites), si f est dérivble en (x, y ), lors g est dérivble en x et ( ) 1 ( ) (3) dg x = y (x,y ) x (x,y ). De plus, si f est de clsse C r, g l est ussi. Preuve: En dérivnt les 2 membres de l éqution: on obtient que et de là on tire que f(x, g(x)) = x (x,y ) + ) y (x,y ) (dg x = ( ) 1 ( ) dg x = y (x,y ) x (x,y ) ceci à condition que l on sche déjà que g est dérivble en x. C est précisément ce que l on doit commencer pr démontrer, mis le clcul précédent explique d où vient l formule énoncée. Pour montrer que g est dérivble en x, donnons un ccroissement h à l vrible x en x, un ccroissement g = g(x + h) g(x ) à y en y et utilisons l dérivbilité de f en (x, y ) et le fit que f(x, g(x)) = : (4) = f(x + h, g(x + h)) f(x, g(x )) = x (x,y )(h) + y (x,y )( g) + r(h, g) vec r(h, g) ε( h + g ) si h, g δ ε, où l on prend prtout l norme 1. Puisque g est continue h δ 1 ε g δ ε donc si δ 2 ε = inf { δ ε, δ 1 ε}, (5) h δε 2 r(h, g) ε( h + g ). Pr illeurs, on déduit de (4) que (6) g = 1 ( ) (h) + r(h, g) y x et donc, en supposnt que ε < 1, 1 h δε 2 g (( ) ) y x + 1 h + ε g

6 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites où cel v sns dire que les dérivées sont prises u point (x, y ). ( ) Posons C = 1 1 + 1 ; en prennt ε = 1 et en ppellnt δ3 l vleur correspondnte de δε, 2 on obtient que y x 2 y h δ 3 1 g C h + 2 (7) 1 g C h g 2C h 2 Si on reprend (6) on voit que (8) g = 1 ( ) y x (h) et il suit de (5), (7) et (8) que y 1 1 g = C h + 1 y 2 g + ρ(h) où ρ(h) = 1( ) r(h, g) y h inf { δ ε, δ 3} 1 ρ(h) ε (1 + 2C) h ; y cel montre que g est dérivble et que s dérivée est donnée pr (3). Si l on suppose f de clsse C r, r 1, x et y sont de clsse Cr 1. L expression (3) est vlble sur un ouvert U x et montre que dg est de clsse C r 1 et donc que g est de clsse C r. Soit F : Ω R k une ppliction de clsse C 1. Si x Z(F) et que df x soit surjective, on dit que x est un point régulier de Z(F), sinon c est un point singulier (ceci générlise l terminologie introduite dns les exemples (2.4).) Si donc x est un point régulier de F, on peut ppliquer l remrque 2.3(3) pour voir une prmétristion de X = Z(F) u voisinge de x, de l forme x (x, g(x )), où x R n k est proche de x ; on pose h(x ) = (x, g(x ), et il suit de 2.9 que h est de clsse C 1. On définit l espce tngent à X u point x : TX x = {v R n df x (v) = } c est un sous-espce vectoriel de R n de dimension n k (dns les exemples 2.4 c est en fit le trnslté pr x de TX x que l on ppelé espce tngent). 2.1 Proposition. On : et : TX x = TX x = Im(dh x ) { v R } n des suites {x n } X, {λ n } R telles que lim x n = x et lim λ n (x n x ) = v n n Notons qu en prticulier, l deuxième expression de TX x ne fit ps intervenir l éqution F de X. Preuve: L dérivée de h s écrit : 1......... dh x = 1 }{{} n k dg x

II.2 Le théorème des fonctions implicites 61 et on voit qu elle est injective, et donc Im(dh x ) est de dimension n k. Puisque F(h(x )) =, df x dh x =, et donc Im(dh x ) Ker(dF x ) = TX x et puisque ces espces ont même dimension n k, ils coïncident. Si v TX x, lors w R n k tel que v = dh x (w). Soit x n = h(x + 1 n w) et λ n = n. Alors et lim (x n) = h ( lim n n (x + 1 n w)) = h(x ) = x lim (n(x n x )) = lim(n(h(x + 1 n n w) h(x )) = lim h(x + 1 n w) h(x ) 1 = dh x (w) = v D utre prt, si lim n x n = x et lim n λ n (x n x ) = v : = λ n (F(x n ) F(x )) = λ n (df x (x n x )) + λ n r(x n x ) = df x (λ n (x n x )) + r(x n x ) x n x λ n x n x df x (v) L proposition 1.12 se générlise comme suit. 2.11 Proposition. Soit Ω R n un ouvert, et soit F : Ω R k de clsse C 1, X = Z(F) et x X un point régulier. Soit f : Ω R une fonction de clsse C 1 ; pour que x soit un extremum locl de f X il est nécessire que : df x TX x =. n Preuve: Soit h(x ) l prmétristion locle de X u voisinge de x. Alors dire que x est un extremum locl de f X équivut à dire que x est un extremum locl de f h, ce qui, d près l proposition 1.12 implique que d(f h) x =. Mis d(f h) x = df x dh x ; cel entrîne donc que df x Im(dh x ) = df x TX x =. Voici un théorème qui trduit le résultt précédent en une méthode de clcul. 2.12 Théorème Methode des multiplicteurs de Lgrnge (1736 1813). Soient F : Ω R k, et f : Ω R, Ω R n un ouvert, F, f de clsse C 1. Posons X = F 1 () et soit X; supposons que df soit surjective. Alors, une condition nécessire pour que f X it un extremum locl en est qu il existe k nombres réels λ 1,..., λ k R tel que : k df = λ i F i() où F i () L(Rn, R) dénote l dérivée de F i u point. En coordonnées, cel s écrit : x j () = k i=1 i=1 λ i F i x j (), j = 1,..., n Notons que pour l recherche des extrems liés nous urons : n + k inconnues : 1,..., n, λ 1,...,λ k n + k équtions : F 1 () = = F k () =, x j () = k i=1 λ i F i x j (), j = 1,...,n. Il est donc risonnble d espérer résoudre ce système d équtions. Les points Ω qui stisfont les n + k équtions ci-dessus, sns préjuger de leur qulité de mximum ou minimum locl lié, sont ppelés points sttionnires. Lorsque n = 2 et k = 1, les niveux de f et F sont générlement des courbes. L condition du théorème devient grd(f) = λ grd(f), donc les 2 courbes F(x 1, x 2 ) = et f(x 1, x 2 ) f() = ont même tngente en ; on le constte pr exemple sur les figures II.5 et II.6. L démonstrtion du théorème repose sur un lemme d lgèbre linéire :

62 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites 2.13 Lemme. Soient α : R n R n k une ppliction linéire surjective et β : R n R une ppliction linéire. Pour qu il existe une ppliction linéire Λ : R n k R telle que β = Λ α, il fut et il suffit que Ker(α) Ker(β). Preuve: On peut représenter l sitution sur un digrmme: R n α R n k β R Si β = Λ α, évidemment Ker(α) Ker(β). Réciproquement, supposons que l inclusion précédente soit vrie. On un isomorphisme d espces vectoriels R n Ker(α) K, où K désigne un supplémentire à Ker(α) dns R n, et lors α K : K R n k. On pose: Λ = β ( α K ) 1; on en tire que Λ ( α K ) = β K. Comme K est supplémentire à Ker(α) et que utnt Λ α que β s nnulent sur Ker(α), ces 2 pplictions linéires sont égles. Preuve de 2.12 Le lemme nous dit qu il existe une ppliction linéire Λ : R n R telle que df = Λ df. Si on exprime cette reltion sous forme mtricielle, en ppelnt λ 1,...,λ n les coefficients de l mtrice de Λ, on obtient les équtions ( ). 2.14 Exemples. (1) Soit f(x, y) = xy et cherchons ses vleurs mximles et minimles sur le cercle F(x, y) = x 2 +y 2 1 = ; on sit qu elles existent prce que le cercle est compct. Cherchons d bord ses points sttionnires : Λ x 2 + y 2 1 = y = 2λx x2 = y 2 = 1/2 = (± 1/2, ± 1/2) x = 2λy Il y donc qutre points sttionnires. f Donc l vleur mximle est 1/2, l vleur minimle est 1/2 (figure II.6). ( ±( 1/2, ) ( 1/2) = 1/2, f ±( 1/2, ) 1/2) = 1/2. (2) Cherchons les vleurs mximles et minimles de l fonction f(x, y, z) = x + y + z sur l ellipsoïde F(x, y, z) = x2 2 + y2 4 + z2 6 1 =. De nouveu, on sit à priori que f dmet une vleur minimle et mximle, prce que l ellipsoïde est compct. On grd(f) = (1, 1, 1), grd(f) = (x, y 2, z 3 ) et on doit résoudre le système d équtions : 1 = λx 1 = 1 2 λy 1 = 1 3 λz λ = 1 x x2, y = 2x, z = 3x 2 + 4x2 4 + 9x2 3 6 = 1 x = ± 3 Les points sttionnires sont donc P = 3 ( 1 3, 2 3, 1) et Q = 3 ( 1 3, 2 3, 1). Donc f(p) = 2 3 est l vleur mximle, f(q) = 2 3 est l vleur minimle de f sur l ellipsoïde. (3) Si u lieu de l ellipsoïde on prend l qudrique h(x, y, z) = x2 2 + y2 4 + z2 6 à ceux ci-dessus montrent qu il y 2 points sttionnires P = 2 ( 1 2, 1, 3 2. 1 =, des clculs semblbles ) et Q = 2 ( 1 2, 1, 2) 3, et f(p ) = 2 2, f(q ) = 2 2. Mis f n ni vleur mximle, ni minimle sur cette surfce! En effet, prenons z = 6; lors, les points (x, 2x, z ) Z(h), et f(x, 2x, z ) = x(1 + 2) + 6 prend des vleurs ussi grndes que l on veut. (4) L méthode ne permet ps toujours de trouver des solutions, même si elles existent. Prenons l prbole semi-cubique (figure II.7), d éqution g(x, y) = y 2 x 3 = et cherchons l distnce minimle du point

II.2 Le théorème des fonctions implicites 63 f(x, y) = 1 2 f(x, y) =- 1 2 Figure II.6 Vleurs extremles de x y sur le cercle x 2 + y 2 1 = P Figure II.7 L prbole semi-cubique, d éqution y 2 x 3 = P = ( 1, ) à cette courbe, en ppliqunt l méthode de Lgrnge à f(x, y) = (x + 1) 2 + y 2, qui est l distnce u crré de (x, y) à ( 1, ), soumise à l contrinte F(x, y) =. On voit tout de suite que l distnce minimle est tteinte u point (, ), et elle vut 1. Mis grd(f) (,) = (, ), grd(f) (,) = (1, ); on ne pourr ps trouver de λ tel que grd(f) (,) = λ grd(f) (,). Une condition suffisnte pour un extremum locl Reprenons les nottions et les hypothèses de l proposition 2.11 et du théorème 2.12. Supposons que l condition nécessire pour que f it un extremum en x soit stisfite; lors on peut écrire : df x = Λ df x où Λ L(R n, R) pour mtrice (λ 1,...,λ n ). Notons que l on déduit de l églité précédentes que : Λ = ( F ) 1 ( ) x (x ) x (x ) ce qui montre comment Λ est déterminé pr f et F. Pour essyer de déterminer si x est un extremum locl de f X, on peut ppliquer les considértions que l on rppelé dns 1.26 ux dérivées d ordre deux de f h. Il fut donc exminer l forme qudrtique : q(v) = n k i,j=1 2 (f h) u i u j (x )u iu j. Il s git en fit de clculer ces dérivées en termes de dérivées de f et F. On pplique plusieurs fois l formule de dérivtion des fonction composées : (2-1) h) u i (x ) = s=1,...,n x s (h(x )) h s u i (x )

64 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites et donc (2-2) 2 (f h) u j u i (x ) = n s,t=1 2 f x t x s (x ) h t u j (x ) h s u i (x ) + n s=1 x s (x ) 2 h s u j u i (x ). De même, puisque F h =, on voit que : (2-3) 2 (F h) u j u i (x ) = n s,t=1 2 F x t x s (x ) h t u j (x ) h s u i (x ) + n s=1 F x s (x ) 2 h s u j u i (x ) =. et en ppliqunt Λ ux deux membres de l dernière églité de (2-3), compte tenu de (2-1) on voit que : ( n 2 n ) h s (x ) (x x s u j u ) = Λ 2 F (x ) h t (x i x t x s u ) h s (x j u ) i s=1 et donc si on pose, pour w R n : Q(w) = n s,t=1 s,t=1 ( 2 n ) f 2 F (x ) w t w s Λ (x ) w t w s x t x s x s,t=1 t x s on voit que q(v) = Q(dh (x )(v)). On peut donc dire que si l forme qudrtique Q restreinte à TX x : est définie positive (i.e. Q(w) > pour tout w TX x, w ), lors x est un minimum locl de f X si elle est définie négtive, lors x est un mximum locl de f X s il existe w 1, w 2 TX x vec Q(w 1 ) >, Q(w 2 ) <, lors x n est ni un minimum, ni un mximum locl de f X dns les cs restnt, on ne peut ps décider de l nture du point sttionnire x uniquement à l ide de Q. 3. Eléments de clcul des vritions On imerit border des problèmes du type suivnt : prmi les fonctions ϕ : [, b] R, de clsse C 1, qui vérifie l condition u bord ϕ() = A, ϕ(b) = B, trouver celles pour lesquelles l intégrle suivnte F(ϕ) = b f(x, ϕ(x), ϕ (x))dx est minimle, respectivement mximle, où f : Ω R est une fonction continue, et Ω (x, ϕ(x), ϕ (x)), x [, b]. Trditionellement, on ppelle F(ϕ) une fonctionnelle et le ϕ cherché une extremle de cette fonctionnelle. B ϕ( x i+1 ) ϕ(x i ) A x i x i x i+1 Figure II.8 Clcul de l longueur du grphe de ϕ b

3.1 Exemples. II.3 Eléments de clcul des vritions 65 (1) Soient P = (, A), Q = (b, B) R 2. Trouver l courbe rélisnt l plus courte distnce entre P et Q. On peut supposer que < b et que l solution est donnée pr le grphe d une fonction ϕ : [, b] R, vec ϕ() = A, ϕ(b) = B. L longueur du grphe de ϕ est donnée pr l intégrle : b l(ϕ) = 1 + (ϕ (x)) 2 dx. En effet, si = x < x 1... < x n = b est un prtge de [, b], l longueur du segment joignnt (x i, ϕ(x i )) à (x i+1, ϕ(x i+1 )), i =,..., n 1, vut, d près le théorème de Pythgore : x 2 i + ϕ2 i, où x i = x i+1 x i, ϕ i = ϕ(x i+1 ) ϕ(x i ) et l longueur de l courbe polygonle réunion de ces ségments vut n 1 n 1 x 2i + ϕ2i = ( ) 2 ϕi 1 + x i x i i= i= ce qui tend vers l(ϕ) = b 1 + (ϕ (x)) 2 dx lorsque l mille du prtge sup { x i i =,...,n 1} tend vers. On donc rmené le problème à l recherche de fonctions ϕ qui minimisent l fonctionnelle F(ϕ). (2) On plce un système de coordonnées rectngulires (x, y, z) dns l espce. Etnt donné deux points P = (, B) et Q = (b, B) dns le pln (x, y), trouver ϕ : [, b] R, ϕ() = A, ϕ(b) = B, de sorte que l ire A(ϕ) de l surfce obtenue pr rottion du grphe de ϕ utour de l xe Ox soit minimle. Cette ire peut s exprimer insi: A(ϕ) = 2π b ϕ(x) 1 + ϕ (x) 2 dx. En effet, rppelons que l ire ltérle d un tronc de cône est égle à 2π (R 1+R 2 ) 2 r, où R 1 et R 2 sont les ryons de l bse inférieure et supérieure respectivement et r est l lrgeur du côté. Si = x <... < x i <... < x N = b est un prtge de l intervlle [, b], l ire de l surfce engendrée pr rottion de l ligne polygonle constituée pr les segments d extrémités (x i, f(x i )), (x i+1, f(x i+1 )) est égle à N 1 i= N 1 2π i= 2π x 2 i + ϕ2 i 1 2 (ϕ(x i) + ϕ(x i+1 )) x i (ϕ(x i ) + ϕ(x i+1 )) = 2 ( ϕi 1 + x i ce qui tend vers l expression voulue lorsque les milles du prtge tendent vers. ) 2 y A B ϕ(x i+1 ) ϕ(x i ) O x i x i+1 b x z Figure II.9 Clcul de l ire de l surfce engendrée pr rottion du grphe de ϕ

66 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Supposons que l on veuille trouver un ϕ : [, b] R qui soit une extremle de l fonctionnelle F(ϕ) = b f(x, ϕ(x), ϕ (x))dx, et vérifint ϕ () = A, ϕ (b) = B. Posons : E = { θ : [, b] R θ de clsse C 1 et θ() = θ(b) = }. C est un espce vectoriel, que l on peut considérer comme l espce des déformtions de ϕ : pour voir que ϕ est une extremle de F, il suffit d étudier les vleurs de F(ϕ + t θ), pour θ E et t R proche de. 3.2 Proposition. Soit θ E et, pour t R proche de posons Alors h θ (t) = F(ϕ + t θ) = h θ() = b b f(x, ϕ (x) + t θ(x), ϕ (x) + t θ (x))dx. { } y (x,ϕ (x),ϕ (x)) θ(x) + z (x,ϕ (x),ϕ (x)) θ (x) dx. Preuve: On dérive l expression définissnt h θ (t) sous le signe intégrle. 3.3 Corollire. Si ϕ est une extrémle de F, lors b { } y (x,ϕ (x),ϕ (x)) θ(x) + z (x,ϕ (x),ϕ (x)) θ (x) dx = θ E et si f est de clsse C 2, lors : b { y (x,ϕ (x),ϕ (x)) d ( )} dx z (x,ϕ (x),ϕ (x)) θ(x)dx = θ E Preuve: Si ϕ est une extremle de F, lors pour tout θ E R est un extremum pour h θ (t), et donc, d près 1.12, h θ () =, ce qui implique l éqution pr l proposition 3.2. Si f est de clsse C 2, on peut intégrer pr prties : b z (x,ϕ (x),ϕ (x)) θ (x)dx = et l deuxième églité en suit. b z (t,ϕ (t),ϕ (t)) θ(t) }{{} = 3.4 Lemme. Soit g : [, b] R continue et supposons que b d ( ) dx z (x,φ (x),φ (x)) θ(x)dx Alors g est identiquement nulle. b g(x)θ(x)dx = θ E. Preuve: Si g est identiquement nulle sur ], b[ lors g est identiquement nulle sur [, b]. Donc si l conclusion du lemme est fusse, il existe x ], b[ vec g(x ). On peut supposer, quitte à remplcer g pr g, que g(x ) >. Puisque g est continue, il existe δ > tel que g(x) g(x ) 2 si x x δ, et on peut supposer que [x δ, x + δ] [, b]. On vérifie fcilement que l fonction { f(x) = (x 1) 2 (x + 1) 2 si x 1 sinon

II.3 Eléments de clcul des vritions 67-1 1 Figure II.1 Grphe de l fonction en cloche (x 1) 2 (x + 1) 2, prolongée pr en dehors de [ 1, 1] est de clsse C 1 (voir figure II.1); posons θ(x) = f( x x δ ). Alors θ est ussi C 1, θ() = θ(b) = et θ(x). Donc g(x) θ(x), mis g θ est non identiquement nulle, et elle est continue. Alors,d près le lemme I.1.3 b g(x)θ(x)dx > ce qui contredit l hypothèse. 3.5 Remrque. On peut même construire des fonctions C du même type que l fonction θ(x) de l preuve du lemme précédent en posnt : { 1 δ θ(x) = e 2 (x x ) 2 si x x < δ sinon et on démontre qu elle est C de mnière nlogue à l exemple que l on trouve dns H-W, chp. III(7.12) où l on trite le cs de f(x) = e 1/x2 si x >, f(x) = sinon. 3.6 Théorème. Supposons que f soit de clsse C 2 ; une condition nécessire pour que ϕ soit une extremle de l fonctionnelle : b f(x, ϕ(x), ϕ (x))dx est que l éqution différentielle suivnte, ppelé éqution d Euler-Lgrnge, soit stisfite : (I) y (x,ϕ (x),ϕ (x)) d ( ) dx z (x,ϕ (x),ϕ (x)) = et si f ne dépend ps de x, lors l éqution suivnte est stisfite : (II) ϕ (x) z (ϕ (x),ϕ (x)) f( ϕ (x), ϕ (x) ) = Constnte Preuve: (I) suit de 3.3 et 3.4.

68 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Si f ne dépend que de y et z, lors x et donc : ) ( d dx ϕ z f = ϕ z + d ϕ dx ( ) z y ϕ ( d z ϕ = ϕ dx ( ) ) = z y où les dérivées sont toutes prises u point (x, ϕ (x), ϕ (x)); d où l on tire (II). 3.7 Exemples. On reprend les exemples du début de ce prgrphe; nous nous contenterons d utiliser les équtions d Euler- Lgrnge pour déterminer les solutions possibles, sns montrer qu il s git effectivement de minim (voir G.A. Bliss, Clculus of vritions, the Open Court Publishing Compny, Chicgo (1925) pour une nlyse plus complète de ces problèmes.) (1) Pour trouver l plus courte distnce entre P = (, A) et Q = (b, B), on doit minimiser l fonctionnelle : Ici on : l(ϕ) = b 1 + ϕ (x) 2 dx. f(x, y, z) = f(z) = 1 + z 2, et on déduit de 3.6(II) que si ϕ est un minimum de l(ϕ), lors : d où l on tire que ϕ ϕ 1 + ϕ 2 1 + ϕ 2 = C z = z 1 + z 2 ϕ 2 1 ϕ 2 = C 1 + ϕ 2 ϕ 2 = Const. ϕ = const. et donc ϕ est de l forme ϕ (x) = αx + β, comme on pouvit s y ttendre. (2) Pour trouver l fonction dont le grphe engendre pr rottion utour de Ox l surfce d ire minimle, on doit minimiser l fonctionnelle: A(ϕ) = 2π b Le coefficient 2π ne joue ps de rôle; on prend donc : ϕ(x) 1 + ϕ (x) 2 dx. f(y, z) = y 1 + z 2, z = yz 1 + z 2 d où l on tire, en ppliqunt 3.6(II), l éqution: ϕ ϕ ϕ ϕ 1 + ϕ 2 1 + ϕ 2 = C. Il en suit que Or ϕ (ϕ /C) 2 1 = 1 ( ) ϕ rccosh(ϕ /C) = ϕ 2 C = 1/C 2

II.3 Eléments de clcul des vritions 69 où rccosh(y) est l fonction inverse de cosh(x) = ex +e x 2, d où l on tire que ( x ) ϕ (x) = C cosh C α où α et C sont des constntes. Il reste à svoir si pour P et Q donnés on peut déterminer les constntes α et C telles que le grphe du ϕ correspondnt psse pr P et Q. Or l discussion de ce problème est ssez compliquée, et nous nous contenterons de l esquisser. On peut supposer que P = (, 1) sns perte de générlité; Il se trouve que si Q est à guche de l courbe en pointillé dns l figure II.11, il existe une solution qui psse pr P et Q. Si Q se trouve à droite de l courbe en pointillé, il n existe ps de solution qui psse pr P et Q. Dns ce cs il y une solution u problème, à condition de l énoncer un peu différemment. Pr rottion utour de l xe Ox, les points P et Q décrivent deux cercles C P et C Q ; le problème est de trouver l surfce d ire minimle ynt les cercles C P et C Q comme bord. Lorsque Q est u-delà de l courbe en pointillé, on comme solution tout simplement les disques dont C P et C Q sont les bords. On ne peut ps donner une formule explicite pour l courbe en pointillé, qui est en fit l enveloppe de l sous-fmille des courbes de l fmille qui pssent pr P. (voir C. Crthéodory, Vritionsrechnung, Teubner Verlg (1935), Leipzig und Berlin, pge 31). Physiquement, on peut obtenir ces surfces en rélisnt C P et C Q en fil de fer et l surfce cherchée pr une pellicule d eu svonneuse. On voit bien que si on prt de deux cercles proches, bords d une pellicule d eu svonneuse d un seul tennt, et qu on éloigne de plus en plus les deux cercles, l pellicule finir pr se séprer pour former (vec un peu de chnce) deux disques, de bord C P, respectivement C Q. 1 1 Figure II.11 Grphes engendrnt des surfces minimles pr rottion utour de l xe Ox

7 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Figure II.12 L sphère, le cylindre et le cône 3.1 Géodésiques sur les surfces Nous considérerons des surfces de R 3 données pr une éqution de l forme G(x, y, z) =, où Ω R 3 est ouvert et G : Ω R est de clsse u moins C 2. Voici 3 exemples concrets de surfce, où Ω = R 3 : l sphère, d éqution x 2 + y 2 + z 2 1 = le cylindre, d éqution x 2 + y 2 1 = le cône, d éqution x 2 + y 2 z 2 =. Une courbe prmétrique régulière de l espce est donnée pr une ppliction γ : [, b] R 3, que nous supposerons de clsse C 2, vérifint γ (t) t [, b]. Nous noterons γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) et γ (t) = (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) s dérivée. Nous noterons pr G x, G y et G z les dérivées prtielles respectives de G. Etnt donnée une surfce Z(G) d éqution G(x, y, z) = et deux points P, Q Z(G), on se pose le problème de trouver l courbe régulière γ : [, b] R 3 contenue dns l surfce Z(G), qui joint P à Q, et dont l longueur est minimle. Une telle courbe, qu on ppelle géodésique de l surfce Z(G), doit stisfire : 1) G(x(t), y(t), z(t)) = t [, b] 2) γ() = P, γ(b) = Q 3) L fonctionnelle 1 ẋ(t)2 + ẏ(t) 2 + ż(t) 2, qui, d près un risonnement semblble à celui de l exemple 3.1(1) représente l longueur de γ, doit être minimle. Supposons plus générlement que nous cherchions les extremles d une fonctionnelle de l forme (3-1) b f(x, y, z, ẋ, ẏ, ż)dt où x, y, z, ẋ, ẏ, ż représentent les coordonnées d une courbe sur l surfce Z(G) et de s dérivée; une solution ser une courbe (x(t), y(t), z(t)) qui rend l fonctionnelle ci-dessus extremle, et qui de plus stisfit G(x(t), y(t), z(t)) =. Au voisinge d un point régulier de Z(G), quitte à échnger les rôles de x, y et z, on peut supposer que G z, et il suit lors du théorème des fonctions implicites que l on peut prmétrer loclement Z(G) pr une ppliction de l forme (x, y) (x, y, g(x, y)). On ur : (3-2) g x = G x G z, g y = G y G z et si γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) est une coube sur Z(G), on ur que z(t) = g(x(t), y(t)), et donc ż(t) = g x (x(t), y(t)) ẋ(t) + g y (x(t), y(t)) ẏ(t). Posons : (3-3) h(x, y, ẋ, ẏ) = f(x, y, g(x, y), ẋ, ẏ, g x (x, y) ẋ + g y (x, y) ẏ).

II.3 Eléments de clcul des vritions 71 Alors le problème revient à trouver les extremles de l fonctionnelle (3-4) b h(x, y, ẋ, ẏ)dt. Ce que nous vons ggné pr rpport à (3-1) c est que les vribles x, y, ẋ, ẏ sont libres, lors que dns (3-1) on vit l contrinte supplémentire G(x, y, z) =. L fonctionnelle de (3-3) est plus générle que celle du type considéré pour obtenir les équtions d Euler- Lgrnge. Mis on le théorème suivnt, qui se démontre de mnière nlogue u théorème 3.6 : 3.8 Théorème. Si (x(t), y(t)), t [, b], est une extremle de (3-4), lors elle stisfit les équtions différentielles suivntes : { hx (x(t),y(t),ẋ(t),ẏ(t)) d dt (h ẋ(x(t),y(t),ẋ(t),ẏ(t))) = h y (x(t),y(t),ẋ(t),ẏ(t)) d dt (h ẏ(x(t),y(t),ẋ(t),ẏ(t))) = Ces équtions s ppellent encore équtions d Euler-Lgrnge. Dns notre cs, compte tenu de (3-3), elles donnent : d où : h x d dt h ẋ = f x + f z g x + fż (g xx ẋ + g xy ẏ) d dt (f ẋ) (3-5) f x d ( dt (f ẋ) + g x f z d ) dt (f ż) = et, en échngent x et y : (3-6) f y d ( dt (f ẏ) + g y f z d ) dt (f ż) = d dt (f ż g x ) }{{} =fż (g x,x ẋ+g x,y ẏ)+g x d dt (f ż) = Définissons l fonction λ(t) pr l éqution : (3-7) d dt (f ż) f z = λ G z on tire lors de (3-5) et (3-6), compte tenu de (3-2) : donc finlement on obtient les 3 équtions : (3-8) d dt f ẋ f x = g x (f z d dt (f ż)) = G x (f z d G z dt (f ż)) = λ G x d dt f ẏ f y = λ G y d dt f ẋ f x = λ G x d dt f ẏ f y = λ G y d dt f ż f z = λ G z

72 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites qui seront vlbles en tous les points réguliers de Z(G). Dns le cs prticulier où f(x, y, z, ẋ, ẏ, ż) = f(ẋ, ẏ, ż) = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2, on obtient le système d équtions suivnt, que devront stisfire les géodésiques : ( ) ẋ2 ẋ = λ G x +ẏ 2 +ż 2 (3-9) d dt d dt d dt ( ( ẏ ẋ2 +ẏ 2 +ż 2 ) = λ G y ż ẋ2 +ẏ 2 +ż 2 ) = λ G z Pour le résoudre, il est plus commode de supposer que (x(t), y(t), z(t)) est une prmétristion pr l longueur d rc, que nous llons mintennt rppeler. Si γ : [, b] R 3 une courbe régulière, posons s(t) = t γ (τ) dτ où est l norme euclidienne; s(t) représente l longueur du morceu de courbe γ([, t]), pour t b, et prend ses vleurs dns l intervlle [, L], où L = s(b) est l longueur de l courbe. Puisque s (t) = γ (t), s est monotone croissnte, en fit une bijection entre [, b] et [, L]. On peut donc reprmétrer l courbe en posnt γ(s(t)) = γ(t), ce qui définit une nouvelle prmétristion γ : [, L] R 3 de l même courbe; on dit que γ est une prmétristion pr l longueur d rc. On : γ(s(t)) = γ (s(t)) s (t) = γ (t) γ (s(t)) s (t) = γ (t) γ (s) = 1. }{{} = γ (t) On note mintennt pr γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) : [, b] R 3 une courbe prmétrée pr l longueur d rc; puisque γ (t) = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = 1, le système d équtions (3-9) devient :. (3-1) ou encore, sous forme vectorielle : {ẍ = λ Gx ÿ = λ G y z = λ G z (3-11) γ = λ dg. Autrement dit, l ccélértion γ de l courbe géodésique, prmétrée pr l longueur d rc, doit être perpendiculire u pln tngent à l surfce (cf. 2.4(2)). 3.9 Exemples. (1) Prenons le pln G(x, y, z) = z =. Alors γ(t) = (x(t), y(t), ) et l éqution (3-11) donne : ce qui montre que les géodésiques sont des droites. (ẍ, ÿ, ) = λ(,, 1) λ = ẍ = ÿ = (2) Pour l sphère G(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 =, on que dg = 2(x, y, z), et de (3-1) on tire lors que γ = 2λ γ. Soit N(t) = γ(t) γ(t), où dénote le produit vectoriel, le vecteur perpendiculire u pln engendré pr γ(t) et γ(t). Alors : N = γ γ +γ γ = 2λγ γ = }{{} = et il en suit que N est constnt; donc l géodésique se trouve dns le pln perpendiculire u vecteur constnt N et c est donc une portion de grnd cercle de l sphère.

II.4 Théorèmes de l ppliction inverse et du rng 73 4. Théorèmes de l ppliction inverse et du rng Ces deux théorèmes sont des conséquences du théorème des fonctions implicites. Le théorème de l ppliction inverse permet de construire des chngements de coordonnées locux; le théorème du rng permet d écrire une ppliction ynt une dérivée de rng mximum en un point comme une ppliction linéire, près chngement de coordonnées locl. 4.1 Théorème de l ppliction inverse. Soit f : U R n, U R n ouvert, de clsse C 1, et supposons qu en un point x U l dérivée df x L(R n, R n ) soit inversible; posons y = f(x ). Il existe un ouvert V U R n, V x, r > et une ppliction g : B(y, r) V de clsse C 1 telle que f g = I B(y,r), g f V = I V où I dénote l ppliction identité. De plus, dg y = df 1 x. On dir que g est un inverse locl de f u voisinge de x. Preuve: Posons F(x, y) = y f(x) y R n, x U. Alors F(x, y ) = et chercher l inverse locl de f revient à résoudre explicitement x pr rpport à y dns l éqution F(x, y) =. Puisque F x (x,y ) = df x est inversible, on peut ppliquer le théorème des fonctions implicites 2.2, vec l remrque 2.3(1) (notez que les rôles de x et y sont inversés) : r, R > et g : B(y, r) B(x, R) tels que pour (x, y) B(x, R) B(y, r) on : y = f(x) x = g(y). et d près 2.9 g est C 1. Posons V = f 1 (B(y, r)) B(x, R). Montrons que f V et g sont inverse l une de l utre: si y B(y, r), g(y) = x B(x, R), et donc F(x, y) = f(x) y = y = f(x); cel entrîne ussi que g(y) V. si x V, x B(x, R) et y = f(x) B(y, r), donc g(y) = x. Enfin, en dérivnt les 2 membres de l éqution f(g(y)) = y, pour y B(y, r), on obtient l expression de dg y. y y r f V R x g( y) U Figure II.13 Le théorème d inversion locle 4.2 Définition. Soit h : U V, U, V R n des ouverts. On dit que h est un difféomorphisme si h est C 1, bijective, et d inverse ussi C 1. On dit que h est un difféomorphisme locl u voisinge de x U s il existe des ouverts U, V, x U U, h(x ) V V, tel que h U soit un difféomorphisme entre U et V. On peut donc résumer l énoncé du théorème de l ppliction inverse en disnt que si l dérivée de f en un point x est inversible, lors f est un difféomorphisme locl u voisinge de x.

74 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites 4.3 Exemples. (1) Coordonnées polires. Il s git de l ppliction f(ρ, θ) = (ρ cos(θ), ρ sin(θ)), ρ, θ R 2, ρ. On : ( ) f cos(θ) ρ sin(θ) (ρ, θ) = et dét(f (ρ, θ)) = ρ sin(θ) ρ cos(θ) donc f est un difféomorphisme locl u voisinge de tout point (ρ, θ) vec ρ >. Si on pose U = {(ρ, θ) ρ >, π < θ < π}, V = R 2 \ {(x, ) x } lors f est un difféomorphisme entre U et V. Son inverse peut s écrire insi : ( ( )) x2 f 1 (x, y) = + y 2 y, rcsin x2 + y 2 où l on prend rccsin comme étnt l inverse de sin(θ) restreint à l intervlle ] π, π[. Cette ppliction l vertu de trnsformer des cercles centrés à l origine en des segments de droite, et les disque centrés à l origine en des rectngles. (2) L ppliction f(x 1, x 2 ) = (x 1, x 1 x 2 ) pour dérivée ( ) f 1 (x 1, x 2 ) = et dét(f (x x 2 x 1, x 2 )) = x 1 1 c est donc un difféomorphisme locl u voisinge de tout point (x 1, x 2 ), vec x 1. Si on pose U = {(x 1, x 2 ) < x i < 1, i = 1, 2} et V = {(x 1, x 2 ) < x 1 < 1, < x 2 < x 1 } on vérifie que f est un difféomorphisme entre U et V. Cette ppliction donc l vertu de trnsformer le crré U en le tringle V. 4.4 Théorème du rng. Soient U R n un ouvert, f : U R p de clsse C 1 et x U. Supposons que df x : R n R p soit une ppliction linéire de rng mximum, c est à dire de rng n si n p, de rng p si n p. Alors: (1) Si n p, il existe un ouvert U U, U x et un difféomorphisme H : V V, V et V ouverts de R p, tels que f(u ) V et H 1 (f(x 1,...,x n )) = (x 1,...,x n,,...,) }{{} (x 1,...,x n ) U. p n (2) Si n p, il existe un ouvert U x de R n, U U, et un difféomorphisme h : U U, U ouvert de R n, tel que f(h 1 (x 1,...,x n )) = (x 1,...,x p ) (x 1,...,x n ) U. ) Preuve: (1) Quitte à renuméroter les coordonnées u but, on peut supposer que dét( i x (x ). j i,j=1,...,n Posons H(x 1,...,x n, x n+1,...,x p ) = f(x 1,..., x n ) + (,...,, x }{{} n+1,...,x p ). n

Alors II.4 Théorèmes de l ppliction inverse et du rng 75 ( ) i x (x ) j i,j=1,...,p.. dh (x,) = 1. 1.......... 1 est inversible et H(x, ) = f(x ), donc pr 4.1 H restreint à un ouvert V (x, ) est un difféomorphisme sur un ouvert V f(x ). Or H(x 1,..., x n,,...,) = f(x 1,...,x n ) = H 1 (f(x 1,...,x n )) = (x 1,..., x n,...,). ) (2) Si n p, on peut supposer que dét( i x (x ) j, quitte à renuméroter les coordonnées à l i,j=1,...,p source. Si l on pose h(x 1,...,x n ) = ( ) f(x 1,...,x n ), x p+1,...,x n lors: i x j (x ) 1. dh x = 1............... 1 }{{} n est inversible, donc d près 2.1 h est un difféomorphisme d un ouvert U x sur un ouvert U de R n. Or (x 1,...,x n ) = h(h 1 (x 1,..., x n )) = (f 1 (h 1 (x 1,...,x n )),...,f p (h 1 (x 1,...,x n )),,..., ) = f(h 1 (x 1,..., x n )) = (x 1,...,x p ) x f f H h x Figure II.14 Le théorème du rng lorsque n = 1, p = 2 et n = 2, p = 1

76 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites 4.1 Sous-vriétés de R n 4.5 Définition. On dit que X R n est une sous-vriété de dimension k si x X, U x R n ouvert et f = (f 1,...,f n k ) : U x R n k différentible telle que: (1) X U x = f 1 () = {x U x f i (x) =, i = 1,...,n k} (2) x U x l dérivée df x : R n R n k est surjective. On ppelle n k l codimension de X. L ppliction f est ppelée éqution locle de X u voisinge de x En d utres termes, une sous-vriété est un sous-ensemble de R n qui dmet en tout point un système d équtions qui stisfit les hypothèses du théorème 2.2 (théorème des fonctions implicites voir remrque 2.3(2). On prle de courbes lisses ou de surfces lisses dns le cs de sous-vriétés de dimension 1, respectivement 2. Plus générlement, on dir que X R n est une sous-vriété de dimension k u voisinge d un point x X s il existe un ouvert U R n, U x, tel que U X est une sous-vriété de R n. 4.6 Remrques. (1) Souvent une seule ppliction f : U R k suffit à décrire une sous-vriété. C est le cs pour tous les exemples ci-dessous, suf le 3ème. (2) X est loclement fermée dns R n : U x X est fermé dns U x cr f 1 () est un fermé. (3) Dns l condition (2) de l définition de sous-vriété il suffirit de supposer que df x est surjective, cr lors df x ser surjective pour x dns un ouvert U x de x, que l on peut substituer à U x. Figure II.15 Le tore 4.7 Exemples. (1) Le cercle S 1 = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 1 = } est une sous-vriété de dimension et codimension 1 de R 2. En effet, on peut prendre un même ouvert vlble pour tout x S 1 : U = U x = R 2 \ {}. Puisque df (x,y) = (2x, 2y) si (x, y) U, les conditions (1) et (2) de l définition de sous-vriété sont stisfites. Plus générlement, l n 1-sphère S n 1 est l sous-vriété de R n de dimension n 1 et codimension 1, définie pr: { } n S n 1 = x = (x 1,...,x n ) R n x 2 i 1 = i=1

II.4 Théorèmes de l ppliction inverse et du rng 77 et son éqution f(x 1,..., x n ) = n i=1 x2 i 1 est de rng mximum, cr son grdient vut 2(x 1,...,x n ), qui est non nul sur R n \ {}. (2) Le tore est l figure de l espce obtenue en fisnt tourner utour de l xe Oz un cercle de ryon r plcé dns le pln yz, centré en (, R, ), vec r < R. Il pour éqution: ( x 2 + y 2 + z 2 + R 2 r 2) 2 4R 2 (x 2 + y 2 ) = et on vérifie que l dérivée de cette éqution est non nulle sur les points du tore. (3) Soit M(3, 3, R) R 9 l ensemble des 3 3 mtrices à coefficients réels et Σ 1 M(3, 3, R) le sous-ensemble des mtrices de rng 1. Si A M(3, 3, R), désignons pr A (i1,i 2 ),(j 1,j 2 ), où 1 i 1 < i 2 3 et 1 j 1 < j 2 3, le 2 2 mineur correspondnt à ces suites : On : A (i1,i 2 ),(j 1,j 2 ) = dét( i1,j 1 i1,j 2 i2,j 1 i2,j 2 ) = i1,j 1 i2,j 2 i1,j 2 i2,j 1. Σ 1 = { A M(3, 3, R) A (i1,i 2 ),(j 1,j 2 ) =, 1 i 1 < i 2 3, 1 j 1 < j 2 3 } ce qui nous donne une description de Σ 1 à l ide de 9 équtions. Si A = ( i,j ) i,j=1...,3 Σ 1, l un de ses coefficients ser non nul; supposons que ce soit 1,1 et posons U A = {A 1,1 }; c est un ouvert contennt A et Σ 1 U A = { A A (1,i2 ),(1,j 2 ) =, i 2, j 2 = 2, 3 } cr l nnultion de ces 4 mineurs entrîne que l 2-ème et 3-ème colonne sont multiples de l première, et donc A est de rng 1. L dérivée de A (1,i2 ),(1,j 2 ) = 1,1 i2,j 2 1,j2 i2,1 pr rpport à i2,j 2 vut 1,1 et donc l dérivée de l ppliction ( ) A (1,i2 ),(1,j 2 ) : U i 2,j 2 =2,3 A R4 est de l forme : 1,1 1,1 1,1 1,1 où les 4 premières colonnes correspondent ux dérivées pr rpport ux vribles 2,2, 2,3, 3,2, 3,3. Puisque 1,1 est non nul, on voit que cette dérivée est surjective. Les A (1,i2 ),(1,j 2 ), i 2, j 2 = 2, 3 forment donc un système d éqution locles de Σ 1 u voisinge de A. Donc Σ 1 est une sous-vriété de M(n, n, R) de codimension 4, de dimension 5. Au déprt, on décrit Σ 1 vec 9 équtions, mis on vu que loclement 4 équtions suffisent; on peut montrer qu il n est ps possible de décrire Σ 1 à l ide de 4 équtions globles (i.e. définies sur un ouvert de M(3, 3, R) contennt Σ 1 ) vec dérivée surjective en tout point). (4) Le sous-ensemble X de R 2 constitué pr l réunion des 2 xes de coordonnées dmet comme éqution: X = { (x, y) R 2 x y = }. Le grdient de x y est (y, x), et il s nnule en (, ). Cel ne prouve ps encore que X n est ps une sous-vriété. Mis si f : U R, U ouvert contennt (, ), s nnule sur U X, f Ox U = f Oy U = et donc x (,) = y (,) =. Il n est donc ps possible de décrire X u voisinge de (, ) pr une éqution dont l dérivée est surjective (c est-à-dire non nulle dns ce cs). Ce sous-ensemble de R 2 n est donc ps une sous-vriété u voisinge de (, ). (5) Considérons l courbe ppelée prbole semi-cubique. X = { (x, y) R 2 y 2 x 3 = }

78 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites L dérivée de y 2 x 3 est nulle en (, ), mis (comme dns l exemple (4) ci-dessus) cel ne suffit ps à montrer que X n est ps une sous-vriété, même si intuitivement on voit très bien que X ne ressemble ps à une sous-vriété en (, ). Il fut encore se convincre que pour toute fonction f : U R s nnulnt sur U X, U ouvert contennt (, ), on que df =. Or X dmet une prmétristion (globle): X = { (t 2, t 3 ) R 2 t R } et donc f(t 2, t 3 ) = pour tout t ssez petit. On en déduit en dérivnt que x (t2,t 3 ) 2t + y (t2,t 3 ) 3t 2 =, d où en divisnt pr t: x (t2,t 3 ) 2 + y (t2,t 3 ) 3t =, et en évlunt en t = on trouve que x (,) =. D utre prt, = f(t 2, t 3 ) f(t 2, t 3 ) = y (t2, t 3 +θ(t)2t 3 )2t 3, vec < θ(t) < 1, d où y (t2,θ(t) 2t 3 ) =, et en fisnt tendre t vers on en tire que y (,) =. (6) Soient R, r > et considérons les équtions f 1 (x, y, z) = x 2 +y 2 R 2 =, f 2 (x, y, z) = x 2 +z 2 r 2 =, et posons f = (f 1, f 2 ). Alors : ( ) 2x 2y df = 2x 2z et les 2 2-mineurs de df sont 4xy, 4xz et 4yz. Pour qu ils soient tous les trois nuls, il fut que x = y =, ou bien x = z =, ou bien y = z =. Si de plus f 1 (x, y, z) = f 2 (x, y, z) =, lors l seule possibilité est que y = z =, ce qui implique que x 2 = r 2 et x 2 = R 2. Donc f définit une sous-vriété, à condition que r R; c est une courbe lisse, intersection des 2 cylindres f 1 = et f 2 =. 4.8 Proposition. Soit X R n. On équivlence entre les conditions suivntes: (1) x X, un ouvert U x x de R n et f : U x R n k, telle que X U x = f 1 () et df x est surjective, x U x (i.e. X est une sous-vriété de dimension k de R n on ppelle f une éqution locle régulière de X, ou des équtions locles régulières si l on se réfère ux composntes de f). (2) x X, un ouvert V R k, un ouvert U x x et h : V U x telle que h : V U x X est une bijection. dh t : R k R n est injective t V (on dir que h est une prmétristion locle régulière de X). (3) x X, un ouvert U x x et un difféomorphisme H : U x Ω sur l ouvert Ω de R n tel que (H est un pltissement locl de X) (voir figure II.16.) H(X U x ) = Ω R k {} En résumé, cette proposition nous donne 3 mnières équivlentes de décrire loclement une sous-vriété X de dimension k de R n : pr des équtions locle régulières, pr une prmétristion locle régulière, ou pr un difféomorphisme qui identifie le couple (ouvert de X, R n ) vec le couple (ouvert de R k, R n ); régulier signifie que l dérivée est de rng mximum. Preuve: (1) (2): pr le théorème des fonctions implicites 2.2. (2) (3): pr le théorème du rng 4.4. Celui-ci nous fournit en effet un difféomorphisme locl Ĥ tel que Ĥ 1 h(x 1,...,x k ) = (x 1,...,x k,,...,); il suffit de poser H = Ĥ 1. (3) (1): on pose f i (x) = H k+i (x), i = 1,...,n k.

II.5 Singulrités d pplictions, contours pprents, enveloppes 79 U x x f R n k X V h H Ω R n R k Figure II.16 Diverses fçons de donner une description locle d une sous-vriété 5. Singulrités d pplictions, contours pprents, enveloppes 5.1 Définition points singuliers d une ppliction. Soit U R n un ouvert et f : U R n une ppliction de clsse C. L ensemble des points singuliers de f est défini pr : { ( ) } Σ(f) = {x R n df x est de rng < n} = x R n dét i (x) = ; x j les points de f(σ(f)) R p sont pplelés vleurs singulières de f. i,j=1,...,n Pr exemple, considérons l ppliction f : R 2 R 2, f(x, y) = (x 2, y). On : ( ) 2x df (x,y) =, Σ(f) = { (, y) } y R, f(σ(f)) = { (, y) } y R. 1 Cette ppliction est ppelée le pli. Considérons mintennt l ppliction f(x, y) = (x, y 3 xy). On : ( ) 1 df (x,y) = y 3y 2, Σ(f) = { (x, y) R 2 3y 2 x = }, f(σ(f)) = { (3y 2, 2y 3 ) R 2 y R }. x Cette ppliction est ppelée l fronce (voir figure II.17). Figure II.17 Le pli et l fronce

8 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Ces deux pplictions jouent le rôle de prototype locl pour toute ppliction stble de R 2 dns R 2, comme nous le verrons plus loin. On voit sur ces 2 exemples comment le lieu singulier et son imge ident à comprendre l llure d une ppliction. En prticulier, le nombre de points dns l imge inverse d un point y R 2 est déterminé pr l position de y pr rpport à f(σ(f)). Soit S R 3 une surfce, π R 3 un 2-pln et p : S π l restriction à S de l projection orthogonle de R 3 sur π. On peut définir les points singuliers de p de mnière nlogue u cs d une ppliction U R 2, U R 2 un ouvert. 5.2 Définition points singuliers, contour pprent. Soit S R 3 une surfce lisse, x S et h : D S une prmétristion locle régulière de S en x, h(u ) = x. On dit que x est un point singulier de l projection orthogonle p : S π sur le pln π R 3 si u est un point singulier de p h, c est-à-dire si le rng de l dérivée d(p h) u est plus petit ou égl à 1. On vérifie que cel ne dépend ps de l prmétristion locle régulière choisie. Puisque l imge de l dérivée de h en u est l espce tngent à S u point x, dire que x est singulier c est dire que TS x est orthogonl à π. On note pr Σ(p) l ensemble des points singuliers de p et on ppelle p(σ(p)) le contour pprent de p. Lorsqu on dessine l projection d une surfce sur un pln π, p(σ(p)) contient l frontière de l imge de l projection, d où le nom contour pprent. Figure II.18 Contour pprent de l projection sur le pln x +.4z = du tore, représenté comme enveloppe de sphères de ryon r centrées sur un cercle de ryon R. Lorsque l surfce S est donnée pr une éqution f(x, y, z) =, les points singuliers de l projection de S sur le pln OXY sont décrits pr les équtions : f(x, y, z) =, z (x,y,z) =. Si on rrive à éliminer z de ce système d équtions, on l éqution du contour pprent de l projection de S sur le pln OXY. Dns le cs de l figure II.18, le contour pprent est une courbe de degré 12, donc difficilement tritble. L proposition suivnte donne quelques informtions utiles sur l llure du contour pprent. D près le théorème qu on énoncer pr l suite, les hypothèses en sont presque toujours stisfites.

II.5 Singulrités d pplictions, contours pprents, enveloppes 81 α(t) α(t) p p p(α(t)) p(α(t)) Lune décroissnte Figure II.19 Contour pprent et projection d une courbe trcée sur une surfce. Le dessin de l lune à guche est erroné, celui de droite est correct. 5.3 Proposition. Soit S R 3 une surfce lisse, P = (x, y, z ) S, f : U R une éqution locle de S, U P et soit p : R 3 R 2 l projection p(x, y, z) = (x, y). Supposons que z (P) =, 2 f z 2 (P). Alors (x, y ) est un point régulier du contour pprent p(σ(p) U) de p. De plus, si α : I S est une courbe trcée sur l surfce S, vec α(t ) = P, l projection p(α(t)) = (α 1 (t), α 2 (t)) est tngente u contour pprent en (x, y ) et p(α(t)) est située d un même côté du contour pprent, pour t proche de t (voir figure II.19). Preuve: Puisque 2 f z 2 (P), on peut résoudre explicitement pr rpport à z u voisinge de P dns l éqution z (P) = : soit z = g(x, y), g(x, y ) = z l solution explicite. Alors, pour un ouvert U ssez petit contennt P, p(σ(p) U) pour éqution f(x, y, g(x, y)) = u voisinge de (x, y ); cette éqution est régulière u point (x, y ) cr : (x, y, g(x, y)) x (P) = x g (P) + z (P) }{{} x (x,y ) =

82 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites (x, y, g(x, y)) y (P) = y g (P) + z (P) }{{} y (x,y ) = et df P = ( x (P), y (P), ) est non nul, puisque P est régulier sur S. Aussi, puisque f(α 1(t), α 2 (t), α 3 (t)) =, on que : (x, y, g(x, y)) (P) α x 1(t) + (x, y, g(x, y)) (P) α 2 (t) = y x (P) α 1(t) + y (P) α 2(t) = ce qui montre bien que l projection (α 1 (t), α 2 (t)) de l courbe α sur le pln (x, y) est tngente u controur pprent de S en (x, y ). Posons ϕ(t) = f(α 1 (t), α 2 (t), g(α 1 (t), α 2 (t))); il s git de montrer que ϕ(t) ne chnge ps de signe pour t proche de t. Remrquons que puisque α est trcée sur S, on que f(α 1 (t), α 2 (t), α 3 (t)). En ppliqunt l formule de Tylor pr rpport à l vrible z, on : f(x, y, z ) = f(x, y, z) + z (x,y,z)(z z) + 1 2 f 2 z 2 (x,y,z)(z z) 2 + r 2 et en prennt (x, y, z ) = (α 1 (t), α 2 (t), α 3 (t)), z = g(α 1 (t), α 2 (t)) et en posnt P(t) = (α 1 (t), α 2 (t), g(α 1 (t), α 2 (t))), on obtient : = ϕ(t) + z (P(t)) (...) + 2 f ( z 2 (P(t)) f(α 1 (t), α 2 (t), α 3 (t)) }{{} = }{{} = et il s en suit que ϕ(t) à le même signe que 2 f z 2 (P(t ) pour t proche de t α 3 (t) g(α 1 (t), α 2 (t))) 2 + r2 Cette proposition montre que l imge de l lune décroissnte de l figure II.19 est erronée. En effet, l limite de l zone d ombre est l projection d une courbe (prtiquement, un grnd cercle) trcée sur l lune, donc elle devrit être tngente u contour pprent de l lune. Notons que si α 1(t ) = α 2(t ) =, le vecteur tngent à p(α(t)) en t est nul, donc évidemment tngent à p(σ(p)). Nénmoins, visuellement on l impression que que p(α(t)) s pproche du contour pprent pr une direction qui ne lui est ps tngente, vnt de rebrousser chemin (voir figure II.19). Voici un théorème fondmentl qui donne une informtion qulittive sur l llure possible du contour pprent. C est un cs prticulier d un résultt de H. Whitney, qui remonte à 194, dont l preuve est ssez élborée. 5.4 Théorème. Pour presque tous les plns π R 3, le contour pprent de l projection orthogonle de l surfce lisse S R 3 est une courbe ynt comme seules singulrités possibles des points doubles ordinires et des cusps ordinires. De plus, ces singulrités subsistent si l projection subit de petites perturbtions. L expression pour presque tous les plns signifie que l ffirmtion du théorème est vrie quitte à remplcer le pln π pr un pln π proche de π. Le fit que les singulrités subsistent mlgré des petites perturbtions de l projection s exprime en disnt qu elles pprissent de mnière stble. Figure II.2 Contour pprent de l projection d une surfce sur un pln

II.5 Singulrités d pplictions, contours pprents, enveloppes 83 5.5 Remrque. En fit Whitney montré plus précisément que loclement, dns des coordonnées locles convenbles, l projection se met sous l forme (x, y) (x 2, y) (le pli), ou bien (x, y) (x, y 3 xy) (l fronce). On un résultt nlogue pour les projections orthogonles d une courbe lisse X R 3 sur un pln π : pour presque tous les plns, l imge de X ser une courbe plne ynt u pire des points doubles ordinires comme singulrités. On peut expérimenter cette ffirmtion en regrdnt un fil de fer dns l espce, ce qui revient à le projeter sur notre pln de vision : si des points triples ou des points cuspidux pprissent, une petite perturbtion du fil de fer les remplce pr des points doubles ordinires ou les fit disprître (figure II.21). Figure II.21 Appliction stbles d une courbe dns le pln : près déformtion, les singulrités non stbles cèdent l plce à des singulrités stbles (en pontillé) 5.1 Enveloppes Soit S R 3 une surfce lisse. On v l regrder comme fmille de courbes plnes : notons pr (x, y, λ) un point de R 3 ; lors, pour tout λ R fixé, l ensemble : X λ = { (x, y) R 2 ( x, y, λ) S } est l intersection du pln z = λ vec S, et il toutes les chnces d être une courbe plne. On ppelle enveloppe E de cette fmille de courbes le contour pprent de l projection de S sur le pln (x, y). Si S est décrite pr une éqution régulière F(x, y, λ) =, on : (x, y) E λ t.q. F(x, y, λ) =, F λ (x,y,λ) =. 5.6 Proposition. Soit F(x, y, λ) = une fmille de courbes. Soit P = (x, y, λ ) R 3 et supposons que : ( F F F(P ) =, λ (P ) =, x (P ), F ) 2 F y (P ) (, ), λ 2 (P ) lors (x, y ) est un point régulier de X λ et ussi de l enveloppe E de l fmille. Les tngentes de ces deux courbes u point (x, y ) coïncident et les points de X λ dns un voisinge de (x, y ) sont d un même côté de E. ( ) F Preuve: Puisque x (P ), F y (P ) (, ), (x, y ) est un point régulier de X λ. Il suffit ensuite d ppliquer l proposition 5.3

84 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Figure II.22 Enveloppe de l fmille de cercles centrés sur un cercle donné, pssnt pr un point fixé du cercle donné L ffirmtion de cette proposition peut se vérifier sur les figures II.22 et II.23. L proposition 5.6 justifie l définition intuitive de l enveloppe d une fmille de courbes, qui dit que l enveloppe est l courbe tngente à chque courbe de l fmille. Ainsi exprimée, cette notion peut se générliser ux fmilles de surfces; un exemple d enveloppe d une fmille de surfces est représenté sur l figure II.18. 5.7 Exemples. (1) Soit f(x, y, λ) = (x λ) 2 + y 2 1 = l fmille des cercles de ryon 1 centrés en (λ, ). Le système d équtions : { f(x, y, λ) = (x λ) 2 + y 2 1 = λ (x,y,λ) = 2(x λ) = pour solutions x = λ, y = ±1. On trouve donc les deux droites horizontles à huteur ±1. (2) Considérons l fmille des droites qui sont coupées pr les xes OX et OY selon un intervlle de longueur 1; en prennt comme prmètre l ngle fit pr l droite et le côté négtif de OX cette fmille s écrit : f(x, y, α) = ou encore, en se débrssnt des dénominteurs : Du système d équtions : x cos(α) + y sin(α) 1 = g(x, y, α) = x sin(α) + y cos(α) sin(α) cos(α) =. { g(x, y, α) = x sin(α) + y cos(α) sin(α) cos(α) = g α (x,y,α) = x cos(α) y cos(α) cos(α)2 + sin(α) 2 = on tire que x = cos(α) 3, y = sin(α) 3, d où l éqution de l enveloppe : x 2/3 + y 2/3 = 1 (voir figures II.23, II.24 et II.25)

II.5 Singulrités d pplictions, contours pprents, enveloppes 85 α Figure II.23 Enveloppe des droites coupées pr les xes OX et OY selon un segment de longueur 1 Figure II.24 L surfce S ssociée à l fmille de droites précédente, vue de côté Regrdons mintennt le cs d une fmille de courbes prmétriques plnes : Φ : I Λ R 2, I, Λ R des intervlles. Pour tout λ Λ fixé, t Φ λ (t) = Φ(t, λ) est une courbe prmétrique du pln. On se rmène u cs précédent en prennt pour S l surfce prmétrique (t, λ) (Φ(t, λ), λ). L intersection de S vec le pln

86 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Figure II.25 L même surfce d vnt vue d en hut z = λ est bien l courbe Φ λ. Le contour pprent de l projection de S sur les 2 premières coordonnées coïncide vec le lieu singulier de Φ, c est-à-dire Φ(Σ(Φ)). 5.8 Exemple. Soit α : I R 2 une courbe prmétrique régulière, que l on suppose prmétrée pr l longueur d rc. On ppelle droite normle à l courbe en un point α(λ) l droite pssnt pr α(λ) perpendiculire à l tngente à l courbe en α(λ); elle ur pour représenttion prmétrique : t Φ(t, λ) = α(λ) + tν(λ) = (α 1 (λ) tα 2(λ), α 2 (λ) + tα 1(λ)) où ν = ( α 2(λ), α 1(λ)). L mtrice jcobienne de Φ s écrit : et donc ( ) α dφ (t,λ) = 1 (λ) + t( α 2(λ)) α 2(λ) + tα 1(λ) α 2(λ) α 1(λ) Σ(Φ) = { (t, λ) dét(dφ (t,λ) ) = t( α 1α 2 + α 1α 2) + α 1(λ) 2 + α 2(λ) 2 = } 1 d où l on tire que (t, λ) Σ(Φ) équivut à t = ν(λ),α (λ), et donc φ(t, λ) est le centre du cercle osculteur à α u point α(λ). L enveloppe de droites normles est donc le lieu des centre des cerles osculteurs. On déduit du théorème de Whitney qu en générl les enveloppes de fmilles de courbes ont pour singulrités uniquement des cusps ordinires et des points doubles ordinires, qui subsistent près une petite déformtion. Cette stbilité explique pourquoi on peut observer dns l nture des courbes présentnt des cusps, comme pr exemple l custique constituée pr l enveloppe des ryons de soleil réfléchis dns une tsse de cfé, lors qu en générl une ficelle posée sur un pln présenter u pire des points doubles à tngentes distinctes. Cel explique ussi pourquoi, en générl, le lieu des centres des cercles osculteurs d une courbe présente des points cuspidux, qui sont en fit les centres de cercles hyperosculteurs (voir figure II.27).

II.5 Singulrités d pplictions, contours pprents, enveloppes 87 Figure II.26 Une custique dns l nture Figure II.27 Le lieu des centres des cercles osculteurs à une prbole