ANNEXE 163 La sciece e se mesure pas à la barbe (...) Molière, l'amour médeci, III, 5. Aexe out e simulat ue expériece, ou à la fi de celle-ci, il est possible de faire à peu près 'importe quelle mesure. C'est l'u des avatages les plus importats de la simulatio umérique. O peut aisi voir l évolutio de certais paramètres au cours du temps (la desité du milieu par exemple, ou la vitesse des grais). O va distiguer deux types de mesures : celles faites sur chaque grai idépedammet et celles faites sur le milieu globalemet. Voici ci-dessous la liste des mesures que ous avos implémetées : A.1. Mesures sur les grais polygoaux 1. Calibre : largeur du plus petit crible à travers lequel le grai passe. 2. Périmètre. 3. Périmètre podéré : périmètre / périmètre du disque de même aire. 4. Excetricité de l ellipse d iertie du grai : 1 b a, où a est la logueur du demigrad axe et b celle du demi-petit axe. 5. Aisométrie de l ellipse d iertie du grai : b a. 2 6. Orietatio : agle (0 < π) que forme le grad axe de l ellipse d iertie du grai avec l axe Ox. 7. Aire. 8. Aire podérée : aire / périmètre. 9. Momet d iertie par rapport à l axe Oz passat par le cetre de gravité. Toutes ces mesures e ous sot pas directemet utiles. Les seules idispesables sot le calibre, l'aire et le momet d'iertie. L'orietatio de l'ellipse d'iertie ous idique si les grais ot ue positio prédomiate. Les autres servet à classifier les grais e différetes
164 ANNEXE catégories. A.2. Mesures sur le milieu 1. Porosité : pourcetage de vide das u rectagle doé par l utilisateur. 2. Éergie potetielle du milieu. 3. Éergie totale du milieu. La porosité est ue iformatio très pratique pour observer le phéomèe de dilatace. Les mesures d'éergie permettet de vérifier que le milieu e gage pas d'éergie autre que celle qu'o lui fourit. A.3. Présetatio des mesures o triviales Certaies de ces mesures sot très faciles à implémeter, d autres beaucoup mois. Nous présetos das ce paragraphe les mois évidetes. Mais avat cela, ous allos faire quelques rappels cocerat les itégrales doubles, et e particulier commet trasformer ue itégrale double h(x, y)dxdy sur u domaie boré et simplemet coexe du pla e ue itégrale simple sur la frotière L de à l aide de la formule de Gree : ( dg dx df dy ) dxdy = ( fdx + gdy) L (A.1) avec la coditio que le parcours de L se fasse das le ses trigoométrique positif. O exprimera esuite cette itégrale comme ue somme sur les segmets de L. Nous traiteros les cas h(x,y) = x k, y k, xy, que ous recotreros par la suite. Si h(x,y) = x k, ous avos : x dy = 1 J x k = x k dxdy = 1 L [ i 1,i ] x dy (A.2) où [i-1,i] est le segmet de droite etre les sommets i-1 et i. Les sommets 0 et sot cofodus., t 0,1 ( x(t),y(t) ) = + t (x i ), 1 + t ( 1 ) [ ] (A.3) ous doe ue paramétrisatio du segmet [i-1,i]. Par suite, o a J x k = 1 k + 1 1 1 0 ( x i 1 + t ( x i )) k+1 dt (A.4) et fialemet, après itégratio, J x 1 k = ( y ()(k + 2) i 1 ) x j j i j = 0. (A.5) Pour h(x,y) = y k, le calcul est presque idetique au cas précédet : il suffit de chager le sige et d itervertir x et y. O obtiet :
ANNEXE 165 J k y = 1 ()(k + 2) ( x i ) y j j i 1 j =0 (A.6) Pour h(x,y) = xy, la démarche est semblable aux deux cas précédets. Sas etrer das les détails, o obtiet : J xy = 1 24 A.3.1. Aire x i 1 [ x i + 1 + ( x i + )( + 1 )] (A.7) L aire A d u polygoe est défiie à l aide de l itégrale double utilisat (A.5) avec k=0 : A = 1 2 ( 1 ) x i + x i 1 A.3.2. Cetre de gravité x dxdy = J 0 Le cetre de gravité G d u polygoe supposé de desité uiforme est défii aisi : ( x G, y G ) = 1 xdxdy A, ydxdy = 1 A J x y 1, J 1 E utilisat (A.5 & A.6), avec k=1, o a : x G = 1 6A y G = 1 6A 1 x i x i 1 A.3.3. Momets d iertie. O a doc, e (A.8) (A.9) x 2 2 ( i + x i + x i 1 ) (A.10) y 2 2 ( i + 1 + 1 ) (A.11) Figure A.1. Le momet d iertie I 0 du domaie par rapport à ue droite d 0 passat par 0 et faisat u agle avec l axe Ox (voir fig. A.1) est défii comme l itégrale double :
166 ANNEXE I 0 = r 2 dxdy = ( x si y cos ) 2 dxdy (A.12) où r désige la distace du poit (x,y) à la droite d 0. Gééralemet, o décompose I 0 e momets pricipaux de la maière suivate : I 0 = I 0 yy si 2 I 0 xy si( 2 ) I 0 xx cos 2 (A.13) où I 0 xx = I 0 0 et I yy = y 2 dxdy = J 2 y 0 = I 0 2 = x2 dxdy = J 2 x sot respectivemet les momets d iertie par rapport aux axes Ox et Oy, et I 0 xy = xydxdy = J xy (A.14) (A.15) (A.16) E utilisat (A.5, A.6 et A.7) avec k=2, o obtiet : I xx 0 = 1 12 I 0 yy = 1 12 I 0 xy = 1 24 x i x i 1 y 3 i + y 2 i 1 + y 2 3 ( i 1 + 1 ) (A.17) 1 x 3 i + x 2 i + x i x 2 3 ( i 1 + ) (A.18) x i 1 [ x i + x i 1 1 + ( x i + )( + 1 )] (A.19) as la suite, ce sera le momet d iertie I G du domaie par rapport à la droite d G passat par le cetre de gravité G du domaie et faisat u agle avec Ox qui ous itéressera (voir fig. A.1). Par covetio, et pour simplifier la otatio, le poit de référece par défaut sera G. I sera doc équivalet à I G. as ces coditios : I = ( x x G )si ( y y G )cos 2 dxdy = I yy si 2 I xy si 2 O peut de surcroît exprimer I yy e foctio de I 0 yy. E effet, I yy = x x G 2 dxdy = x 2 dxdy 2x G xdxdy + x G 2 dxdy + I xx cos 2 (A.20) = I 0 yy Ax 2 G, où A est l aire du domaie. (A.21)
ANNEXE 167 e même, I xx = I 0 2 xx Ay G (A.22) I xy = I 0 xy Ax G y G (A.23) A.3.4. Ellipse d iertie L ellipse d iertie d u domaie du pla par rapport à so cetre de gravité est l ellipse de même momet d iertie I. La directio du grad axe (resp. petit axe) de l ellipse correspod au miimum (resp. maximum) de I. Nous doos ci-dessous le moye de détermier l ellipse d iertie e exhibat les expressios de la directio m du grad axe par rapport à Ox, de la logueur a (resp. b) du demi-grad axe (resp. demi-petit axe). θ m doit satisfaire au système : di d ( m) = 0, d 2 I d 2 0, m, 2 2 (A.24) dot la solutio est = 0 si I I xx yy m sige 0 0 autremet 2, où 0 = 1 2 arcta 2 I xy I yy I xx (A.25) Quat à a et b, ils sot reliés au momet d iertie par les deux relatios I = 1 4 ab3 m (A.26) et I + 2 = 1 4 a3 b (A.27) dot o tire aisémet les expressios de a et b. O peut maiteat approcher des polygoes par des ellipses et aisi défiir ue orietatio. Cela peut être itéressat lorsque l'o travaille avec des grais allogés et que l'o veut savoir s'ils ot ue orietatio privilégiée, par exemple lors d'u écoulemet. A.3.5. Calibre O procède e deux étapes. Premièremet, il faut détermier l'eveloppe covexe 1 du polygoe. euxièmemet, pour chaque segmet du bord de cette eveloppe, il faut calculer la distace etre la droite recouvrat ce segmet et le sommet de l'eveloppe covexe le plus éloigé. Le calibre est la plus petite de ces distaces. 1 voir 5-[Pre85], pp.98-125 et pp. 160-165
168 ANNEXE A.3.6. Porosité Pour calculer la porosité, o va utiliser ue triagulatio cotraite, l'idée géérale état de sommer les aires des triagles e se trouvat pas das les polygoes, puis de diviser le résultat par l'aire du rectagle de mesure. Figure A.2. Calcul de la porosité Arrivé au poit 5, il e reste plus qu'à diviser le résultat par l'aire du rectagle de mesure pour obteir la proportio p de surface occupée par les grais. La porosité sera simplemet 1-p.