Résonance d une poutre en vbraton transversale Des fns levers oscllants consttuent les éléments clé du fonctonnement de nombreu objets tels que les nstruments à anche (clarnette, sao, accordéon, ), du mcroscope à force atomque, de capteurs envronnementau, eur vbraton est très sensble au perturbatons etéreures et elle peut être parfos très régulère et parfos très complee. a vbraton d une structure élastque est ben plus complee que celle d un smple oscllateur harmonque. es équatons de l élastodnamque dovent être respectées sur un solde déformable étendu, à géométre potentellement complee et sujet à des condtons au contour ben détermnées. Néanmons, pour des pettes vbratons et en présence d un éventuel fable amortssement, le mouvement global peut être décomposé en la somme de modes propres, chacun se comportant en bonne appromaton comme un oscllateur harmonque smple. Nous allons c étuder les fréquences des premers modes propres d un lever oscllant. Comprendre leur dépendance de la géométre de la poutre et de la nature du matérau. Approche théorque Analser les équatons régssant le mode vbratore d une poutre lbre à une etrémté, encastrée à l autre (vor annee théore). Comprendre la nature des modes propres et estmer l ordre des grandeurs des fréquences attendues pour les poutres dsponbles. Comprendre l effet d un fable amortssement ans que d un forçage snusoïdal. Estmer l entté des appromatons effectuées pour l estmaton des fréquences propres. Approche epérmental Pour mesurer les fréquences de résonance d une poutre l este essentellement deu méthodes epérmentales : () on stmule l etrémté de la poutre par une force oscllante et l on cherche la fréquence de stmulaton pour la quelle l ampltude de vbraton est mamale ; () on met la poutre en vbraton lbre en la sollctant par une percusson ou par le relâchement rapde d une force applquée (avec un dot), on mesure alors drectement la fréquence de vbraton spontanément acquse par la poutre. On décrt c les deu méthodes, mas on utlsera dans ce TP essentellement la deuème, qu permet des résultats plus propres. Montage epérmental : oscllatons forcées e banc epérmental (vor fgure) est consttué d un générateur de fréquence équpé d un déphaseur et d un ampl de pussance qu ectent un pot vbrant dont les fréquences propres de résonance sont Hz et 6 Hz. a poutre est relée au sstème d ectaton par un équpage moble de masse 4 g.
a mesure de l ampltude s effectue à l ade d un accéléromètre (l accélératon étant proportonnelle à l ampltude), dont on compare le sgnal de sorte avec le sgnal du générateur sur un osclloscope. Il n est pas utle (et même dangereu pour le matérel) d mposer (va l amplfcateur) un courant trop élevé dans la bobne du pot vbrant, seule la vsualsaton de l ampltude de vbraton de la poutre étant nécessare. Un réglage d un quart de tour sur le bouton de gan de l amplfcateur sufft à détecter les résonances des dfférentes poutres. Amplfcateur de charge Accéléromètr Osclloscope Montage epérmental : oscllatons lbres Pot vbrant Amplfcateur de pussance Générateur de fréquence es poutres sont smplement encastrées sur une base stable de grande masse (à l ade de la faton à vs s la poutre est percée, ou smplement en entreposant la poutre entre deu partes plates de la base et en resserrant les vs s la poutre est plate). On mettra la poutre en vbraton en la percutant sèchement avec un objet rade (clé Allen..?) ou alors en appuant fortement avec un dot et en relâchant brusquement. Vous êtres lbres d amélorer la technque de stmulaton pour produre un melleur son de vbraton! Cec parce que la mesure de l oscllaton de la poutre se fera justement par enregstrement à l ade d un mcrophone des ondes sonores produtes dans l are par la vbraton de la poutre. e sgnal sonore sera enregstré à l ade de la carte son de l ordnateur et d un logcel d enregstrement et d analse des sgnau. Détermnaton epérmentale des fréquences de résonance Etude prélmnare sur un réglet métallque Un réglet métallque encastré entre les deu partes du mors consttue un prototpe très smple pour étuder les fréquences de résonnance des modes propres d une poutre élancée en foncton de la longueur de la poutre. Il sufft pour cela de fare avancer progressvement le réglet entre les mors. a forme aplate du réglet et la nature peut dsspatve du métal permettent à la fos des oscllatons durables de forte ampltude et la producton effcace d ondes sonores (même s peu audbles, les ntenses varatons de presson sont ben enregstrés par un mcrophone ordnare). Avant de commencer la manpulaton, estmer le module d Young du métal en queston à l ade d une mesure de fleon statque. Après avor optmsé les condtons de stmulaton et d enregstrement sur une longueur de poutre d envron cm, procéder à un enregstrement sstématque pour une dzane de longueurs dfférentes. En utlsant les outls d analse de Fourer nclus dans le logcel fourn, dentfer dans les spectres de pussance les fréquences des premers modes propres de la poutre. Vérfer l accord avec la théore en
appendce : êtes-vous en mesure d dentfer tous les pcs observés? Détermner pour chaque longueur autant de fréquences propres que possble et vérfer s leur dépendance de la longueur de la poutre est en accord avec les los théorques. Influence de la géométre et du matérau En utlsant les sets de poutres an Dural et PMMA mses à votre dsposton (poutres ntalement prévues pour le montage en oscllaton forcée), montrer l nfluence de la géométre et des proprétés du matérau sur la valeur de la fréquence de résonance fondamentale. NB : au fur et à mesure que les poutres devennent épasses et courtes (donc mons élancées), leur ectaton et l enregstrement acoustque devennent mons effcaces. Commencez plutôt par les poutres longues et fnes et mettez à proft l epérence acquse pendant l étude prélmnare pour réussr vos mesures dans le plus grand nombre de poutres possble. Essaez d estmer les correctons dues au rrégulartés de forme des poutres (partes en eces et trous). Estmez en tout cas l ncerttude globale sur votre mesure. Représenter (dans un dagramme log-log) l évoluton de la fréquence fondamentale en fonctons des paramètres que vous avez fat varer. Comment se comparent les résultats epérmentau vs à vs de la lo théorque retenue. Donner vos conclusons notamment sur les dfférences de comportement dural pleglas. Quelles sont les causes des écarts constatés dans le cas du dural? es mêmes causes peuvent-elles eplquer les écarts constatés dans le cas du pleglas? Défnton des paramètres : h hauteur de la poutre (suvant G) b largeur de la poutre (suvant Gz) mm pour toutes les poutres longueur lbre de la poutre (suvant G) bh I= moment d nerte de secton drote par rapport à Gz h b z G E module d Young Dural : 7 Gpa Ple : GPa masse volumque Dural : 5 kg.m - Ple : kg.m -
Annee théorque : Modes propres de vbraton de fleon d une poutre Equatons pour la fleon d une poutre dans l hpothèse de la résstance des matérau Une poutre élancée rectlgne d ae, de longueur et de secton drote d are S (hauteur h et largeur b vérfant h,b<< flécht sous l acton d un chargement lnéque transversal q() et prend une déformée (). Pour des chargements modérés, ndusant une déformée telle que le déplacement transversal reste pett devant les dmensons transversales de la poutre : () << b,h, les sectons drotes restent drotes (ne gauchssent pas) et tournent smplement l une par rapport à l autre. M() caractérsant le moment de fleon à l abscsse résultant du chargement q(), écrvons, dans cette hpothèse de fleon fable, l équlbre mécanque d un pett tronçon de longueur M M sous l acton du moment M(). En traçant au centre de la secton drote termnale la parrallèle à la secton drote d entrée, l angle caractérsant la rotaton relatve des deu sectons par rapport à l état non fléch s écrt R sous la forme : = =, sot =. e rapport R R n est autre que la déformaton d allongement de sorte que la déformaton d allongement des fbres de la poutre s écrt : = R. E caractérsant le Module d Young du matérau consttutf de la poutre, la contrante de tracton s écrt : = R E. a force résultante F ndute par ces contrantes et le moment de fleon résultant M sont donnés par : F= ds = E h / S R bd = M= ds h / = E h / EI S R b d = h / R bh I= étant le moment quadratque (couramment appelé moment d nerte de fleon) de la secton drote par rapport à l ae de fleon z. F= tradut l absence de force applquée et la seconde relaton eprme la proportonnalté entre la courbure locale R de la déformée et le moment de fleon applqué M et consttue l équaton dfférentelle de la déformée. Dans l hpothèse des petts déplacement envsagée c, la courbure / d est = d d R. équaton dfférentelle de la déformée se rédut à : d EI =-M() e sgne - provent du fat que la déformée () est repérée dans le référentel,,z alors que le moment de fleon M() est défn dans le trèdre de Frenet : tangente t, normale n et bnormale r avec t=, r=-z et n=-
Déformée d une poutre encastrée chargée par une force d etrémté Dans une secton d abscsse le moment fléchssant est : F M()=F(-) d ntégraton de l équaton dfférentelle EI =-F(-) avec les condtons au lmtes mposées par l encastrement ()= (pas de déplacement possble au nveau de d l encastrement) et ()= (la poutre dot rester perpendculare à l encastrement) condut à la déformée : F F ()= (- ) avec flèche d etrémté donnée par = = EI K EI K Équaton dfférentelle de la déformée en terme de chargement lnéque q() Dans le trèdre de Frenet, écrvons l équlbre mécanque du tronçon de longueur soums au chargement lnéque q(). équlbre des forces (nullté de la résultante) s écrt : n -V+q+V+dV= sot q()= - dv équlbre des moments par rapport à l orgne du trèdre s écrt : - M +( V +d V ) t + M +d M = sot en projecton sur l ae z : -M-(V+dV)+M+dM=. Sot en et donc q()= - dv = - d M néglgeant le terme du second ordre dv : V()= dm d En dfférentant deu fos l équaton dfférentelle de la déformée EI =-M() écrte en terme de moment fléchssant et en tenant compte des deu relatons précédentes, l équaton s écrt fnalement en terme de chargement lnéque : 4 d EI = q(). 4 Équaton dfférentelle d une poutre vbrante et détermnaton des modes propres a masse lnéque m() étant égale à S, la force d nerte lnéque q() ndute par la vbraton sera : q()=-m()() =-S d, ()= d étant l accélératon ndute par la vbraton, d où l équaton dt dt dfférentelle des vbratons lbres : -M -V z t q V+dV M+dM
EI d 4 4 =-S d dt 4 d S 4 + EI d = dt Compte tenu des hpothèses de fleon fable, la soluton de cette équaton ne sera acceptable que dans la mesure où l ampltude de vbraton a reste pette devant l épasseur h : a << h. En posant k 4 S = et en séparant les partes temporelles et spatales (,t)=y()ep(t) l équaton EI dfférentelle donnant l ampltude Y() de la déformée à la pulsaton s écrt : 4 dy 4 +k 4 Y= a soluton de cette équaton s écrt sous la forme générale : Y()=A ep(k )+A ep(k )+A ep(k )+A 4 ep(k 4 ) k =k, k =-k,k =k et k 4 =-k étant les racnes de l équaton k 4 S S =. Avec k= EI EI Elle s écrt donc également sous la forme plus commode : Y=asn(k)+bcos(k)+csh(k)+dch(k) Modes et fréquences propres es valeurs admssbles de la quantté k seront données par les racnes k = d une équaton f(k)=, la foncton f étant elle même défne par les 4 condtons au lmtes nécessares pour détermner les relatons entre les 4 constantes d ntégraton a,b,c,d. Il en résulte que seule une sére de pulsatons dscrètes (fréquences propres de vbraton) sera autorsée, ces pulsatons étant obtenues sous la forme générale : = E I S = E I S / 4 k = A chacune de ces fréquences sera assocé un profl d ampltude de déformée Y(, )=Y () appelé mode propre de vbraton. es fréquences propres (fréquences de résonance) résultent dans ce modèle de la compétton entre les forces d nerte et les forces de rappel élastque. équaton au vbratons ne content aucun terme susceptble de lmter l ampltude des oscllatons de sorte que la soluton en ampltude ne sera défne qu à une constante multplcatve arbtrare près. E es fréquences propres sont la combnason d un terme caractérsant les proprétés ntrnsèque du matérau (élastcté E, nerte ) qu s dentfe à la vtesse de propagaton du son dans la poutre et d un terme géométrque I S qu caractérse la géométre de la structure.
Modes propres de vbraton d une poutre encastrée élancée de secton rectangulare bh Avec S=bh et I=, les fréquences propres sont données par : et les modes propres par : = E h k 4 = Eh Y ()=asn(k )+bcos(k )+csh(k )+dch(k ) Dans le cas d une poutre encastrée, les condtons au lmtes sont : Y ()==b+d Déplacement d encastrement nterdt dy ()==a+c Rotaton nterdte à l encastrement dy ()==k {-asn(k )-bcos(k )+csh(k )+dch(k )} Absence de moment de fleon à l etrémté lbre dy ()==k {-acos(k )+bsn(k )+cch(k )+dsh(k )} Absence d effort tranchant à l etrémté lbre a,b,c,d sont soluton du sstème lnéare : sn( k ) cos( k ) cos( k ) sn( k ) sh( k ) ch( k ) ch( k ) sh( k ) a b = c d Ce sstème n admet une soluton (a,b,c,d proportonnels à une constante arbtrare) que s son détermnant est nul, ce qu donne l équaton au pulsatons propres défnes par les condtons au lmtes : ch(k )cos(k )=- qu dot être résolue numérquement ou à l ade de la représentaton graphque en page suvante. es racnes sont : =.875, = 4.695, = 7.85,, =(+) pour >. Au delà du mode fondamental, les fréquences propres (spatales) sont presque régulèrement espacées car ch(k )cos(k )= s écrt cos(k )=/ch(k ) avec /ch(k ) décrossant très rapdement vers zéro de sorte que l équaton au fréquences propres se rédut à cos(k )=. NB : comme les fréquences temporelles sont proportonnelles à elle ne sont pas régulèrement espacées! eur rapport à la fondamentale est : v v, 6.7, 7.55, 4.9, 56.85,
.5 cos(k ) 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 k -.5 - -/ch(k ) es relatons : b+d= -asn(k )-bcos(k )+csh(k )+dch(k )= condusent à : c=-a -a{sn(k )+sh(k )}=b{cos(k )+ch(k )} a+c= -acos(k )+bsn(k )+cch(k )+dsh(k )= d=-b a{cos(k )+ch(k )}=b{sn(k )-sh(k )} sot, en conservant a comme constante multplcatve arbtrare d ampltude : sn( k) sh( k) cos( k) ch( k) c=-a b=- = d=-b cos( k) ch( k) sn( k) sh( k) les deu epressons de b condusant à la relaton ch(k )cos(k )=-. équaton Y ()=asn(k )+bcos(k )+csh(k )+dch(k ) du mode propre d ordre s écrt : cos( k) ch( k) Y ()=a{sn(k )-sh(k )+ [cos(k )-ch(k )]} sn( k) sh( k) sn( k)sh( k) En notant =Y ()=-a l ampltude de la flèche à l etrémté lbre : sn( k) sh( k) sn( k) sh( k) cos( k) ch( k) Y ()= {sn(k )-sh(k )+ [cos(k )-ch(k )]} sn( k)sh( k) sn( k) sh( k) Y ()= {(sn -sh )(sn( )-sh( ))+(cos +ch )[cos( )-ch( )} snsh
Mode fondamental E h E h S =.875 = =,6 k = = EI A.N. Dural : =5 mm, h=5mm, E=7 GPa, =.7 kg.m - =8.8 Hz / 4 a fgure suvante compare en coordonnées rédutes (, ) les déformées du mode statque sous charge ponctuelle à l etrémté lbre et du mode fondamental de vbraton lbre (d ordre ).,9,8,7,6,5,4,,, Mode Statque,,,,4,5,6,7,8,9 Modes propres d ordre supéreur e nombre de nœuds est égal à l ordre du mode. a fgure c dessous schématse l allure des premers modes. e mode fondamental est le plus facle à ecter. a théore des modes propres montre que la déformée statque peut être obtenue par la somme pondérée (les facteurs de pondératon étant foncton du chargement statque mposé) des déformées des dfférents modes propres de vbraton lbre. Cependant, plus l ordre du mode est élevé et plus fable est son coeffcent pondérateur. Quelles sont les conséquences sur l ectaton du lever par chargement statque et relâche brusque?,8,6,4 Mode,,,,,4,5,6,7,8,9 -, -,4 -,6 -,8 - Mode Mode
Appromaton de Ralegh a déformée statque sous charge ponctuelle d etrémté est très vosne de la déformée de vbraton lbre du mode, ce qu sgnfe que le mode est le mode prépondérant dans la décomposton en modes propres pour ce tpe de chargement, Ralegh a détermné une méthode approchée de calcul de la fréquence de résonance du fondamental sous les deu hpothèses suvantes : a déformée du fondamental est assmlée à la déformée statque sous l acton d un masse équvalente M e placée à l etrémté d une poutre supposée non pesante dont la radeur K est EI donnée par l analse statque F=K, sot K= d après un calcul précédent. a masse équvalente de l éprouvette (de masse M) du pont de vue des effets nertels est obtenue par égalté des énerge cnétques dans les deu confguratons : masse unformément réparte sur la longueur et masse concentrée à l etrémté lbre. M e S w F d égalté des énerges cnétques condut à la relaton Me = dt Sot, avec w(,t)= M e = dw S =S dt 4 (- )ep(t) : dw S. dt = S 4 4 = S= M. 4 4 4 M e a fréquence est la fréquence propre d un ressort de radeur K supportant une masse M e, sot : K 4 E h E h = = =,64 4* à comparer avec la soluton eacte = E h =,6 E h, sot une erreur relatve : =,8 % Montrer que s on lasse tomber le préfacteur, la forme de l équaton pour les fréquences propres aurat pu se détermner par analses dmensonnelle ou en lo d échelle. Correcton de masse ajoutée S on rajoute (ou on enlève ) une masse M a à l etrémté d une poutre homogène la formule de Ralegh devent smplement : K = M e M a
Tratement des modes supéreures Pour les modes propres d ordre supéreur on ne peut pas utlser smplement la méthode de Ralegh parce que ces modes n ont pas d analogue statque avec une forme smlare. Dans le domane de pettes déformatons on peut néanmons les consdérer chacun comme un oscllateur harmonque ndépendant, analogue à un sstème masse ressort, chacun avec des valeurs équvalents M e et K e tels que : Ke = M e Nous n effectuerons pas c ce calcul, mas l est mportant de retenr que dans l appromaton de pettes oscllatons (et éventuellement en présence d un fable amortssement), on peut trater chaque mode propre comme un oscllateur undmensonnel masse/ressort ndépendant. état de vbraton globale sera la somme des vbratons de tous les modes propres, chacun étant présent en proporton d un coeffcent pondéral détermné par les condtons ntales (par eemple par la méthode de stmulaton de la poutre). Cette mportante appromaton nous permettra de trater le cas plus complee d une poutre vbrante en présence d amortssement et d un forçage etéreur, tout smplement en tratant chaque mode propre ndvduellement comme on oscllateur harmonque ndépendant. Résonance d une structure réelle (oscllatons amortes et forcées) es théores précédentes ne comportent pas de terme susceptble de lmter l ampltude de la résonance dont le facteur de qualté Q est nfn. Or tous les matérau présentent des frottements nternes (analogues au pertes vsqueuses) caractérsés par le coeffcent de perte f. Dans l appromaton de Ralegh le modèle de résonance comporte un amortsseur vsqueu de coeffcent de perte f en parallèle à un ressort de radeur K supportant la masse M. équaton de la dnamque s écrt alors : d d f K F M +f +K=Fep(t) + dt dt + = ep(t) dt M dt M M F étant l ampltude de la force ectatrce. En posant r = M K, r étant la fréquence de résonance de l oscllateur non amort, et β = M f, la soluton s écrt sous la forme =X ep(t+) vérfant en ampltude K M f et en phase : X o = Fo ( r ) tg= - r allure de la réponse autour de la résonance est donnée dans la fgure c dessous :
Elastcté : A basse fréquence,, le terme domnant de l équaton d M +f +K =F ep(t) est le terme de rappel élastque et l équaton se rédut à : dt dt K=F ep(t) << r X o K F o Régme quas statque : plotage en élastcté Inerte : A haute fréquence, >> r, le terme domnant de l équaton d M +f +K =F ep(t) est le terme d nerte et l équaton se rédut à : dt dt d F M =F ep(t) << r X o o dt M Régme nertel: l effet de la masse est celu d un fltre passe bas avec une coupure en. Vscosté : Au vosnage de la fréquence de résonance, r, le terme domnant de d l équaton M +f +K =Fep(t) est le terme d amortssement car les termes d nerte dt dt et de rappel élastque se compensent et l équaton se rédut à : F f =F ep(t) r X o o - dt f Régme d amortssement : lmtaton du facteur de surtenson Q et élargssement du pc de la résonance qu s accompagne d un léger décalage de la résonance en général néglgeable, l amortssement étant en général fable. e facteur de qualté est défn à partr de la largeur du pc de résonnance à m hauteur. Comme la «m hauteur» se réfère à l énerge mécanque assocée à l oscllaton, et que celle-c dépend du carré de l ampltude X, l faut calculer la largeur pour la quelle l ampltude se rédut d un facteur : X o X o X (r )= (r ) o = (r )= = Fo r Fo Fo r r r et le facteur de qualté (ou de surtenson) Q = = r décroît lorsque l amortssement augmente. X F Amortssement Elastcté /Q Inerte r
Oscllatons lbres amortes En l absence d un forçage etéreur, l équaton dnamque s écrt : d dt f avec β = M forme : + β + r = dt et r = M K. En utlsant le formalsme complee on peut encore écrre la soluton en (t) = X ep(t+) en substtuant dans l équaton dfférentelle et en smplfant le terme X ep(t+) on a : ( β( r = β r = r 4 On revent fnalement à la parte réelle de la soluton : (t) = X ep(- t) cos(l t + l r r Q = r 4 4Q a soluton est consttué par le produt d une oscllaton harmonque avec une fréquence «lbre» l et d un terme d amortssement eponentel. S l amortssement est fable (/Q = β r << ) la fréquence lbre l n est que légèrement nféreure à la fréquence de résonance r et l amortssement de tradut en une réducton eponentelle de l ampltude d oscllaton. r T = / l