I-Défiitios, vocablaire I- : Notio de site : Défiitio : e site d élémets d esemble A est e foctio de N vers R dot l esemble de défiitio est d type A R Si AR, o dit alors qe cette site est e site réelle Doc si : N R est e telle foctio, alors o désige l image de N (par, par et IN o ote cette site par ( Exemple cocret:o pet cosidérer e site comme e site ifiie de ombres réels :, I- : Modes de géératio des sites * Si e site ( est telle qe f ( 3 π, (site défiie par so terme gééral o site défiie de faço explicite, alors les propriétés de ( dépedet de celles de la foctio f associée Exemple: la site ( défiie par + 3 IN est associée à la foctio f défiie sr R + + x + 3 par : f ( x doc les propriétés de ( sot celles de la foctio f x + * Si e site ( est telle qe f (, alors les propriétés de ( +, (site défiie par récrrece o de faço récrrete dépedet de celles de la foctio f et de so premier terme Exemple: la site ( défiie par 3 IN + + est site défiie de faço récrrete II Comportemet global d'e site II- : Site miorée, site majorée, site borée Défiitios : * Ue Site ( est majorée par réel M (majorat lorsqe tos ses termes sot majorés par M, c est-à-dire si, por tot etier, M( M costate idépedate de * Ue Site ( est miorée par réel m(miorat lorsqe tos ses termes sot miorés par m, c est-à-dire si, por tot etier, m (m costate idépedate de * Ue Site ( est borée lorsq'elle est à la fois miorée et majorée, c est-à-dire s il existe dex réels m et M tels qe, por tot, m M Exemples: * La site ( IN défiie par ( est majorée par (par exemple et miorée par (par exemple, doc elle est borée * La site ( IN v défiie par v est miorée par (par exemple, mais elle e pet pas être majorée, doc elle est pas borée hosseiimathssta@gmailcom Page Cors : Sites
II- :La mootoie d e site ( ( ses de variatio de ( Défiitio 3: * La site ( IN + (resp + est croissate (resp décroissate, si et selemet si N, * Ue site croissate o décroissate est appelée site mootoe * La site ( IN est strictemet croissate (resp strictemet décroissate, si et selemet si N, (resp + > + < * Ue site strictemet croissate o strictemet décroissate est appelée site strictemet mootoe Remarqe : Lorsqe tos les termes d e site sot strictemet positifs, c est-à-dire N, >, alors l étde de la mootoie de la site ( reviet à comparer le rapport + IN à E effet, si N, + <, alors ( est strictemet décroissate et si N, + >, IN alors ( est strictemet croissate IN Exercice : Étdier la mootoie de la site ( IN * Soltio: défiie par 3 + cos Théorème : (admis - Ue site croissate est miorée par so premier terme - Ue site décroissate est majorée par so premier terme Défiitio 4: soit ( IN il existe a R tel qe a Défiitio 5: soit (, e site réelle O dit qe ( IN IN, e site réelle O dit qe ( IN est e site costate si N, est e site statioaire si elle est costate à partir d certai rag N, c est-à-dire, + Défiitio 6: soit ( IN, e site réelle O dit qe ( IN est e site périodiqe s il existe etier p tel qe N, p + O dit alors qe ( IN est périodiqe de période p hosseiimathssta@gmailcom Page Cors : Sites
Exercice : Motrer qe la site ( défiie par π IN si est e site périodiqe dot 6 la période reste à détermier Soltio: Remarqes: O associe à l esemble des sites réelles, les lois d additios et de mltiplicatios, dites terme à terme, c est-à-dire, si ( v sot dex sites réelles et λ R, alors : Exemple: Les sites ( IN et ( IN + v ( + v, v ( IN v et λ ( λ IN IN et ( v IN défiies respectivemet par : {,,,,,, } IN v {,,,,,, } sot telles qe la site ( v IN III- L tilisatio d symbole somme (sigma E mathématiqes la somme de élémets comme d symbole appelé «Sigma» sos la forme : est la site lle et + x + x x pet être otée à l aide x + x valer fiale k + + + x x x x o ecore k k valer iitiale x + x + x + x valer fiale xk k valer iitiale L etier k est appelé la variable mette Attetio : Le ombre de termes das la somme précédete est calclé de la faço sivate : l ' idice d derier terme l' idice d premier terme + + termes Exemples : Calcler: a 4 4 k k a 4 4 k k + + + 3 4 + + + 3 8 + 3 + 3 Écrire à l aide d symbole, la somme sivate : + 4 + 6 + 8 + + 4 k 3 L expressio d polyôme de degré pet être doée sos la forme : k a x + a x + + a x + ax + a i a x i i hosseiimathssta@gmailcom Page 3 Cors : Sites
Propriétés élémetaires : kai ka + + ka k( a + + a k i ai Doc kai k i i i i i + p + + p doc fois ( a + kb + p a + kb + + a + kb ( a + + a + ( kb + + kb i a i ( ai + kbi + p ai + k bi + i i i i p (Liéarité Remarqe: O tilise sovet la liéarité e ivoqat le décopage d e somme e plsiers atres sommes e disat qe l o pet sortir d symbole tot ce qi e déped pas de l idice (e les mettat e facter avec le symbole Exemple: Calcler : k O a : ( k k + + + fois Exercice 3: Ecrire les sommes sivates avec le symbole : + + + ; + 3 + 4 + 5 + + Soltio: IV- Sites arithmétiqes et géométriqes IV- : Site arithmétiqe Défiitio 7: Ue site ( IN est dite arithmétiqe, si chaqe terme s obtiet à partir de so terme précédet e li ajotat e costate réelle r, appelée raiso de la site: + r, N + Remarqe : Por motrer q e site ( + est ombre costat IN est e site arithmétiqe, il sffit de motrer qe Remarqe : Le mot arithmétiqe viet d fait qe chaqe terme (atre qe le er terme est la moyee arithmétiqe des termes qi l ecadret : Démostratio : + + hosseiimathssta@gmailcom Page 4 Cors : Sites
Exercice 4: Por qelle valer de x les 3 ombres x +, x + 3 et 5x 5 formet trois termes coséctifs d e site arithmétiqe? Soltio: IV---Le terme gééral d e site arithmétiqe e foctio de so er terme et de sa raiso Théorème : Le terme gééral d e site arithmétiqe ( de premier terme et de raiso r, est doé par : + r, N Démostratio : IN IV--3- Relatio etre dex termes qelcoqes d e site arithmétiqe Théorème 3: Soit ( e site arithmétiqe de raiso r, alors o a: Démostratio : IN N, p N, ( pr p IN Théorème 4: Soit ( e site arithmétiqe de er terme et de raiso r O défiit : S + + + + + i i S Somme d' e site arithmétiqe Démostratio : 3, alors S ( + + (avec + le ombre de termes er ( ( terme + derier terme Nombre de termes hosseiimathssta@gmailcom Page 5 Cors : Sites
Exercice 5: Calcler la somme sivate : S 7 + + 3 + 6 + + 78 Soltio: Commet démotrer q e site ( doée, est e site arithmétiqe? Por démotrer q e site ( différece doée, est e site arithmétiqe, il sffit de démotrer qe la +, ( N est ombre costat Por motrer q e site ( exemple, o motre qe IV- : Site géométriqe Défiitio 8: Ue site ( est pas arithmétiqe, o pet passer par cotre exemple, par IN est dite géométriqe, si chaqe terme s obtiet à partir de so terme précédet mltiplié par e costate réelle o lle q, appelée raiso de la site: + q, N Remarqe : O pet démotrer facilemet qe le carré de chaqe terme (atre qe le er terme d e site géométriqe est égal a prodit des termes qi l ecadret : + IV---Le terme gééral d e site géométriqe e foctio de so er terme et de sa raiso Théorème 5: Le terme gééral d e site géométriqe ( de premier terme et de raiso IN q, est doé par : q, N Démostratio : IV---Relatio etre dex termes qelcoqes d e site géométriqe Théorème 6: Soit ( e site géométriqe de raiso q, alors o a : IN N, p N, p q p Démostratio : hosseiimathssta@gmailcom Page 6 Cors : Sites
IV--3- Somme des + premiers termes d e site géométriqe IN Théorème 7: Soit ( e site géométriqe de er terme et de raiso q O défiit : S + + + + + i Démostratio : i 3, alors + q S (avec + le ombre de termes q p + q Remarqe: O retiet: S p (car le ombre de termes d e site, de premier terme q p et de derier terme est doé par : - p+ IV--4- Étde de la mootoie des sites arithmétiqes et géométriqes Théorème 8: Soit etier atrel et ( e site arithmétiqe de raiso r * Si < r, la site ( r, la site ( r, la site ( * Si * > Soit est décroissate est costate est croissate etier atrel et ( < q, la site ( * Si < * Si > q, la site ( Démostratio : v e site géométriqe de raiso q v est décroissate si v et est croissate si v > < v est croissate si v et est décroissate si v > < hosseiimathssta@gmailcom Page 7 Cors : Sites
V- Raisoemet par récrrece (* Pricipe de récrrece Soit P( e propriété avec N et soit N Démotrer par récrrece qe P( est vraie por reviet à raisoer de la faço sivate : ère étape - L iitialisatio de la récrrece : O vérifie qe la propriété est vraie por la valer ème étape - Hérédité : O vérifie qe si la propriété est vraie por certai etier ( fixé, alors la propriété est vraie a rag sivat +, e d atres termes : P( P(+ por fixé 3 ème étape - Coclsio : Por tot etier atrel, P( est vraie Exercice 6: Démotrer qe por tot etier N*, Soltio: + + 3 ( + ( + + 6 + (* Historiqe : Aristote pis Pascal das so traité d «triagle arithmétiqe (654» abordet la méthode de la démostratio par récrrece, e effet Pascal a tilisé cette méthode por la démostratio de plsiers formles de combiaisos Esite, o retrove cette méthode das les travax de Peao et Dedkide (fi d XIX éme siècle sr la théorie des ombres et fialemet Heri Poicaré baalise cette approche das ses travax hosseiimathssta@gmailcom Page 8 Cors : Sites
VI- Limite d e site Das ce chapitre, os avos besoi d otil mathématiqe appelé «Limite» qi est e otio fort écessaire por la compréhesio et la pratiqe des mathématiqes Por itrodire cette otio, je commece par exemple géométriqe : Cosidéros polygoe réglier de côtés ( 5, iscrit das cercle C Soit P ce polygoe (ici représete le ombre de côtés d polygoe À l aide d logiciel «Geogebra», j ai tracé P 5, P et P 3 : Il semble qe P 3 soit cofod avec so cercle circoscrit C (par défiitio polygoe est polygoe et o pas cercle Or, si l o trace P 5, o ara d mal à distiger le polygoe de so cercle circoscrit C O dit alors qe la limite de ces polygoes est le cercle circoscrit C et mathématiqemet, o ote: lim C VI- Limite fiie d e site Étdier la limite d e site ( P + des valers de pls e pls grades allat vers Soiet k etier atrel, P k N \ {,, k }, reviet à étdier le comportemet de ses termes, lorsqe pred + e partie de N Défiitio 9: O dit q e site ( est covergete, s il existe réel l tel qe : O dit alors qe ( ε>, N P k tel qe N, l <ε coverge (o ted vers l et o ote lim l + Remarqes: Étdier la limite d e site (, reviet à étdier le comportemet de ses termes, lorsqe pred des valers de pls e pls grades, allat vers + l <ε sigifie qe lorsqe est de pls e pls grad et si les ombres vieet s accmler ator d réel l, alors tot itervalle overt coteat l cotiet tos les termes de la site ( à partir d certai rag O ote, alors lim l IN + hosseiimathssta@gmailcom Page 9 Cors : Sites
Exemple: Soit e site costate ( IN défiie sr N par 3 Cette site coverge vers 3, car tot itervalle de la forme ] 3 α, 3 + α [ cotiet tos les termes de la site Théorème 9: Si e site ( IN admet e limite l, alors elle est iqe Démostratio : Défiitio : Tote site ( IN qi est pas covergete est dite divergete Théorème : (admis Por tot coverget totes vers N*, les sites défiies par,,, 3,, où p p N*, Remarqe: La otio de limite por e site 'a de ses qe lorsqe ted vers Exemple: Calclos la limite de la site ( défiie par + 3 IN : + 4 3 3 + + Por tot, 4 4 + + 3 + Or, lim doc lim, doc lim + + 4 + + + hosseiimathssta@gmailcom Page Cors : Sites
VI- - Limite ifiie d e site Défiitio : Soit ( e site doée O dit qe ( tot itervalle ] α, + [ (resp ],α [ rag admet comme limite + (resp, si cotiet tos les termes de la site à partir d certai Remarqes : Ue site ( est divergete si : - elle a e limite ifiie, c est-à-dire si lim + o lim ; + + - elle a pas de limite (Comme la site de terme gééral : ( qi admet ace limite Théorème : (admis Les sites dot les termes géérax sot ot tote por limite + 3,,,,, où p p N* Remarqe: Soiet ( et ( v dex sites doées Les théorèmes éocés sr la limite d e somme, d prodit, d qotiet de dex foctios sot ecore vrais por les sites ( et ( VI-3Limite d e site d type f ( (après avoir v, limite d e foctio Théorème : Soit f e foctio défiie sr itervalle d type [,+ [ telle qe lim f ( x α, alors la site ( de terme gééral f ( divergete ( α pet être Démostratio : x + est covergete (avec α ombre fii o + o ecore et lim α + v Attetio : La réciproqe est fasse Exemple: O sait qe por tot etier, cos ( π, doc la site ( de terme gééral cos ( π est e site costate, doc covergete mais la foctio f défiie sr [,+ [ par f ( x cos ( π x a pas de limite, doc la réciproqe d théorème précédet est fasse hosseiimathssta@gmailcom Page Cors : Sites
VI-4- Limites et opératios algébriqes O admet les théorèmes sivats : Théorèmes 3: Limite d e somme de dex sites lim + Si lim v + et alors + v lim ( l+ l + Limite d prodit de dex sites lim + Si lim l l l + + l + + + + CI (cas idétermié l l> l> l< l< + + et v + l + + + o + alors lim ( v l l + + + + CI + 3 Limite d qotiet de dex sites Si lim l l> l> l> l< l< + + + lim et v + alors lim + v l l l + o et v > ACR et et v < v > ACR ACR et v < ACR l> o et l> o et v > v > ACR ACR l< o et l< o et v < v < ACR ACR o + o + + + + + CI CI Remarqe : ACR sigifie qe v < o v > à partir d certai rag Remarqe : D après les tableax précédets, les cas idétermiés (CI(o dit assi forme idétermiée sot :,, et E ac cas ces écritres e doivet être tilisées das e rédactio, sr e copie Ces cas écessiterot e trasformatio d écritre, chaqe fois q ils se préseterot afi d éviter le cas idétermié hosseiimathssta@gmailcom Page Cors : Sites
VI-5 Théorème de covergece mootoe Théorème 4: (admis - Tote site croissate et majorée est covergete - Tote site décroissate et miorée est covergete Remarqe: Ces théorèmes pevet assrer l existece de la limite mais ils e os doet pas sa valer (sa limite est pas forcemet M, si M est majorat avec ( croissate o m, si m est miorat avec ( décroissate Exemple: ( défiie por tot N, par : 4 + est e site à termes positifs, doc + miorée par, et décroissate D après le théorème de covergece mootoe, elle coverge Attetio: D après la remarqe précédete ( est miorée par, mais e coverge pas vers, e effet lim, doc lim 4 + + + défiie por tot N, par : et 7 Exercice 7: Soit ( a E remarqat qe la site ( est telle qe f ( + + + (f foctio à détermier et e tilisat raisoemet par récrrece, démotrer qe la site ( est croissate b Démotrer par récrrece qe la site ( est majorée par 4 c Qe pet-o e dédire por la site ( Soltio: hosseiimathssta@gmailcom Page 3 Cors : Sites
VII--Sites et comparaisos VII--Théorème d ecadremet (o théorème des gedarmes Théorème 6: Soiet trois sites (, ( v et ( w telles qe : à partir d certai rag : ( et ( v w ; w coverget vers le même ombre l Alors ( v coverge vers l Démostratio : Exercice 8: Étdier la limite de la site ( défiie por tot N, par Soltio: 3 cos + hosseiimathssta@gmailcom Page 4 Cors : Sites
VII--Théorème de comparaiso (par rapport à e site divergete Théorème 7: Cosidéros dex sites ( et ( Si ( ted vers + alors ( Si ( v ted vers alors ( v assi ted vers + assi ted vers v telles qe por tot etier, v Démostratio : Exercice 9: Soit la site ( défiie por tot N, par : + 3 IN + Calcler la limite de ( par dex méthodes différetes Soltio: ère Méthode : IN Coclsio : ème Méthode : hosseiimathssta@gmailcom Page 5 Cors : Sites
VIII Étde de la covergece des sites arithmétiqes et géométriqes Théorème 8: Soit ( e site arithmétiqe de premier terme et de raiso r Si r <, alors lim Si 3 > r, la site ( + est costate et lim + lim + r, alors + Démostratio : Théorème 9: Por tot réel a positif et tot etier atrel o l : ( + a + a Soit q réel tel qe : - q >, alors q + lim + - < q <, alors lim q + (l iégalité de Beroilli Démostratio Cosidéros la foctio f défiie por tot réel a positif et tot etier atrel o l par : f ( a ( + a ( + a f est dérivable sr R+ comme la différece de dex foctios polyômes dérivables sr R+ [ ] a R+, f ( a ( + a ( + a Comme a,alors + a d où ( + a (car la foctio x x est croissate sr R+, lorsqe doc ( + a, o e dédit a R+, N*, f ( foctio f est croissate sr R+, o e dédit qe por tot a R+, f ( a f ( Or, f (, doc a R+, f ( a, d où a R+, N*, ( + a + a Si q >, o pose q + a Comme q >, alors > a Doc la a O sait qe N*, ( q + a Mais a R+, N*,( + a + a Or, lim ( + a +, d après le théorème 7 o a : lim q + + + Si < q <, o pose : t, o a alors t >, doc (d après lim t +, ce qi os q + permet d affirmer qe lim, soit lim q + t + Si < q <, o pose : t q o ecore q t, o sait alors qe < t <, o a alors ( t q et lim t + L ecadremet ( et pisqe t > alors aisi le théorème de l ecadremet os permet de coclre : lim q + t q t et hosseiimathssta@gmailcom Page 6 Cors : Sites
Théorème : Soit ( Si q, alors la site ( < < lim Si q, alors 3 Si 4 Si > q, alors la site ( e site géométriqe de premier terme et de raiso q est divergete + est costate et lim + > lim + et si < q, et si alors + Démostratio : lim alors + 3 4 hosseiimathssta@gmailcom Page 7 Cors : Sites
Exercice : Soit la site ( N défiie por tot N, par : 3 + + et 5, + 3 o admet qe por tot N, À l aide d e calclatrice, calcler les 5 premiers termes de ( IN À l aide d logiciel de Geogebra, représeter graphiqemet les premiers termes de la site ( 3 Qe pet-o cojectrer a sjet de la mootoie et de la limite de la site (? 4 Soit ( v la site défiie por tot N, par : v + Motrer qe ( v est géométriqe et doer sa raiso et so premier terme 5 Détermier e expressio de v e foctio de, pis celle de e foctio de 6 Détermier la limite de Soltio: À l aide d e calclatrice Nspire-CAS, o trove les 5 premiers termes de ( IN : Se placer das la coloe B, etrer 5 das la cellle b, et 3 b + b + 3 das la cellle b Sélectioer la cellle b (se placer sr b e actioat le avpad x, appyer sr g, et se déplacer vers b e maiteat cette toche efocée hosseiimathssta@gmailcom Page 8 Cors : Sites
À l aide d logiciel de Geogebra, o représete les premiers termes de la site ( IN 3 4 hosseiimathssta@gmailcom Page 9 Cors : Sites
5 6 hosseiimathssta@gmailcom Page Cors : Sites
Exercices à faire à la maiso 7 5 3 Exercice E tilisat e certaie site, résodre l éqatio sivate : 8x 4x + x x Exercice Calcler : S + 4 6 64 6384 4 Exercice 3 - O cosidère la site ( N défiie par N* + + 3 La site (v est défiie par v + Provez qe la site (v est arithmétiqe ; doez so premier terme et sa raiso Exprimer v pis e foctio de 3 Dédisez-e la limite de la site ( Calcl de sommes Exercice 4-O cosidère la site ( N défiie par N + + Motrer qe, 7, 3 La site ( est-elle géométriqe, arithmétiqe? 4 8 O défiit la site ( v par : v + 6 Calcler v, v, v et v 3 3 Motrer qe la site ( v est géométriqe de raiso 4 E dédire l expressio de v pis celle de e foctio de 5 Calcler s v + v + + v ' 6 Calcler s + + + Démotrer par récrrece (applicatio directe : Exercice 5 - Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel : ( + 3 + + + 3 3 4 + + 4 + + ( ( ( ( Exercice 6 - Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel :! (où! ( ( 3 Exercice 7 - Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel N: 4 3 est divisible par 9 ; 5 7 3 + 4 est divisible par hosseiimathssta@gmailcom Page Cors : Sites
Sites miorées, majorées et calcl de limites Exercice 8 - ( N est e site défiie par : + + + + + + + + (tiliser le symbole somme 3 4 Est-elle miorée, majorée? Das ce cas, détermier miorat o majorat Exercice 9 Calcler la limite des sites défiies sr N*, par : a + 5 + 5 w b t, c 3 + + d + 5 + 3 e v + x + + + 3 3 3 7 3 ; f z 9 3 Exercice -Das chac des cas ci-dessos, doer la limite de la site e tilisat des majoratios o des mioratios : a b + 6 ( si( v ; 3 + 5 + c w d t 4 Exercice - Soit ( N la site de ombres réels défiie par [,] et par la relatio de récrrece : Motrer qe : N, > ( + + Motrer qe : N, 3 Motrer qe la site est mootoe E dédire qe la site est covergete 4 E admettat qe la foctio associée à la site ( N, (défiie par f ( détermier la limite l de la site ( N + est cotie, Démotrer e propriété par récrrece Exercice -O cosidère la site ( N défiie par : a Démotrer qe por tot de N, > b Etdier le ses de variatio de ( c Qe pet-o e dédire des dex qestios précédetes? d Motrer qe por tot de N, E dédire la limite de la site ( + + + hosseiimathssta@gmailcom Page Cors : Sites
Exercice 3 O cosidère : la foctio f défiie sr ] ;[ par f ( x la site ( défiie sr N, par + + + x a E tilisat la figre (Aexe, das laqelle vos troverez la représetatio graphiqe de la foctio f, placer, sr la droite ( Ox, les premiers termes de la site ( b Qe pet-o cojectrer? a Résodre das ] ;+ [, l éqatio ( x x f b E otat φ la soltio de cette éqatio, motrer qe < < φ 3 a Motrer par récrrece qe por tot de N, b Motrer qe por tot de N, o a : + φ φ c E dédire qe, por tot de N, o a : + φ φ φ d E tilisat l iégalité c, motrer qe, por tot de N, o a : φ φ φ e Jstifier qe la site ( coverge vers le réel φ U algorithme simple Exercice 4- Soit la site ( N de terme gééral défiie par et, por tot etier atrel, par : + ( + + 3 Motrer qe et qe 6 et Chace des trois propositios sivates est-elle vraie o fasse? Jstifier les réposes Propositio : «La site ( est arithmétiqe» Propositio : «Il existe a mois e valer de por laqelle +» Propositio 3 : «Por totes les valers de, o a +» 3 O cosidère l algorithme sivat : Etrée : N etier atrel o l Iitialisatio : P Traitemet : Por K allat de à N : Affecter à P la valer P + K Afficher P Fi de l algorithme a Faire foctioer cet algorithme avec N 3 Obtiet-o à l affichage les valers des qatre premiers termes de la site (? b Modifier cet algorithme de maière à obteir à l affichage les valers des N premiers termes de la site ( 4 a Motrer qe, por tot etier atrel k, (k ² + k + (k + (k + ² + k + b Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, + hosseiimathssta@gmailcom Page 3 Cors : Sites
Exercice 5- Soit la site ( défiie par : et por tot de N, + O propose d étdier de dex maières la covergece de cette site Première méthode Etdier la foctio f défiie par f(x + x + E tilisat la figre (Aexe, das laqelle vos troverez la représetatio graphiqe de la foctio f, placer, sr la droite des ( Ox, les premiers termes de la site ( Qe pet-o cojectrer? 3 Motrer qe por tot de N*, 4 Etdier le ses de variatio de ( 5 Motrer qe la site ( coverge et qe sa limite α est soltio de l éqatio f(x x Détermier α Dexième méthode Motrer qe por tot ombre x de [, π ] : + cos x x cos Motrer alors qe, por tot etier atrel, cos E dédire la limite de la site ( Exercice doé a bac Exercice 6- O cosidère la site ( défiie par π + et telle qe por tot etier atrel, 3 + + a Calcler et b Démotrer, par récrrece, qe por tot etier atrel, < O admet qe, por tot etier atrel, < a Démotrer qe la site ( b Démotrer qe la site ( est croissate coverge 3 Soit ( v la site défiie, por tot etier atrel, par v a Motrer qe la site ( v est e site géométriqe de raiso 3 b Exprimer por tot etier atrel, v e foctio de c E dédire qe, por tot etier atrel, d Détermier la limite de la site ( 3 3 + hosseiimathssta@gmailcom Page 4 Cors : Sites
Exercice 7- Partie A O cosidère l algorithme sivat : Variables Le réel U et les etiers atrels k et N Etrée Saisir le ombre etier atrel o l N Traitemet Affecter à U la valer Por k allat de à N Affecter à U la valer 3U k+3 Fi por Sortie Afficher U Q obtiet-o e sortie lorsqe N3? Partie B O cosidère la site ( défiie par et, por tot etier atrel, 3 3 Calcler et a Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, b Dédire de ce qi précède, la limite de la site ( 3 Démotrer qe la site ( est croissate 4 Soit la site (v défiie, por tot etier atrel, par v + + + 4a Démotrer qe la site (v est e site géométriqe 4 b Dédire de ce qi précède, por tot etier atrel, 3 + 5 Soit p etier atrel o l 5a Porqoi pet-o affirmer q il existe a mois etier tel qe, por tot, p? 5b Jstifier qe : 3p 5c Détermier à l aide de la calclatrice cet etier por la valer p 3 5 d Proposer algorithme qi, por e valer de p doée e etrée, affiche e sortie la valer d pls petit etier hosseiimathssta@gmailcom Page 5 Cors : Sites
U pe de logiqe: Exercice 8- Motrer qe ( ε>, a ε (a L'tilisatio d raisoemet par cotre-exemple Exercice 9- Les affirmatios sivates sot totes fasses Das chaqe cas proposez cotre exemple: Tote site borée est covergete Tote site décroissate est covergete 3 Tote site est mootoe à partir d' certai rag Coditio écessaire, sffisate Exercice - Das les dex propriétés sivates, précisez si la coditio proposée est écessaire, sffisate o écessaire et sffisate, por qe la propriété soit vraie Propriété: La site ( est croissate sr N Coditio : N + > Propriété: La site ( est positive et décroissate sr N Coditio : + < N L'tilisatio des qatificaters Exercice - Écrire e assertio exprimat qe la site ( est majorée hosseiimathssta@gmailcom Page 6 Cors : Sites
Aexe Aexe hosseiimathssta@gmailcom Page 7 Cors : Sites