Suites et probabilités Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : probabilités définies par les termes d une suite arithmétique et d une suite géométrique Exercice 2 : étude d une suite arithmético-géométrique, probabilités conditionnelles, probabilités totales Exercice 1 (2 questions) Niveau : difficile Les faces d un dé cubique sont numérotées de 1 à 6. On note la probabilité d apparition de la face numérotée lors d un lancer du dé. Ces probabilités vérifient les conditions suivantes :, et sont, dans cet ordre, les termes consécutifs d une suite arithmétique de raison., et sont, dans cet ordre, les termes consécutifs d une suite géométrique de raison. 1) Calculer la probabilité d obtenir un numéro pair. 2) Calculer la probabilité de ne pas obtenir le numéro 6. Correction de l exercice 1 1) Les faces d un dé cubique sont numérotées de 1 à 6. Si on note la probabilité d apparition de la face numérotée lors d un lancer du dé, alors correspond à la probabilité d apparition de la face numérotée 1, correspond à la probabilité d apparition de la face numérotée 2, etc. Commençons par exprimer la probabilité d apparition de chaque face., et sont, dans cet ordre, les termes consécutifs d une suite arithmétique de raison. Rappel : Définition d une suite arithmétique Une suite est arithmétique lorsqu on passe de chaque terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison de la suite. On a :. 1
Ainsi, on a :, et sont, dans cet ordre, les termes consécutifs d une suite géométrique de raison. Rappel : Définition d une suite géométrique Une suite est géométrique lorsqu on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours le même nombre non nul, appelé raison de la suite. On a :. Ainsi, on a : Enfin,. Donc : D où : Les 6 événements qui correspondent à l apparition de chaque face numérotée sont incompatibles donc : (Remarque : désigne l intervalle des entiers naturels de 1 à 6). Rappel : Evénements incompatibles Deux événements et d un même univers sont incompatibles lorsqu ils ne peuvent pas se réaliser simultanément, autrement dit si et seulement si. Dès lors, on en déduit les autres probabilités : 2
Calculons désormais la probabilité d obtenir un nombre pair. Parmi les 6 issues possibles, il existe trois issues favorables à la réalisation de cet événement : soit obtenir le numéro 2, soit obtenir le numéro 4, soit obtenir le numéro 6. La probabilité d obtenir un nombre pair est donc : Rappel : Principe fondamental d une probabilité / Evénements élémentaires La probabilité d un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. Autrement dit,. Remarque : Dans cet exercice, l événement «obtenir un numéro pair» se compose des événements élémentaires suivants : «obtenir 2», «obtenir 4» et «obtenir 6». Lors d un lancer du dé, la probabilité d obtenir un nombre pair est donc. 2) L événement «ne pas obtenir le numéro 6» est l événement contraire de «obtenir le numéro 6». Rappel : Probabilité d un événement contraire Deux événements et d un univers sont contraires si et seulement si et sont incompatibles et. La probabilité de l événement contraire d un événement, est donnée par :. Remarque : On note souvent l événement contraire de A. Ainsi, la probabilité de ne pas obtenir le numéro 6 est : Lors d un lancer du dé, la probabilité de ne pas obtenir le numéro 6 est donc. 3
Exercice 2 (4 questions) Niveau : difficile Lors d une séance d entraînement aux tirs au but, qu il a débutée avec une chance sur deux de marquer, un joueur constate que : s il réussit son tir, il a 80 % de chances de réussir le suivant ; s il rate son tir, il a 40 % de chances de rater le suivant. On note la probabilité que le joueur réussisse le -ième tir et on définit une suite par. 1) Exprimer en fonction de. 2) Préciser la nature de la suite et en donner la raison et le premier terme. 3) Le joueur affirme qu il a exactement 3 chances sur 4 de réussir le 30 ème tir. A-t-il raison? Correction de l exercice 2 1) Tout d abord, assimilons un but marqué à un «succès» (de probabilité le but à un «échec» (de probabilité ). ) et le fait de ne pas inscrire On sait que, s il réussit le -ième tir, le joueur a 80 % de chances de réussir le -ième tir, soit chances de réussir le -ième tir. De plus, la probabilité que le joueur ayant réussi le -ième tir rate le suivant est de. En effet, les événements «succès» et «échec» sont deux événements contraires et, de ce fait,. On sait également que, s il échoue au -ième tir, le joueur a 40 % de chances de rater le suivant, soit chances de manquer le -ième tir. De même, on en déduit que la probabilité que le joueur ayant manqué le -ième tir rate le suivant est de. Remarque : Les probabilités sont ici conditionnelles et on peut ainsi résumer les probabilités : Représentons par un arbre de probabilités les 4 issues possibles après le -ième tir, suivi du -ième tir. 4
succès échec succès échec succès échec -ième tir -ième tir Les 4 issues possibles sont : «succès puis succès», «succès puis échec», «échec puis succès» et «échec puis échec». Parmi ces 4 issues, 2 sont favorables à la réalisation de l événement : «le joueur marque le -ième but» ; il s agit de : «succès puis succès» et «échec puis succès». Si désigne la probabilité que le joueur réussisse le -ième tir, alors désigne la probabilité que le joueur réussisse le -ième tir. Pour que le joueur réussisse le -ième tir : soit il a marqué le -ième tir avec une probabilité, puis il a marqué le -ième tir avec une probabilité de 0,8. soit il a raté le -ième tir avec une probabilité, puis il a marqué le -ième tir avec une probabilité de 0,6. Ainsi, d après la formule des probabilités totales : est une suite arithmético-géométrique. Remarque : Une suite est arithmético-géométrique quand il existe des réels et non tous nuls tels que, pour tout entier naturel où désigne le rang à partir duquel la suite est définie :. Si, alors est arithmétique. Si, alors est géométrique. 2) On définit la suite par. Pour tout entier naturel, donc la suite est géométrique de raison et de premier terme. 5
Or, on a : est donc une suite géométrique de raison et de premier terme. 3) Rappel : Terme général d une suite géométrique Soit une suite géométrique de raison définie pour tout entier naturel où désigne le rang à partir duquel la suite est définie. Alors, pour tout entier naturel tel que, on a : La question précédente a permis d établir que : est une suite géométrique ; donc, pour tout entier naturel Dès lors, il s ensuit de la relation que : La probabilité que le joueur réussisse le 30 ème tir est donc : Le joueur a donc partiellement raison puisque le résultat qu il annonce est une approximation et pas une exactitude. En revanche, on peut lui accorder que son estimation reste extrêmement satisfaisante. Remarque : Tout joueur ayant des connaissances mathématiques sur les suites numériques (et notamment sur les limites de suites géométriques) peut observer que, plus il effectuera de tirs, plus ses chances de marquer le but tendront vers. En effet, car D où : 6