TP N 39 Faceur d accéléraion associé à une loi normale ou lognormale Uilisés pour diminuer la durée e le coû des essais, les faceurs d accéléraion (Arrhenius, Peck, Basquin, Norris-Landzberg ) son ous fondés sur l hypohèse que le sress ne change que l'échelle de la courbe de fiabilié. Or ceraines normes e ouils largemen uilisés ne raien les lois normale ou lognormale qu'en jouan sur l un des paramères en faisan l hypohèse que le sress n a pas d effe sur le second. Ce TP a pour obje d évaluer cee apparene conradicion. ---- 1 Rappeler la héorie des essais accélérés e préciser la noion de faceur d accéléraion 2 Simuler des jeux de durées de foncionnemen d équipemens opérés à différenes empéraures, 25 C (prise pour référence), 50 C e 75 C, suivan diverses lois (Weibull à 2 paramères, normale e lognormale) e du faceur d accéléraion d Arrhenius. 3 Rerouver les paramères de ces lois e l énergie d acivaion au moyen d un ajusemen par la méhode du maximum de vraisemblance.
1 Théorie des essais accélérés e faceur d accéléraion Les essais accélérés son des essais de fiabilié duran lesquels les maériels son soumis à des condiions d environnemen ou d uilisaion plus sévères que celles de leur vie opéraionnelle afin de réduire la durée des essais. Ils fon inervenir les mêmes phénomènes de dégradaion que ceux que les maériels subissen en opéraion e diffèren, en cela, des essais aggravés menés hors du domaine de qualificaion pour évaluer la robusesse de la concepion e en révéler les poins faibles. Ces essais s appuien principalemen sur la héorie du modèle Sandard de Vie Accélérée 1 (S.V.A) qui fai l hypohèse qu un sress ou une combinaison de plusieurs sress ne change que l échelle de la courbe de fiabilié, comme l illusre la figure 1. R R(T A ) = R(T N ) A F = T N / T A Nominal 0 T A T N Accéléré Figure 1. Modèle Sandard de Vie Accélérée Pour une même fiabilié, le faceur d accéléraion A F perme alors de passer simplemen d une durée de foncionnemen en condiions accélérées à celle en condiions nominales, e inversemen. De même es-il aisé de passer des foncions de fiabilié R(), répariion F(), densié f() e aux de défaillance λ() des condiions accélérées à des condiions de référence : R() = R ref (A F ) F() = F ref (A F ) f() = A F f ref (A F ) λ() = A F λ ref (A F ) En effe : R() = R ref (A F ) F() = 1- R() = F ref (A F ) f() = df/d () = A F f ref (A F ) f() = λ() F() = A F λ ref (A F ) F ref (A F ) Le faceur d accéléraion correspond à un rappor de viesses de dégradaion sous différens niveaux de sress don la forme générale es V(s) = exp[β 0 +β 1 z(s)]. De nombreuses lois d accéléraion on ainsi éé définies don la loi de d Arrhenius pour la empéraure : V(T) = exp(ea/kt) avec Ea l énergie d acivaion e K la consane de Bolzmann. 2 Simulaion d un jeu d essais Trois jeux de durées de foncionnemen d une cenaine de valeurs réparies enre les 3 empéraures, on éé simulés par irage aléaoire e inversion des lois de Weibull (F() =exp(-((-γ)/σ) β ), normale e lognormale, puis applicaion du faceur d accéléraion (avec Ea = 0,7 ; K = 8,617 10-5 Kelvin/eV e T = 298, 323 e 348 K), soi sous Excel: = (γ + σ*(-ln(alea()))^(1/β)) / EXP((Ea/K)*(1/298-1/T)) avec γ = 0 =LOI.NORMALE.INVERSE(ALEA();m;σ) / EXP((Ea/K)*(1/298-1/T)) =LOI.LOGNORMALE.INVERSE(ALEA();a;b) / EXP((Ea/K)*(1/298-1/T)) 1 V. Bagdonavicius, L. Gerville-Réache, V.Nikoulina, M. Nikulin, Expériences accélérées : analyse saisique du modèle sandard accéléré Revue de saisique appliquée, ome 48, n 3 (2000) page 5-38
3 par la méhode du maximum du vraisemblance L ajusemen par la méhode du maximum de vraisemblance consise à maximiser le produi des densiés de probabilié pour les valeurs de la variable ou la somme de leurs logarihmes. 3.1 Loi Weibull Réalisé par l ouil GENCAB, l ajusemen ci-dessous perme de rerouver les paramères de la loi Weibull e la valeur de l énergie d acivaion uilisés pour simuler les données ; les écars éan dus au nombre limié de ces dernières. Jeu de données (Weibull + Arrhenius) Simulaion Bêa : 2 473 298 Sigma : 500 Gamma : 0 Durée Tempéraure Ea : 0,7 619 298 k : 8,617E-05 199 298 559 298 Loi de probabilié : WEIBULL (2 paramères) Ea : 0,72159074 Bêa : 1,94571269 Sigma : 532,555826-476,227426 Covariables -476,227426 618,839735 298 1 618,839735 0,00421101 0,26202257 0,00110338-6,80937715 199,169816 298 1 199,169816 0,00144132 0,86282929 0,00124361-6,68973455 558,550142 298 1 558,550142 0,00382197 0,33381736 0,00127584-6,66415115 418,323181 298 1 418,323181 0,00290772 0,53517995 0,00155615-6,46553829 Ouverure des fichiers Excel par double clic de souris sur les icônes : Données Weibull Weibull Une loi de Weibull à 3 paramères (γ 0) n apparaî pas compaible avec le modèle Sandard de Vie Accélérée car le faceur d échelle σ s applique à -γ e la faceur d accéléraion A F à. 3.1 Loi Normale Réalisé ci-après, l ajusemen perme à nouveau de rerouver les paramères de la loi normale ainsi que la valeur de l énergie d acivaion. Jeu de données (Normale + Arrhenius) Simulaion m : 10 13 298 Sigma : 2 Ea : 0,7 Durée Tempéraure k : 8,617E-05 12,75 298 11,25 298 10,84 298
Loi de probabilié : NORMALE Ea : 0,69077915 m : 10,0331725 sigma : 1,84390415 4,82126419 Covariables 4,82126419 12,7499909 298 1 12,7499909 1,03914748 0,07032091 0,0730738-2,61628542 11,2530716 298 1 11,2530716 0,68405519 0,25411858 0,17383113-1,74967096 10,8425566 298 1 10,8425566 0,59478487 0,33034845 0,19648626-1,62716279 Données Normale Normale Le sress a un effe sur les 2 paramères de la loi normale. La loi normale de référence de paramères m e σ se ransforme en une loi normale de paramère m/a F e σ/a F par l effe du sress comme l illusre la figure ci-après. f() Loi sous sress Loi de référence (m-σ)/a F m/a F (m+σ)/a F m-σ m m+σ 3.1 Loi Lognormale Réalisé ci-après, l ajusemen ne perme pas de rerouver la valeur de l énergie d acivaion qui a endance à augmener e se bloquer à sa borne supérieure (1,2), conrairemen aux paramères de la loi lognormale que l on peu rerouver si on fige l énergie d acivaion à sa valeur iniiale (0,7). Jeu de données (Lognormale + Arrhenius) Simulaion a : 10 49699 298 b : 2 Ea : 0,7 Durée Tempéraure k : 8,617E-05 319585 298 500785 298 8581 298
Loi de probabilié : LOGNORMALE Ea : 1,2 m : 11,864022 sigma : 2,49659672 128,971018 Covariables 128,971018 514154,429 298 1 514154,429 0,46151574 0,30320517 0,13993396-1,96658468 6691,03029 298 1 6691,03029 0,08494995 0,88949847 0,07556285-2,58279051 12732,3825 298 1 12732,3825 0,12028364 0,83301857 0,1001985-2,30060201 Loi de probabilié : LOGNORMALE Ea : 0,7 m : 10,3595187 sigma : 2,05554554-3,35070088 Covariables -3,35070088 514154,429 298 1 514154,429 0,88468203 0,08728368 0,0772183-2,56111881 6691,03029 298 1 6691,03029 0,18845113 0,77473818 0,14600029-1,92414669 12732,3825 298 1 12732,3825 0,26253678 0,67059056 0,17605469-1,73696061 Données Lognormale Lognormale Comme la loi de Weibull à 3 paramères, la loi lognormale n apparaî pas compaible avec le modèle Sandard de Vie Accélérée. En effe différens sress ransformen cee loi en une somme de plusieurs lois normales en échelle logarimique e donc en une loi qui n es plus une lognormale. f() Loi sous sress Loi de référence /A F ln() ln(a F ) a-b-ln(a F ) a-ln(a F ) a+b-ln(a F ) a-b a a+b ln()