Étude des crcuts lnéares en régme contnu PS 2016 2017 Objet du chaptre : donner des outls pour détermner l état électrque d un crcut : potentels des dfférents nœuds par rapport à un nœud chos comme référence (masse), ntenstés dans les dfférentes branches. adre du chaptre : on étudera c des crcuts lnéares (ne contenant que des composants lnéares) et en régme contnu mas certans résultats seront généralsés au régme snusoïdal forcé dans le cadre de l AQS f. E 5. Exemple : on veut détermner dans ou à ses bornes dans le crcut suvant. 2 E 3 D A 3 5 ¹ ¹ 4 E 2 B 1 Los de Krchhoff et lo des nœuds en terme de potentels Les los de Krchhoff sont valables dans le cadre de l AQS donc en régme contnu. 1. Los de Krchhoff Méthode 1. Sur chaque branche du crcut, on chost arbtrarement un sens pour le courant. 2. On écrt alors drectement sur le crcut la lo des nœuds en chaque nœud (on ntrodut ans les nconnues k ). 3. On orente arbtrarement pus on écrt la lo des malles dans autant de malles qu l le faut pour obtenr autant d équatons que d nconnues (los des malles en terme de courants) en utlsant les relatons consttutves sans erreur de conventon. emarque : s on trouve un courant négatf dans une branche, le courant crcule en réalté en sens contrare. Exemple : reprenons le crcut présenté plus haut : Los des nœuds : on lmte au maxmum le nombre d nconnues (les courants c). A E 3 3 1 2 D 2 + 1 5 ¹ ¹ E 2 2 3 1 2 1 4 1 B 1 1
On a ntrodut 3 nconnues, l faudra donc écrre tros los des malles. Los des malles avec 3 malles ndépendantes : 1 1 1 2 E 2 2 2 5 ( 2 + 1 ) 3 3 ( 1 ) + E 3 5 ( 2 + 1 ) 4 ( 1 ) + Système de 3 équatons à 3 nconnues dont on dédut pus =. Avantages et nconvénents Mse en équaton asé (systématque) utlsaton de l nformatque. Donne la valeur de toutes les ntenstés, même celles dont on n a pas beson. alculs lourds (longs et rsques d erreurs). 2. Lo des nœuds en terme de potentels : LNTP Prncpe : au leu de fare apparaître les ntenstés dans les équatons, on travalle sur les potentels. ec rédut en général le nombre d équatons. Le potentel des nœud est détermné par rapport à cec d un nœud de référence du crcut (la masse s elle est présente sur le dessn, snon prendre un pont comme masse). Méthode : on exprme le courant k dans chaque branche k en foncton de la dfférence de potentel entre deux nœuds, des résstances, des fem et cem. Exemple : toujours avec le même crcut, chosssons le nœud comme référence : on pose V. A 2 E 3 3 D 3 5 5 2 V ¹ ¹ D 1 4 4 E 2 B este à détermner V A, V B et V D pus = D = V D V = V D On écrt les los des nœuds pus on exprme les ntenstés en terme de potentels. Lo des nœuds en A : 2 + 3 5 avec V B V A = E 2 + 2 2, V D V A = 3 3 E 3 et V B V A = 5 5 d où 1 V B V A + E 2 + V D V A + E 3 + V B V A 2 3 5 PS 2016 2017 Page 2/??
Lo des nœuds en B : 5 2 4 sot On aura toujours une forme du type : Lo des nœuds en : + 4 1 sot V A V B + V A V B E 2 + 0 V B 5 2 4 vers le nœud = V bout de la branche V nœud ± E sur la branche branche V D 0 + V B 0 4 + V D 0 1 Système de tros équatons à tros nconnues avec = V D pus = V D. Généralsaton à chaque nœud, on aura une relaton du type n branches V bout de la branche V nœud ± E sur la branche branche ± = +s Evers le nœud et snon as partculers : S l y a seulement un générateur de tenson entre deux nœuds, la dfférence de potentels est connue. S par exemple 2 dans le crcut précédent, l équaton devent V A V B = AB = E 2. De même s la branche content un générateur de courant, le courant est connu. 2 (2) η 2» 2 º η 1 Exemple : lo des Noeuds en N 1 + 2 + 3 + 4 avec E 3 1 = η 1 2 = η 2 + V 2 V N 3 (3) 3 1 2 (1) N 4 3 = V 3 V N + E 3 et 4 = V 4 V N E 4 3 4 η 1 η 2 + V 2 V N 2 + V 3 V N + E 3 3 + V 4 V N E 4 4 ¹ E 4 4 (4) Quelques outls pour évter les calculs 1. Smplfcaton du crcut Attenton : est la premère chose à fare!! Avant tout calcul, l faut essayer de smplfer le crcut en se servant des assocatons de résstance (ou d autres dpôles plus tard). Attenton toutefos à ne pas fare dsparatre les grandeurs que l on cherche à mesurer. PS 2016 2017 Page 3/??
2. Lo de Poullet Applcable à un crcut à une malle qu ne content que des générateurs de tenson et des résstors. Exemple : calculons la valeur de l ntensté qu crcule dans le crcut c-dessous avec = 5 V; E 2 = 4 V; E 3.7 V; r 1 = r 2 = 2.5 Ω; r 3 = 5 Ω en fasant l hypothèse que crcule dans le sens ant trgonométrque : (,r 1 ) (E 3,r 3 ) ¹ (E 2,r 2 ) E 2 r 1 r 2 E 3 r 3 ¹ = E T T avec E T = E 2 E 3 et T = + + r 1 + r 2 + r 3 Applcaton numérque : = 5 4 0.7.3 10+10+2.5+2.5+5 30 = 10 ma E T T ¹ Généralsaton : Dans un crcut à une malle, la lo de Poullet mplque = ± ± E 2 ± ± E n 1 + 2 + + n avec { ± = + s la f.e.m. Ek est orentée dans le même sens que ± = snon emarques : s on avat chos dans l autre sens, on aurat obtenu 10 ma. Mesure expérmentale de l ntensté du courant dans un crcut, défaut de l ampèremètre E mesuré Ä mesuré A ¹ E ¹ E ¹ S on place un ampèremètre réel dans le crcut, comme l n est pas déal l comporte une résstance d entrée A et cela perturbe la mesure. En effet, mesuré = E + A = E sauf s A nulle (ampèremètre déal). En pratque, les ampèremètres ont une résstance de quelques Ω. 3. Ponts dvseurs 3.a. Pont dvseur de tenson Défnton : on a un pont dvseur de tenson s l ntensté du courant est la même dans les dfférents résstors (assocaton sére). u 1 1 2 u 2 ÜÝÞ k 1 u k ÜÝÞ n 2 u n k u n PS 2016 2017 Page 4/??
u k = k k = k et u = k u k = k k d où u k = Exemples : k nk=1 k u rcut à deux résstors : 1 = ( 1 + 2 ) = 1 2 2 2 1 + 2 et 2 = 2 d où eq 2 = 2 1 + 2 et de même 1 = 1 1 + 2 On peut vérfer que 1 + 2 =. Dans notre crcut, pour le derner schéma, = + Th E Th. rcut plus complexe : détermner en foncton de et On a équvaut à = + = 2 mas + = + avec = 2 + 2 = 2 3 = car, toutefos, 2 3(2/3 + ) = 2 5 et enfn = 5 Mesure expérmentale de la tenson aux bornes d un résstor, défaut du voltmètre ¹ E ¹ E V mesuré ¹ E V mesuré S on place un voltmètre réel dans le crcut, comme l n est pas déal l comporte une résstance d entrée V et cela perturbe la mesure. En effet, en posant éq = V + V, mesuré = éq.e T + éq = E sauf s 2 V tend vers l nfn (voltmètre déal). En pratque, les voltmètres ont une résstance de l ordre du MΩ PS 2016 2017 Page 5/??
3.b. Pont dvseur de courant Défnton : on a un dvseur de courant s la tenson est la même aux bornes des dfférents résstors (résstors en parallèle ). ÜÝÝÝÝÝ ÜÝÝÝÝÝ Þ Þ 1 2 k n 1 ÜÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝ 2 k Þ n eq k = k = G k, et G eq = = k G k k d où k = Exemples : G k nk=1 G k eprenons le crcut où je vous a montré la smplfcaton, sur l avant dernère fgure : = G η G T h +G N = T h η T h + N D Th» η N D Th» η N V V D Th» η N S on place un voltmètre pour mesurer aux bornes de, comme l n est pas parfat, une ntensté V le traverse. On a alors G = V = G+G Th +G V η Th la présence du voltmètre perturbe le crcut, sauf s V. Le voltmètre mesure mesuré =.. V V oncluson : comment aborder un crcut électrque? Généralement, la méthode à suvre est la suvante : 1. Smplfer le crcut : En utlsant les los d assocaton des dpôles (f. ) autant de fos que nécessare. 2. hox de la méthode : Penser aux dvseurs de tenson et de courant pour les cas smples (très fréquent). Pour un crcut sére, écrre la lo des malles ou la lo de Poullet. S le crcut comporte beaucoup de nœuds, préférer la lo des nœuds en terme de potentels. 3. tlsaton de ces méthodes : Elles sont applcables à des réseaux lnéares en régme contnu. PS 2016 2017 Page 6/??
Table des matères PS 2016 2017 Lycée Poncaré