Cours Méthode des dfférences fnes Approche statonnare Technque de dscrétsaton en D Constructon du système Prse en compte des condtons aux lmtes Noton de convergence Extenson au D Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC
Méthode des dfférences fnes Objectf : transformer une équaton «contnue» valable sur un domane contnu en un système à N équatons pour N nconnues assocées à un domane dscret appelé mallage u u Lu (,,...) + f= 0 x x +condtonsaux lmtes 3 u f u = f 3 3 3 33 u 3 f 3 Méthode : écrre sous forme dscrète (-,, + ) tous les termes de dérvées présents dans l équaton d équlbre applquée en ans que dans les C.L. Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC
Dfférences fnes D : méthode générale ( ) dt x [ ] Reprenons l exemple de thermque D rég par : + f = 0, x 0, L dx T( x = 0) = 30 dt q( L) = ( L) = h T( L) Text dx. On dscrétse le domane en «N» nœuds (mallage) : ( ) A domane dscret, équaton «dscrète»!. On applque alors cette équaton au nœud : dt + f 0,..., = = N dx A ce stade, l nous faut donc dscrétser le terme de dérvée seconde! Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 3
Dscrétsaton des termes de dérvées Utlsaton des développements lmtés : notaton ndcelle 3 3 dt d T d T 4 T( x+ x) = T( + ) = T( ) + x+ + + (...) () dx dx dx 6 On combne ces deux équatons. Par exemple, la somme de () et de () : dt T permet d soler : ( + ) T( ) + T( ) dx 3 3 3 dt d T d T 4 T( x ) = T( ) = T( ) x+ + (...) () dx dx dx 6 3 4 ( + ) + ( ) = ( ) + + x (...) () + ( ) T T T dt dx = + (...) représentatf de l ordre de tous les termes tronqués Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 4
Prncpales formes dscrètes à connaître En combnant de dfférentes manères, on obtent ans les approxmatons dscrètes suvantes : Précson du schéma () () dt dx dt dx T+ T T T T T + T dt dx (...) (...) + () + ( ) + (...) dt dx T + () ( ) + (...) T + + Décentré drot Décentré gauche Centré Centré Nouvelle notaton : T(+)=T + Termes tronqués Type Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 5
Interprétaton graphque Dscrétsaton centrée : relaton dans laquelle les contrbutons des valeurs nodales de part et d'autre du pont consdéré (noeud ) sont équvalentes. Dscrétsaton décentrée : relaton dans laquelle les contrbutons des valeurs nodales de part et d'autre du pont consdéré (noeud ) ne sont pas équvalentes. Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 6
Constructon globale du système La relaton dscrète fnalement obtenue s écrt : T T + T + + f = 0 ou encore : T T + T = f + Elle est applcable seulement aux nœuds =,, N- : = : T T + T = f = 3: T T + T = f M 3 3 4 3 = N : T T + T = f N N N ( N ) 0 0 0 0... 0 0 0 T 0 0... 0 0 0 T f 0... 0 0 0 T f 3 3 = M M M 0 0 0 0... T f x N N 0 0 0 0... 0 0 0 T 0 N Écrture sous forme matrcelle Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 7
Condton à la lmte de type DIRICHLET On a la condton suvante : T( x= 0) = T = 30 Méthode : on ajoute :. un terme unté sur la dagonale du nœud concerné. la valeur connue dans le nd membre 0 0 0... 0 0 0 T 30 0... 0 0 0 T f 0... 0 0 0 T f 3 3 = M M M 0 0 0 0... T f x N N 0 0 0 0... 0 0 0 T 0 N Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 8
Condton à la lmte de type CAUCHY (/) On a la condton suvante : avec noeud fctf! dt ( ) = = ( ) ( ) q L ( L) h T L Text dx Méthode : on dscrétse le terme de dérvée présent dans la condton à la lmte (auss appelée condton de type «flux»). Avec noeud fctf : plus long mas précs! TN+ TN = h( TN Text ) h T = T T T Verson 09/006 (E.L.) ( ) N + N N ext = N: T T + T = f h N N N ext T + T = f h T On applque la relaton d équlbre dscrète en N car le nœud N+ exste : N N N+ N NF04 - Automne - UTC 9
Condton à la lmte de type CAUCHY (/) sans noeud fctf! Sans noeud fctf : rapde mas perte en précson! On a recours à une formule décentrée pour la CL : T T = ( ) N N h TN Text (précs ordre ) condusant ans à : T h T h T N + N = ext + : rapde à mettre en oeuvre - : on dmnue la précson globale du schéma Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 0
Système fnal à résoudre 0 0 0... 0 0 0 30 T 0... 0 0 0 f T 0... 0 0 0 f x 3 T 3 M = M M 0 0 0 0... f x T 0 0 0 0... 0 + T f h T N N ext N N h x x x Rem : ce système est basé sur le tratement de la CL avec nœud fctf Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC
Affchage et post-tratement de la soluton Pour des systèmes de talles supéreures à 3-4, on a généralement recours à des outls nformatques dédés à la résoluton et l affchage. Apprentssage de l outl Matlab lors des séances TP de NF04 Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC
Pour résumer Maller le domane Dscrétser l équaton d équlbre et les condtons aux lmtes : En remplaçant toutes les dérvées par leur forme dscrète Construre le système global En applquant les équatons dscrètes sur les nœuds concernés Résoudre le système (vor TP et TD encadrés sous Matlab) Post-trater : Tracer la soluton Calculer les varables dérvées : flux (thermque), contrante (méca) Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 3
Fablté du modèle : noton de convergence Modèle mathématque (contnu) ( ) dt x + f = 0 dx Modèle numérque (algébrque) T T + T + + f = 0 Erreur ntrodute en néglgeant les termes des développements lmtés à partr d un certan ordre Queston : comment s assurer que l équaton dscrète est représentatve, en termes de phénomènes physques, de l équaton de départ? Méca. Flu., thermque : transport, dffuson MMC : tracton, flexon, dynamque Idée : le comportement du modèle numérque dot converger vers le comportement du modèle mathématque (censé être proche du réel ). Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 4
Noton de convergence Méthode : s assurer de la proprété de CONVERGENCE de l équaton dscrète. Théorème de LAX : Convergence = consstance + stablté Comportement numérque proche du «réel» Absence d oscllatons parastes Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 5
Noton de consstance Défnton : on appelle erreur de troncature τ, l ensemble des termes néglgés dans les développements lmtés lors de l obtenton d une équaton (ou schéma) dscrète Il est en effet possble d écrre : Équaton contnue = Équaton dscrète + τ Défnton : un schéma est dt consstant s son erreur de troncature tend vers 0 lorsque le pas tend vers 0 lm τ = x 0 0 Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 6
Exemple de calcul de l erreur de troncature Consdérons les développements lmtés suvants : 3 3 4 4 dt dt dt dt T+ = T + x+ + + + dx dx dx 6 dx 4 3 4 3 3 4 4 dt dt dt dt T = T x+ + dx dx dx 6 dx 4 3 4 5 5 (...) (...) T T + T = f + que l on njecte dans l équaton dscrète. Ce qu condut à : sot : Concluson : le schéma est ben consstant avec l équaton de départ Remarque : la soluton par dfférences fnes sera mathématquement exacte dans ce cas précs. La soluton math. est quadratque d où τ = 0! Verson 09/006 (E.L.) 4 4 dt + + + = 4 dx dt f x... 0 dx 443 44 444443 Equaton contnue en 4 4 dt dt x x + + x 6 (...) = f dx dx Erreur de troncature NF04 - Automne - UTC 7
Effets «vsbles» de l erreur de troncature Le comportement graphque de la soluton est un ndcateur des effets de l erreur de troncature Le schéma est dt DISPERSIF s des dérvées mpares apparassent. Effets néfastes pouvant entraîner l nstablté des résultats Le schéma est dt DIFFUSIF s des dérvées pares apparassent. Effets bénéfques mas pouvant dmnuer la précson des résultats Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 8
«Noton» sur la stablté d un schéma Défnton : la stablté est la proprété de contrôler toute perturbaton (numérque dans notre cas) ntrodute de manère accdentelle. Un schéma est dt STABLE s la perturbaton dmnue ou meux, dsparaît. Un schéma est dt INSTABLE s la perturbaton augmente. Concrètement, apparton d oscllatons parastes (changement du sgne de la pente d un nœud à l autre). Verson 09/006 (E.L.) (L étude de la stablté sera développée ultéreurement.) NF04 - Automne - UTC 9
Extenson à dmensons (D) Thermque : exemple d une plaque rectangulare soumses à dfférentes condtons aux lmtes. Défnton du contour du domane et génératon d un mallage quadrllé : r r qn= h( T T ) W m Cauchy. ext / ( ) [ ] T = T0 K ( Drchlet) y r r qn. = ϕ W / m ( Neumann) Rem : qn r. r est le flux normal à la paro (normale vers l extéreur) Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC 0
Dfférences fnes D : Txy, Tj, = L équaton de la chaleur D est la suvante : La lo de comportement est : Inserton de éq.() dans éq.() : r r. q f = 0, x, y S () { ( ) Dvergence r q { = gradt = T( x y) Flux thermque (, ) T( x, y) uuuuur T x y + f 0, x 0, L + = x y r [ ], () T x T T + T +, j, j +, j x, j x (...) T y T T + T +, j, j, j + y, j y (...) Verson 09/006 (E.L.) T, j T, j+ T+, j T, j T, j+ T, j+ + f +, j= 0, y =,..., N, j =,..., M NF04 - Automne - UTC
Constructon du système Balayer les lgnes les unes après les autres et applquer l équaton dscrète s possble Applquer les condtons aux lmtes dscrètes Résoudre et post-trater les solutons T, T, T,3 K = F M TNM, TNM, Verson 09/006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC