SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES Cours Première S Suites arithmétiues ) Défiitio par récurrece Défiitio : O dit u ue suite ( u ) est ue suite arithmétiue, s il existe u réel r tel ue pour tout etier aturel, o ait u = u r u Le réel r est appelé raiso de la suite ( ) Chaue terme est obteu e ajoutat au précédet u ombre fixe r, ui est la raiso de la suite u u u u 3 u 4 u 5 Remarue : Pour démotrer u ue suite est arithmétiue, o prouvera ue la différece u u est costate (c est-à-dire e déped pas de ) Cette costate est alors la raiso r de la suite Exemples : La suite des etiers aturels est ue suite arithmétiue de raiso La suite des etiers aturels impairs est ue suite arithmétiue de raiso par = 3 7 Soit ( u ) la suite défiie u Pour tout de N, o a : ( ) ( ) Par coséuet, la suite ( ) u u = 3 7 3 7 = 3 3 7 3 7 = 3 u est ue suite arithmétiue de raiso 3 ) Défiitio par ue formule explicite Propriété : Soit ( u ) ue suite arithmétiue de premier terme u et de raiso r Alors, pour tout de N, u = u r Démostratio : Additioos membre à membre les égalités ci-dessous : u = u r u = u r O obtiet : ( u u u ) u = u ( u u u ) r u = u r Et après simplificatio : u = u r u = u r u la suite arithmétiue de premier terme u = 3 et de raiso r = Alors, pour tout etier aturel, u = 3 Exemple : Soit ( ) r r r r r r C Laié
Plus gééralemet : Propriété : Soit ( u ) ue suite arithmétiue de raiso r Alors, pour tous etiers aturels p et, u = u ( p ) r p Démostratio : Soit u le premier terme de cette suite Alors up = u pr et u = u r D où : p = ( u pr) ( u r) = pr r = ( p ) r 3) Applicatios a) Applicatio u u Soit ( u ) ue suite arithmétiue de raiso 3, de premier terme u O doe u 4 = 5 Calculer u u = u4 4 r = 5 4 3 = 3 O a ( ) Soit ( ) b) Applicatio u ue suite arithmétiue telle ue u 3 = 7 et u = 8 Détermier la raiso r u u3 3 r ; d où O a = ( ) 8 7 r = = 7 7 4) Mootoie Il est pas très difficile de déduire les résultats suivats : Propriété 3 : Soit ( u ) ue suite arithmétiue de raiso r Si r >, alors la suite ( u ) est strictemet croissate r, alors la suite ( ) r, alors la suite ( ) Si < Si = u est strictemet décroissate u est costate 5) Somme de termes cosécutifs a) Exemple Calculos la somme des premiers etiers aturels u, pour tout etier aturel, par u = Calculos la somme S = u u u = O peut écrire : S = 3 ( ) ( ) S = ( ) ( ) 3 E additioat membre à membre, o obtiet : S = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), fois ( ) C est-à-dire S = ( ) Par coséuet, S = O cosidère la suite ( ) C Laié
Joha Carl Friedrich Gauss (Source : Wikipédia) Carl Fiedrich Gauss (777-855), surommé «le price des mathématiues», publia dès 8 u importat ouvrage de théorie des ombres «Disuisitioes arithmeticae» Ue aecdote relate égalemet commet Gauss sait faire preuve d u talet remaruable pour le calcul metal Voulat occuper ses élèves, le professeur demade d effectuer des additios, plus exactemet d effectuer la somme des ombres de à Après très peu de temps, le jeue Gauss, alors âgé de as, impressioe so professeur e doat la répose correcte Propriété 4 : Soit ( ) b) Cas gééral u ue suite arithmétiue de premier terme u u u u u u = O a : ( ) Démostratio : O cosidère la suite arithmétiue ( ) Calculos la somme S = u u u O peut écrire : u de premier terme u et de raiso r ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) S = u u r u r u r u r S = u u r u r u r u r E additioat membre à membre, o obtiet : S = ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ), fois ( u u ) C est-à-dire S = ( u u ) Par coséuet, S = c) Applicatios Calculer la somme S =,5,5 S est la somme des termes d ue suite arithmétiue ( ) raiso r =,5 Alors, pour tout de N, u = u r =,5,5 Recherchos l etier tel ue u = :,5 5,5,5 =,5 =,5 = = = 3,5 5 Doc est le 4 ième terme de cette somme,5 Par coséuet, S = 4 =,5 = 5 u de premier terme u =,5 et de Remarue : Si a, b et c sot trois termes cosécutifs d ue suite arithmétiue, alors b = a c 3 C Laié
3 Suites géométriues ) Défiitio par récurrece Défiitio : O dit u ue suite ( u ) est ue suite géométriue, s il existe u réel tel ue pour tout etier aturel, o ait u = u u Le réel est appelé raiso de la suite ( ) Chaue terme est obteu e multipliat le précédet par u ombre fixe, appelé la raiso de la suite u u u u 3 u 4 u 5 Remarue : Pour démotrer u ue suite est géométriue, o prouvera ue le uotiet u est costat (c est-à-dire e déped pas de ) u Cette costate est alors la raiso de la suite Exemples : La suite des etiers aturels pairs est ue suite géométriue de raiso Soit ( ) u la suite défiie par u = 4 3 Pour tout de N, o a : Par coséuet, la suite ( ) u 4 3 = = 3 = 3 u 4 3 u est ue suite géométriue de raiso 3 ) Défiitio par ue formule explicite Propriété 5 : Soit ( u ) ue suite géométriue de premier terme u et de raiso Alors, pour tout de N, u = u Démostratio : Soit ( u ) ue suite géométriue de premier terme u et de raiso u u Puis = = ( ) = Alors, = u u u u Et aisi de proche e proche, car lorsu o aura établi ue pour l etier aturel p, u = p u, o e déduira ue Exemple : Soit ( ) p p u u E effet, ( ) = p p u = = = u u u p p u la suite géométriue de premier terme u = 7 et de raiso = 5 Alors, pour tout etier aturel, u = 7 5 Plus gééralemet : Propriété 6 : Soit ( u ) ue suite géométriue de raiso Alors, pour tous etiers aturels m et, u = u m m Démostratio : Soit u le premier terme de cette suite m u Alors u = u et u m = u D où : u = = m um u m p 4 C Laié
Par coséuet, u = u m m 3) Applicatios a) Applicatio Soit ( u ) ue suite géométriue de raiso, de premier terme u O doe u = 3 Calculer u O a 5 5 u = u = 3 = = 9 5 Soit ( ) b) Applicatio u ue suite arithmétiue telle ue u = 5 et u 8 = 3 Détermier la raiso O a 8 u8 = u ; d où u 3 = = = 64 u 5 6 8 Il y a doc deux valeurs possibles pour : et 4) Mootoie Propriété 7 : Soit ( ) premier terme u Si < < et < u ue suite géométriue de raiso ( état strictemet positive) et de u, alors la suite ( ) < < et u >, alors la suite ( ) > et u <, alors la suite ( ) > et u >, alors la suite ( ), alors la suite ( ) Si Si Si Si = u est strictemet croissate u est strictemet décroissate u est strictemet décroissate u est strictemet croissate u est costate Remarue : Si <, alors la suite est alterativemet positive puis égative 5) Somme de termes cosécutifs O cosidère la suite ( ) a) Exemple u, pour tout etier aturel, par u = (avec et ) Calculos la somme S = u u u = O peut écrire : S = 3 S = Par soustractio, o obtiet : S S = S = Par coséuet, S =, c est-à-dire ( ) 5 C Laié
b) Cas gééral Propriété 8 : Soit ( u ) ue suite géométriue de premier terme u O a : = u u u u Remarue : O l éoce égalemet de la faço suivate : «Pour calculer la somme de termes cosécutifs d ue suite géométriue de raiso, o appliue la formule suivate : de termes" S = "premier terme" "ombre» Calculer la somme c) Applicatios S = 4 4 S est la somme des termes d ue suite géométriue ( ) raiso =,5 u u,5 Alors, pour tout de N, = = ( ) Recherchos l etier tel ue u = 4 : 4 = Doc 4 est le ième terme de cette somme ( ) ( ( ) ),5 Par coséuet, S = =,5,5 u de premier terme u = et de Remarue : Si a, b et c sot trois termes cosécutifs d ue suite géométriue, alors b = ac Si trois ombres positifs a, b et c vérifiet b = ac, o dit ue b est la moyee géométriue de a et c 6 C Laié