eduscol Ressources pour le lycée gééral et techologique Ressources pour la classe de première géérale et techologique Statistiques et probabilités Ces documets peuvet être utilisés et modifiés libremet das le cadre des activités d'eseigemet scolaire, hors exploitatio commerciale. Toute reproductio totale ou partielle à d autres fis est soumise à ue autorisatio préalable du directeur gééral de l Eseigemet scolaire. La violatio de ces dispositios est passible des sactios édictées à l article L.335- du Code la propriété itellectuelle. jui 0 MENJVA/ eduscol.educatio.fr/prog
SOMMAIRE I. Itroductio... 3 II. Statistique descriptive, aalyse de doées... 4 III. Variables aléatoires discrètes... 5 IV. Utilisatio des arbres podérés... 7 A Exemple d expériece aléatoire à deux épreuves... 7 B Justificatio de l arbre des probabilités... 9 C Gééralisatio et exploitatio e Première... V. Loi géométrique troquée... 3 A Étude de la loi géométrique troquée... 3 Approche de la loi géométrique troquée... 3 Défiitio de la loi géométrique troquée... 4 Expressio de la loi géométrique troquée... 4 Algorithme de simulatio... 4 Représetatio graphique... 6 Espérace de la loi géométrique troquée... 7 B Exemples d activités... 9 Limitatio des aissaces... 9 Le paradoxe de Sait-Pétersbourg... VI. Loi biomiale... 5 A Défiitios... 5 Approche de la loi biomiale... 5 Défiitio de la loi biomiale... 7 Coefficiets biomiaux... 7 B Propriétés... 8 Expressio de la loi biomiale... 8 Propriétés des coefficiets biomiaux... 8 Représetatio graphique... 30 Espérace et écart-type... 3 C Exemples d activités... 35 Avec la loi de probabilité... 35 Avec l espérace mathématique... 37 VII. Échatilloage et prise de décisio... 38 A Itervalle de fluctuatio avec la loi biomiale... 38 B Aspect gééral de la prise de décisio avec la loi biomiale... 40 C Détermiatio de l itervalle de fluctuatio à l aide d u algorithme... 4 D Exemples d activités... 4 E Lie avec l itervalle de fluctuatio exploité e classe de Secode... 47 Aexe... 49 Couple d idicateurs et problèmes de miimisatio... 49 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
Aexe... 5 Loi faible des grads ombres... 5 Aexe 3... 5 Espérace de la loi géométrique troquée : approches expérimetales... 5 Aexe 4... 55 Loi géométrique... 55 Aexe 5... 57 Quelques outils de calcul avec la loi biomiale... 57 Aexe 6... 60 Coefficiets biomiaux et quadrillage... 60 Aexe 7... 66 Complémets sur la prise de décisio... 66 A L affaire Wobur... 66 B Radioactivité ou bruit de fod?... 7 C Cartes de cotrôle... 73 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
I. INTRODUCTION La place des probabilités et des statistiques das l eseigemet des mathématiques e collège et e lycée s est cosidérablemet accrue depuis ces derières aées. Pour les élèves etrat e classe de première, l appretissage des probabilités débute désormais dès la classe de troisième. Au collège, l objectif de cet eseigemet est de développer ue réflexio sur l aléatoire e gééral et de sesibiliser les élèves au fait que les situatios aléatoires peuvet faire l objet d u traitemet mathématique. U vocabulaire spécifique est itroduit et quelques règles du calcul des probabilités sot mises e place. La Secode est l occasio pour l élève d approfodir la formalisatio de ces otios e dégageat otammet la otio de modèle probabiliste, et d être sesibilisé, à travers des situatios de prise de décisio ou d estimatio d ue proportio, aux premiers élémets de statistique iféretielle comme la otio d itervalle de fluctuatio et celle d itervalle de cofiace, itroduites sous des coditios de validité qui les redet rapidemet opératioelles. Avec la otio de variable aléatoire et la découverte de la loi biomiale, le programme de Première fourit les outils mathématiques qui permettet, e preat appui sur la réflexio iitiée e Secode autour de la prise de décisio, de costruire u itervalle de fluctuatio et d établir ue démarche de prise de décisio valables e toute gééralité pour ue proportio et ue taille d échatillo quelcoques. Ce thème se prête e particulier à la mise e œuvre d algorithmes et de raisoemets logiques et, au-delà, à ue adaptatio de ces raisoemets au domaie de l aléatoire et de l icertai. E Termiale, la problématique de prise de décisio sera travaillée à ouveau, et la réflexio iitiée e Secode sur l estimatio sera approfodie avec l itroductio d outils mathématiques supplémetaires. Das ce documet ressource, le professeur trouvera des complémets théoriques et u esemble de situatios développées das le cadre du programme officiel. L accet est surtout mis sur les otios ouvelles par rapport aux précédets programmes de Première : répétitio d expérieces idetiques et idépedates, loi géométrique troquée, loi biomiale, échatilloage et prise de décisio avec la loi biomiale. Les exemples d applicatio ot été choisis pour motrer la variété, la richesse et l actualité des applicatios possibles des probabilités et de la statistique. Ils e prétedet pas à l exhaustivité et e sot pas coçus comme des activités pédagogiques «clé e mai», tout comme le pla adopté pour les exposer e se veut pas ue progressio pédagogique. Ces situatios viset plutôt à ouvrir des pistes de travail susceptibles d être exploitées par le professeur ; c est pourquoi elles sot traitées de faço suffisammet détaillée afi de permettre au professeur de s e ispirer pour élaborer, à partir de la coaissace de sa classe et de sa pratique professioelle, des activités pédagogiques ajustées au iveau de ses élèves. Efi les poits présetés das les aexes du documet e sot pas des attedus du programme. Ils doivet être cosidérés comme des complémets d iformatio à l attetio du professeur sur les otios itroduites. Ils permettet de mieux situer le cadre mathématique plus gééral das lequel s iscrivet les otios au programme. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 3 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
II. STATISTIQUE DESCRIPTIVE, ANALYSE DE DONNEES L étude et la comparaiso de séries statistiques meées e classe de secode se poursuivet avec la mise e place de ouveaux outils. Das u premier temps, les caractéristiques de dispersio (variace, écarttype) sot détermiées à l aide de la calculatrice ou d u tableur. Afi d utiliser de faço appropriée les deux couples d idicateurs usuels (moyee/écart-type et médiae/écart iterquartile) qui permettet de résumer ue série statistique, il semble utile de rappeler le lie etre ces couples (positio/dispersio) et u problème de miimisatio (voir aexe ). Il coviet aussi de rappeler que l utilisateur d u outil statistique doit predre e compte la situatio réelle et les objectifs visés pour effectuer le choix des idicateurs de faço pertiete. Les exemples de séries statistiques amèet à utiliser l u des deux couples à otre dispositio. Ils suscitet ue réflexio sur le choix d u résumé statistique. Das les exemples proposés e classe, il est importat de faire remarquer que deux séries de même écart-type (et de même moyee et médiae) peuvet avoir ue distributio très différete. C est alors l occasio de rappeler l itérêt d u graphique, qui peut être plus «parlat» qu u simple résumé umérique. Il existe pas de règle (au ses mathématique) qui idiquerait quel type d idicateur statistique utiliser par rapport à ue situatio doée. Le choix des idicateurs déped de ce qu o veut e faire et de la réalité de la situatio. O peut juste proposer quelques remarques qui coduiset à privilégier tel couple plus que tel autre. Le couple (médiae, écart iterquartile), sas apporter les mêmes reseigemets que le couple (moyee, écart-type), est peu sesible aux valeurs extrêmes. Das de ombreux domaies il est privilégié et souvet associé à ue représetatio graphique e boîte à moustaches. De maière géérale, la moyee arithmétique est peu sigificative quad l ifluece des valeurs extrêmes est trop forte. Quat à la médiae, elle e se prête pas aux calculs algébriques, c est pourquoi, das le cas où la série statistique est formée de divers sous-esembles homogèes, o lui préfère la moyee. Le diagramme e boîte (ou boîte à moustaches) est ue représetatio graphique qui permet d avoir ue boe visio d ue série statistique. E effet, beaucoup d iformatios sot dispoibles sur ce diagramme (médiae, écart iterquartile et valeurs extrêmes), ce qui e fait u très bo outil pour comparer deux séries statistiques. Il faut oter qu il existe pas de défiitio commue (au ses mathématiques du terme) du diagramme e boîte, mais il semble assez répadu d utiliser les covetios suivates : la «boîte» est u rectagle limité par le premier et le troisième quartile où figure la médiae ; les «moustaches» e revache peuvet s achever aux valeurs extrêmes (le miimum et le maximum de la série) ou aux premier et euvième déciles. D autres covetios sot quelquefois utilisées. O obtiet alors u diagramme comme suit : x mi Q Me Q 3 x max 5 % 50 % 75 % Au-delà de la réalisatio d u diagramme e boîte, il est surtout importat de savoir iterpréter et d utiliser ces diagrammes pour des comparaisos pertietes de deux séries statistiques. Défiitio du décile D : pour k de l à 9, le k e décile oté D est la plus petite valeur d ue série statistique telle qu au k mois (k 0) % des valeurs de la série sot iférieures ou égales à. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 4 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/ k D k
III. VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES Afi d iterpréter l espérace comme la valeur moyee das le cas d u grad ombre de répétitios, o cosidère l expériece aléatoire cosistat à lacer u dé supposé équilibré à six faces et à oter le uméro observé. O cosidère esuite la variable aléatoire discrète otée X qui pred la valeur si o observe, la valeur si o observe, 3 ou 4 et efi la valeur 4 si o observe 5 ou 6. So espérace est E( X ) P( X ) P( X ) 4 P( X 4) / 6 (/ 6 / 6 / 6) 4 (/ 6 / 6) 5 / 6, soit E( X ),5. À l aide d ue simulatio, o répète u grad ombre de fois cette expériece aléatoire à l idetique et o peut aisi observer u grad ombre de réalisatios de la variable aléatoire X. Le graphique suivat motre l évolutio de la moyee observée e foctio du ombre de répétitios. 3,40 Moyee observée et espérace de X 3,0 3,00,80,60,40,0,00,80 0 00 400 600 800 000 Valeur de O remarque que les moyees observées se stabiliset autour de l espérace mathématique de la variable aléatoire X. O peut aussi représeter l évolutio de la variace des observatios et remarquer que lorsque le ombre de lacers augmete, la variace observée se stabilise vers la variace de la variable aléatoire X qui vaut,5. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 5 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
,80 Variace observée et variace de X,60,40,0,00 0,80 0,60 0 00 400 600 800 000 Valeur de Ces observatios costituet ue approche heuristique de la loi des grads ombres. Celle-ci permet de justifier le phéomèe de stabilisatio des fréqueces autour de la probabilité d u évéemet. Plus gééralemet, o se place das u modèle probabiliste ; o cosidère u évéemet A de probabilité P(A) et la variable aléatoire X qui pred la valeur si o observe A et 0 sio. La variable aléatoire X suit la loi de Beroulli de paramètre p qui est égale à P(A). Ue simulatio permet d observer le phéomèe de stabilisatio de la suite des fréqueces 3 observées f de réalisatio de l évéemet A, lors de répétitios de la même expériece aléatoire, vers l espérace de X qui est égale à P(A). La simulatio qui a doé le graphique suivat a été réalisée pour u évéemet A de probabilité p=/3. U éocé et ue preuve de la loi faible des grads ombres sot proposés das l aexe. 3 Ces fréqueces peuvet être iterprétées comme des moyees, c est-à-dire la moyee des valeurs observées. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 6 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
0,50 Fréquece observée et probabilité de A 0,40 0,30 0,0 0,0 0 00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 Valeur de Aisi le phéomèe de stabilisatio (expressio du registre du lagage courat pour dire qu ue suite de réels coverge) est l illustratio de la loi des grads ombres et ce «phéomèe» est justifiable que lorsque le modèle probabiliste est doé. IV. UTILISATION DES ARBRES PONDERES A EXEMPLE D EXPERIENCE ALEATOIRE A DEUX EPREUVES O se doe : ue ure coteat quatre boules idistiguables au toucher dot trois boules bleues, otées b, b et b 3, portat respectivemet les uméros, et 3, et ue boule rouge uique, otée r. u jeu de six cartes idetiques portat chacue u chiffre e couleur : ue carte avec u chiffre e vert, ue carte avec u chiffre e rouge, ue carte avec u chiffre e bleu, ue carte avec u chiffre e vert, ue carte avec u chiffre 3 e rouge, ue carte avec u chiffre 3 e bleu. O cosidère l expériece aléatoire suivate : o prélève de faço équiprobable ue boule das l ure puis ue carte du jeu. O ote, das l ordre, la couleur de la boule extraite et le uméro iscrit sur la carte. O rappelle qu u modèle associé à cette expériece aléatoire est défii par la doée : de l esemble Ω de toutes les issues possibles de l expériece ; d ue probabilité P détermiée par ses valeurs pour chacu des évéemets élémetaires défiis par ces issues. La liste de toutes les issues possibles peut être trouvée e utilisat l arbre des possibles ci-dessous. Les issues possibles pour cette expériece aléatoires sot les couples (R,) ; (R,) ; (R,3) ; (B,) ; (B,) ; (B,3) où B désige la couleur «Bleu» et R la couleur «Rouge». Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 7 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
R 3 (R, (R, (R, B Figure 3 (B, (B, (B, Ue fois les issues toutes idetifiées, il s agit de trouver la probabilité des évéemets élémetaires détermiés par chacue des issues. Il est clair que l équiprobabilité est pas ue répose possible. E effet, o a des raisos de peser que la couleur «Bleu» sera plus probable que la couleur «Rouge» et que le chiffre a plus de chaces de sortir que les autres ; e coséquece, l issue (B,) a plus de chaces de sortir que l issue (R,). Pour affecter ue probabilité à chacue des issues, ous allos cosidérer u autre modèle (qualifié par la suite de modèle itermédiaire) qui pred e compte, pour la boule extraite, sa couleur et aussi so uméro évetuel, et pour la carte, le chiffre metioé mais aussi sa couleur. O peut receser tous les résultats par l arbre représetat les issues possibles ci-après. (r, ) r (r, ) (r, ) (r, ) Figure 3 (r, 3) 3 (r, 3) (b ) (b ) (b ) b (b ) 3 (b 3) 3 (b 3) (b ) (b ) (b ) b (b ) 3 (b 3) 3 (b 3) (b 3 ) (b 3 ) (b 3 ) b 3 (b 3 ) 3 (b 3 3) 3 (b 3 3) Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 8 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
O obtiet 4 6 résultats possibles. O peut les oter de la faço suivate : (r,) ; (r,) ; (r,) ; (r,) ; (r,3) ; (r,3) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b,3) ; ( b,3) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b,3) ; ( b,3) ; (,) ; (,) ; (,) ; (,) ; (,3) ; (,3). b 3 b 3 b 3 b 3 b 3 b 3 Chaque brache de l arbre représete ue issue, et compte teu des coditios du tirage équiprobable de la boule, puis du tirage équiprobable de la carte, il y a pas de raiso de peser qu ue brache de l arbre ait plus de chaces d être parcourue qu ue autre. O peut doc cosidérer que chacue des issues précédetes a la même probabilité, égale à, d être réalisée. 4 Das le modèle itermédiaire, par exemple, l évéemet «Tirer ue boule bleue puis ue carte portat le chiffre» se représete mathématiquemet par le sous-esemble des issues {( b,) ; ( b,) ; ( b,) ; 9 ( b,) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b 3,) ; ( b 3,) ; ( b 3,)}. Par suite, la probabilité de cet évéemet sera égale à. 4 Reveat alors au premier modèle où l évéemet «Tirer ue boule bleue puis ue carte portat le chiffre 9» se représete mathématiquemet par l évéemet élémetaire {(B,)}, o predra pour la 4 probabilité d obteir l issue (B,). O peut faire de même pour les ciq autres issues : (R,) ; (R,3) ; (B,) ; (B,) ; (B,3). Ce qui coduit au tableau ci-dessous doat les probabilités affectées à chaque issue du premier modèle : ω (R,) (R,) (R,3) (B,) (B,) (B,3) P({ω}) B JUSTIFICATION DE L ARBRE DES PROBABILITES 4 3 4 4 Si o reviet à l arbre (cf. figure ) utilisé pour trouver toutes les issues possibles du modèle itermédiaire, o costate que cet arbre est très fastidieux à dessier. Das la mesure où o e s itéresse qu à la couleur de la boule et au chiffre iscrit sur la carte, o peut alléger sa costructio, moyeat quelques covetios de lecture, pour retrouver l arbre (cf. figure ) des issues possibles du premier modèle podéré par les probabilités et justifier la règle des produits de la faço suivate : Étape Partat de l arbre de la figure, das la mesure où o e s itéresse qu à la couleur de la boule (et o à so uméro évetuel) et qu au chiffre iscrit sur la carte (et o à sa couleur) o peut coveir de représeter chaque brache de l arbre de la figure aboutissat à la même couleur de boule, par ue seule brache compreat autat de traits parallèles qu il y a de boules physiques de cette même couleur. O procède de même e représetat chaque brache de l arbre de la figure aboutissat à u même chiffre de carte, par ue seule brache compreat autat de traits parallèles qu il y a de cartes physiques avec ce même chiffre iscrit avec des couleurs différetes. O obtiet aisi l arbre plus simple de la figure 3 ci-après qui cotiet cepedat autat de braches que celui de la figure tout se rapprochat de l allure de l arbre de la figure. 3 4 9 4 6 4 (R, Figure 3 R (R, 3 (R, (B, Miistère de l éducatio atioale, B de la jeuesse et de la vie associative (B, Mathématiques Première géérale et techologique Page 9 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/ 3 (B,
Étape O peut alors simplifier davatage l arbre de la figure 3, e représetat chaque brache par u seul trait podéré par le ombre de traits composat la brache correspodate das l arbre de la figure 3. O obtiet alors l arbre podéré de la figure 4 qui suit : (R, R 3 3 (R, (R, 3 3 (B, 3 B 3 (B, 3 3 3 (B, 3 Figure 4 O remarque alors que le produit des ombres recotrés le log d u chemi représetat ue issue du premier modèle est égal au ombre de chemis de l arbre de la figure qui réaliset l évéemet correspodat das le modèle itermédiaire. Aisi, pour l évéemet «Tirer ue boule bleue puis ue carte portat le chiffre», c est-à-dire (B, ), le produit 3 3 est égal au ombre de chemis das le modèle itermédiaire, soit 9. Étape 3 Cette étape cosiste à podérer chaque brache de l arbre, o plus avec le ombre de traits composat la brache correspodate das l arbre de la figure 3, mais avec le quotiet de ce ombre par le ombre total de braches d u même iveau. O obtiet aisi l arbre podéré suivat : 4 3 4 R B 6 6 6 6 3 6 3 6 3 3 (R (R (R (B (B (B 4 6 4 3 3 4 6 4 4 6 4 3 3 4 6 4 3 3 9 4 6 4 3 6 4 6 4 Figure 5 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 0 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
O remarque alors que le produit des quotiets affectés aux diverses braches d u chemi aboutissat à 3 3 ue issue doée du premier modèle, par exemple pour (B,) le produit, est égal à la probabilité, 4 6 9 das cet exemple, que cette issue se réalise. Cette remarque est valable pour toutes les braches de 4 l arbre. Au fial, o peut costater que l arbre de la figure 5 est rie d autre que l arbre de probabilités associé à l arbre des possibles de la figure. C GENERALISATION ET EXPLOITATION EN PREMIERE La méthode utilisée plus haut peut se gééraliser aisémet au cas de la successio de expérieces aléatoires. Cosidéros expérieces aléatoires, E, E, E3,, E, comportat chacue u ombre fii d issues (o écessairemet le même pour chaque expériece). Cosidéros l expériece aléatoire E obteue par la réalisatio successive (das cet ordre) de ces expérieces aléatoires. O peut alors dessier l arbre de probabilités de l expériece E dot chaque chemi représete ue issue 4 (idiquée e bout de brache) de l expériece E. La probabilité qu ue issue se réalise est égale au produit des probabilités recotrées le log du chemi représetat cette issue. E classe de Troisième et de Secode, o s est itéressé à la successio de deux expérieces (évetuellemet trois), pas écessairemet idetiques. Ces activités ot permis à l élève de se familiariser avec les arbres de probabilités costruits itégralemet. E Première, o s itéresse surtout à la répétitio d ue même expériece aléatoire, u certai ombre de fois. Cotrairemet aux classes précédetes, ce ombre peut alors être évetuellemet grad, otammet lorsqu il s agit de réivestir les arbres de probabilités das le cadre de la loi biomiale. U exemple d activité sur la répétitio d ue même expériece aléatoire à trois issues est proposé cidessous. Il permettra à l élève de réivestir ses coaissaces acquises das les classes précédetes et de le préparer à maipuler des arbres de probabilités, o écessairemet costruits itégralemet du fait du grad ombre de répétitios de la même expériece aléatoire, lorsqu il abordera l étude des propriétés des coefficiets biomiaux. La justificatio proposée précédemmet pour les règles de calcul sur les arbres e foctioe que pour des valeurs ratioelles des probabilités et l o admet que ces règles restet valables pour des valeurs réelles quelcoques. Exemple : répétitio d ue expériece à trois issues O fait tourer la roue de loterie présetée ci-cotre : o obtiet la couleur «Rouge» avec la probabilité 0,5, la couleur «Bleu» avec la probabilité 0,5 et la couleur «Blac» avec la probabilité 0,5. Esuite, o fait tourer ue deuxième fois, puis ue troisième fois la même roue das des coditios idetiques, et o ote les couleurs obteues. rouge bleu ) U joueur est gagat lorsqu il obtiet das cet ordre les couleurs «Bleu», «Blac», «Rouge». Quelle est la probabilité de gager à ce jeu? ) Quelle est la probabilité que le joueur obtiee das le désordre les couleurs «Bleu», «Blac», «Rouge»? La réalisatio d u arbre podéré permet de visualiser les calculs de probabilité demadés. Pour la première questio, il suffit de cosidérer le seul chemi Bleu-Blac-Rouge qui a doc pour probabilité 0,5 0,5 0,5. 4 Ue issue de l expériece E est ue suite (,,,. E k k,, ) où k est ue issue de l expériece Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
Pour la deuxième questio, il reste à cosidérer les 5 chemis qui comportet les trois couleurs das le désordre. La probabilité de chaque chemi est 0,5 0,5 0,5 doc la répose est 5 0,5 0,5 0,5. À travers cette activité o recotre aisi des chemis de même probabilité, situatio qui sera reprise au momet de l itroductio de la loi biomiale. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
V. LOI GEOMETRIQUE TRONQUEE Les situatios de répétitio d ue même expériece aléatoire, reproduite das des coditios idetiques costituet u élémet fort du programme de Première. L itroductio de la loi géométrique troquée présete de ombreux avatages : travailler des répétitios d ue expériece de Beroulli ; evisager ces répétitios sous l agle algorithmique ; préseter ue situatio d arbre pour lequel tous les chemis ot pas la même logueur ; exploiter hors de l aalyse les propriétés des suites géométriques ; exploiter hors du cadre habituel des résultats relatifs à la dérivatio ; travailler les variables aléatoires. A ÉTUDE DE LA LOI GEOMETRIQUE TRONQUEE Approche de la loi géométrique troquée La probabilité qu u atome se désitègre par uité de temps est 0,07. O décide d observer cette désitégratio e limitat le temps d attete à 00 uités de temps, et l o coviet de oter 0 lorsque, après 00 uités de temps, l atome est pas ecore désitégré. O distigue aisi cette situatio de la désitégratio lors de la 00 e uité de temps. O peut cocevoir u algorithme qui affiche ue série de 00 temps d attete avat la désitégratio, aisi que le temps moye d attete calculé à partir de ces 00 valeurs. O costate que les temps d attete avat désitégratio sot, idividuellemet, extrêmemet imprévisibles. E revache, la moyee sur 00 expérieces est relativemet stable avec des valeurs autour de 3, 4 ou 5. Il est doc sas doute itéressat d étudier de plus près la loi de la variable aléatoire «temps d attete». 00 00 O motre que l espérace de cette variable aléatoire vaut 8 0,93, soit eviro 4,. 7 O a relevé ci-dessous, sur tableur, 0 séries de 00 temps d attete. La moyee et l écart-type de chaque série sot affichés. Cela permet de costater combie la dispersio des valeurs idividuelles est grade alors que celle des moyees est petite. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 3 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
Défiitio de la loi géométrique troquée 0, Soit p u réel de l itervalle et u etier aturel o ul. O cosidère l expériece aléatoire qui cosiste à répéter das des coditios idetiques ue expériece de Beroulli de paramètre p avec au maximum répétitios et arrêt du processus au premier succès. O appelle loi géométrique troquée de paramètres et p la loi de la variable aléatoire X défiie par : - X 0 5 si aucu succès a été obteu ; - pour k, X k si le premier succès est obteu à l étape k. p E EEEE p E p p E S p p ES E S p S EES EEES p S S Expressio de la loi géométrique troquée L arbre permet de détermier la loi de la variable aléatoire X décrite ci-dessus, c est-à-dire la loi géométrique troquée de paramètres et p, où u etier aturel o ul et p u réel de l itervalle 0,. - si aucu succès a été obteu, X 0 et P ( X 0) ( p) ; - pour k, le premier succès est obteu à l étape k pour le chemi qui présete das l ordre k k échecs et u succès, d où : P( X k) ( p) p. O vérifie facilemet que P( X k) (exploitatio des sommes de suites géométriques). k 0 Algorithme de simulatio Le processus lié à la loi géométrique troquée est aisé à mettre e œuvre avec u algorithme. Il suffit de remarquer que l istructio et(nbraléat + p) géère u ombre aléatoire etier qui vaut avec la probabilité p, et 0 avec la probabilité p. 5 La covetio, X 0 si aucu succès a été obteu, permet d assurer les mêmes valeurs pour P( X k) et P( Y k) pour k, si X suit la loi géométrique troquée de paramètres et p, Y la loi géométrique troquée de paramètres et p, avec. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 4 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
E lagage aturel Etrées : valeur de valeur de p Iitialisatios : a pred la valeur 0 k pred la valeur 0 Traitemet : Tat que a 0 et k a pred la valeur et(nbraléat + p) k pred la valeur k Fi de la boucle "tat que" Sortie : Si a 0 Alors afficher message "X = " valeur de a Sio afficher message "X = " valeur de k Fi de l istructio coditioelle Avec ue calculatrice (modèle TI 84+) L istructio "et" se trouve das le catalogue. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 5 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
Avec le logiciel Algobox Avec le logiciel Scilab Il est possible de modifier cet algorithme pour obteir ue série de valeurs de la variable X (voir aexe 3). Grâce à ces doées, o peut alors visualiser ue représetatio graphique de la distributio de la loi géométrique troquée. Représetatio graphique Les diagrammes ci-dessous sot obteus pour des séries de 000 valeurs avec d ue part p = 0,3 et d autre part p = 0,8. Il est frappat de oter que lorsque deviet grad les histogrammes ot des allures semblables. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 6 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
L étude de l expressio de la loi géométrique troquée va permettre d expliquer e partie ces observatios. k La suite de terme gééral p( p) est décroissate, doc l allure géérale des diagrammes (hormis le bâto correspodat à k 0 ) se trouve cofirmée. Pour p 0,3, o obtiet e foctio de : P ( X 0) (0,7) k et pour k, P( X k) 0,3 (0,7). Il est facile de vérifier avec ue calculatrice que : k ( 0,7) 0,005 pour 4 et 0,3 (0,7) 0,005 pour k. Aisi, pour les diagrammes correspodat aux valeurs = 30 et = 60, il est pas surpreat de e voir figurer aucue réalisatio de la valeur 0. De même, les bâtos correspodat aux valeurs de k supérieures ou égales à 3 ot ue hauteur pratiquemet ulle. Pour p 0,8, o obtiet e foctio de : P ( X 0) (0,) k et pour k, P( X k) 0,8 (0,). k ( 0,) 0,00 pour 3 et 0,8 (0,) 0,0005 pour k 5. Les diagrammes correspodats sot compatibles avec ces valeurs seuil. E particulier, pour = 5, o observe pas de réalisatio de la valeur 0. Espérace de la loi géométrique troquée Au iveau de la classe de Première, la détermiatio de l espérace de la loi géométrique troquée de paramètres et p mobilise à la fois les suites géométriques et la dérivatio. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 7 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
Sas être exigible, cette activité peut faire l objet d u travail de recherche. Activité : Pour tout l exercice, X désige ue variable aléatoire de loi géométrique troquée de paramètres et p. O pose : q p. k k k Motrer que E( X ) p k( p) p kq p q 3q q. Soit f la foctio défiie sur l itervalle 0, par : f ( x) x x x. a. Pour tout réel x de l itervalle 0,, écrire f (x) sous la forme d u quotiet. k b. Vérifier que la foctio f est dérivable sur l itervalle 0, et calculer deux expressios différetes de f (x) pour tout réel x élémet de l itervalle 0,. c. E déduire le calcul de la somme x 3x x k x pour tout réel x de l itervalle 0,. Prouver l égalité E ( X ) ( p)( p). p k k Utiliser u outil umérique ou graphique pour émettre ue cojecture sur la limite de vers l ifii. E(X ) lorsque ted Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 8 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
Remarque : La limite de E(X ) semble être égale à (voir les illustratios e aexe 3). p Pour démotrer ce résultat, la pricipale difficulté est de calculer la limite e gééral u ( p). de la suite u ) de terme ( Pour cela, o peut cosidérer la suite ( v ) défiie par strictemet iférieur à. O obtiet la limite de la suite de limite ulle. B EXEMPLES D ACTIVITES Limitatio des aissaces ( u ) v u. Elle coverge vers p qui est u par comparaiso avec ue suite géométrique (D après Claudie ROBERT, Cotes et décomptes de la statistique, Éd. Vuibert. Voir aussi le documet ressource de 000 rédigé par Claudie ROBERT.) Éocé Pour limiter le ombre de filles das u pays (imagiaire?), o décide que : chaque famille aura au maximum 4 efats ; chaque famille arrêtera de procréer après la aissace d u garço. O cosidère que chaque efat a ue chace sur deux d être u garço ou ue fille et que, pour chaque couple de parets, le sexe d u efat est idépedat du sexe des précédets. Ce choix a-t-il la coséquece attedue, à savoir de dimiuer le ombre de filles das la populatio? Il est pas iitéressat de solliciter d abord ue répose a priori, c est ue faço d etrer das le problème et de motiver so étude. Simulatio de l expériece sur u tableur Les aissaces d ue famille se simulet sur ue lige. O passe facilemet à la simulatio pour 000 familles e recopiat les formules. O etre e A4 : =ENT(ALEA()+0,5) et e B4 : =SI(OU(A4=;A4="");"";A4+ENT(ALEA()+0,5)), que l o recopie jusqu à D4. O décompte le ombre d efats e E4 : =NB(A4:D4) et le ombre de garços e F4 : =NB.SI(A4:D4;). Il reste à recopier les formules de la lige 4 jusqu à la lige 003. Le calcul de N, G et P est alors immédiat. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 9 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
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La simulatio motre clairemet que la proportio de garços semble bie rester voisie de 0,5. La politique ataliste mise e place aurait doc aucu effet sur la modificatio de cette proportio. O observerait la même chose lorsque la probabilité de aissace d u garço est égale à p. Représetatio à l aide d u arbre Le traitemet mathématique à l aide de l arbre permet de valider les cojectures émises avec le tableur. / F famille FFFF Nombre total d efats N Nombre total de garços G Probabilité / F 4 0 /6 / F / / F G / / G famille FG G famille FFFG famille FFG 4 /6 3 /8 / G famille G /4 / 5 E ( N), 8 5 EG ( ), doc 6 E( G) E( N). Cette situatio peut se prêter à ue différeciatio pédagogique selo que l o evisage la valeur p 0, 5 ou p quelcoque, selo que l o s e tiee à 4 efats au plus ou que l o gééralise à efats au plus. Gééralisatio O cosidère l expériece aléatoire qui cosiste à répéter das des coditios idetiques ue expériece de Beroulli de paramètre p avec au maximum répétitios et arrêt du processus au premier succès. O ote toujours X la variable aléatoire qui représete le rag du er succès et qui vaut 0 si aucu succès a été obteu. La variable aléatoire X suit la loi géométrique troquée de paramètres et p. O cosidère les variables aléatoires A, ombre de succès et B, ombre d étapes du processus aléatoire. La loi de la variable aléatoire A est très simple, elle e pred que deux valeurs 0 et avec : P ( A 0) P( X 0) ( p) k P ( A ) P( X k) ( p) k L espérace de la variable aléatoire A est doc : E ( A) ( p). La variable aléatoire B pred des valeurs etre et avec : - pour k, P( B k) P( X k) ( p) p ; - pour k, P( B ) P( X 0) P( X ) ( p) ( p) p. L espérace de la variable aléatoire B est doc : k k Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page sur 75 www.eduscol.educatio.fr/ k E ( B) k p( p) p( p) ( p),
k soit E ( B) k p( p) ( p), ou ecore E ( B ) E( X ) ( p). k O obtiet après simplificatio E ( B) ( p). p Coclusio : si l o répète u grad ombre de fois ce processus de étapes au maximum (ceci quelle que soit la valeur de l etier ), o obtiet e moyee u ombre de succès égal à ( p) pour u ombre moye d étapes égal à ( p). Aisi, e moyee, la proportio de succès est égale à p. Il est p remarquable de retrouver cette probabilité de succès, quel que soit le ombre maximal d étapes du processus. Le paradoxe de Sait-Pétersbourg Formulé par Nicolas Beroulli e 73, ce problème a été approfodi par so cousi Daiel Beroulli das l ouvrage Les trasactios de l Académie de Sait-Pétersbourg, ce qui lui a valu so om. Éocé U joueur joue cotre la baque au jeu de «pile ou face», e misat toujours sur «face». Il adopte la stratégie suivate : il mise u euro au premier coup, et s il perd, double la mise au coup suivat, tat que «face» e sort pas. S il gage, il récupère sa mise augmetée d ue somme équivalete à cette mise. Le joueur dispose d ue fortue limitée, qui lui permet de perdre au maximum coups cosécutifs et, si «pile» sort fois de suite, le joueur e peut plus miser et arrête le jeu. La fortue de la baque, elle, est pas limitée. Ue partie cosiste pour le joueur à jouer, si sa fortue le lui permet, jusqu à ce que «face» sorte. Il s agit de détermier la probabilité qu a le joueur de gager ue partie, so gai algébrique moye par partie, et d aalyser l itérêt pour le joueur de jouer à ce jeu. Traitemet mathématique Pour modéliser la situatio, o suppose que le joueur lace la pièce fois : si «face» sort avat le -ième coup, le joueur e mise rie les coups suivats. Lorsqu il joue fois de suite à «pile ou face», o ote : A l évéemet «le joueur obtiet piles» ; G A l évéemet : «le joueur gage la partie» ; X la variable aléatoire qui comptabilise le rag de la première face, et l o coviet que ce rag est égal à 0 si «face» e sort pas ; Y la variable aléatoire qui doe le gai algébrique du joueur. O evisage d abord le cas où le joueur dispose d ue fortue limitée, par exemple à 000. Le joueur double sa mise tat qu il perd. Sa fortue lui permet de teir coups, où il mise successivemet (e euro),,,,, tat que... 000. La formule sommatoire sur les suites géométriques simplifie cette iégalité e : 000. D où 9. O obtiet P ( A 9) 0, 00, d où P ( G) P( A ) 0, 998 9 9. 9 La variable aléatoire X suit la loi géométrique troquée de paramètres 9 et. Elle p red les valeurs etières de 0 à 9, avec 9 et, pour k compris e P( X k) k k P ( X 0) P( A 9 ) tre et 9 :. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
O vérifie bie que 9 PX ( k)... 9 9 k 0. Détermios les valeurs de Y. Si «face» sort pour la première fois au k-ième coup (avec k ), le joueur a misé au total ue somme k e euro égale à k..., il gage le double de sa derière mise, soit. So gai algébrique est k k doc égal à (... ), c est-à-dire. 8 9 Si «face» e sort pas, le joueur a perdu toutes ses mises, soit (e euro)... 5. O e tire la loi de la variable aléatoire Y et so espérace mathématique : Valeurs de Y + Probabilités 9 9 ( ) 9 9 EY Simulatio de 000 parties e 9 coups au plus sur u tableur O code la sortie de «face» par, celle de «pile» par «0». O place e A la formule =ENT(*ALEA()), ( ) 0. 9 9 puis e B la formule =SI(OU(A=;A="");"";ENT(*ALEA())), que l o recopie jusqu e I ; efi o place e K la formule =SI(SOMME(A:I)=0;"PERDU";"GAGNE"). Les formules précédetes sot recopiées jusqu à la lige 000. Il reste alors e décompter e M le ombre de parties perdues, avec la formule : =NB.SI(K:K000;"PERDU"). Quoique faible, la probabilité de perdre est pas égligeable. Sur la simulatio précédete, o s aperçoit que le joueur perd effectivemet 6 parties sur 000. Il perd doc six fois 5, soit 3066. Il a gagé 994 parties qui lui rapportet chacue, soit u gai total de 994. Il a doc perdu 97 euros sur 000 parties, soit eviro 3 euros par partie e moyee. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 3 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
Coclusios de l étude : deux paradoxes Chaque partie gagée rapporte au joueur. Si sa fortue était illimitée (ou simplemet très grade), la probabilité de gager, égale à, aurait pour limite, et permettrait au joueur de gager chaque partie. Il semble doc que la stratégie du joueur costitue ue «martigale» ifaillible. Le jeu semble favorable au joueur. Cepedat, puisque E Y 0, le jeu est hoête. La stratégie mise e place doe ue espérace de gai idetique à celle du simple jeu de pile ou face. C est u premier paradoxe. Par ailleurs, ce problème motre la limite de la otio d espérace pour juger si u jeu est favorable. E effet, la simulatio précédete a révélé que la perte est importate, et qu elle se produit plusieurs fois sur 000 parties. Peu de joueurs s avetureraiet das u jeu pourtat hoête où l o risque de perdre gros, même si ce risque est faible, alors que l o gage peu. C est là le deuxième paradoxe. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 4 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
La otio de risque, liée à celle de la dispersio de la variable aléatoire «gai», est u élémet décisif d appréciatio d u jeu. Le paradoxe de Sait-Pétersbourg est l u des problèmes ayat doé aissace à la théorie de la décisio e écoomie. Das cette théorie, o formalise e particulier la otio de foctio d utilité, qui mesure le degré de satisfactio d u cosommateur. VI. LOI BINOMIALE A DEFINITIONS Approche de la loi biomiale Les exemples suivats proposet, e s appuyat sur les outils déjà dispoibles, ue découverte de la loi biomiale avat sa formalisatio mathématique. Ces activités sot coçues de faço à faciliter ue formalisatio progressive de ces otios. Exemple : mise e place du vocabulaire O fait tourer la roue de loterie présetée ci-cotre : o obtiet la couleur «rouge» avec la probabilité 0,75 et la couleur «bleu» avec la probabilité 0,5. Le joueur est gagat lorsque la flèche s arrête sur la zoe bleue comme sur la figure cicotre. rouge bleu O décide de oter S (comme succès) cette évetualité et de oter E (comme échec) l évetualité cotraire c est-à-dire «la flèche tombe sur la zoe rouge». Ue expériece à deux issues, succès ou échec, est appelée «épreuve de Beroulli». La loi de Beroulli de paramètre p est la loi de la variable aléatoire qui pred la valeur e cas de succès et 0 e cas d échec, où p désige la probabilité du succès. Cosige aux élèves : o joue trois fois de suite das des coditios idetiques et o désige par X la variable aléatoire qui doe le ombre de succès obteus. Réaliser u arbre podéré représetat cette situatio et e déduire la loi de la variable aléatoire X puis so espérace mathématique. O parlera de «schéma de Beroulli» lorsqu o effectue ue répétitio d épreuves de Beroulli idetiques et idépedates. Exemple : schéma de Beroulli pour u paramètre p quelcoque O fait maiteat tourer la roue de loterie présetée ci-cotre : o obtiet la couleur «Bleu» avec ue probabilité qui déped de l agle idiqué sur la figure et qui est otée p. O obtiet doc la couleur «Rouge» avec ue probabilité de p. O décide ecore de oter S (comme succès) cette évetualité et de oter E (comme échec) l évetualité cotraire c est-à-dire «la flèche tombe sur la zoe rouge». rouge bleu ) O répète quatre fois cette épreuve de Beroulli de paramètre p. Représeter cette répétitio par u arbre podéré à quatre iveaux. ) O défiit alors la variable aléatoire X égale au ombre de succès obteus à l issue des quatre répétitios. E utilisat l arbre, détermier la probabilité des évéemets suivats : X 0 X 4 X X. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 5 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
Il faut observer que les probabilités P ( X ) et P( X ) s obtieet e comptat les chemis qui coduiset respectivemet à et à succès. 4 O ote et o lit «parmi 4» le ombre de chemis qui coduiset à succès exactemet. Ici, 4 4. 4 O ote et o lit «parmi 4» le ombre de chemis qui coduiset à succès exactemet. Ici, 4 6. S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E Exemple 3 : utiliser ue représetatio metale de l arbre podéré O décide maiteat de répéter ciq fois cette épreuve de Beroulli et o ote toujours X le ombre de succès obteus à l issue des ciq répétitios. La réalisatio de l arbre podéré deviet fastidieuse. ) Sas réaliser l arbre, mais e s ispirat de ce qui a déjà été fait, détermier la probabilité des X 0 X 5. évéemets et ) O s itéresse da s cette questio à la probabilité de l évéemet X. a) Quelle est la probabilité d u chemi coduisat à exactemet deux succès? 5 b) O ote et o lit «parmi 5» le ombre de chemis qui coduiset à succès. Détermier ce ombre e utilisat l arbre déjà réalisé pour 4 répétitios. Il y a deux faços d obteir succès selo qu à la derière étape o obtiet u succès ou u échec. - Si la derière étape doe u échec, il faut compter les chemis qui au iveau précédet coduisaiet déjà à succès. Avec l arbre déjà réalisé, o sait que 6 chemis sot das ce cas. - Si la derière étape doe u succès, il faut compter les chemis qui au iveau précédet coduisaiet à u seul succès. Avec l arbre déjà réalisé, o sait que 4 chemis sot das ce cas. E coclusio, 6 4 0 chemis de l arbre des 5 répétitios coduiset à succès, soit avec les otatios 5 4 4 itroduites :. P X 0 p p Efi la répose attedue est : 3 5 3 ou PX p p. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 6 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
Défiitio de la loi biomiale O cosidère ue épreuve de Beroulli de paramètre p. U schéma de Beroulli associé à répétitios de cette épreuve peut être représeté par u arbre podéré qui comporte iveaux. Par défiitio, la loi biomiale de paramètres et p, otée B(, p), est la loi de la variable aléatoire X qui doe le ombre de succès das la répétitio de épreuves de Beroulli de paramètre p. Quelques cas particuliers Calcul de P ( X 0) et de P( X ) L évéemet X 0 est réalisé sur l uique chemi de l arbre qui e comporte que des échecs, c est-à-dire le derier chemi de l arbre qui est costitué de braches qui ot toutes la probabilité p. D où le résultat : P ( X 0) ( p). L évéemet X est réalisé sur l uique chemi de l arbre qui e comporte que des succès, c est-à-dire le premier chemi de l arbre qui est costitué de braches qui ot toutes la probabilité p. D où le résultat : P( X ) p. Calcul de P ( X ) et de P( X ) L évéemet X est réalisé sur les chemis de l arbre qui comportet exactemet u succès et échecs. La probabilité de chacu de ces chemis est : p ( p). Il reste à détermier combie de chemis de ce type figuret das l arbre podéré. Cette questio est assez simple das la mesure où il suffit de repérer à quel iveau de l arbre figure l uique succès. Il y a doc possibilités et aisi chemis qui réaliset l évéemet X. D où le résultat : P( X ) p ( p). L évéemet X est réalisé sur les chemis de l arbre qui comportet exactemet succès et échec. La probabilité de chacu de ces chemis est : p ( p). Il reste à détermier combie de chemis de ce type figuret das l arbre podéré. Comme précédemmet, il suffit de repérer à quel iveau de l arbre figure l uique échec. Il y a doc ecore possibilités et aisi chemis qui réaliset l évéemet X. D où le résultat : P( X ) p ( p). Coefficiets biomiaux Pour détermier par exemple, P( X ) o procèderait de la même faço : la probabilité de chaque chemi qui réalise exactemet deux succès est : p p. Il faut esuite multiplier cette probabilité par le ombre de chemis qui présetet exactemet deux succès. Ce ombre est oté et o lit «parmi». Il peut être obteu avec ue calculatrice ou avec u tableur. Plus gééralemet : Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 7 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
Si est u etier aturel et si k est u etier compris etre 0 et, o ote et o lit «k parmi» k le ombre de chemis qui réaliset exactemet k succès das l arbre à iveaux, associé à u schéma de Beroulli. Ces ombres sot appelés coefficiets biomiaux. Ces ombres sot par costructio des etiers et l étude précédete ous fourit quelques valeurs : k - quel que soit, etier aturel : ;, 0 - quel que soit, etier aturel o ul : ;, - 4 4 ; ;. 4 6 5 0 B PROPRIETES Expressio de la loi biomiale k k La probabilité de chacu des chemis qui réaliset exactemet k succès est Soiet u etier aturel et u réel p de l itervalle 0, p p. O obtiet doc : La variable aléatoire X égale au ombre de succès das la répétitio de épreuves de Beroulli de paramètre p suit la loi biomiale B(, p), avec pour tout etier k compris etre 0 et : k P( X k) p p k ( ) k Remarque : les coefficiets biomiaux k itervieet comme coefficiets das la formule géérale cidessus, mais aussi das la formule du biôme de Newto qui doe le développemet de tous réels a et b. Propriétés des coefficiets biomiaux Symétrie Le ombre de chemis réalisat k succès est aussi le ombre de chemis réalisat k échecs. Par symétrie, o obtiet autat de chemis réalisat k succès que de chemis réalisat k échecs. a b pour Si est u etier aturel et si k est u etier compris etre 0 et, alors k k. Formule de Pascal Il s agit ici de calculer u coefficiet biomial associé à répétitios à partir des coefficiets calculés sur l arbre réalisé au iveau. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 8 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 9 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/ Le coefficiet biomial doe le ombre de chemis qui réaliset exactemet succès. k k Il y a deux faços d obteir succès suivat qu à la derière étape o obtiet u succès ou u échec. k - Si la derière étape doe u échec, il faut compter les chemis qui au iveau précédet coduisaiet déjà à k succès. O sait que chemis sot das ce cas. k - Si la derière étape doe u succès, il faut compter les chemis qui au iveau précédet coduisaiet à exactemet k succès. O sait que chemis sot das ce cas. k E coclusio, chemis de l arbre des k k k répétitios coduiset à succès, d où le résultat : Si est u etier aturel et si k est u etier compris etre 0 et, alors. k k k
Deux faços d obteir k + succès e + chemi k premières ( + )-ième k succès Succè k chemis k + Échec Somme des coefficiets biomiaux E ajoutat tous les coefficiets biomiaux obteus sur u arbre de répétitios, o obtiet le ombre total de chemis de l arbre. Or cet arbre comporte iveaux et à chaque iveau o multiplie le ombre de chemis existats par. Le ombre total de chemis est doc. O obtiet la relatio : k 0 k 0. O pourra se reporter à l aexe 5 pour l utilisatio de quelques outils de calcul avec la loi biomiale. Représetatio graphique Das ce documet, o parle de «grade biomiale» si 5 et 0, p 0, 8 - coditios éocées das le programme de Secode, et das le cas cotraire, o parle de «petite biomiale». Petites biomiales 0 ; p 0, 5 5 ; p 0, 85 Grades biomiales 40 ; p 0, 5 80 ; p 0, 85 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 30 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/
L observatio des différetes représetatios graphiques permet de costater les comportemets suivats : - déplacemet vers la droite du diagramme à fixé e foctio de la croissace de p ; costatatio aalogue si p est fixé et augmete ; - allure symétrique «e cloche» des grades biomiales ; il est facile de démotrer l exacte symétrie de la représetatio lorsque p 0, 5 ; - dispersio maximale lorsque p 0, 5. Espérace et écart-type Il s agit ici de proposer ue activité coduisat à ue cojecture sur l expressio de l espérace et de l écarttype d ue loi biomiale. O utilisera le tableur pour calculer, à l aide de l istructio SOMMEPROD, l espérace et la variace de la loi B(, p) pour différetes valeurs de et p. La variace est obteue à partir de la relatio V ( X ) E( X ) E( X ) (cette formule est pas u attedu du programme). Pour la copie d écra ci-dessous la valeur de p est 0, et les valeurs de vot de 5 à 50 avec u pas de 5 uités. La feuille de calcul est coçue pour admettre des valeurs de etre 0 et 00. Das les cellules de B3 à K3 o a saisi : =$B. Das la cellule B7 o a saisi : =SI($A7<=B$4;LOI.BINOMIALE($A7;B$4;B$3;0);" ") pour demader l affichage de la probabilité de X k, uiquemet lorsque k et ue cellule vide das l autre alterative. Das la cellule B0 o a saisi : =SOMMEPROD($A7:$A07;B7:B07) pour obteir l espérace de la variable aléatoire X de loi biomiale de paramètres et p. L adressage absolu sur la première coloe autorise la recopie vers la droite de cette formule. Das la cellule B o a saisi : =SOMMEPROD(($A7:$A07)^;B7:B07) pour obteir l espérace de la variable X. La variace s obtiet alors e B6 avec la formule =B-B3. O peut aussi obteir la variace de X comme espérace de X E(X ) e saisissat das la cellule B6 la formule : =SOMMEPROD(($A7:$A07B0)^;B7:B07). Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative Mathématiques Première géérale et techologique Page 3 sur 75 www.eduscol.educatio.fr/