Universié de Monréal Rappor de recherche Tire : Le paradoxe de la prime des acions : Le cas du canada Rédigé par : Ismaël Cissé Dirigé par : Onur Özgür Déparemen de sciences économiques Faculé des Ars e des Sciences 7 décembre 011
Résumé L objecif de ce ravail es d expliquer le paradoxe de la prime des acions à la lumière des données canadiennes sur la consommaion agrégée e l indice S&P/TSX composé. Le cadre d analyse es une modificaion du modèle d évaluaion des prix des acifs basé sur la consommaion ou MÉDAFC (CCAPM) qui s appuie sur Campbell e Cochrane (1999). Il propose une formulaion des habiudes exernes qui génère de la variaion emporelle e conracyclique du coefficien d aversion au risque e dans la prime de risque. Nous monrons que la spécificaion proposée perme de mieux rendre compe de la prime de risque que le modèle CCAPM classique. Cependan, Le modèle semble suresimer la prévisibilié des rendemens e aboui à une explicaion de la volailié du raio prixdividende qui repose sur les rendemens réels pluô que sur les dividendes réels comme nous l observons dans les donnés canadiennes. Ces résulas ensemble, suggèren une prévisibilié des dividendes e son en faveur des modèles d évaluaion classiques des prix basés sur la valeur présene des flux de dividendes fuurs acualisés à aux consan. Mos-clés: MEDAFC, Paradoxe, prime de risque, Croissance de la consommaion, raio prix-dividende, Canada, Indice S&P/TSX composé, Prévisibilié, Volailié Absrac We pursue he goal of explaining he Equiy Premium Puzzle using Canadian daa on aggregae consumpion and he Composie S&P/TSX index. The framework used is a modified Consumpion Capial Asse Pricing Model (CCAPM) from Campbell and Cochrane (1999). They use a formulaion of exernal habis which generaes a ime-varying and counercyclical coefficien risk aversion and equiy risk premium. We show ha he forcing habi process has more success in explaining he equiy risk premium han he sandard CCAPM. However, he simulaed daa generae oo much reurns predicabiliy and mos of he price-dividend raio volailiy is explained by real reurns raher han real dividends growh as implied by Canadian daa. These findings sugges dividends predicabiliy and suppor presen value models based on dividends flows discouned a a consan rae. Keywords: CCAPM, Equiy risk premium, Puzzle, Consumpion growh, Price-Dividend raio, Canada, S&P/TSX index, predicabiliy, Volailiy
I. Inroducion Plusieurs ravaux on mis en évidence la difficulé de différens cadres d analyses d expliquer des phénomènes empiriques pour les rendemens e le prix des acifs. Le modèle d évaluaion des acifs financiers (MEDAF ou CAPM), prédi que le rendemen d un acif es fondamenalemen déerminé par le seul rendemen du porefeuille de marché e que son risque es décri de façon complèe par un coefficien, le β dans une relaion linéaire. Iniialemen considéré comme une héorie valide du risque e du rendemen, l analyse empirique du CAPM (Capial Asse Pricing Model) a révélé plusieurs insuffisances (Cochrane, 1999, p.36). Elles on éé désignées par le vocable d anomalies, liées principalemen à la aille ou à la capialisaion boursière (size effec), au raio coursbénéfice (P/E effec) e au raio valeur compable-valeur marchande qui son avérés pour plusieurs pays (Éas-Unis, Canada, Japon, Ialie) (Keim e Ziemba, 000; Fama e French, 199). Dans une opique plus large des modèles mulifacoriels, cela s es radui par le fai que la combinaison d un proxy du rendemen de marché avec la capialisaion boursière e le raio valeur compable-valeur marchande valeur es plus efficace pour décrire la coupe ransversale des rendemens (Fama e French,1996). Lucas (1978) e Breeden (1979) on proposé le CCAPM ou MEDAFC (Modèle d évaluaion des acifs financiers basé sur la consommaion) dans lequel le prix d équilibre des acifs es déerminé par les choix conjoins de consommaion e d allocaion de porefeuille e implique que la consommaion e non plus le rendemen du marché es la source fondamenale de variaion des rendemens des acifs. Ce cadre présene deux principaux avanages par rappor au CAPM : premièremen, il lie la décision de consommaion e d invesissemen des uniés de décision (individus, ménages) e perme une exension de la héorie du consommaeur. Deuxièmemen, il propose une déerminaion économique des rendemens basée sur la covariaion anicipée enre les rendemens e la consommaion, conrairemen au CAPM qui a éabli une relaion linéaire enre les rendemens espérés de différens porefeuilles, celui d un acif ou porefeuille e celui du porefeuille de marché sans plus (Campbell e al, p.91). Confroné aux données empiriques, il a échoué à rendre compe de la dynamique des rendemens des acifs. Mehra e Presco (1985) on ainsi mis à jour le paradoxe de la prime de risque qu ils définissen
comme «l incapacié d expliquer conjoinemen le faible aux sans risque sur les bons du résor e le rendemen élevé des acions dans le cadre de marchés efficaces». Plusieurs recherches on proposé différenes modificaions qui ouchen surou la foncion d uilié périodique. Elles incluen : l inroducion de sources de risque supplémenaires comme la consommaion en bien durables (Wirjano, 004); la définiion d habiudes (Wirjano, 1997; Campbell e Cochrane, 1999), la prise en compe des conraines de liquidié (Wirjano, 1995; 1997). D aures on coninué à ravailler sur les modèles à faceurs en proposan d aures choix de faceurs, de nouvelles echniques d esimaion e des procédures de ess différenes (Carmichael e Samson, 1996; 003). Ceraines de ces éudes arriven à expliquer pariellemen la dynamique des rendemens excédenaires des acions mais échouen à expliquer conjoinemen les rendemens des acions e des obligaions. Elles avancen comme source de leur insuffisance soi une variaion dans le emps, soi un niveau élevé de l aversion au risque sans l incorporer expliciemen dans leur modèle. Des phénomènes empiriques similaires son rapporés dans les données canadiennes e américaines : la prévisibilié relaivemen faible des rendemens de cour erme par rappor aux rendemens de long erme (Schmiz, 1996; Carmichael e Samson, 1996), la volailié excessive des prix (Shiller, 1989); La présence d anomalies (Keim e Ziemba, 000); Shiller, 1989). Différenes éudes on rejeé le CCAPM classique dans le deux cas (Carmichael e Samson, 005; Hansen e Singleon, 1983; Mehra e Presco, 1985). Campbell e Cochrane (1999) apporen une modificaion en spécifian une formaion exerne des habiudes qui s ajusen lenemen de façon non linéaire aux niveaux de consommaion e produi un coefficien d aversion au risque e une prime de risque conracyclique. Ils parviennen à une résoluion du paradoxe de la prime de risque e réussissen à reproduire plusieurs caracérisiques empiriques des prix e des rendemens elles que la faible prévisibilié des rendemens, la volailié excessive des prix e des rendemens. Nous nous proposons d appliquer cee méhodologie aux données canadiennes. À nore connaissance, ce exercice n a pas encore éé effecué.
Bien que nous réussissions à reproduire ceraines saisiques empiriques, nos résulas son moins concluans quan à la descripion des caracérisiques empiriques des données canadiennes que la recherche originale sur les données américaines. La prévisibilié des rendemens de cour erme e des rendemens de long erme rese faible par rappor à ce que suggère le modèle. Le cadre d analyse non seulemen n arrive pas à rendre compe des mouvemens de prix mais aboui à une explicaion de la volailié des prix basée sur les rendemens à l opposé des donnés canadiennes qui poinen les dividendes comme la principale source de variaion. Dans la suie de nore recherche, nous décrivons le modèle. Dans la roisième parie, nous présenons les données e la méhodologie uilisées e spécifions la calibraion du modèle. Dans la quarième parie, nous analysons les propriéés des données canadiennes empiriques e simulées. II. Modèle 1. Présenaion du modèle Nous reprenons le modèle de Campbell e Cochrane (1999). On suppose une économie don les individus son ideniques. Leurs préférences son décries par une foncion d uilié isoélasique (CRRA). Ce ype de foncion perme de synhéiser leur comporemen par un individu représenaif don l uilié a la même forme foncionnelle : C X 1-1 U C, X E u( C, X ) E 0 0 1 (1) où X es le niveau d habiudes. Le concep d habiudes radui l idée qu un niveau de consommaion plus élevée dans la période courane incie l individu à un niveau de consommaion fuure plus élevée. Cela correspond formellemen à une relaion posiive enre l uilié marginale de la consommaion courane e le niveau de la consommaion
passée. La foncion d uilié périodique es spécifiée avec une formaion d habiudes exerne. On défini S la consommaion relaive (surplus consumpion raio) par : S C - X () C La prochaine éape consise à spécifier commen se formen les habiudes. La spécificaion choisie doi saisfaire la condiion que le niveau d habiudes es inférieur au niveau de la consommaion dans oues les périodes e ous les éas de naure pour que la foncion d uilié soi définie. Les aueurs choisissen donc de définir une équaion de ransiion en ermes de s (s =ln(s )), comme un processus AR(1) condiionnellemen saionnaire ( φ < 1) e hééroscédasique e une doaion décrie par un processus univarié pour la croissance de la consommaion: 1 1 s (1 ) s s ( s ) c c g (3) c g v v i i d N (4) 1 1, 1.. (0, ) où s es l éa saionnaire de s, φ le coefficien d auocorrélaion, c le log de la consommaion, g la log-croissance moyenne de la consommaion. La dernière équaion défini le logarihme de la consommaion comme une marche aléaoire. λ(s) représene la foncion de sensibilié qui déermine l ampleur de la réacion du sysème, don l éa es décri par s, aux chocs aléaoires sur la croissance de la consommaion. (Campbell e Cochrane, 1999) spécifie cee foncion pour obenir un aux sans risque consan e saisfaire la propriéé d ajusemen len des habiudes à la consommaion. Cela garani que la foncion d uilié es bien définie. Noons que l équaion (3) radui un ajusemen non linéaire des habiudes à la consommaion. On peu ainsi monrer que le logniveau des habiudes es approximaivemen une combinaison linéaire de la logconsommaion passée (Voir la démonsraion dans l Annexe).
. Le aux marginal de subsiuion e le aux sans risque : Pour la spécificaion choisie, le aux marginal de subsiuion ineremporel ou faceur d acualisaion sochasique (FAS) prend la forme suivane : 1 1 1 M S S. C C (5) L inroducion de l équaion de ransiion (3) dans cee expression donne : ( )( s s ) 1 s v 1 M 1 G e (6) Le aux bru d acualisaion de risque neure es défini comme l inverse de l espérance condiionnelle du faceur d acualisaion sochasique (FAS). L hypohèse de log-normalié du processus de consommaion implique une log-normalié condiionnelle du FAS. Ce qui perme de définir le log-rendemen sans risque : f r ln( ) g ( )( s s ) 1 s (7) Le aux sans risque dépend des préférences e des caracérisiques echnologiques du modèle. Le premier erme correspond au aux d acualisaion subjecif. Le second erme implique que le aux de croissance de la consommaion enre de façon linéaire dans cee équaion avec comme coefficien gamma. La roisième expression radui l effe de subsiuion ineremporel. Lorsque s es relaivemen élevé, sans chocs supplémenaires, le aux marginal de subsiuion augmene (voir l équaion (5)). Ce qui crée une inciaion à augmener la consommaion fuure relaivemen à la consommaion acuelle, donc à épargner (acheer des bons du résor). D où un mouvemen vers le bas du aux sans risque avec une ampleur proporionnelle au coefficien gamma, l inverse de l élasicié de subsiuion. Le dernier erme décri l effe d épargne (Precauionary saving) qui radui une endance à épargner pour l individu (acheer des bons du résor), pour se prémunir des effes négaifs de la volailié de la consommaion. Pour saisfaire l hypohèse d un aux sans risque consan, le choix de la foncion de sensibilié λ(s ) es déerminé de façon à ce que ces deux effes se compensen exacemen. Pour que le dernier effe soi posiif, ce doi êre une foncion décroissane de la consommaion relaive.
3. Fronière de variance minimale Nous uilisons un résula de Hansen e Jaggannahan (Danhine e Donaldson, p.180) qui dériven une borne supérieure au raio de Sharpe, la prime par unié de risque ou le prix du risque : E ( R ) ( M ) ( M ) (8) ( ) ( ) ( ) e 1 e 1 1 ( M 1, 1) e R R 1 E M 1 E M 1 où ρ désigne la corrélaion condiionnelle e R e +1 un rendemen excédenaire quelconque e le FAS. Sous l hypohèse de log-normalié condiionnelle, du FAS M +1, nous pouvons définir le raio de Sharpe maximal: E ( R ) (9) e 1 1 max e e ( R 1) 1 1 s s Ce résula es fondamenal dans la spécificaion du modèle. Il es percepible que pour obenir une prime de risque conracyclique, la foncion λ(s ) doi êre décroissane. 4. Spécificaion de la foncion de sensibilié La foncion de sensibilié es choisie de façon à saisfaire rois condiions (Campbell e Cochrane, 1999, p.1) : La première : le aux sans risque es consan. La deuxième: Les habiudes son prédéerminées à l éa saionnaire. En d aures ermes, les habiudes peuven êre liées à la consommaion agrégée passée mais son non corrélées avec les chocs e fuurs de la consommaion. Cela implique à l éa saionnaire la condiion suivane pour λ(s ) : 1 s 1 (10) S
La roisième : Les habiudes son prédéerminées près de l éa saionnaire. Ce qui conrain λ (s ) : 1 '( s ) (11) S L équaion (7) pour le aux sans risque e les deux condiions (10) e (11) nous permeen de définir de façon explicie l éa saionnaire de S en ermes des paramères du modèle e la foncion de sensibilié λ(s ) (Voir la preuve en annexe): S 1 (1) 1 1 ( s s ) 1 si s s ( s ) S 0 sinon max (13) 1 1 la valeur qui annule l expression sous le radical. Avec smax s S Lorsqu on subsiue (13) pour λ(s ) dans (7), on obien un aux sans risque consan : f r ln( ) g S (14) 5. Déerminaion des prix des acifs. Dans cee sous-parie, nous définissons deux acifs : l un basé sur la consommaion e l aure sur les dividendes que nous désignerons respecivemen par l acif-c e l acif-d, par souci de concision. L individu représenaif choisi le chemin de consommaion e l allocaion de porefeuille qui maximisen son uilié. Ce choix opimal doi saisfaire l équaion fondamenale d évaluaion des acifs, obenue à parir de la condiion de premier ordre du problème de maximisaion : E M 1R 1 1 (15)
L acif-c donne droi au flux périodique de consommaion, don le rendemen es défini de la façon suivane : R 1 P 1 1 P C (16) Lorsqu on subsiue M +1 par (5) e R +1 par (16) dans (15), on obien : P C 1 ( ) [1 (1 ] 1 ( ) s s s v s 1 1 G e E e ( s 1) C 1 P (17) Dans une démarche qui rappelle celle de Lucas (1978), la résoluion de cee équaion doi nous donner le prix d équilibre (raio prix-consommaion) en foncion de l éa de l économie. Pour chaque valeur de s sur une grille préalablemen définie, le modèle es résolu par inégraion numérique de l expression en (+1) en ermes de v. Nous obenons précisémen le raio prix-consommaion (P/C) comme une foncion de s. À la différence de Mehra e Presco (1985) qui ne fai pas de disincion enre les dividendes de l acion uniaire e la consommaion, on défini un processus sochasique pour les dividendes faiblemen corrélé avec la consommaion. Ce faisan, nous créons un acif synhéique, l acif-d, basé sur les dividendes : d g w, w i. i. d N(0, ) e corr( v, w ) (18) 1 1 1 w 1 1 On peu définir une équaion en ermes du raio prix-dividende similaire à (17) ci-dessus : P D 1 1 w (1 ) [ (1 ] ( ) w s v s 1 s P ( s ) 1 1 G e e E e ( s 1) D 1 (19) III. Données e méhodologie 1. Source des données e méhodologie Les données uilisées proviennen de la base de données CANSIM de Saisique Canada. Les données mensuelles boursières couvren le mois de janvier 1961 à décembre 009 e incluen l indice S&P/TSX composé qui regroupe plus de 00 enreprises, les
rendemens en dividendes (dividend yield) sur ce indice. Les données de aux sur les bons du résor à rois mois, d un usage répandu dans la liéraure comme proxy de l acif sans risque, présenen des valeurs manquanes. Nous choisissons, en lieu e place, les aux bons du résor à mois qui on une moyenne hisorique sensiblemen égale e n affecen pas nos résulas, en l espèce, puisque nous l uilisons pour le calcul du rendemen excédenaire moyen. Nous obenons égalemen de la même source les données rimesrielles de la consommaion réelle en biens e services, de l indice des prix à la consommaion (IPC) mensuel e de la populaion de 1961 à 009. Nous pouvons ainsi calculer la consommaion per capia en biens e services en divisan la consommaion par la populaion. Les dividendes nominaux son obenus en muliplian le rendemen en dividendes par le niveau de l indice boursier de la période anérieure, puis son divisés par l IPC pour donner les dividendes réels. Le rendemen oal sur l indice es calculé en prenan la somme de ses composanes, c es-à-dire le gain de capial, calculé comme le aux de variaion ne de l indice, e le rendemen sous forme de dividendes.. Calibraion Nous suivons la démarche de Campbell e Cochrane (1999). Les valeurs des paramères de la simulaion présenées dans le ableau I son choisies de façon à reproduire les saisiques empiriques. La log-croissance moyenne, g, es obenu en prenan la moyenne hisorique du aux de croissance. L écar-ype σ de la log-croissance es obenu similairemen. Le log-rendemen sans risque consan r f es donné par la moyenne du aux réel hisorique sur les bons du résor. La valeur du coefficien φ dans l équaion de ransiion es déerminée par le coefficien d auocorrélaion du raio prix-dividende annuel. Nous fixons le paramère γ de façon à reproduire le raio de Sharpe obenu dans les données. Les valeurs des rois derniers paramères son déduies à parir des valeurs fixées des aures paramères. Le choix du coefficien de corrélaion enre la croissance de la consommaion ρ es plus délica comme l observe Campbell e Cochrane (1999). Nous avons calculé ce
coefficien pour différens horizons de la consommaion e des dividendes e différenes fréquences (rimesrielles e annuelles) e il en a résulé des valeurs enre 0. e 0.5 avec une prédominance pour les valeurs enre 0.3 e 0.4. Nous choisissons une valeur de 0.3. Nore démarche permera d éablir que nous obenons des niveaux de prix e similaires pour les deux acifs malgré la faible corrélaion qui lie la croissance de leurs flux de revenus (Campbell e Cochrane, 1999, p.19). Le faceur d acualisaion subjecif δ es dédui du aux de l acif sans risque r f. Les deux derniers paramères, l éa saionnaire S e la borne supérieure S max de S son foncions des aures paramères. Noons enfin que les valeurs dans le ableau I son exprimées en ryhme annuel. Tableau 1 : Choix des paramères Paramères Variable Valeur Prédéerminés: Croissance moyenne de la consommaion (%)* g 1.71 Écar-ype de la croissance de la consommaion (%)* σ 1.14 Le log-rendemen sans risque (%)* r f.3 Le coefficien de persisance* φ 0.86 La courbure de l uilié Écar-ype de la croissance des dividendes (%)* γ σ w 0.46 10.78 Corrélaion enre Δd e Δc ρ 0.3 Faceur d acualisaion subjecif δ 0.95 Consommaion relaive saionnaire S 0.01 Consommaion relaive maximale S max 0.034 Les noms de paramères suivis du symbole «*» son annualisés. IV. Résulas 1. Résoluion du modèle À cee éape, nous uilisons une grille pour la variable d éa S, qui décri les différens éas de naure possibles dans nore économie. Nous dérivons les niveaux de prix, les momens ex-ane des rendemens pour les deux ypes d acifs définis e nous observons leur
évoluion en foncion de la variable d éa. Ce qui nous perme de mieux décrire l évoluion des rendemens au regard de la conjoncure économique e de la classe d acifs. La disribuion de la consommaion relaive représenée à la figure 1 es obenue en uilisan la forme coninue du processus de s à l équaion 1. La valeur de gamma qui perme d aeindre l objecif que nous nous éions fixés, reproduire le raio de Sharpe, nous donne une foncion de densié convexe e don l asymérie es orienée vers la gauche. Cela radui une probabilié faible pour les valeurs faibles de S (récessions) e une probabilié rès élevée pour les valeurs élevées de S (expansions). La densié es pariculièremen concenrée près de la borne supérieure avec une ampleur des valeurs exrêmes posiives plus faible que celle des valeurs exrêmes négaives. On s aend donc à une consommaion relaive don le reour à la moyenne es relaivemen len (Campbell e Cochrane, 1999, p.0). Cee forme de la disribuion es due à une valeur de gamma inférieure à 1 (γ =0.4651). En uilisan une valeur de, comme Campbell e Cochrane (1999) dans leur calibraion aux données annuelles, nous obenons comme eux une disribuion proche de la forme en «cloche» plus convenable : concave, à asymérie orienée vers la gauche, mais don la densié es moins concenrée aux exrêmes posiives de la disribuion. Le raio de Sharpe dans les données canadiennes es plus faible, nore calibraion exige donc une valeur plus faible du paramère gamma. 1 Voir l annexe de Campbell e Cochrane(1998) non publiée.
Figure 1. Disribuion marginale de la consommaion relaive S La figure représene le raio prix-dividende en foncion de la consommaion relaive pour l acif-c e l acif-d. Il y a une relaion posiive (procyclicalié) enre le raio prix-dividende e la consommaion relaive pour oues les caégories d acifs, mais les courbes on une forme concave. En période d expansion, S augmene, l agen représenaif a une aversion au risque faible e es plus suscepible d acquérir l un des acifs risqués don il exige une faible prime de risque. Les prix augmenen à un aux plus élevé que les dividendes e la consommaion, d abord plus vie pour les valeurs faibles de S pour lesquelles l individu es plus sensible aux perurbaions de la consommaion (en raison de la décroissance de la foncion de sensiivié λ(s)), puis moins vie à mesure que S augmene e que la sensibilié diminue. Nous observons égalemen que les prix pour les deux acifs son similaires pour les valeurs faibles de S, mais que la différence s accroî en faveur de l acif D, à mesure que S augmene.
Figure. Raios P/D en foncion de la consommaion relaive S Dans la formule du raio prix-dividende pour l acif- D, la projecion linéaire de w sur v a un coefficien supérieur à 1, rivialemen, le coefficien pour l acif-c. En raison de l hypohèse de log-normalié de la consommaion e des dividendes, la volailié plus élevée du processus de dividendes ransparai comme un faceur amplifian dans l équaion du raio prix-dividende de l acif-d (voir l équaion(19)); d où son niveau plus élevé. L espérance condiionnelle des rendemens pour les deux acifs représenée à la figure 3 a une allure globalemen décroissane. Cela corrobore nore discussion plus hau sur les mécanismes à l origine de l allure du raio prix-dividende. On observe que les aux de rendemen condiionnels baissen à mesure que la consommaion relaive augmene. Éan donné un aux sans risque consan, cela correspond à une prime de risque exigée plus faible à mesure que l économie s accroi ou dans l aure sens, une baisse de S (récession) augmene la prime de risque exigée en raison de l aversion au risque croissane. La prime de risque obenue dans nore modélisaion es conracylique.
Figure 3. Espérance condiionnelle des rendemens en foncion de S Par ailleurs nous observons que les aux de rendemen aendus son rès proches, voire impossible à idenifier graphiquemen pour les valeurs élevées de S, malgré la différence observée enre le raio prix-dividende des deux acifs à la figure. Campbell e Cochrane (1999) on égalemen observé ce phénomène, mais avec des raios prix-dividende similaires. Le rendemen peu êre réécri en foncion des raios prix-dividende e de la croissance des dividendes : R 1 1 P 1 D 1 D 1 (0) P D D Le premier erme, le rappor, es assez proche pour les deux acifs dans la mesure où les deux raios son des foncions similaires de s de sore que le premier rappor es relaivemen proche. La différence provien du deuxième erme auquel l individu es plus sensible en période de récession (S faible) (Campbell e Cochrane, 1999, p.).
Enfin, pour ceraines valeurs de la consommaion relaive, le aux de rendemen exigé sur les deux acifs es inférieur au aux sans risque, donnan lieu à une prime de risque négaive. Ce résula n es pas éranger à nore calibraion pour gamma qui es inférieure à la valeur choisie par Campbell e Cochrane (1999) e radui une aversion au risque faible. Ce résula peu êre plus rigoureusemen exprimé dans le cadre du modèle CCAPM ou d un modèle du faceur d acualisaion sochasique M. Dans l un ou dans l aure, on peu dériver une borne inférieure pour la volailié du faceur d acualisaion sochasique qui a de nombreuses implicaions pour la srucure des rendemens (voir l équaion (8)). À parir de cee inégalié, on arrive à déduire qu une corrélaion condiionnelle posiive enre le faceur d acualisaion sochasique e les rendemens perme d obenir une prime de risque négaive, sans égard à son ampleur. Ainsi, plus élevée es la consommaion relaive, plus le rendemen fuur aendu es faible en raison de l aversion décroissane au risque. Le redressemen observé au niveau de la borne supérieure de S s explique simplemen par la sensibilié nulle au choc aléaoire fuur dans ce éa de naure. L agen représenaif consrui ses anicipaions fuures sur le rendemen comme s il s agissai d un acif sans risque. Cela correspond précisémen à une corrélaion nulle. L allure des écars-ypes à la figure 4 es conforme à nos aenes. On observe que l agen représenaif anicipe une volailié plus fore pour l acif-d que pour l acif-c, le processus des dividendes éan plus volail que la consommaion. La forme des courbes des raios de Sharpe à la figure 5 s explique aisémen en ermes des courbes des rendemens espérés e des écars-ypes condiionnels. Les momens condiionnels des rendemens de l acif-d son plus élevés, mais les rendemens aendus le son proporionnellemen un peu plus que plus que les écars-ypes condiionnels, d où le léger déachemen observé pour ceraines valeurs du raio de consommaion excédenaire S. La calibraion que nous avons choisie donne lieu à un prix du risque similaire pour un acif qui donne droi à des flux fuurs de consommaion e un aure acif qui prome des dividendes plus volails e faiblemen corrélés avec la consommaion. Il s agi précisémen de la corrélaion condiionnelle enre le faceur d acualisaion sochasique e le rendemen excédenaire. Mais, le aux sans risque es consan de sore qu il peu êre supprimé du erme de la corrélaion.
Figure 4. Écars-ypes condiionnels des rendemens en foncion de S Figure 5. Raios de Sharpe en foncion de S
. Simulaions Nous uilisons dans cee sous-parie les résulas de l éape précédene pour simuler les perurbaions aléaoires de la croissance de la consommaion e dériver des saisiques d inérê que son les momens des séries obenues ex-pos: la prime de risque, le raio prixdividende e les rendemens e que nous confronons à leurs équivalens provenan des données canadiennes sur la période 1961-009. Les simulaions son effecuées en fréquence annuelle pour 0 000 années. Le raio prix-dividende annuel es le raio de fin de période, c es-à-dire, du dernier mois de l année. Les résulas son présenés dans le ableau. En plus de comparer les saisiques obenues à parir des données simulées e les donnés empiriques, il nous apparai imporan de déerminer dans quelle mesure nore cadre d analyse perme de reproduire la dynamique des variables sus-ciées, noammen en ermes de prévisibilié e de volailié? Tableau : Moyenne e écar-ype des données empiriques e simulées Saisique Acif-C Acif-D Données (TSX &CANSIM) Données (TSX 60) E(Δc)* 1.71 1.71 σ (Δc)* 1.14 1.14 E(r f )*.3.3 E(r- r f ).85.55.34 9.73 σ (r- r f ) 19.54.35 16.7 19.40 E(r- r f )/ σ (r- r f )* 0.14 0.11 0.14 0.50 E(R- R f )/ σ(r-r f ) 0.19 0.18 0.1 5.41 exp[e(p-d)] 31 34.7 34.7 1 σ (p-d) 0.35 0.37 0.36 0.1 Les saisiques que nous cherchons à reproduire par la calibraion son marquées de l asérisque «*».
Nos résulas présenés dans le ableau reproduisen sans surprise la moyenne e l écar-ype du aux de croissance de la consommaion, le aux sans risque moyen e le raio de Sharpe. Ce raio es calculé à parir des log-rendemens de l acif-c dans la lignée de Campbell e Cochrane (1999), en calibran la valeur de γ. Le raio, calculé à parir des rendemens simples connai une légère déviaion par rappor aux données empiriques, mais demeure dans le même ordre de grandeur. Le paramère gamma peu égalemen êre calibré pour l acif-d, mais cela nécessierai une valeur plus élevée. Malgré nore succès en ce qui à rai au raio, il en es auremen des ermes du raio enre les deux ensembles de données. Le rendemen excédenaire moyen e son écar-ype esimé par les simulaions son supérieurs à leurs équivalens dans les données canadiennes, mais rese dans le même ordre de grandeur. En ce sens, nore succès es moins reenissan que celui de Campbell e Cochrane (1999) qui avai réussi à répliquer exacemen les saisiques empiriques pour la moyenne e l écar-ype. Le modèle produi égalemen des saisiques pour le raio prix-dividende relaivemen proches des données empiriques. À ce chapire, dans le cas du raio prix-dividende pour l acif-d, il y a une réplicaion quasiparfaie des momens observés dans les données empiriques. Le ableau 3 présene l auocorrélaion des différenes séries : le raio-prix-dividende e le rendemen excédenaire. L auocorrélogramme du raio prix-dividende es quasiidenique pour les deux acifs, mais l auocorrélaion observée dans les données pour quasimen ous les ordres es plus élevée. On consae une évoluion décroissane de la foncion d auocorrélaion, conforme à ce qui a déjà éé réperorié (Campbell e Cochrane, p.6), mais égalemen une persisence de la corrélaion posiive. En effe, jusqu à l ordre 7, cee auocorrélaion demeure significaivemen posiive. Cela radui une nonsaionnarié ou une persisance des prix observée dans les données qui es reproduie dans les données simulées. Dans le cas des rendemens excédenaires, nous observons, à l excepion du premier reard, une auocorrélaion négaive e faible dans les deux ensembles (données simulées e empiriques); l auocorrélaion de l acif-d éan légèremen plus élevé. Ce qui suggère un reour fréquen à la moyenne qui pourrai raduire la saionnarié du processus sous-jacen, sous condiions de ess supplémenaires. Ces caracérisiques des séries de prix e de
rendemens on déjà éé abondammen raiées dans la liéraure (Campbell e.al, 1997). L auocorrélaion dans les rendemens absolus es légèremen plus faible dans le cas de l acif-d, en raison de sa volailié supplémenaire mais demeure plus élevée que celle observée dans les données empiriques. La persisance de l auocorrélaion posiive devrai êre inerpréée comme un indicaeur d hééroscédasicié des rendemens (Campbell e Cochrane, 1999, p.7). Tableau 3: Auocorrélaion des données simulées e empiriques Reard Variable e source 1 3 4 5 6 7 p-d : Acif-C 0.84 0.85 0.59 0.50 0.4 0.36 0.30 Acif-D 0.84 0.71 0.59 0.50 0.4 0.36 0.30 Données (composie) 0.86 0.76 0.69 0.63 0.51 0.46 0.39 r- r f : Acif-C -0.037-0.056-0.066-0.038-0.045-0.05-0.031 Acif-D -0.041-0.060-0.067-0.039-0.046-0.06-0.03 Données (composie) 0.15-0.056-0.068-0.1-0.078-0.03-0.16 j r, r i ): i1 Acif-C -0.038-0.093-0.16-0.0-0.4-0.7-0.30 Acif-D -0.041-0.10-0.17-0.1-0.5-0.8-0.31 Données (composie) 0.15 0.091 0.03-0.099-0.18-0.0-0.37 r : Acif-C 0.7 0.3 0.19 0.16 0.1 0.10 0.08 Acif-D 0.5 0. 0.18 0.15 0.1 0.096 0.079 Données (composie) 0.055 0.11 0.11 0.030 0.088-0.076 0.069
Dans le ableau 4, la corrélaion négaive décroissane en erme des périodes subséquenes enre le log-raio prix-dividende e le rendemen excédenaire avancé es similaire dans le cas des deux acifs, mais es à un ordre de grandeur de 10 fois plus élevée que dans les données canadiennes. À l opposé des données simulées, la faible corrélaion empirique es le refle d une faible preuve en faveur de la prévisibilié des rendemens de cour erme maines fois souenues dans la liéraure liée à ce hème (Campbell e Shiller, 1988a; 1988b; Schmiz, 1996). Nore modèle suggère par conre une prévisibilié relaivemen élevée. Nous revenons sur cee quesion plus loin, dans le conexe des rendemens de long erme. Le choix de raier de la prévisibilié des rendemens excédenaires pluô que des rendemens réels a l avanage de permere de neuraliser les erreurs de mesure poenielles dans le aux d inflaion suscepibles d affecer la validié de nos conclusions. Campbell e Shiller (1988b, p.665) rouven pour un cerain nombre de régresseurs que les rendemens excédenaires son légèremen moins prévisibles que les rendemens réels à différens horizons, mais les résulas son qualiaivemen similaires. La corrélaion négaive e significaive enre le raio prix-dividende e les rendemens excédenaires absolus raduisen une relaion enre les momens condiionnels d ordre 1 e des rendemens excédenaires dans la pure logique des modèles de volailié condiionnelle (Campbell e al, 1997, p.496-p.498). Une volailié fuure des rendemens plus élevée impliquerai un rendemen aendu plus élevée e des prix faibles, oue chose égale. Cee inerpréaion es d ailleurs en grande parie corroborée par la corrélaion négaive observée enre les rendemens excédenaires e leur valeur absolue pour un cerain nombre de reards. Ce phénomène es plus marqué dans les données simulées.
Tableau 4: Corrélaions croisées des données simulées e empiriques Avance Variable e source 1 3 4 5 6 7 p - d, r e +j Acif-C -0.37-0.3-0.7-0. -0.18-0.15-0.13 Acif-D -0.34-0.30-0.5-0.1-0.18-0.14-0.1 Données (composie) -0.017-0.079-0.071-0.064-0.038 0.004-0.009 p - d, r e +j : Acif-C -0.66-0.55-0.46-0.39-0.33-0.7-0.3 Acif-D -0.63-0.53-0.44-0.37-0.31-0.6-0. Données (composie) -0.003 0.051 0.085 0.1 0.1 0.11 0.14 r e +j, r e +j : Acif-C -0.14-0.11-0.094-0.076-0.078-0.053-0.051 Acif-D -0.16-0.1-0.10-0.083-0.083-0.057-0.055 Données (composie) -0.0-0.13-0.15 0.04-0.016 0.004 0.03 Nous en venons à la quesion de la prévisibilié de long erme des rendemens direcemen liée aux résulas du ableau 5. Les rendemens excédenaires à différens horizons son régressés sur le log-raio prix-dividende e sur une consane. Les coefficiens de la régression e le coefficien de déerminaion de la régression son présenés pour chaque régression. Cee relaion linéaire peu êre dérivée à parir d un modèle d acualisaion des flux de revenus fuurs. Elle implique que pour une acion, le prix observé doi êre le refle d anicipaions fuures de dividendes plus élevés e/ou de rendemens ou aux d acualisaion aendus plus faibles (Campbell e al., 1997, p.63) ou
encore en ermes sricemen économérique, que le niveau de prix reardé a un pouvoir explicaif sur les rendemens acuels 3. Tableau 5: Régressions des rendemens de long erme Acif-C Acif-D Données (composie) Horizon 10x coefficien R 10x coefficien R 10x coefficien R 1 -.077 0.14 -.061 0.1-0.16 0.001-3.91 0.5-3.88 0. -0.19 0.001 3-5.45 0.34-5.4 0.3-0.014 0.000 4-6.71 0.4-6.67 0.36 0.0 0.000 5-7.78 0.47-7.7 0.41 0.8 0.013 6-8.65 0.5-8.59 0.46 1.57 0.048 7-9.39 0.56-9.33 0.49 1.84 0.07 Amélioraion de la prévisibilié : similaire pour les données empiriques rimesrielles Les résulas monren clairemen que la valeur des coefficiens e le R affiche une endance croissane selon l horizon des rendemens aussi bien dans les données empiriques que simulées. La faiblesse des coefficiens de la régression du R dans le cas de l acif-d dans les données canadiennes es pariculièremen noable. Dans le cas des données empiriques, ce n es qu à parir de l horizon 5 que le log-raio semble avoir un pouvoir explicaif e que le R a la même évoluion que dans les simulaions. La faiblesse des R des régressions de long erme n es en fai qu un prolongemen de la faible corrélaion observée enre les rendemens de cour erme e le log-raio prix-dividende dans le ableau 4. 3 Ce raisonnemen es clairemen visible à ravers une approximaion de l équaion de la valeur présene à aux variables inspirée de Campbell e Shiller (1988a) : j p d [ d j r j ] j1
Un calcul rapide des saisiques de suden pour les données empiriques monre que les coefficiens de la régression ne son pas significaifs. La valeur la plus élevée es 1.75 avec pour cerains horizons un niveau proche de 0. Mais l inférence sur la base de cee saisique présene un risque en raison de la possibilié d hééroscédasicié, d ailleurs suggérée par les résulas du ableau 3. On serai ené d inerpréer ces résulas comme un reje ou au moins comme une faible preuve en faveur de la prévisibilié. Cependan, dans les ess de la prévisibilié des rendemens, il a éé observé que les régressions des rendemens périodique (horizon 1) produisen ypiquemen un faible R, cependan moins drasique que ce que nous observons ici, un biais négaif dans l esimaion des paramères e une endance au reje par les ess lorsque la variable explicaive es persisane (Cochrane, 008, p.1534). Dans ce conexe, le régresseur par excellence es un raio d évaluaion, en général le log-raio dividende-prix ou une variane (log-raio prixdividende dans cee recherche). Le ableau 3 suggère une non-saionnarié ou une persisance du raio prix-dividende. La faiblesse des coefficiens e du R des régressions de long erme pourrai raduire la présence d un biais négaif (posiif dans nore cas : p - d = -(d - p )). Il a éé esimé que le biais maximal peu êre de l ordre de 0.03 (Campbell, 008, p.6), ce qui es loin d êre négligeable si l on se fie aux valeurs des coefficiens du ableau 5. Cee esimaion ne donne qu une borne supérieure du biais e ne perme pas d inférer son ampleur. Tableau 6: Décomposiion de la variance des prix Source Rendemen (%) Dividendes (%) Acif-C 97 1 Acif-D 96 3 Données rimesrielles 9 Données annuelles 9 379 Nous essayons égalemen de décrire les sources de volailié des prix à ravers le ableau 6. La décomposiion de variance s appuie sur le résula que la variance du log-raio prix-
dividende es la somme pondérée de la covariance avec la croissance fuure des dividendes e de la covariance avec l opposé des log-rendemens 4. Ce résula es obenu par une approximaion linéaire de l idenié : E ( R ) 1 e 1 e 1 R 1 auour du raio prix-dividende moyen. La conribuion pour chaque composane es donnée par le rappor enre la somme des covariances e la variance (Campbell e Cochrane, p.9) s inspiran de la méhode élaborée dans Cochrane (199) : j1 j cov( p d, x ) j var( p d ), x d ou r (1) où PD 1 PD es le poin de linéarisaion À l horizon 0, nous observons rois différences noables enre les données simulées e les données empiriques. La première es liée à la somme des covariaions, qui es proche de 100 pour les deux acifs, signifian qu a un horizon suffisammen long, les rendemens e les dividendes permeen d expliquer la volailié des prix. La deuxième différence, dans les données empiriques annuelles, la conribuion oale des covariaions es rois fois supérieure à la volailié des prix. Lorsque qu on choisi des horizons inférieurs, 8 e 9 par exemple, la conribuion oale es respecivemen de 87% e 108%. La dernière différence qui a des implicaions majeures provien de l imporance relaive des rendemens e des dividendes dans la volailié. Ainsi, l analyse des données empiriques monren que les dividendes on la conribuion la plus imporane à la volailié des prix, andis que les données simulées du modèle de Campbell e Cochrane (1999) suggère que la principale source de la variabilié des prix provien des anicipaions de rendemens. En somme, À l horizon 9, dans les données canadiennes, la croissance des dividendes de long erme perme de rendre compe de la volailié du raio prix-dividende, alors que pour les deux acifs simulés, le oal es aein auour de l horizon 0 en raison de la variaion emporelle des rendemens. Commen expliquer des différences aussi drasiques enre les deux ensembles de données? 4 Ce résula peu êre dérivé de l équaion de la valeur présene à la noe de bas de page 3 :
Tou d abord, ce résula fai écho à la faible preuve en faveur de la prévisibilié des rendemens discuée précédemmen. Cochrane (008) souien, simulaions à l appui, que la endance au reje prévisibilié des rendemens peu êre causée par des biais des esimaeurs e refléer un manque d efficacié des régressions comme procédure permean de déecer la prévisibilié. En pariculier, il monre que le (reje) es de la prévisibilié de la croissance des dividendes dans le cadre d un VAR a plus de validié. Son raisonnemen es le suivan : si les rendemens son non prévisibles, alors la croissance des dividendes doi êre prévisible pour êre cohérene avec le raio dividende-prix. Si nous nous référons à l argumenaion de Cochrane (008) ci-dessus, nore spécificaion du modèle implique que la croissance des dividendes es non prévisible (Voir l équaion (18)). La conséquence de ce résula es prévisible : la source de volailié du raio prix-dividende provien des prévisions des rendemens; auremen di, les rendemens son prévisibles. D où l écar enre les deux ensembles de données. Par conre, les données canadiennes conduisen à une conclusion aux anipodes de ce résula. En pariculier, la roisième différence que nous avons relevée suggère que la croissance des dividendes es prévisible (Cochrane, 199, p.59). Ces différences ne rerouven dans Campbell e Cochrane (1999) qui aribue la volailié des prix aux rendemens. Pour confirmer ces résulas, nous effecuons la régression des dividendes à différens horizons sur le raio prixdividendes que nous présenons dans le ableau 7 qui a la même srucure que le ableau 5. Globalemen, les résulas son diaméralemen opposés à ceux du ableau 5 pour les rendemens. Les régressions monren que la croissance de la consommaion e des dividendes simulées, conformémen à nore spécificaion ne son pas prévisibles. En effe, les coefficiens on le signe aendu mais on R faible à ous les horizons. Dans les données annuelles par conre, la prévisibilié iniialemen faible à cour erme (l horizon 1) s améliore au fur e à mesure que l horizon évolue. À l horizon 8, jusqu à 1% de la variaion des dividendes son expliqués. Ce examen des régressions end à suggérer les modèles classiques de valeur acuelles, aussi appelés modèles de marchés efficiens (Efficien Marke Models) qui décriven les prix comme la valeur présene des dividendes acualisés à aux consan, seraien valides. Ce qui nous ramène à nore discussion précédene sur la prévisibilié des rendemens.
Tableau 7: Régressions des dividendes de long erme Acif-C Acif-D Données (composie) Horizon 10 x coefficien R 10 x coefficien R 10 x coefficien R 1-0.00 0.00008-0.007 0.00007 0.63 0.043-0.007 0.0009-0.0 0.0006 1.1 0.063 3-0.011 0.00041-0.09 0.00037 1.58 0.063 4-0.013 0.0004-0.034 0.00038.14 0.09 5-0.015 0.00048-0.041 0.00045.61 0.11 6-0.018 0.0005-0.046 0.00048 3.38 0.16 7-0.01 0.0006-0.054 0.00057 4.03 0. 8-0.0 0.00053-0.056 0.00047 4.77 0.1 Ce résula conredi plusieurs recherches anérieures sur les données canadiennes. Carmichael e Samson (1996, p.606) dans une analyse conjoine des rendemens boursiers américains e canadiens rouven que les derniers son prévisibles mais moins que les premiers e le deviennen auan lorsque des variables américaines son inclues dans l analyse, ce qui poinerai, sous l hypohèse d inégraion, non vers une absence de prévisibilié des rendemens, mais pluô une insuffisance des variables économiques canadiennes à expliquer la dynamique des rendemens boursiers. Schmiz (1996) observe des phénomènes similaires aux données américaines complèemen opposés qui corresponden à nos données simulées : faible prévisibilié à cour erme qui s améliore avec l horizon de mesure. Encore une fois, le reje de la prévisibilié des rendemens doi êre suje à cauion. Comme le souligne formellemen Campbell e Cochrane (1999,000), la principale raison des difficulés du modèle CCAPM à rendre compe d une évoluion conjoine de la consommaion e des rendemens provien de la faible corrélaion enre ces deux variables observée dans les données conradicoire avec le modèle CCAPM (Breeden, 1979, p.65).
Tableau 8: Corrélaion enre la croissance de la consommaion e le rendemen des acions Modèle annuel Données empiriques Corrélaion Acif-C Acif-D Trimesrielle Annuelle e r, Δc - -0.1-0.11 0.003-0.11 e r, Δc -1-0.10-0.096 0.016-0.3 e r, Δc 0.70 0.74 0.075 0.086 e r, Δc +1 0.01 0.011 0.7 0.49 e r, Δc + -0.007-0.008 0.091-0.11 La corrélaion croisée enre les rendemens des acifs e la croissance de la consommaion avancée e reardée, aussi bien pour chaque acif que pour les données empiriques, es présenée dans le ableau 8. La comparaison avec les données annuelles monre qu il y a coïncidence des signes des corrélaions. Mais il y a des différences à plus d un ire. La corrélaion conemporaine es la plus élevée dans les données simulées. Les rendemens pour les deux acifs son plus foremen corrélés avec la croissance reardée de la consommaion que la consommaion avancée alors que l inverse es observé dans les données annuelles. Cependan, si on considère l écar-ype asympoique des coefficiens de corrélaion es donnée par 1/ T, aucun n es significaif aux niveaux de es usuel. La corrélaion dans les données annuelles es plus élevée que dans les données rimesrielles. L agrégaion emporelle aurai des effes sur la corrélaion. Ce qui suggère une inerpréaion prudene des résulas. De façon générale, la corrélaion es assez faible enre les rendemens e la croissance de la consommaion à l opposé des implicaions du modèle CCAPM classique e le modèle n arrive pas à reproduire les caracérisiques empiriques de la relaion enre les rendemens e la croissance de la consommaion.
Tableau 9: Corrélaion du faceur d'acualisaion sochasique avec différenes variables Croissance de la consommaion Acif-C Acif-D Annuel -0.64-0.84-0.84 Dans le ableau 9, on observe paradoxalemen que le faceur d acualisaion sochasique es plus foremen corrélé avec les rendemens des acifs simulés qu avec la croissance de la consommaion qui en es pouran une composane. Le faceur d acualisaion sochasique es le produi de la croissance de la consommaion relaive e de la croissance de la consommaion élevée à une puissance (Voir équaion (5)). En fai, la volailié du premier erme brouille la fore corrélaion enre les deux variables observée dans le CCAPM classique. Figure 6. Croissance de la consommaion simulée en foncion du rendemen
Le nuage de poins de la figure 6 radui une relaion conemporaine posiive fore elle qu observée dans le ableau 9 enre la croissance de la consommaion e les rendemens, mais présene une parie pariculièremen effilée en son milieu qui lui donne une forme en «enonnoir». La concenraion des poins es la plus élevée dans cee zone e semble circonscrie dans un espace limiée par deux droies qui se croisen au milieu du nuage. Cela correspondrai en fai aux deux bornes de la consommaion relaive (Campbell e Cochrane, 1999, p.33). Dans le modèle CCAPM, classique, sous l hypohèse de lognormalié de la consommaion e des rendemens, la log-croissance de la consommaion e le log-rendemen espéré condiionnel son parfaiemen corrélés. Cependan, dans cee spécificaion, nous invoquons la même raison que celle du ableau 8, à savoir l effe croissance brue de la consommaion relaive. La corrélaion rese cependan rès élevée. Figure 7. Croissance de la consommaion simulée en foncion du rendemen Nous revenons sur nore propos du débu de la deuxième parie où nous avons présené le modèle e les implicaions en ce qui a rai à la consommaion e aux habiudes.
Afin de bien visualiser la relaion enre le niveau de consommaion e celui des habiudes, décrie dans la première parie, nous consruisons à parir des données simulées de la consommaion une série pour la croissance cumulaive de la consommaion. De cee série e celle de la consommaion relaive, nous déduisons une série pour la croissance cumulée du niveau d habiudes. Cee série es représenée sur la figure 7 en parallèle avec celle de la consommaion. On observe, comme l implique la formulaion du modèle que, la croissance cumulée des habiudes rese en ou poin inférieure à celle de la consommaion e sui de près son évoluion, raduisan un ajusemen des habiudes en ermes des flux de la consommaion passée. Nous avons au débu de cee parie monré que les simulaions du modèle permeen de reproduire les momens des prix e des rendemens observés empiriquemen. Nous nous inéressons mainenan à la capacié du modèle à reproduire les mouvemens des prix des acions sur la période concernée. Figure 8. Raios P/D simulé e hisorique
La figure 8 monre que les résulas ne son pas concluans. Le modèle arrive à reproduire les mouvemens des prix seulemen pour une parie de la première décennie 1961-1970 e pariellemen à fin de la période éudiée. Dans la période 1975-1990, le modèle suresime le niveau des prix pour la période 1975-199 e sous-esime largemen les prix pour la période 1995-007. Le pic pour oue la période correspond au somme de la bulle echnologique en 000 conjoinemen à un pic de la consommaion. La deuxième moiié de la décennie 90 éé marquée par une envolée des cours qui n a pas de conreparie en ermes de la consommaion. À parir de 004, on a une hausse de la consommaion qui n es pas répercuée dans les prix comme l implique nore modèle. Globalemen, le modèle reprodui qualiaivemen cerains mouvemens des prix, mais la déviaion es imporane, en milieu de période e surou pour la dernière période menionnée. Ce échec condui nécessairemen à poser la quesion de la spécificaion du choc de la consommaion. La définiion d une log-croissance consane es équivalene à une spécificaion de la log-consommaion comme une marche aléaoire qui a l inconvénien de resreindre l auocorrélaion du processus à un seul ordre. D aures choix de spécificaions possibles permean d appréhender les ordres plus élevés pourraien êre envisagés. V. Discussion 1. Inuiion du modèle Pour monrer clairemen l appor de la spécificaion des habiudes, nous abordons le paradoxe de la prime de risque dans une aure perspecive, celle de Hansen e Jaggannahan (Danhine e Donaldson, p180). Dans un cadre général indépendan des préférences, ils dériven une borne supérieure au raio de Sharpe, la prime par unié de risque qui révèle que, sur la base de valeurs des paramères plausibles, la faible volailié du faceur d acualisaion sochasique dans le modèle classique : induie par les données de la consommaion agrégée es à la source du paradoxe.
Dans le CCAPM classique, il es uniquemen déerminé par le aux de croissance de la M C C consommaion : 1 1 Dans la spécificaion reenue dans nore recherche, cee expression es mulipliée par la croissance de la consommaion relaive élevée à une puissance, ce qui perme d augmener sa variabilié. Campbell e Cochrane (1999) parle de mécanisme amplificaeur. Le raio de Sharpe maximal es obenu à parir de la borne de Hansen e Jagannahan : E ( R ) ( M ) () e 1 1 max e 1 e ( R 1) E ( M 1) Pour le modèle à spécificaion exerne des habiudes, nous reprenons l équaion (9) : E ( R ) (3) e 1 1 max e e ( R 1) 1 1 s s En choisissan les saisiques dans les données empiriques, on obien comme raio de Sharpe de 0.14, on en dédui pour le CCAPM classique à l éa saionnaire S une valeur de 1 pour γ. Le consensus dans la liéraure sur une valeur de gamma proche de 1 a condui à nommer cee incohérence le paradoxe de la prime de risque. Dans le second cas, nous obenons une valeur de 0.46 plus raisonnable bien que rès faible. Cela s explique par le fai que la prime de risque es dans les deux cas une foncion croissane du coefficien d aversion au risque. Cependan, avec formaion d habiudes, il es variable dans le emps e augmene en période de récession (S faible) de sore que le coefficien d aversion relaive au risque peu êre mainenu à un niveau élevé ou en fixan le paramère γ à un niveau raisonnable. Ainsi il es donné par : CRRA = S À l éa saionnaire S il s élève à. Nous avançons quelques pises de réflexion pour les insuffisances du cadre d analyse uilisé e relevons d aures orienaions de la recherche.