Produi de Convoluion Principe e Propriéés par Vincen Choqueuse, IUT GEII
. Problémaique Problémaique Conexe : Soi un sysème Linéaire e Invarian dans le Temps (SLIT) défini par sa réponse à une impulsion de dirac, h(). SLIT Enrée Sorie Objecif : Deerminer le signal de sorie lorsque l on applique un signal x() en enrée. Soluion : Il es possible de démonrer que l opéraion réalisée par le sysème es un produi de convoluion. Vincen Choqueuse (IUT GEII) Produi de ConvoluionPrincipe e Propriéés /
. Produi de Convoluion Produi de Convoluion Définiion. (Produi de Convoluion) Le produi de convoluion de deux signaux x() e y(), noé x y(), es défini par : x y() = τ es la variable muee du produi de convoluion. x(τ)y( τ)dτ () Vincen Choqueuse (IUT GEII) Produi de ConvoluionPrincipe e Propriéés 3 /
. Produi de Convoluion Produi de Convoluion Exemple : Soi x() = y() = Π () deux foncions pores de largeur l =. En uilisan (), le produi de convoluion s exprime sous la forme + x y() = Π ( τ)dτ = Π (u)du () Si < ou >, x y() = (3) Si <, + x y() = du = + (4) Si <, x y() = du = (5) Vincen Choqueuse (IUT GEII) Produi de ConvoluionPrincipe e Propriéés 4 /
. Produi de Convoluion Produi de Convoluion Exemple : Finalemen en uilisan les équaions précédenes, on rouve { si < < x y() = ailleurs (6).5.5 τ=.5 Π (τ).5 Π ( τ).5 x * y().5.5 4 4 τ.5 4 4.5 4 4 Fig.: Signal x(τ) Fig.: Signal y( τ) Fig.: Produi de convoluion Vincen Choqueuse (IUT GEII) Produi de ConvoluionPrincipe e Propriéés 5 /
. Produi de Convoluion Produi de Convoluion Exemple : Soi h() la réponse impulsionnelle d un canal acousique. En admean que le canal se compore comme un sysème SLIT, la réponse à une enrée x() es donnée par x h(). x().8.6.4...4.6.8.5.5.5 Fig.: Signal de parole (play) h().8.6.4...4.6.8.5.5.5 Fig.: Réponse impulsionnelle (play) x * y().5.5.5.5.5.5.5 Fig.: Produi de convoluion (play) Vincen Choqueuse (IUT GEII) Produi de ConvoluionPrincipe e Propriéés 6 /
3. Propriéés Commuaivié Propriéé du produi de convoluion Propriéé 3. (Commuaivié) Soi deux signaux noés x() e y(), leur produi de convoluion es commuaif c-a-d x y() = y x() (7) Vincen Choqueuse (IUT GEII) Produi de ConvoluionPrincipe e Propriéés 7 /
3. Propriéés Translaion emporelle Propriéé du produi de convoluion Propriéé 3. (Convoluion par un dirac) La convoluion d un signal x() avec un dirac décalé en emps de, δ( ), es égal à : x δ( ) = x( ) (8) En pariculier en posan =, on remarque que l impulsion de dirac es l élémen neure de la convoluion car x δ() = x() Vincen Choqueuse (IUT GEII) Produi de ConvoluionPrincipe e Propriéés 8 /
3. Propriéés Translaion emporelle Propriéé du produi de convoluion Exemple : Soi x() = Π l () un signal pore de paramère l =. Les figures suivanes représenen les signaux x(), δ( ) e le produi de convoluion x δ( )..5.5 =.5 x()=π ().5 y()=δ ( ).5 x * y().5.5 4 4.5 4 4.5 4 4 Fig.: Signal x() = Π () Fig.: Signal y() = δ( ) Fig.: Produi de convoluion Vincen Choqueuse (IUT GEII) Produi de ConvoluionPrincipe e Propriéés 9 /
3. Propriéés Transformée de Fourier du produi de convoluion Propriéé du produi de convoluion Propriéé 3.3 (Transformée de Fourier du produi de convoluion) Soi x() e y() deux signaux don les ransformées de Fourier respecives son X(f) e Y(f). On peu monrer que F [x y()] = X(f)Y(f) (9) F [x()y()] = X Y(f) () Convoluer dans le domaine emporel revien à muliplier dans le domaine fréqueniel. Muliplier dans le domaine emporel revien à convoluer dans le domaine fréqueniel. Vincen Choqueuse (IUT GEII) Produi de ConvoluionPrincipe e Propriéés /
3. Propriéés Transformée de Fourier du produi de convoluion Propriéé du produi de convoluion Exemple : Les 3 figures suivanes présenen les signaux x(), h() e y() = x h() dans les domaines emporel e fréqueniel. x().8.6.4...4.6.8.5.5.5.9.8.7.6 Fig.: Signal x() h().8.6.4...4.6.8.5.5.5.9.8.7.6 Fig.: Signal h() x * y().5.5.5.5.5.5.5.9.8.7.6 Fig.: y() = x h() X(f).5 H(f).5 Y(f).5.4.4.4.3.3.3.......5.5.5.5 f x 4.5.5.5.5 f x 4.5.5.5.5 x 4 Fig.: Specre X(f) Fig.: Specre H(f) Fig.: Specre Y(f) Vincen Choqueuse (IUT GEII) Produi de ConvoluionPrincipe e Propriéés /