LE MODÈLE DE HESTON DANS SON CONTEXTE HISTORIQUE

DOSSIER TECHNIQUE Revue de modèle Le modèle de Heson Adrien Génin Adrien Génin a effecué son Maser 2 Ingénierie Financière e Modèles Aléaoires à l Universié Paris 6. Au sein d Opus Finance Research, il ravaille sur les différenes méhodes de modélisaion de la volailié implicie e sur les modèles de aux à rois faceurs. Ses compéences en mahémaiques e en analyse numérique lui permeen de proposer des méhodes de valorisaion e des indicaeurs de risque innovans. E n 1993, Seven L. Heson, chercheur à l universié de Yale, propose un modèle à volailié sochasique pour expliquer la dynamique de la volailié, du sous-jacen e l influence du premier sur le deuxième. Nous proposons de revenir sur ce modèle dans un bu pédagogique afin de mieux comprendre ses réelles innovaions, ses caracérisiques, ses limies e ses difficulés de mise en oeuvre. Bien que ce soi un modèle rès classique de la boîe à ouils quaniaive, en dégager une compréhension inuiive n es pas si éviden... Le modèle de Heson es un modèle à volailié sochasique qui s inspire à la fois du modèle CIR pour expliquer la dynamique de la volailié e du modèle de Black-Scholes. L idée d uiliser la volailié sochasique comme second faceur de risque a éé inroduie par John C. Hull e Alan Whie en 1987. Elle a éé inroduie pour répondre à l échec du modèle de Black-Scholes à reproduire l ensemble des prix des opions sur un même sous-jacen. En 1985, John C. Cox, Jonahan E. Ingersoll e Sephen A. Ross on développé un modèle pour expliquer les phénomènes de clusers e de reour à la moyenne observés sur les aux d inérê qui pore aujourd hui leurs noms. Avan de présener le modèle, regardons ce qui se passe concrèemen sur les marchés. QU OBSERVE-T-ON SUR LES MARCHÉS? Quelle dynamique pour la volailié? Le VIX, pour Volailiy Index, es calculé en faisan la moyenne des volailiés des opions d acha e de vene sur le S&P 500 : c es un indicaeur de la dynamique de la volailié des opions. Hisoriquemen, on observe une volailié élevée non pas poncuellemen mais sur des inervalles de emps. Ce phénomène s appelle les clusers de volailié. On remarque aussi que la volailié a endance à reourner vers sa moyenne. À la façon d une masse accrochée à un ressor que l on éire, le sysème oscille mais les froemens diminuen leur ampliude e le ressor se sabilise auour de sa longueur à vide. Ces phénomènes son LE MODÈLE DE HESTON DANS SON CONTEXTE HISTORIQUE Les modèles 1900 : Louis Bachelier souien sa hèse Théorie de la spéculaion. 1973 : Fisher Black e Myron Scholes publien l aricle fondaeur The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies. 1985 : Cox, Ingersoll e Ross publien A Theory of he Term Srucure of Ineres Raes. Modèle avec reour à la moyenne e clusers pour les aux. 1987 : généralisaion du modèle de Black- Scholes avec une volailié sochasique. The pricing of Opions on Asses wih Sochasic Volailiies, Hull e Whie. 1993 : Heson publie A Closed-Form Soluion for Opions wih Sochasic Volailiy wih Applicaios o Bond and Currency Opions. L économie 1973 : créaion du premier marché organisé d opions, le Chicago Board Opions Exchange (CBOE). 1982 : dee bancaire des pays en voie de développemen suie à une rès fore hausse des aux cours. Ocobre 1987 : crise du marché obligaaire puis du marché acion. 1992-1993 : crise du Sysème Monéaire Européen. 44

RETOUR À LA MOYENNE ET CLUSTERS DE VOLATILITÉ OBSERVÉS SUR LE VIX DOSSIER TECHNIQUE Source : Bloomberg neemen visibles sur la période de 2000 à 2013 e son mis en évidence dans l encadré ci-dessus. Quelle influence sur la dynamique du sous-jacen? En représenan le S&P 500 e le VIX (voir l encadré ci-dessous), on disingue clairemen une corrélaion négaive enre le sous-jacen e sa volailié : c es l effe de levier. Une des raisons de ce phénomène es que la diminuion de la valeur des sous-jacens peu enraîner un réajusemen massif des porefeuilles e donc une augmenaion de la volailié. Dans des périodes de hausses, la nécessié de réajuser le porefeuille es moins pressane e donc l effe d urgence es amoindri ce qui crée l asymérie. EFFET DE LEVIER ENTRE LE SOUS-JACENT ET LA VOLATILITÉ Source : Bloomberg 45

DOSSIER TECHNIQUE FONCTIONNEMENT DU MODÈLE PAS À PAS En considéran la variance à deux insans successifs 1 e 2 rès proches, enre lesquels s es écoulé un emps Δ, puis en discréisan la dynamique de la variance par un schéma d Euler, on obien l expression suivane : LE MODÈLE Le modèle de Heson es caracérisé par deux équaions différenielles sochasiques donnan la dynamique du sous-jacen e de sa volailié. { ds = µ d + v dw 1 dv = κ (θ v ) d + σ v dw 2 v 2 = v 1 + κ (θ v 1 ) + σ v 1 Z, Z N(0, 1) On s aperçoi que la variance à l insan 2 es esseniellemen déerminée par la variance à l insan 1. À cela il fau ajouer un erme de reour à la moyenne déerminise e un brui, nul en moyenne mais don la dispersion es proporionnelle au niveau de variance précéden v 1. Le niveau de volailié dépend donc esseniellemen du niveau de volailié à l insan précéden, ce qui perme de modéliser des périodes de fore volailié e des périodes de faible volailié (des clusers en anglais). Le sous-jacen, lui, sui un processus de ype Black- Scholes mais la volailié consane a éé remplacée par la volailié sochasique. Ces deux processus son corrélés via leurs mouvemens browniens : dw 1, dw 2 = ρd. Inuiivemen, le erme en v devan la parie aléaoire de la dynamique du sous-jacen perme de caper l impac d un choc de volailié sur le sous-jacen grâce au paramère de corrélaion. Si la corrélaion es négaive alors un choc sur la volailié va enraîner un choc de sens opposé sur le sous-jacen. On observe ce effe plus clairemen enre deux insans 1 e 2 rès proches : 2 =(r + 1 )+1 v1 (ρz + ) 1 ρ 2 X, X N(0, 1) independan de Z La dérive ou drif es déerminée par le niveau précéden plus le aux d inerê : 2 = rδ. Le poin imporan es que pour simuler les processus de volailié e du sous-jacen, ) ( les mêmes réalisaions de la variable aléaoire Z doiven êre uilisées. Pour se donner une inuiion, on suppose que ρ = 1. Dans ce cas la dynamique discreisée du sousjacen devien : 2 =(r + 1 ) 1 v1 Z Les chocs de volailié son déerminés par les réalisaions de Z. Il apparaî clairemen dans ce cas que le même choc es reporé sur le sous-jacen mais le signe inverse le sens du choc. Ceci perme d expliquer l effe de levier. La variance de l acif υ sui un processus de ype CIR, du nom des chercheurs John C. Cox, Jonahan E. Ingersoll e Sephen A. Ross qui l on iniialemen inrodui pour expliquer la dynamique { des aux d inérê. Ce modèle es caracérisé par un paramère de reour à la moyenne κ e une variance long erme θ. Ils permeen de prendre en olacompe la endance de la mo volailié à reourner vers sa moyenne après une bruale hausse. Pour reprendre l exemple du ressor, la force de rappel d un ressor peu êre exprimée de la façon suivane : F = k L L 0 où κ es le coefficien de raideur du ressor reconnai e L 0 sa lalongueur par olaà vide. On reconnaî la parie déerminise du processus CIR : κ(θ v ). Le roisième paramère qui caracérise le modèle ecir la vola es σ. C es la volailié de la volailié. Elle es supposée consane olaili mais le erme en v devan le mouvemen brownien dw 1 2 vola perme de rendre compe des périodes de fore volailié. CAS D UNE OPTION D ACHAT EUROPÉENNE Nous allons uiliser ce modèle pour évaluer le prix des opions d acha européennes. Pour ces conras il exise une formule ressemblan à celle obenue à l aide du modèle de Black e Scholes : C(S 0, K, υ 0,, T) = Q 1 Ke r(t ) Q 2. Mais les foncions de répariions de la loi normale N(d 1 ) e N(d 2 ) on éé remplacées par les ermes Q 1 e Q 2. Il es oujours possible d exprimer le prix d une opion d acha européenne, sous une forme à la «Black e Scholes», e cela indépendammen du modèle. En effe, en uilisan une echnique de changemen de numéraire, on rouve en oue généralié, mais seulemen pour une opion vanille, une formule du ype Q 1 Ke r(t ) Q 2 : ] C = e r(t ) (2) [ (ST K) +] = e r(t ) (2) [ [ ] [(S T ] K) ST >K] = e r(t ) (2) [S T ST >K] Ke r(t ) (2) [ ] ST ST >K r(t ) (2) = Ke [S T >K] S T = [S T >K] Ke r(t ) (2) [S T >K] [ S T >K] 46

CONTRAINTES TECHNIQUES Le processus de variance υ rese oujours posiif mais dans cerains cas il peu oucher 0 e rebondir. Cependan, la volailié s inerprèe comme la variance associée au sous-jacen en an que variable aléaoire, elle es donc par naure sricemen posiive. De plus, du poin de vue echnique, la foncion racine carrée : x x ne vérifie pas les condiions de régularié nécessaires pour appliquer la formule d Iô en x = 0. Ce qui d Iô condui en aussi à une convergence rès lene du schéma d Euler. DOSSIER TECHNIQUE Il fau donc garanir l exisence de soluions sricemen posiives pour l équaion différenielle sochasique décrivan la variance. Le résula es mères le suivan :, si les paramères κ, θ, σ e la volailié iniiale υ 0 son sricemen posiifs e si la condiion de Feller : 2κθ > σ 2 es vérifiée alors il exise e une unique soluion sricemen posiive sur chaque inervalle de emps [0, ] ervalle el que de [0, ]. Pour comprendre inuiivemen ce résula, on peu chercher à savoir quel es le ype de loi suivie par la volailié dans ce modèle. Il es possible de monrer mahémaiquemen que la volailié sui, à un faceur près 1/L, une loi du que χ 2 décenrée la volailié à n degrés sui, àde un liberé f (L = σ2 (1 4κ e κ ), n = 4κθ σ 2 e ir un une paramère volailiéde nondécenrage nulle, ξ = 4v 0κ ). σ 2 (e κ 1) de la volaili Ainsi, pour garanir une volailié non nulle, il fau que la densié de la loi de la volailié soi nulle en 0. Or, la densié de la loi du χ 2 es nulle en 0, dès que le degré de liberé es sricemen supérieur à 2, comme cela es illusré sur la figure ci-conre. supérieur C es la àcondiion 2, com de Feller : n>2 2κθ > σ 2 Quelques densiés de la loi du en foncion de leur degr. Quelques densiés de la loi du χ 2 en foncion de leur degré de liberé. 47

DOSSIER TECHNIQUE Où es la probabilié forward-neure, andis que (2) représene la probabilié risque-neure. L indice signifie qu il s agi d une probabilié condiionnellemen à l informaion disponible à la dae. En réalié, le changemen de numéraire es difficile à exploier direcemen : on ne connaî ni une expression analyique ide un la soluion pour S T nnai, ni la loi du processus S T sous e. [ (2) Pour aller plus loin, il fau considérer les équaions aux dérivées parielles associées à la valeur du produi dérivé U(S, v, ) dans le cadre du modèle de Heson. En considéran un porefeuille de couverure e un raisonnemen visan à évier les opporuniés d arbirage, on rouve l équaion d évoluion suivane pour la valeur du produi dérivé : Finalemen, à parir des expressions de f j e h j on obien ψ j. Puis par Finalemen, à parir Finalemen, des expressions à = parir ξ U = 1 la ransformée 2 U 2 vs2 S + ρσvs 2 U 2 S v + 1 2 fj de Fourier les probabiliés 2 + des ξ 1 expressions f j de + ξ 0 f(équaion Q j ede hf 2 σ2 v 2 U j peuven j e on de h j on obien Riccai) ψ êre calculées.. Puis par i j h e incl la ransformée formule à la Black v + de r Fourier Puis par les inversion j probabiliés = af de j la riφ ransformée Q e Scholes : j peuven de Fourier êre les probabi- Scholes Q j calculées e inclu formule à la Black 2 eliés peuven : êre calculées e incluses dans une formule Finalemen, à parir des expressions de f à la «Black e Scholes» : ( j e h j on obien ψ j. Puis par inversion la ransformée de Fourier les probabiliés Q ) je peuven iφ ln K ψêre j (x,v,,,φ) calculées) e inclues dans u + rs U S + κ (θ v) U v ru La condiion erminale es déerminée par la valeur finale conracuelle du produi. Pour une opion vanille on sai, via l argumen de changemen de numéraire, que l on peu exprimer U(S, v, ) sous la forme Q 1 e r(t ) KQ 2. En effecuan le changemen de variable x = ln S e en injecan cee expression dans l équaion d évoluion, on obien deux équaions pour Q 1 e Q 2 du ype : ( ) ( ) chaque erme fai inervenir la foncion ou ses dérivées e les coefficiens son affines en υ. Ces indices aiden à deviner la forme de la soluion comme une exponenielle d une foncion affine en υ don les coefficiens dépenden du emps. Cee décomposiion ψ j (x,v,,φ)=e (h j+f j v+iφx), où h j e f j son des foncions de e φ, perme de se ramener à des équaions différenielles de ype ramener Riccai, don à des les équaions soluions différenielles son connues de y (avec (ξ 2,ξ 1,ξ 0 )=( σ2, ρσiφ + b 2 j, 1 2 φ2 u j iφ)). { { fj fj h j h j { fj = ξ 2 fj 2 + ξ 1 f j + ξ 0 (équaion de Riccai) de Riccai) = ξ 2 fj 2 + ξ 1 f j + ξ 0 (équaion de Riccai) = af j riφ = af j riφ ( e iφ ln K ψ j (x,v,,,φ) Q j = 1 2 + 1 R Q j = 1 π 0 iφ 2 + 1 formule à la Black e Scholes : R π 0 iφ Q j = 1 2 + 1 ( e iφ ln K R ψ j (x,v,,,φ) π 0 iφ AU-DELÀ DU MODÈLE DE HESTON ) dφ Le modèle de Heson perme ceres de prendre en compe l effe de levier e les clusers de volailié. Cela es-il suffisan? Exise--il d aures comporemens des marchés à prendre en compe dans un modèle d évaluaion des produis dérivés? La réponse es oui! dφ dφ avec : Q j = 1 2 v 2 Q j x 2 + ρσv 2 Q j x v + 1 2 σ2 v 2 Q j v 2 +(r + u j v) Q j x +(a j b j v) Q j v a j = κθ, b j = κ +( ρσ) 2 j, u j = ( 1)j 2 Le problème a éé ransformé. Il ne s agi plus de calculer le prix de l opion, mais seulemen les probabiliés Q 1 e Q 2. E cela es possible à ( l aide des foncions caracérisiques ψ j : ) (j) e ix, où X = ln(s T ). Elles caracérisen complèemen la loi de la variable aléaoire sous les deux probabiliés e (2). Les foncions caracérisiques son des soluions des mêmes équaions que les probabiliés e (2). On s aperçoi que Nous reraçons brièvemen commen ce modèle a éé perfecionné à la suie des ravaux de Heson. Le ableau ci-dessous fourni un panorama des grandes classes de modèles uilisés pour la valorisaion des produis dérivés : le modèle de référence de Black e Scholes, les modèles à volailié sochasique, à saus e les modèles à corrélaion sochasique. Pourquoi développer des exensions des modèles à volailié sochasique en y inégran des saus ou en les rendan mulidimensionnels? Voici quelques pises : Pourquoi inégrer des saus? Un premier consa s impose. Les mouvemens soudains e imprévisibles du sous-jacen son difficiles à caper pour un modèle à rajecoires coninues : le prix à payer es un paramérage irréalise du modèle ; par exemple, une valeur rès élevée de la volailié de la volailié. Ce consa a éé souligné par cerains aueurs pour jusifier l uilisaion de modèles à rajecoires disconinues : In a diffusion model he noion of a sudden, unpredicable marke move [...] is difficul o capure and his is 48 7

where jumps are helpful 1. Les modèles à saus comme le modèle exponeniel de Lévy ou le modèle de Baes on éé inroduis pour pallier cee lacune. Le premier es une généralisaion du modèle de Black-Scholes e le deuxième es une généralisaion du modèle de Heson avec l ajou de saus. Ensuie, ces modèles ne permeen pas de raier le cas imporan de produis poran sur plusieurs sous-jacens. Ils ne permeen pas de répondre à des quesions du ype : commen valoriser une opion sur panier? Pour raier ce ype de problème, il fau modéliser la corrélaion enre les sous-jacens. Les modèles à corrélaion sochasique permeen d y faire face. Le modèle WASC, pour Wishar Affine Sochasic Correlaion, fai parie de cee classe de modèles. Un regard aenif perme de remarquer qu en dimension un, il s agi en fai du modèle de Heson. La modélisaion de la corrélaion pose la même quesion que la modélisaion de la volailié : qu observe--on sur les marchés? Il a éé monré 2 que la corrélaion répond de façon asymérique aux chocs à la hausse ou à la baisse du sous-jacen : par analogie avec l effe observé sur la volailié ce phénomène es appelé effe de levier. Le modèle WASC perme de caper à la fois l effe de levier sur la volailié e sur la corrélaion. DOSSIER TECHNIQUE Modèle Equaion de diffusion Phénomènes capés Marché Reour Clusers Effe Saus Effe de à la de de du sous- levier sur la Acion Taux Change moyenne volailié levier jacen correlaion Black-Scholes d rd ` σdw Modèles à volailié sochasique df F α F β 1 dw 1 SABR dσ νσ dw 2 dw 2 dw 2 ρd d rd `?v dw 1 Heson dv κ pθ v q d ` σ? v dw 2 dw 1 dw 2 ρd Modèles à saus M o d è l e d rd ` σdw ` dz exponeniel Z es un processus de Levy de Poisson composé M o d è l e d rd `?v dw 2 ` dz de dv κ pθ v q d ` σ? v dw 2 Baes dw 2 dw 2 ρd Modèle muli sous-jacens d diagr s `r1d `?Σ dz M o d è l e dσ `ΩΩ T ` MΣ ` Σ M T d WASC `?Σ dw Q ` Q T pdw q T? Σ b dz k 1 Trrr k Rk T sdbk `TrrR k dw T s, k 1,...,n CONCLUSION Nous avons monré dans ce aricle commen le modèle de Heson perme de reproduire les clusers de volailié e l effe de levier. S il rese dans des cas unidimensionnels un ouil inéressan de modélisaion, son exension mulidimensionnelle, le modèle WASC, pourrai êre exrêmemen inéressane pour des modèles de risque de marché comme alernaive aux modèles gaussien souven uilisés en praique. 1. Financial modelling wih jump processes, Rama Con e Peer Tankov, Chapman & Hall - 2. Modeling Asymmeric Comovemens of Asse Reurns, Kenneh F. Kroner e Vicor K. Ng. 49