C.N.D.P. Erpet septemre 0 Rélisé pr Fr. Borlo-Vgééerg Avec l prticiptio de P. de Best, A.-M. Geevrois et J.-P. Gosseli http://www.orlo.et/mths/
Ide. Le premier degré..... Rdicu et eposts..... Les produits remrqules - fctoristio... 4. Le secod degré.... 5. Progressios rithmétiques et géométriques.... 4 6. Polômes... 5 7. Equtios de l droite (ds le pl).... 6 8. Milieu, logueur... 6 9. Sstèmes de équtios à icoues... 6 0. Trigoométrie.... 7. Géométrie ple : quelques élémets fodmetu.... 0. Géométrie de l'espce..... Géométrie ltique de l'espce... 4 4. Les coiques... 5 5. Limites : résumé des méthodes de clcul.... 8 6. Asmptotes... 7. Dérivées... 8. Primitives... 4 9. Applictios des itégrles défiies.... 6 0. Epoetielles et logrithmes... 7. Alse comitoire... 8. Biôme de Newto... 8. Grphes de quelques foctios usuelles... 9 4. Grphes ssociés... 5. Les omres complees.... 6 6. Sttistiques... 7 7. Vriles létoires - lois de proilité... 8 8. Quelques smoles mthémtiques et leur sigifictio.... 40
8. Quelques smoles mthémtiques et leur sigifictio. E l'élémet pprtiet à l'esemle E E L'élémet 'pprtiet ps à l'esemle E E L'esemle E compred l'élémet A B A iter B : esemle des élémets qui pprtieet à l fois à A et à B A B A uio B : esemle des élémets qui pprtieet à A ou à B A B L'esemle A est iclus ds l'esemle B A B L'esemle A cotiet l'esemle B A\B A mois : esemle des élémets de l'esemle A qui 'pprtieet ps à l'esemle B désige l'esemle vide. Celui-ci e compred ucu élémet. #A Crdil A désige le omre d'élémets de l'esemle A P Q L propositio P implique l propositio Q P Q L propositio P est équivlete à l propositio Q E : P Il eiste u élémet de l'esemle E qui vérifie l propositio P ( u mois u élémet de E vérifie l propositio P) E : P Tout élémet de l'esemle E vérifie l propriété P. Le premier degré.. Equtio m + p = 0 ( m, p R) m 0 = - p m Sol. uique :S ={- p m } m = 0 0 = - p ) p = 0 0 = 0 l'éq. est idétermiée : S = R. L foctio f() = m + p Ue foctio f : R R : f() = = m + p ) p 0 0 = -p l'éq. est impossile : S = pour grphe ue droite de pete (ou coefficiet gulire) m f est croisste si m 0 et décroisste si m 0 E repère orthoormé, m est l tgete de l'gle formé pr l droite et l prtie positive de l'e des : m = t α p (,0) m dmet pour rcie = - p m (si m 0) : l droite coupe l'e O u poit (- p m, 0) coupe l e O u poit (0, p) ; p est ppelé ordoée à l'origie. Cs prticulier: si m 0 et p = 0: f() = m (eemple : f() = ) Il s'git lors ue foctio liéire qui dmet pour rcie = 0 So grphe psse pr l origie. α (0,p) (,) Remrques: Si m = 0 : o lors ue foctio de degré 0 si m = 0 et p 0 : f() = p (eemple: f() = ) Nous vos ue foctio costte qui dmet ps de rcies. Elle est à l fois croisste et décroisste : s pete est ulle. (0,) 40 si m = 0 et p = 0 : f() = 0 Il s git lors de l foctio costte ulle, de pete ulle qui dmet ue ifiité de rcies. So grphe est l'e O
. Sige du iôme m + p (m R 0 ) Le iôme m + p est du sige de m u-delà de l rcie (- p ) et du sige cotrire de m m vt l rcie. -p/m m + p sige cotrire de m 0 sige de m 7.. L loi ormle N(µ, σ) Loi : f() = σ π ep - - µ σ 7.. L ormle réduite N(0, ) Loi : ϕ (z) = π ep - z Moee = µ Ecrt-tpe = σ Moee = 0 Ecrt-tpe =. Rdicu et eposts. R + 0 m Z p N 0 \{}: - m = m, R + 0 m, p Q m. p = m+p ( m ) p = m.p m p = m - p m (.) m = m. m = m m 0 = ( R 0 ) m p = p m 7.. Proilité selo ue loi ormle P( X ) = f() d = - µ σ ϕ (z) dz = P ( - µ - µ σ Z - µ σ ) σ 7. Lies etre Biomile, Poisso et Normle Les distriutios de proilité de Poisso et Biomile tedet vers ue coure e cloche ds certies coditios. O résume ces coditios pr le schém suivt :. Les produits remrqules - fctoristio Les formules suivtes sot à utiliser de guche à droite pour fctoriser ou de droite à guche pour effectuer selo les cs. - = ( - ) ( + ) ± + = ( ± ) - = ( - ) ( + + ) + = ( + ) ( - + ) ± + ± = ( ± ) Aisi que l formule de fctoristio du triôme du secod degré : + + c = ( - ) ( - ) si ρ > 0 ( - ) si ρ = 0 >50 p 0 p<5 p = µ v.. de Poisso :X = Po(µ) P (X = k) = e k µ µ k µ = µ σ = µ! v.. iomile : X = Bi (,p) (q = - p) P (X = k) = C k p k q -k µ = p σ = pq µ >0 50 p >5 p 0.5 q >5 p 0.5 µ = p σ = pq v.. ormle : X = N (µ, σ ) P( X ) = Les coditios théoriques telles que (à guche des flèches) sot remplcées pr des coditios prtiques telles que > 50 pr les sttisticies. µ σ π σ e d µ = µ σ = σ 9
7. Vriles létoires - lois de proilité 7. Vriles létoires discrètes : Ue vrile létoire liée à ue épreuve létoire est ue pplictio de l ctégorie d'épreuve de cette epériece létoire ds R : X : Ω R L foctio défiie pr f( i ) = P (X = i ) est l distriutio ou loi de proilité de X L foctio de réprtitio d'ue vrile létoire discrète X est l foctio : F : R R : F() = P (X ) Et doc F() = f( i ) i Si o ote P(X = k ) = p k L moee ou espérce mthémtique : E(X) = µ = k L vrice : V = σ = k p k ( k - µ ) = k 7.. Distriutio iomile : Bi (, p ) p k k - µ p k k (Répétitio de épreuves à deu issues ou épreuves de Berouilli ) Bi (, p ) : (p = P(succès) et q = - p = P(échec)) P (X = k) = p k = C k pk q - k L'écrt-tpe σ = V 4. Le secod degré. 4. Equtio du secod degré à ue icoue. + + c = 0,, c R 0 ρ = - 4c : le rélist ρ > 0 rcies réelles, = - ± ρ ρ = 0 rcie doule réelle = = - ρ < 0 ps de rcie réelle. Lorsque l'équtio des rcies, leur somme S = - et leur produit P = c 4. L foctio du secod degré. Le grphe d'ue foctio du secod degré f() = + + c,, c R 0 dmet toujours pour e de smétrie l droite = - u etrémum de coordoée ( -, f (- )) = (- Si > 0, l prole u miimum, -ρ 4 ) Si ρ < 0, elle e coupe ps l'e des Si < 0, l prole u mimum. µ = p σ = pq et doc : σ = pq 7.. L loi de Poisso : Po (µ) p k = P(X = k) = e- µ µ k k! µ = µ σ = µ Si ρ = 0, elle est tgete à l'e des 7. Vriles létoires cotiues µ = E(X) = f ()d σ = Vr (X) = E[(X - µ ) ] = - ( - µ ) f() d Si ρ > 0, elle coupe l'e des e et solutios de l'équtio + + c = 0 P(- < X < ) = = - f()d (évéemet certi) P(X ) = F() = - f() d 8
4. Sige du triôme du secod degré. Le triôme du secod degré + + c est toujours du sige de suf e ses rcies (lorsqu elles eistet) où il s ule et etre ses rcies où il est du sige cotrire de. ρ > 0 + + c sige de 0 s. cotr de 0 sige de ρ = 0 = + + c sige de 0 sige de 6. Sttistiques 6. Sttistiques à ue vrile p L'effectif totl : = i= L moee : = i= r i (r i = répétitios) p i = i= r i i L'écrt moe est l moee des vleurs solues des écrts à l moee : E m = i= p i - = i= r i i - = i L vrice est l moee des crrés des écrts à l moee V = i= (i - ) = i= p ri ( i - ) = i= p ri i - = ρ < 0 + + c sige de l'écrt tpe est l rcie crrée de l vrice : σ = V 6. Sttistiques à vriles Soit poits de coordoées ( i, i ) : = i et = i= i= i 5. Progressios rithmétiques et géométriques. Progressios rithmétiques : Terme géérl : t = t + ( - ) r Somme des termes : i= Progressios géométriques : Terme géérl : t = t. q - Somme des termes : i= t i = t + t t i = t q q V, σ, V et σ sot clculés comme ds le poit. cov = ( i - ) ( i - ) = i i -. = i= i=. L droite de régressio de e le poit moe (, ) d - = ( - ) et = cov σ L droite de régressio de e le poit moe (, ) d - = ' ( - ) et ' = σ cov Le coefficiet de corréltio liéire r = cov σ σ (et r = ' ) r 4 7
5. Les omres complees. z = + i : est l prtie réelle et l prtie imgiire ( + i ) + (' + 'i) = ( + ') + ( + ')i ( + i ). (' + 'i) = (' - ') + i (' + ') Pl complee ou pl de Guss : A tout omre complee z = + i o ssocie u poit Z de coordoée (, ) ppelé poit-imge du omre complee z = + i. Le omre complee z = + i est l'ffie du poit Z(, ). L'e O est ppelé e réel et l'e O, l'e imgiire. Forme trigoométrique d'u omre complee : L'gle ϕ, formé pr l prtie positive de l'e réel et le segmet qui joit l'origie u poit Z est l'rgumet de z. L logueur du segmet qui joit l'origie u poit Z est le module de z et est souvet oté z. 6 ρ = + = z = ρ cos ϕ t ϕ = = ρ si ϕ Opértios sur les omres complees mis sous forme trigoométrique: ρ (cos ϕ + i si ϕ) = ρ cis ϕ et ρ' (cos ϕ' + i si ϕ') = ρ' cis ϕ' Le produit de deu omres complees o uls est u omre complee dot le module est le produit des modules des fcteurs l'rgumet est l somme des rgumets des fcteurs. c. à d. : ρ cis ϕ. ρ' cis ϕ'= ρ ρ' cis ( ϕ + ϕ') L'iverse d'u omre complee o ul z est u omre complee dot le module est l'iverse du module de z l'rgumet est l'opposé de l'rgumet de z c. à d. ρ cis ϕ = cis (- ϕ) ρ Le quotiet de deu omres complees o uls est u omre complee dot le module est le quotiet du module du premier pr le module du secod l'rgumet est l différece etre l'rgumet du premier et l'rgumet du secod. c. à d. : ρ cis ϕ ρ' cis ϕ' = ρ cis( ϕ - ϕ') ρ' Formule de Moivre : (cis ϕ) = cis ϕ ( Z) Etesios de l formule de Moivre: (cos ϕ - i si ϕ) = (cos ϕ - i si ϕ) Z ρ ϕ 6. Polômes P() = + - - +...+ + + 0 = i i ( 0) : u polôme de degré., -,...,, 0 sot les coefficiets du polôme. 0 est so terme idépedt. Divisio Euclidiee Diviser u polôme P() (dividede) de degré pr u polôme D() (diviseur) de degré m (tel que m ), c'est détermier u polôme Q() de degré - m (quotiet) et u polôme R() de degré < m tels que P() = D(). Q() + R() Eemple : Soit à diviser le polôme p() = 4 - - pr - 4 - - = ( - ). ( +4 + 8) + (6 - ) Propriété : Le reste de l divisio d'u polôme p() pr - vut p() p() est divisile pr ( ) ssi p() = 0 i=0 Et doc : m - m est toujours divisile pr - m - m est divisile pr + si m est pir m + m 'est jmis divisile pr - m + m est divisile pr + si m est impir Cs prticulier : divisio d'u polôme pr ( - ) : Tleu de Horer Eemple : Soit à diviser p() = 5 - + - pr + = - (- ) 5 - + - = ( + ) ( 4-6 + 0-0 + 4) - 87 4 - + 0 + 0 - - - 4 +6 +4 + 8 4 + 0-4 +8 +8 + 0-8 + 6 + 6-0 - 0 - - - 6-0 40-84 - 6 0-0 4-87 Coefficiets du quotiet Reste 5
7. Equtios de l droite (ds le pl). d (, ) et de pete m d - = m ( - ) d A(, ) et B(, ) ( ) m = = - - = m 'eiste ps et d // e des ordoées: d = = m = 0 et d // e des scisses : d = d + + c = 0 pete = m = - d' ' + ' + c' = 0 pete = m' = - ' ' (si 0) (si ' 0) d // d' m = m' ' = ' (si ', ' R 0) d d' m = - (ou ' + ' = 0) m' 8. Milieu, logueur g) g() = f(k.) U poit (, ) du grphe de f deviet le poit (, ) du grphe de g k Le poit du grphe de f pprtet à l'e des pprtiet églemet u grphe de g. Eemple : cos et g() = cos - - - - 0 + A (, ) B (, ) mil de [AB] : P, + dist (A, B) = AB = + = ( - ) + ( - ) 9. Sstèmes de équtios à icoues h) g() = f(-) Eemple : f() = - et g() = - - 9. Méthode géérle : l sustitutio A prtir d'ue des équtios, o eprime ue icoue e foctio de l'utre et o l remplce ds l secode équtio. U poit (, ) du grphe de f deviet le poit (-, ) du grphe de g. - - - 0-9. Cs prticulier : Sstème de équtios du er degré à icoues ) Méthode des comiisos liéires. )Sstème de Crmer : +=c '+'=c',, c, ', ', c' R Les grphes de ces foctios sot smétriques l'u de l'utre pr rpport à l'e des ordoées. (et doc ils coupet cet e e u même poit) - - D = ' ' D = c c' ' D = c ' c' (Détermits ssociés u sstème) ) D 0 Sst. à sol. uique : S = {( D D, D ) D = 0 et D et D = 0 sstème idétermié : ifiité de solutios. c) D = 0 et (D ou D 0) sstème impossile : S = Cette méthode est fcilemet géérlisle à u sstème D )} 6 5
d) g() = k.f() u poit (, ) du grphe de f deviet le poit (, k) du grphe de g Le grphe de g() = k.f() les mêmes rcies que celui de f(). Eemple : f() = - et g() = ( - ) - - 0 - - 0. Trigoométrie.. Iterpréttio grphique des omres trigoométriques Si α (k + ) 90 (k Z): t α = si α cos α α k80 (k Z) cot α = cos α si α et séc α = et coséc α = cos α si α si α α cos α cot α t α e) g() = - f(). Formule fodmetle et ses formules dérivées. U poit (, ) du grphe de f deviet le poit (, - ) du grphe de g Eemple : f() = - et g() = - + - 0 - - cos α + si α = + t α =. Agles ssociés cos α + cot α = si α Pr les figures ci-dessous, o détermie isémet les reltios du tleu suivt : P α P Q α Q P f) g() = f() P P 4 Q Q 4 U poit (, ) du grphe de f deviet le poit (, )du grphe de g. - 0 P, P, et P 4 permettet de situer les gles 80 - α, 80 + α et 60 - α - α Q, Q, Q, et Q 4 permettet de situer les gles 90 - α, 90 + α, 70 - α et 70 + α Eemple : f() = - et g() = - - α+ β = 90 α+ β = 80 β - α = ± 80 α+ β = k60 β α = 90 β = 90 - α β = 80 - α β = ± 80 + α β = k60 - α β = 90 + α si β = cos α si β = si α si β = - si α si β = - si α si β = cos α cos β = si α cos β = - cos α cos β = - cos α cos β = cos α cos β = - si α t β = cot α t β = - t α t β = t α t β = - t α t β = - cot α gles compl. gles suppl. gles ti - gles gles ti - suppl. opposés. compl. 4 7
4. Vleurs.prticulières si α cos α t α 0 0 0 4. Grphes ssociés Ds tous les grphes présetés, g() est e poitillés et f() e trit plei 0 45 ) g() = f () (ou f - ()) (foctios réciproques) U poit (, ) du grphe de f deviet le poit (, ) du grphe de g 60 90 0 / 5. Reltios ds les trigles α + β + γ = 80 Eemple : f() = et g() = Ds u repère orthoormé, les grphes de ces foctios sot smétriques l'u de l'utre pr rpport à l droite d'équtio = 0 ) Ds les trigles rectgles. = + c β + γ = 90 = cos γ = si β = c t β c = cos β = si γ = t γ γ α c β ) g() = f() + k U poit (, ) du grphe de f deviet le poit (, + k) du grphe de g Ds u trigle rectgle, u côté de l'gle droit est égl u produit de Eemple : f() = et g() = + - - 0. l'hpotéuse pr le cosius de l'gle igu djcet à ce côté.. l'hpotéuse pr le sius de l'gle opposé à ce côté.. l'utre côté de l'gle droit pr l tgete de l'gle opposé u premier côté. c) g()= f( + k) ) Ds les trigles quelcoques. U poit (, ) du grphe de f deviet le poit Reltios u sius : si α = si β = c si γ A ( - k, ) du grphe de g - - Eemple : f() = et g() = ( + ) 0 Reltios de Pthgore géérlisées. c α = + c - c cos α = + c - c cos β B β γ C c = + - cos γ 8
6. f : R R : f() = ( > ) : ) : (e trit plei) 7. g : R R : g() = (0<<) : (e poitillés) Eemple : f() = et g() = 0.5 (e poitillés) (e trit plei) Pour > : Foctio strictemet positive croisste = 0 - = + + = 0 est smptote horizotle à guche Pour 0<< : Foctio strictemet positive décroisste = + - = 0 + = 0 est smptote horizotle à droite 8. f : R 0+ R : f() = log ( > ) : (e trit plei) 9. g : R 0+ R : g() = log (0<<) : (e poitillés) Eemple : f() = log () : e trit plei et g() = log 0.5 () (e poitillés) log = 0 log = Pour 0<< : Foctio décroisste 0 +log = + = 0 est smptote verticle Pour > : Foctio croisste 0 +log = - = 0 est smptote verticle log = - + log = + + - - - - 0-5 4 0 4 5 6. Formules d dditio. si ( ± ) = si cos ± cos si cos ( ± ) = cos cos m si si t ( ±) = t ± t m t t 7. formules de duplictio. si = si cos cos = cos si t = t - t 8.Formules dérivées des formules de duplictio (ou formules de Crot). + cos = cos - cos = si 9. Formules e foctio de t si 80 +k60 (k Z) si = t + t 0. Formules de Simpso. si p + si q = si p+q si p - si q = cos p+q cos p + cos q = cos p+q cos p - cos q = - si p+q t p ± t q = si (p ± q) cos p cos q cos = - t + t cos p-q p-q si p-q cos p-q si. Formules iverses (ou formules de liéristio) si cos = si ( + ) + si ( - ) cos cos = cos ( + ) + cos ( - ) - si si = cos ( + ) - cos ( - ) t = t - t 9
. Résolutio d équtios trigoométriques. (k Z). f : R\ { π + kπ } R : f() = t (e trit plei) si = si = + k π ou = π - + k π cos = cos = ± + k π. g : R R : f() = rct (e poitillés) t = t = + k π C.E. : π +kπ. Foctios cclométriques. L foctio tgete est ue foctio 4 = rcsi si = et - π π = rccos cos = et 0 π périodique de période π Ses rcies : = kπ, k Z = rct t = et - π < < π = rcot cot = et 0 < < π. Géométrie ple : quelques élémets fodmetu. Elle est impire : (Smétrie cetrle du grphe pr rpport à l'origie.) Les droites = π + kπ sot des smptotes verticles du grphe. - - - 0 - -. Droites remrqules L foctio rct pour smptotes -.. Méditrice d u segmet horizotles les droites = π et = - π -4 Défiitio : m est l méditrice de [A,B] m AB et m le milieu de [A,B] Propriété : m est l méditrice de [A,B] P m : PA = PB Tout poit de l méditrice d u segmet est situé à égle distce des etrémités de ce segmet et réciproquemet.. Bissectrice d u gle Défiitio : L issectrice d u gle ABˆ C est ue droite BD (D gle A Bˆ C ) telle que l gle formé pr les demi-droites [BA et [BD soit égl à l gle formé pr les 4. f : R\ { kπ } R : f() = cot (e trit plei) 5. g : R R : g() = rccot (e poitillés) L foctio cotgete est ue foctio périodique de période π Ses rcies : = π + kπ, k Z 4 demi-droites [BD et [BC Propriété : BD est l issectrice de A Bˆ C P BD : d(p, AB) = d(p, AC) Tout poit de l issectrice d u gle est situé à égle distce des côtés de cet gle et réciproquemet. Elle est impire : (Smétrie cetrle du grphe pr rpport à l'origie.) Les droites = kπ, k Z sot des smptotes verticles du grphe. L foctio rccot pour smptotes horizotles les droites = 0 et = π - - - 0 - - - -4 0
6. f : R R : f() = 7. f : R Z : E() L foctio prtie etière de.. Médie d u trigle Défiitio : ue médie d u trigle est ue droite compret u sommet d u trigle et le milieu du côté opposé à celui-ci..4 Huteur d u trigle Défiitio : ue huteur d u trigle est ue droite compret u sommet de ce - - - 0 trigle et perpediculire u côté opposé à celui-ci f() = est ue foctio o dérivle e = 0 Pr défiitio, E() est le plus grd etier iférieur ou égl à. 8. f : R R : f() = si (e poitillés) 9. g : [-, ] R : g() = rcsi : (e trit plei) L foctio sius est périodique de période π Ses rcies : = kπ, k Z Elle est impire (smétrie cetrle du grphe pr rpport à l'origie.) π/ - - - 0 - π/ -. Poits remrqules d u trigle. Le cetre du cercle circoscrit à u trigle est le poit d'itersectio des méditrices de celui-ci. Le cetre du cercle iscrit à u trigle est le poit d'itersectio des issectrices de celui-ci. Le cetre de grvité d u trigle est le poit d'itersectio des médies. Il est situé u deu tiers de chque médie à prtir du sommet. L'orthocetre est le poit d'itersectio des huteurs. U cetre d'u cercle e-iscrit à u trigle est l'itersectio d'ue issectrice itérieure d'u des gles du trigle vec les issectrices etérieures des deu utres gles. (Il doc trois cercles e-iscrits à u trigle). Théorème de Pthgore 0. f : R R : f() = cos (e poitillés). g : [-, ] R : g() = rccos : (e trit plei) Ds u trigle rectgle, le crré de l'hpotéuse égle l somme des crrés des côtés de l'gle droit. L foctio cosius est périodique de période π. π = + c Ses rcies : = π + kπ, k Z Elle est pire (grphe smétrique pr rpport à l'e des ordoées.) - - 0 4 5 6 0
.4 Théorème de Thlès Des droites prllèles détermiet sur deu droites fies des segmets homologues de logueurs proportioelles. O peut trduire le théorème de Thlès de deu mières E ous référt u grphique ci-cotre, ous vos ) AB = BC A' B' B' C' ; AB = AC A' B' A' C' Qui eprime que le rpport des logueurs de deu segmets de l droite d est égl u rpport des logueurs des segmets homologues de l droite d' d' d. Grphes de quelques foctios usuelles. f : R R : f() =. f : R R : f() = 4-0 - - - 0 - - ) AB = A' B' BC = B' C' AD A' D' qui eprime que le rpport de l logueur d'u segmet de d à l logueur de so. f : R + R : f() = 4. f : R R : f() = homologue sur d' est costt, quel que soit le couple de segmets homologues. Réciproquemet : si deu droites détermiet sur deu droites séctes des segmets homologues de logueurs proportioelles, lors, ces droites sot prllèles. Applictio prticulière du théorème de Thlès ds u trigle (coue ussi sous le 0 4 5 - - - - 0 om de théorème des milieu) : Le segmet de droite compret les milieu de côtés d'u trigle est prllèle u ème côté et e vut l moitié. 5. f : R 0 R : f() = f() = est décroisste ds R 0 et ds + R 0 = 0 + = 0-0 = - 0 + = + - - - 0 - l droite d = 0 est smptote verticle - l droite d = 0 est smptote horizotle - 9
Propriétés des logrithmes., R + 0,, R + 0 :. log = 0 log =. log (.) = log + log. log = - log = colog (cologrithme de de se ) 4. log = log 5. log = log log. Alse comitoire. Arrgemets simples : Cs prticulier : log = A p m = m (m - )... (m - p + ). (m - p + ) =. Arrgemets vec répétitios : A p m = mp. Permuttios simples : P m = m! 4. Permuttios vec répétitios : r,r,...r Pm log m! (m - p)!, p m 5. Comiisos simples : C p m = m! p! (m - p)! = Ap m p!, p m 6. Comiisos vec répétitios : C p m = Cp m + p - Propriétés des comiisos : ) C p m = Cm-p m ) C p+ m+ = Cp m + Cp+ m. Biôme de Newto ( + ) = C i - i i i=0 m! r! r!...r! vec r + r + + r = m.5 Quelques ires et volumes usuels. Logueur du cercle : πr Aire du cercle : πr Aire etérieure de l sphère : 4 πr Volume de l sphère : 4 πr Volume du clidre : πr H Vol. du prllélépipède : S se. Huteur Volume du côe : πr H Vol. de l prmide : S se. Huteur.. Géométrie de l'espce.. Prllélisme.. Critère de prllélisme d'ue droite et u pl : ue droite est prllèle à u pl ssi elle est prllèle à ue droite de ce pl. Critère de prllélisme de deu pls : Deu pls sot prllèles ssi l'u d'eu cotiet deu droites séctes respectivemet prllèles à l'utre.. Orthogolité Défiitios :. Deu droites sot orthogoles lorsque leurs prllèles meées pr u poit quelcoque de l'espce sot perpediculires.. Ue droite d et u pl α sot orthogou lorsque l droite d est orthogole à toute droite du pl α. Deu pls sot perpediculires ssi tout pl perpediculire à leur droite d'itersectio coupe ces pls selo deu droites perpediculires. 8
Critère d'orthogolité d'ue droite et d'u pl Ue coditio écessire et suffiste pour qu'ue droite soit perpediculire à u pl est que l droite soit orthogole à deu droites séctes de ce pl. Critère d'orthogolité de pls : Ue coditio écessire et suffiste pour que deu pls soiet perpediculires est que l'u d'eu cotiee ue droite orthogole à l'utre.. Pl méditeur Défiitio : Le pl méditeur d'u segmet [AB] (A B) est le pl perpediculire à l droite AB psst pr le milieu du segmet [AB] Propriété : Ds l'espce, le pl méditeur d'u segmet est le lieu des poits équidistts des etrémités de ce segmet.. Géométrie ltique de l'espce. Equtios de pls : U pl π A (,, ) et pour vecteurs directeurs u(u, u, u ) et v(v, v, v ): Equtio vectorielle de π : OP = OA + AP = OA + ru + sv Equtios prmétriques de π Equtio crtésiee de π : = + ru + sv = + ru + sv z = + ru + sv. Equtios de droites : u v u v z u v = 0 Ue droite d A (,, ) et pour vecteur directeur u(u, u, u ) Equtio vectorielle de d : OP = OA + AP = OA + r u 9. Clcul de l logueur d'u rc. A 9.4 Trvil d'ue force. B L logueur d'ue coure d'équtio = f() peut être oteue pr : L(coure AB) = + (f ()) d Ue force vrie de fço cotiue le log d'ue droite. Soit l distce du poit d'pplictio de l force à u poit fie de l droite, pris comme origie. L force u poit est doée pr l foctio F(). Le trvil effectué, lorsque le poit d'pplictio de cette force se déplce de = à =, est oteu pr : w = F () 0. Epoetielles et logrithmes (O trouver les grphes de ces foctios u prgrphe ) ep : R R : ep () = (foctio epoetielle de se : > 0 et ) log : R + 0 R : log () (foctio logrithmique de se : > 0 et ) log = = : les foctios log et ep sot réciproques l'ue de l'utre. Les foctios épériees e = ( + ) = 0 ( ) + = + i! i=0 ep e () = e est l foctio epoetielle épériee log e () = l () est l foctio logrithme épérie d Equtios prmétriques de d : = + ru = + ru z = + ru Equtios crtésiees de d : si u, u, u 0 : - u = - u = z - u 4 7
9. Itégrles défiies. Défiitio : f () d est ppelée itégrle défiie de l foctio f etre les ores et. Nous vos : f () d = F() F() où F() est ue primitive de f() 9. Clcul d'ires pr les itégrles défiies f f +d L surfce ci-cotre itée pr l'e des, le grphe de l foctio f et les droites d'équtio = et = peut être clculée pr itégrtio. Si f cotiue sur [, ] F ue primitive de f (c.-à-d. F () = f()) da = élémet d'ire = f() d lors : A = da = f() d = [ F() ] = F() - F() mis si f() d 0 lors A = - f() d = [ F() ] = F() - F() 9. Clcul de volumes de révolutio pr les itégrles défiies. f Le volume egedré pr l rottio utour de l'e des d'ue surfce itée pr l'e des, le grphe de f et les droites d'équtio = et = vut : V = dv où dv = π f () d: élémet de volume. Vecteur orml à u pl. π + + cz + d = 0 r (,, c) est orthogol à π.4 Pls prllèles et pls perpediculires. π + + cz + d = 0 π' ' + ' + c'z + d' = 0 π // π' k R : (,, c) = k (', ', c') si de plus d = k. d' lors : π = π ' π π' leurs vecteurs ormu sot ' + ' + cc' = 0.5 Distce d'u poit à u pl π + + cz + d = 0 et P (p, p, p ) d(p, π) = p + p + cp + d + + c.6 Equtio de l sphère L sphère de cetre C (c, c, c ) et de ro r : S ( - c ) + ( - c ) + (z - c ) = r 4. Les coiques S = sommet F = foer d = directrice e = ecetricité 4. Le cercle C((0,0),r) + = r Cercle o cetré à l'origie : C((,), r) ( - ) + ( - ) = r + + + + c = 0 est l'équtio d'u cercle ssi + - 4c > 0 Ds ce cs, il s'git d'u cercle de cetre C ( -, - ) de ro r = + - 4c V = π f () d 6 5
4. L'ellipse L'ellipse est le lieu géométrique des poits du pl dot l somme des distces à poits fies (les foers F et F') est ue costte (supérieure à l distce focle). Ellipses cetrées à l'origie (,, c R + 0 ) E + = si > e focl = e des c = - sommets : (-, 0) (, 0) (0, ) (0, -) foers : (c, 0) et (-c, 0) e = c E + = Si < e focl = e des c = - sommets : (-, 0) (, 0) (0, ) (0, -) foers : (0, c) (0, -c) e = c Ellipses o cetrées à l'origie : E ( - r) ( - s) + = si > e focl = s c = - E 4 ( - r) ( - s) + = si < e focl = r c = - e = c e = c E (-,0) E E4 E (-,0) (-+r,s) (-+r,s) (r,+s) (r,-+s) (0,) (0,-) (0,) (0,-) (r,+s) (r,-+s) (+r,s) (,0) (,0) (+r,s) Les sommets et foers de ces ellipses s'otieet e joutt (r, s) u coordoées 8. Primitives immédites 0.d = C d = + C d = + + + C R\{-} d = l + C = l (C ), C' R+ 0 e d = e + C d = l + C cos d = si + C si d = - cos + C cos d = t + C = ( + t ) d si d = - cot + C = ( + cot ) d - d = rcsi + C = - rccos + C + d = rct + C = - rcot + C 8. Méthodes de clcul.. Pr décompositio: (m f() + p g()) d = m f() d + p g() d où m, p R. Pr sustitutio ( chgemet de vrile) f() d = f(g(t)) g (t) dt. Pr prties. où t = g () f() g () d = f()g() - f () g() d 4. Pr décompositio e sommes de frctios rtioelles simples. respectives des sommets de E ou de E Ecetricité: (0 < e < ) si e est proche de 0, l'ellipse est proche du cercle. si e se rpproche de, l'ellipse s'pltit. 6 5
(cos ) = - si (t ) = + t = (cot ) = - cot = (rcsi ) = (rccos ) = (rct ) = cos - si (cos f()) = - f (). si f() - ( - < < ) (rcsi f()) = - - ( - < < ) (rccos f()) = (t f()) = f (). ( + t f()) = f () cos f() (cot f()) = -f (). ( + cot f()) = - f () si f() f () + (rct f()) = + (f()) f () (rccot )' = - + (rccot f())' = - + (f()) (e ) = e (e f() ) = f () e f() f () - (f()) ( - < f() < ) -f () - (f()) ( - < f() < ) 4. L'hperole L'hperole est le lieu des poits dot l différece des distces à poits fies (les foers F et F') est ue costte (strictemet iférieure à l distce focle). Les coures suivtes sot des hperoles. (,, c R + 0 ) c = + H - = smptotes : = ± sommets : (-, 0) (, 0) foers : (c, 0) (-c, 0) H - = smptotes : = ± sommets : (0,-) (0, ) foers : (0, c) (0, -c) e focl : e des e = c e focl : e des e = c H H (-,0) F(-c,0) (-,0) (0,) (0,-) (0,) (0,) (0,-) (,0) F '(c,0) F '(0,c) (,0) ( ) = l ( f() ) = f (). f() l (l ) = ( > 0) (l (log ) = f()) = f () f () (f() > 0 ).l ( > 0) (log f () f()) = f (). l (f() > 0 ) N.B. : Les formules de dérivtio des foctios trigoométriques e sot pplicles Hperoles o cetrées à l'origie : ( - r) ( - s) H - = e focl : = s Les sommets et foers s'otieet e joutt (r, s) u coordoées de ceu de H Asmptotes : - s = ± ( - r) H F(0,-c) (0,-) (r, s+) (-+r,s) (+r,s) F(-c+r,s) F '(c+r,s) que lorsque l vrile est eprimée e rdis. e = c (r, s-) 8. Primitives Défiitio : si F ' () = f() lors F() est ue primitive de f() F() est ue itégrle idéfiie de f() d ( - s) ( - r) H 4 - = e focl : = r Les sommets et foers s'otieet e joutt (r, s) u coordoées de ceu de H Asmptotes : - s = ± ( - r) e = c H 4 (r-,s) (0,) F '(r,s+c) (r,s+) (r+,s (r,s-) F(r,s-c) (0,-) 4 7
Ecetricité: e > Plus l'ecetricité est grde, plus l'hperole est "ouverte". Hperole équiltère : ses smptotes sot perpediculires = 4.4 L prole Ue prole est le lieu géométrique des poits situés à égle distce d'u poit fie (le foer F) et d'ue droite fie (l directrice d) Les coures dot les équtios suivet sot des proles : P = p e focl : e des scisses. S(0, 0) F( p,0) d = - p P (p/,0) =-p/ 7.5 Poits guleu. U poit du grphe d'ue foctio est u poit guleu ssi l dérivée à guche de ce poit 'est ps égle à l dérivée à droite et que l'ue de ces dérivées u mois 'est ps ifiie. 7.6 Poits de reroussemet U poit du grphe d'ue foctio est u poit de reroussemet ssi l dérivée à guche de ce poit 'est ps égle à l dérivée à droite et que ces deu dérivées sot ifiies. P = p e focl : e des ordoées. P 7.7 Dérivées et opértios lgériques. S(0, 0) F(0, p ) d = - p (0,p/) (kf) = kf =-p/ (f + g) () = f () + g () Proles o rmeées à l'origie : (f.g) () = f ().g()+ f().g () f = - f '() (f()) et f() 0 P ( - s) = p( - r) e focl : = s S(r,s) F(r+ p,s) d = r - p P (r+p/,s) f g ' f ().g() - f().g () = (g()) et g() 0 7.8 Dérivées et compositio /Dérivée de l réciproque. P 4 ( - r) = p( - s) e focl : = r P 4 =r-p/ (fo g) () = f (g()).g () ( f - ) () = f (f - ()) S(r,s) F(r,s+ p ) d = s - p (r,s+p/) 7.9 Dérivées de foctios prticulières. N.B. les sommets et foers de P et P 4 s'otieet e =s-p/ ()' = (k)' = 0 dditiot (r, s) u coordoées des sommets et foers respectifs de P et P ( ) = >0 ( f() ) = f'() f() f() > 0 ( ) = - R 0 0 (f ) () = (f()) - f () R 0 f() 0 (si ) = cos (si f()) = f ().cos f() 8
7. Dérivées 7. Défiitio f f '() = 0 = f( + ) - f() = 0 7. Iterpréttio géométrique f () f () 5. Limites : résumé des méthodes de clcul. 5. Cs d'idétermitio 0. ± ± ± + - (ou - + ) Et ussi : 0 O 0 0 0 0 f(+ ) f() P' P f= Q + t f ' () représete le coefficiet gulire de l tgete t u grphe de f u poit (, f()) Equtio de l tgete t : - f() = f ' () ( - ) 5. Foctio de se - = 0 + = 0 0 + = + et 0 = - 5. Limite e u réel o isolé de l'dhérece du domie de f 7. Croissce, décroissce, etrem d ue foctio Ue foctio f() est croisste e = f () est positive Ue foctio f() est décroisste e = f () est égtive. Ue foctio f() tteit u etremum e (, f()) f () s ule e e chget de sige. Si f () psse du égtif u positif, f() tteit u miimum. Elle tteit u mimum ds le cs cotrire. 7.4 Ses de l cocvité - Poit d ifleio Ue foctio f() toure s cocvité vers les positifs e = s dérivée secode est positive e = Ue foctio f() toure s cocvité vers les égtifs e = s dérivée secode est égtive e = Ue foctio f() dmet u poit d ifleio e (, f()) f() s ule e e chget de sige. 5.. er cs : f est défiie e f() = f() f est cotiue e 5.. ème cs : f 'est ps défiie e. Ue ite met u résultt du tpe r 0 (r 0) est toujours égle à ±. Ue étude de sige du déomiteur permettr de détermier s'il s'git de + ou de -. (Il rriver fréquemmet que l ite à guche soit différete de l ite à droite.). Ds u cs d'idétermitio du tpe 0, o fctorise u mimum pr ( - ) le 0 umérteur et le déomiteur et o simplifie. O lors : f() = de l forme simplifiée ( qui doer selo les cs u omre réel ou r, ce qui ous rmèe u premier cs) 0 S'il s'git d'epressios comportt des rdicu : o multiplie uprvt umérteur et déomiteur pr le iôme cojugué, ou pr ue epressio cojuguée. 9
5.4 Limites e ±. L ite d'u polôme e ± = l ite de so terme de plus hut degré e ±. L ite d'u quotiet de foctios lgériques e ± vut l ite e ± du 0 quotiet des termes de plus hute puissce. e : ± - - 5. L ite e ± d'ue différece de epressios (comportt évetuellemet des rdicu) met ue idétermitio telle que + - Il suffit lors de teir compte des termes de plus hute puissce et ds certis cs, il fudr uprvt multiplier umérteur et déomiteur pr le iôme cojugué, ou pr ue epressio cojuguée. e: ( - + - - ) ± 5.5 Limites de foctios trigoométriques. Pour clculer ce gere de ites, o est souvet meé à utiliser l propriété : 0 si = ( eprimé e rdis) 5.6 Règle de l'hospitl. f() si f, g dérivles sur I et si g() doe ue idétermitio du tpe 0 ± ou 0 ± f() lors g() = f '() g'() f() si f, g dérivles sur ],+ [ et si + g() mèe ue idétermitio du tpe 0 ± ou 0 ± f() lors + g() = f '() + g'() si f, g dérivles sur ]-,[ et si - f() lors - g() = - f() g() mèe ue idéterm. du tpe 0 0 f '() g'() ou ± ± 6. Asmptotes 6. Asmptotes verticles. f : R R dmet ue smptote verticle d = dom f mis dh. dom f et < f() {-, + } et/ou > f() {-, + } Cette défiitio est illustrée pr le grphe ci-cotre. (ds le cs représeté : < 6. Asmptotes horizotles. f : R R f() = + et > f() = - ) f dmet ue smptote horizotle vers l droite : d = f() = + f dmet ue smptote horizotle vers l guche : d = f() = - De ouveu, cette défiitio est illustrée pr les grphes suivts d = d = Le schém de guche représete ue smptote horizotle à guche et celui de droite, ue smptote horizotle à droite. 6. Asmptotes oliques. f : R R dmet ue smptote olique vers l guche : d = + f() = et (f() - ) = - - L défiitio est semlle pour ue smptote olique vers l droite. f() + d = d = +