Plan du ours : Vibraions I. Ssèmes à degré de liberé II. III. IV. Ssèmes à lusieurs degrés de liberé Ssèmes oninus inomressibles Proagaion du son dans les milieu omressibles
Ssèmes oninus inomressibles L équaion de d Alember Limie oninue de la haîne aomique Vibraions longiudinales dans les oures Vibraions de orsion dans un arbre irulaire Cordes vibranes Généralisaion Noions relaives au ondes Fron d onde, raon sonore Onde lane, onde shérique Proagaion en ondes lanes Soluions harmoniques Ondes saionnaires, au d ondes saionnaires Eemles déaillés Vibraions longiudinales d une oure, ondiions d enasremen. Osillaions de leion Méhode de Raleigh Prinie Aliaions
Un ssème es oninu ininié oninue de variables La dnamique es aramérée ar des variables qu on aelle hams. Ce son des onions oninues du ems e de l esae. L équaion de d Alember Limie oninue de la haîne aomique k m k m k m k n- n n u n- u n u n mu&& n ( u ) n un n N kun k
mu&& n ( u ) n un n N kun k (, na) Aos( qna) u n (, ) Aos( q) u n reère la osiion de n ième aome : es une variable disrèe. On onsidère la limie a, alors devien une variable oninue. (, ) Aos( q) u C es mainenan une onion oninue du ems e de l esae. On eu la dériver ar raor à e à.
u, u( ) Aq os( q), A os ( q) u(,) vériie l équaion, q u(, ) u / q on ose qui es homogène à une viesse., u(, ) u C es l équaion de d Alember, enore aelée équaion des ordes vibranes.
L équaion de d Alember Vibraions longiudinales dans les oures [RDM] saique : raion sur une oure F/S F FES δ l/l d l F S δl E l δl/l F Avan raion Arès raion Allongemen relai d ( d ) ( ) d d d d F S E d d
Aliaion de la RFD à la ranhe de oure omrise enre e d. [de seion droie S, de densié ρ] d d F() F(d) d F F d F F Sd e ρ sahan que E S F ES F d ES Sd ρ ρ ρ / ; E E
L équaion de d Alember Vibraions de orsion d un arbre irulaire θ θ dθ Γ Γ dγ d momen d inerie de la ranhe RFD : θ d dγ I aéléraion angulaire oule des ores aliquées
Lois de Hooke [RDM] : Γ G θ κ S ds r κ : es le momen quadraique de la seion droie Γ d d I θ d G G d d θ κ θ κ θ κρ ρ θ ρ θ / ; G G
L équaion de d Alember Cordes vibranes B α( d) A α d d Corde soumise à une ension, de masse linéïque µ, don les délaemens veriau son reérés ar (,). On suosera les angles eis.
RFD sur le segmen de orde de longueur d O : df F ( d) F os ( α( d) ) os( α ) O : df F ( d) F sin α d ( α( d) ) sin( α ) ( α( d) α ) de lus, α( ) df d
O : µ µ µ µ / ; d d df d Résumé µ µ / ; ρ θ ρ θ / ; G G ρ ρ / ; E E Poure [omression-raion] Arbre [orsion isaillemen] Cordes [délaemen longiudinal]
L équaion de d Alember Généralisaion D une manière générale, la dnamique d un ébranlemen déri ar un ham ( r, ), dans un milieu oninu, es généralemen déinie ar l équaion de d Alember : m - m.s - m.s -! Il au reser dans un domaine linéaire des ores de rael! Les soluions de ee équaion son aelées ondes.
Ssèmes oninus inomressibles L équaion de d Alember Limie oninue de la haîne aomique Vibraions longiudinales dans les oures Vibraions de orsion dans un arbre irulaire Cordes vibranes Généralisaion Noions relaives au ondes Fron d onde, raon sonore Onde lane, onde shérique Proagaion en ondes lanes Soluions harmoniques Ondes saionnaires, au d ondes saionnaires Eemles déaillés Vibraions longiudinales d une oure, ondiions d enasremen. Osillaions de leion Méhode de Raleigh Prinie Aliaions
Noions relaives au ondes Fron d onde, raon sonore
Noions relaives au ondes Ondes lanes, ondes shériques Onde longiudinale Onde ransverse Les rons d onde son lans ondes lanes
Noions relaives au ondes Ondes lanes, ondes shériques Les rons d onde son des shères ondes shériques r r r,,,,, ϕ θ r z U U U U sin sin sin ϕ θ θ θ θ θ U r U r ru r r U
sin sin sin ϕ θ θ θ θ θ U r U r ru r r U ru r r U r r r,,,,, ϕ θ r On hange de desriion en osan r ξ ; r r r r ξ ξ ξ r ξ ξ
Noions relaives au ondes Proagaion en ondes lanes Soi une soluion de hangemen de variable q ; ; ; q q
q q q q q q q q q q q q q
4 q q on inègre ar raor à q K q g q q G q ) (, ) ( on inègre ar raor à q K q F ) (, ) (
(, q) g( q) ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) g ) Onde rogressive Onde rérograde orresond bien à la viesse de roagaion dans le milieu, our haune des ondes. Si la viesse ne déend as de la orme de l onde, on di que le milieu es non disersi. Quelle que soi l onde qui s roage, elle le ai à la viesse. Dans le as onraire, il [le milieu] es disersi [raelez vous le as de la haîne aomique].
Noions relaives au ondes Soluions harmoniques Quand il s agissai des aomes d une haîne aomique, on i( φ ) Ae n herhai les soluions sous la orme. C esà-dire que ous les oins du ssème vibren à la même ulsaion. [indéendane linéaire des eonenielles sinon on obien la soluion riviale : il ne se asse rien.] u n On herhe des soluions sous la orme i, e iφ i Ae e n un
i e, [ ] i i e e [ ] i i i e e e k k / ; & & ik ik e C C e k i k i e C C e
i( k) i( k) C e C e Onde rérograde Onde rogressive k π π λ k ulsaion nombre d onde viesse de roagaion
Noions relaives au ondes Ondes saionnaires, au d ondes saionnaires i( k) Ae i( k) Ae Les déendanes emorelles e saiales son déoulées : on observe une onde saionnaire.
onde saionnaire onde ariellemen saionnaire Ae i ( k) i( k) Be Si A±B, l onde es oalemen saionnaire Si A B, l onde es ariellemen saionnaire au d onde saionnaire OS ma min
Ssèmes oninus inomressibles L équaion de d Alember Limie oninue de la haîne aomique Vibraions longiudinales dans les oures Vibraions de orsion dans un arbre irulaire Cordes vibranes Généralisaion Noions relaives au ondes Fron d onde, raon sonore Onde lane, onde shérique Proagaion en ondes lanes Soluions harmoniques Ondes saionnaires, au d ondes saionnaires Eemles déaillés Vibraions longiudinales d une oure, ondiions d enasremen. Osillaions de leion d une oure Méhode de Raleigh Prinie Aliaions
Eemles déaillés Vibraions longiudinales d une oure, ondiions d enasremen ρ E ; E / ρ i( k) i( k), Ae Be a) La oure es enasrée des oés : L (, ) ; ( L, )
a) La oure es enasrée des oés : L (, ) ; ( L, ) i( k) i( k), Ae Be Enasrée en : i i, Ae Be A B Enasrée en L : [ ] i ikl ikl L, Ae e e iae i sin kl kl π i se, iae sin k, C sin k sin k π ; L E ρ π L
se, C sin k sin k π ; L E ρ π L 3 4
a) La oure es enasrée en, libre en L : L (, ) ; F ES, i( k) i( k), Ae Be Enasrée en : i i, Ae Be A B i ( ik ik Ae e e ) i, iae sin k Libre en L : π kl π i, ikae os k ( L, ) os kl π ( )
se, C sin k sin k π L E ρ ( ) ; ( ) π L 3 4
Suerosiion linéaire d ondes saionnaire : enasrée-enasrée Suerosiion linéaire d ondes saionnaire : enasrée-libre
Eemles déaillés Osillaions de leion d une oure L d d L M MdM Fores : Momens : ρs d dm d M : momen léhissan. : eor ranhan. (,) : lèhe de la oure ar raor à l ae neure longiudinal. E : module d Young. ρ : masse volumique. I : momen quadraique.
M S ρ RDM : EI M 4 4 EI S ρ 4 4 EI S ρ Méhode de séaraion des variables g, 4 4 EI S ρ 4 4 g EI S g ρ
4 4 4 4 ρ ρ se C g g S EI g EI S g [ ] r e EI S 4 4 ρ () B A g g g os sin F E D C α α α α osh sinh os sin 4 EI ρs α
n (, ) ( A sin B os ) n n n 4 ρs n α n ; α nl n n EI L n EI ρs La lèhe es dérie ar l évoluion d une enveloe [()] au ours du ems [g()]. Chaque mode es araérisé ar son nombre d onde [α, l eension saiale] e sa ulsaion [, l eension emorelle]. La ulsaion es liée au nombre d onde, lui-même déerminé ar les ondiions au limies, es-à-dire le e d aui à haune des erémiés de la oure.
Condiions au limies enasremen & aui simle/harnière M erémié libre 3 3 M aui élasique (ressor) ± EI k k M 3 3
3 4 n osαl oshαl 3,5,4 6,7,9 ~((n-)π/) 3 4 n sin αl 9,87 39,5 88,8 57,9 (nπ) 3 4 n osαl oshαl,4 6,7,9 99,8 ~((n)π/) 3 4 n an αl anhαl 5,4 5 4 78, ---------
Ssèmes oninus inomressibles L équaion de d Alember Limie oninue de la haîne aomique Vibraions longiudinales dans les oures Vibraions de orsion dans un arbre irulaire Cordes vibranes Généralisaion Noions relaives au ondes Fron d onde, raon sonore Onde lane, onde shérique Proagaion en ondes lanes Soluions harmoniques Ondes saionnaires, au d ondes saionnaires Eemles déaillés Vibraions longiudinales d une oure, ondiions d enasremen. Osillaions de leion d une oure Méhode de Raleigh Prinie Aliaions
Méhode de Raleigh Prinie La méhode de Raleigh ser à esimer les ulsaions rores d un ssème. Les ondiions d aliaion son : réonse harmonique as de dissiaion les modes rores son onnus Idée : endan une osillaion, es-à-dire endan une ériode du mouvemen, l énergie inéique e l énergie oenielle s éhangen. Leur maimum es le même : ma V ma
Le as d une masse oulée à un ressor k m sin M m& V k km sin Vma k M ma V ma m os ma m M M km m M k m
Le as de la orde vibrane d α d α A B d Son énergie oenielle vien de la ension V V F µ
L d d V V L d d µ µ µ es le roil de la orde our un mode ariulier. Connaîre, es onnaîre la ulsaion. L L d d V ma ma µ
Méhode de Raleigh Aliaion Soluion eae our la orde vibrane enasrée au deu erémiés : i( k) i( k), Ae Be (, ) ( L, ) (, ) π Asin k sin ; k ; L π L µ
mode (, ) Asin k sin π L µ aroimaion [linéaire] : L A L < : L L < L : A µ l erreur n es que de % L
aroimaion [quadraique] : 4 L L L A µ L l erreur n es que de.66%! En «devinan» l enveloe du mode don on veu déerminer la ulsaion, e en onnaissan la orme héorique des ulsaions, on eu obenir la valeur de la ulsaion du di mode ave une réision aeable.
Formules uiles our diérens roblèmes Vibraions longiudinales d une oure Vibraions de leion d une oure L E L ρ d d EI L L ρs d d Vibraions de orsion d une oure Vibraions ransversales d une orde L G L ρ θ θ d d L L µ d d