ET INCERTITUDES DE MESURE

LGCIE - Hdrologe Urbane Mater «Géne Cvl» Cour de Tronc Commun «Epérmentaton et modélaton» CAPTEURS, ETALONNAGES ET INCERTITUDES DE MESURE Jean-Luc BERTRAND-KRAJEWSKI Edton 7

Avertement Ce note de cour correpondent à deu chaptre etrat de : Bertrand-Krajewk J.-L., Laplace D., Joann C., Chebbo G. (. Meure en hdrologe urbane et aanement. Par (France: Technque et Documentaton, jun, 794 p. ISBN -743-38-4.

Table de matère 4. PRINCIPES GENERAUX ET ETALONNAGE DES CAPTEURS...3 4. Introducton...3 4. Noton de bae ur le capteur et le chaîne de meure...3 4.. Elément conttutf d une chaîne de meure...3 4.. Caractértque de capteur et apparel de meure...5 4.3 Etude de dfférente erreur ntrumentale...7 4.4 Etalonnage de apparel de meure... 4.4. Prncpe de l étalonnage... 4.4. Détermnaton d une drote d étalonnage...4 4.4.. Etmaton de coeffcent a et b...4 4.4.. Etmaton de la varance lée l...5 4.4..3 Varance a de la contante a...5 4.4..4 Varance b de la pente b...6 4.4.3 Comparaon de drote d étalonnage...7 4.4.3. Comparaon de varance lée l...7 4.4.3. Comparaon de pente b avec varance lée égale...7 4.4.3.3 Comparaon de pente b avec varance lée dfférente...8 4.4.3.4 Comparaon de ordonnée avec varance lée égale...9 4.4.3.5 Comparaon de ordonnée avec varance lée dfférente... 4.4.4 Détermnaton d une courbe d étalonnage... 4.4.4. Etmaton de la varance lée l... 4.4.4. Varance de coeffcent a, b et c... 4.4.4.3 Comparaon d un polnôme de degré avec une drote... 4.5 Utlaton de courbe d étalonnage...3 4.6 Vérfcaton d un apparel de meure...5 4.7 Eemple d étalonnage...7 4.7. Etalonnage d un capteur pézorétf...7 4.7. Etalonnage d un ph-mètre...38 5. EVALUATION DES INCERTITUDES DE MESURE...4 5. Introducton...4 5. Valeur vrae, erreur aléatore et erreur tématque...4 5.. Réducton de erreur aléatore...43 5.. Réducton de erreur tématque...44 5.3 Méthode d etmaton de ncerttude...45 5.3. Méthode de tpe A...45 5.3. Méthode de tpe B et lo de propagaton de ncerttude...48 5.3.3 Méthode de Monte-Carlo...5 5.4 Eemple de calcul...53 5.4. Méthode de tpe B (lo de propagaton de ncerttude...54 5.4. Méthode de Monte-Carlo...55

4. PRINCIPES GENERAUX ET ETALONNAGE DES CAPTEURS 4. INTRODUCTION Ce chaptre comprend tro parte : - le noton de bae ur le capteur et le chaîne de meure ; - le prncpale erreur ntrumentale ; - le prncpe et méthode d étalonnage de ntrument de meure. La troème parte conttue le thème majeur de ce chaptre et comporte le développement le plu long. En effet, l étude de erreur ntrumentale montre qu un étalonnage tématque de ntrument de meure avant leur ntallaton ur te et ndpenable pour obtenr de réultat de meure fable, corrgé de erreur ntrumentale éventuelle, et pour évaluer correctement le ncerttude de meure qu ont tratée en détal au chaptre 5. 4. NOTIONS DE BASE SUR LES CAPTEURS ET LES CHAINES DE MESURE 4.. Elément conttutf d une chaîne de meure Nou ne préenteron c que le noton de bae ndpenable au deu paragraphe uvant, de nombreu ouvrage tratant plu en détal ce queton (par eemple Dall et al., 993 ; Ach et al., 998. Généralement, la grandeur à meurer, appelée meurande, n et pa acceble drectement et le méthode de meure me en œuvre font appel à dfférente lo phque et proprété de matérau (Ichnoe et Kobaah, 99 ; Hauptmann, 993. Une chaîne de meure et généralement conttuée de élément uvant (Dall et al., 993, chématé Fgure 4. : ource d énerge affcheur / enregtreur tranducteur condtonneur du gnal amplfcateur proceeur Fgure 4. : chéma tpe d une chaîne de meure - un tranducteur : c et l élément fondamental du dpotf, fondé ur l utlaton d une lo phque partculère. Il fat correpondre à une valeur G e de la grandeur à 3

meurer une valeur G d une autre grandeur, généralement électrque, appelée grandeur de orte. Par eemple, dan le ca d un capteur pézorétf detné au meurage de la hauteur d eau d un écoulement, à la preon eercée par la colonne d eau ur le tranducteur conttué d une céramque correpond une valeur de la rétance électrque du tranducteur, celu-c étant communément nclu dan un pont de Wheattone (vor chaptre. On recherche généralement de tranducteur tel que la relaton entre la varaton du meurande et la varaton du gnal ortant du tranducteur ot lnéare, ou tout au mon à utler la parte lnéare de cette relaton celle-c et plu complee. Dan de nombreu ca, le tranducteur a beon d une ource d énerge etéreure au mleu phque contenant le meurande pour pouvor fonctonner. - le condtonneur : c et un crcut électrque ou électronque qu convertt, compene ou modfe le gnal de orte du tranducteur afn de le tranformer en un gnal électrque uuel tel qu un courant, une tenon, plu rarement une rétance ou une fréquence. Le condtonneur et ouvent phquement ndocable du tranducteur. Le pont de Wheattone évoqué à l alnéa précédent permet an de tranformer la varaton de rétance du tranducteur en une varaton de tenon au borne du pont. Le condtonneur mettent en œuvre de nombreue foncton telle que le fltre, le modulateur et démodulateur, le ntégrateur et le dfférentateur, etc. - l amplfcateur : c et un élément ndpenable lorque le gnal de orte du condtonneur et fable, ce qu et le ca le plu fréquent. Sachant que ce gnau de orte ont de l ordre de quelque mllvolt ou mcroampère, ou mon, l et néceare de le amplfer dan de rapport de à, ou plu. Aprè amplfcaton, on attent de tenon compre généralement entre et 5 ou V. Ce gnau amplfé ont alor drgé ver le élément uvant de la chaîne de meure. Le gnal analogque fourn par le capteur peut être une tenon -5 V ou une ntenté - ma ou 4- ma. Le gnal an tranm et à l orgne du terme tranmetteur ouvent utlé pour dégner cette parte de la chaîne de meure, en ncluant ouvent ou ce vocable l élément uvant qu et l affcheur. Noton c que la orte analogque courant 4- ma et un tandard ndutrel. Le gnal peut être tranm dan de bonne condton ur de dtance upéreure à m, ou réerve d utler du câble toradé, vore blndé, et raccordé à la mae, en évtant la promté avec de câble électrque de puance. Le orte analogque en tenon -5 ou - V ont mon pratque parce qu elle ont enble au parate et qu l faut également tenr compte de l mpédance du câble de laon entre le tranmetteur et la centrale d acquton de donnée elle n et pa néglgeable devant celle de l enregtreur. - l affcheur/enregtreur : c et un élément qu meure le gnal (courant ou tenon ortant de l amplfcateur pour le rettuer ou une forme lble et nterprétable par l utlateur. Il peut être analogque (par eemple lecture de la valeur meurée G e par repérage de la poton d une agulle ur un cadran comportant une échelle graduée ou numérque (par eemple lecture drecte d une valeur numérque G e ur un affcheur à dode ou à crtau lqude. Dan ce derner ca, l affcheur et en len avec un proceeur qu a pour foncton de tranformer le gnal analogque ortant de l amplfcateur en gnal numérque drgé ver l affcheur. L affcheur peut également avor une foncton d enregtreur. 4

- le proceeur : cet élément et préent ur tou le dpotf de meure affchant et/ou délvrant un gnal numérque. Il agt généralement d un converteur analogque/numérque (vor chaptre 3. Le donnée numérque produte peuvent être rettuée ou forme d affchage numérque, de graphque, de tableau, de fcher nformatque, de gnal numérque formaté, etc. Dan la pratque, le terme «capteur» dégne de choe dfférente elon le auteur et le nterlocuteur : - le tranducteur lu-même ; - l enemble tranducteur + condtonneur ; - l enemble de la chaîne de meure repréentée Fgure 4.. Le dtncton ont parfo dffcle car de plu en plu de tranducteur ont phquement aocé à de condtonneur et de amplfcateur, le progrè de la mnaturaton aant perm de rédure condérablement la talle de ce élément et le paage de l analogque au numérque aant condut à ntégrer de nombreu élément de la chaîne de meure au plu prè poble du meurande. L ntérêt prncpal de cette ntégraton matérelle réde dan la réducton de perturbaton du gnal de orte du tranducteur (nterférence, parate, perte d énerge et de gnal, etc. avant on tratement par le élément uvant. Dan cet ouvrage, par ouc de commodté et pour conerver une termnologe fréquente, nou appelleron capteur la parte de la chaîne de meure en contact avec le mleu où effectue le meurage, et tranmetteur le rete de élément de la chaîne de meure, l enemble étant dégné ou le terme générque apparel de meure. Cette acceptaton du terme capteur et un peu plu large que celle défne dan la norme NF X 7- (994 et repre dan le leque en fn d ouvrage : «élément d un apparel de meure ou d une chaîne de meure qu et drectement oum à l acton du meurande». De terme plu préc eront emploé lorque cela era néceare pour évter toute ambguïté. 4.. Caractértque de capteur et apparel de meure Le capteur et chaîne de meure peuvent être défn par un certan nombre de caractértque (Cerr, 98 cté par Ragot et al., 99 ; norme NF X 7-, 994. Nou ndquon c-aprè le prncpale d entre elle, le terme uv d un atérque étant etrat de la norme NF X 7- (994 et repr dan le leque en fn d ouvrage : - l étendue de meure (EM* : enemble de valeur du meurande pour lequelle l erreur de meure et uppoée compre entre de lmte pécfée. - le domane de non détéroraton : l et défn par le valeur lmte que peuvent attendre et conerver le meurande et le grandeur d nfluence an que le caractértque métrologque du capteur ne oent altérée aprè retour de valeur dan le domane nomnal. 5

valeur de grandeur d nfluence Domane de non-detructon Domane de non-détéroraton Domane nomnal d utlaton étendue de meure valeur du meurande Fgure 4. : lmte d'utlaton d'un capteur (etrat de Ragot et al., 99 - le domane de non-detructon : l et défn par le valeur lmte que peuvent attendre le meurande et le grandeur d nfluence an qu l at détéroraton rréverble ou detructon phque du capteur. Dan le ca contrare, le capteur dot être changé. - la enblté* : quotent S e de l accroement de la répone d un ntrument de meure par l accroement correpondant du gnal d entrée : ΔG S e Eq. 4. ΔGe La valeur de la enblté peut dépendre de la valeur du gnal d entrée. Cette défnton ou forme de quotent uppoe que la relaton lant le gnal de orte du capteur au gnal d entrée aocé au meurande et lnéare, ou qu elle peut être repréentée de manère approchée ma atfaante par une drote. - le eul de moblté* : varaton la plu grande du gnal d entrée qu ne provoque pa de varaton détectable de la répone d un ntrument de meure, la varaton du gnal d entrée étant lente et monotone. - la réoluton* : plu pette dfférence d ndcaton d un dpotf affcheur qu peut être perçue de manère gnfcatve. Pour un affcheur numérque, cette dfférence d ndcaton correpond au changement d une unté du chffre le mon gnfcatf. - la répétablté* : étrotee de l accord entre le réultat de meurage uccef du même meurande, avec le meurage effectué dan la totalté de même condton de meure. Ce condton ont appelée condton de répétablté. Elle comprennent : même mode opératore, même obervateur, même ntrument de meure utlé dan le même condton, même leu, répétton de meurage durant une courte pérode de temp. - la reproductblté* : étrotee de l accord entre le réultat de meurage du même meurande, avec le meurage effectué en faant varer le condton de meure. Pour qu une epreon de la reproductblté ot valable, l et néceare de pécfer le condton que l on fat varer. Celle-c peuvent comprendre : prncpe de meure, méthode de meure, obervateur, ntrument de meure, étalon de référence, leu, condton d utlaton, temp. 6

- la dcréton* : apttude d un ntrument de meure à ne pa modfer le meurande. - la vtee de pourute* (ou rapdté : apttude du capteur à uvre dan le temp le varaton du meurande. Une vtee de pourute élevée permet de uvre de varaton rapde du meurande. La vtee de pourute dépend du temp de répone du capteur et de on fonctonnement en régme trantore (répone à une mpulon, à un échelon, à un régme nuoïdal, etc.. Elle peut être caractérée de dvere manère, et notamment par la fréquence propre f du capteur : plu f et grande, plu la vtee de pourute et élevée (Ach et al., 998. 4.3 ETUDE DES DIFFERENTES ERREURS INSTRUMENTALES Un capteur déal dot fournr un gnal de orte G (répone proportonnel au gnal d entrée G e ur l étendue de meure. En dehor de l étendue de meure, la répone du capteur n et plu nécearement lnéare. Ce noton de bae ont repréentée Fgure 4.3. Sur l étendue de meure, délmtée par le borne G e mn et G e ma correpondant repectvement au valeur mnmum et mamum de la grandeur que l on veut meurer, on contrut généralement le capteur de telle orte que la valeur G de la grandeur de orte correpondant à la valeur G e du meurande ot donnée par la relaton lnéare uvante : G SeGe + Z Eq. 4. avec S e la enblté du capteur et Z l offet. G répone non lnéare S e ΔG ΔG e Z G e G e mn G e ma étendue de meure (domane de répone lnéare Fgure 4.3 : répone G d un capteur en foncton de la valeur Ge du meurande 7

L offet Z et ouvent appelé «Zéro» car, dan de nombreu ca, la répone G du capteur et fée ou ajutée mécanquement ou électrquement à (zéro pour G e G e mn. Dan ce condton, la relaton précédente e mplfe : G SeGe Eq. 4.3 Par eemple, un capteur pézorétf monté ur un pont de Wheattone et detné à meurer une hauteur d eau dan un écoulement à urface lbre pourra être réglé de telle orte qu l donne un courant G égal à ma lorque la preon G e à laquelle et oum le capteur et égale à la preon atmophérque pre comme référence (c et à dre lorque la hauteur d eau et nulle. Noton dè à préent que le rôle de l affcheur ou du proceeur de la chaîne de meure conte à rettuer, de manère analogque ou numérque elon le ca, la valeur G e du meurande à partr de la valeur G du gnal de orte du capteur en nverant l Eq. 4. : G Z Ge Eq. 4.4 Se Reprenon notre eemple de capteur pézorétf en le complétant. La grandeur d entrée G e et la hauteur d eau h, compre entre et m. D où l étendue de meure EM(h m. La grandeur de orte G et un courant I c 4- ma. D où l étendue de meure EM(I c - 4 6 ma, avec un offet Z 4 ma. Le deu relaton équvalente qu lent h à I c ont : EM( I I c c h + Z 8h + 4 Eq. 4.5 EM( h et EM( h I 4 ( c I h I c c Z,5 Eq. 4.6 EM( Ic 8 8 Dan la pratque, le capteur ne ont pa déau et de écart etent qu conduent à de erreur tématque. Parm ce erreur, qu ont généralement analée ur l enemble de la chaîne de meure ma qu peuvent également être analée au nveau du capteur ou du tranducteur lu-même, le quatre prncpale ont : - l erreur d offet (Fgure 4.4 : dan ce ca, l offet et décalé et vaut Z au leu de Z. La valeur théorque attendue G pour une valeur G e du meurande et remplacée par une valeur G telle que la dfférence G G et contante ur l étendue de meure et égale à l erreur d offet ; - l erreur de enblté (Fgure 4.5 : dan ce ca, la enblté (ou pente S e et ncorrecte et vaut S e au leu de S e. La valeur théorque attendue G pour une valeur G e du meurande et remplacée par une valeur G telle que le rapport G /G et égal au rapport de pente S e /S e ; 8

G répone obervée G G erreur d offet répone théorque décalage d offet Z Z G e G e mn G e G e ma Fgure 4.4 : llutraton d'une erreur d'offet (ou de Zéro ur un capteur G répone obervée S e G G erreur de enblté répone théorque S e Z G e G e mn G e G e ma Fgure 4.5 : llutraton d'une erreur de enblté (ou de pente ur un capteur - l erreur lée au grandeur d nfluence (Fgure 4.6 : dan ce ca, le grandeur d nfluence peuvent condure à une valeur obervée G préentant multanément une erreur d offet et une erreur de enblté. Il et ben ûr poble de rencontrer de ca où ce deu erreur peuvent être préente multanément, en raon d un mauva étalonnage, an que le grandeur d nfluence n ntervennent. Dan ce deu ca, l offet et décalé et vaut Z au leu de Z et la enblté S e et ncorrecte et vaut S e au leu de S e. La valeur théorque attendue G pour une valeur G e du meurande et remplacée par une valeur G telle que : 9

S ' G ' e ( G Z + Z '. Se - l erreur de lnéarté : dan ce ca, la relaton lant G à G e n et plu lnéare, ou tout au mon ne peut plu être amlée à une drote an condure à de erreur dépaant le lmte pécfée. Elle et eprmée en pourcentage de la valeur mamale de l étendue de meure (EM. G répone obervée S e G erreur totale G erreur de enblté erreur d offet répone théorque S e décalage d offet Z Z S e G e G e mn G e G e ma Fgure 4.6 : llutraton d'une erreur due au grandeur d'nfluence et/ou au erreur multanée d'offet et de enblté Le deu premère erreur peuvent être étudée et corrgée au moen de l étalonnage de capteur qu era préenté dan le paragraphe 4.4. La troème erreur, lée au grandeur d nfluence telle que la preon, la température, etc., peut être corrgée le lo phque correpondante ont connue. Par eemple, la vtee d un écoulement meurée par de onde ultraonore dot être corrgée en foncton de la température car la vtee de propagaton de ultraon dan l eau vare avec la température (vor chaptre 5. C et pourquo le grandeur d nfluence dovent, le ca échéant, être meurée et pre en compte lorqu on procède à de étalonnage rgoureu. Enfn, la quatrème erreur peut également être corrgée à partr d un étalonnage de l apparel et de la courbe d étalonnage correpondante. En plu de ce erreur ntrumentale tématque, le chaîne de meure préentent également de erreur aléatore névtable qu affectent chacun de leur élément conttutf lorqu l fonctonnent conformément à leur pécfcaton. L erreur réultante E cm pour l enemble de la chaîne de meure et lée au erreur aléatore ndépendante de dfférent élément conttutf par la relaton :

E cm Et + Ec + Ea + Ea / e + E p Eq. 4.7 avec E t erreur aléatore lée au tranducteur ; E c erreur aléatore lée au condtonneur ; E a erreur aléatore lée à l amplfcateur ; E a/e erreur aléatore lée à l affcheur/enregtreur ; E p erreur aléatore lée au proceeur. 4.4 ETALONNAGE DES APPAREILS DE MESURE Dan le cadre d une bonne pratque métrologque, compte tenu de erreur ntrumentale mentonnée au paragraphe précédent, l n et pa envageable d ntaller un apparel ur un te de meure an avor procédé au préalable à on étalonnage afn, elon le ca, de : - vérfer que l apparel fonctonne ; - vérfer que l apparel de meure ne préente n erreur d offet n erreur de enblté, ou tout au mon que ce erreur ont nféreure à de valeur lmte pécfée par l utlateur ; - procéder au réglage de l apparel de meure pour ramener le erreur ntalement contatée à de valeur nféreure au valeur lmte pécfée par l utlateur ; - établr une courbe ou une relaton d étalonnage permettant de corrger le valeur fourne par l apparel afn de détermner le valeur du meurande avec une ncerttude connue nféreure à une valeur lmte pécfée par l utlateur. En pratque, on procède généralement de manère combnée à ce quatre tpe d opératon. Ce paragraphe a pour objectf de préenter le prncpe et méthode d étalonnage de apparel de meure et l uage que l on peut fare de réultat de cet étalonnage pour la valdaton et la crtque de donnée. Il aborde uccevement : - le prncpe de l étalonnage ; - la détermnaton de drote ou de courbe d étalonnage ; - l utlaton de ce drote ou courbe pour l etmaton de la valeur vrae du meurande et de l écart tpe aocé (pour le calcul d ncerttude, qu ont traté dan le chaptre 5, cet écart tpe et amlé à l ncerttude tpe ; - la vérfcaton de capteur ; - de eemple pratque. Une part mportante de calcul préenté dan le paragraphe qu uvent fat appel à de noton et outl tattque dont la préentaton détallée dépae le cadre de cet ouvrage. Le lecteur non famler de ce outl trouveront quelque nformaton ommare au fl du tete et dan le annee 3 à 5 (table de Student, du χ, de Snedecor, etc., et foncton Ecel correpondante et urtout dan le ouvrage de bae de probablté et tattque (par eemple, Saporta, 99 ; Wonnacott et Wonnacott, 99 ; Anonme, 995a CISIA-CERESTA ; Neull et CETAMA, 998, ouvrage qu devraent fare parte de la documentaton centfque et technque de

toute peronne ouhatant pratquer correctement la métrologe tant le noton et outl tattque ont ndpenable à plueur opératon eentelle (étalonnage, calcul de ncerttude, tratement de donnée, etc.. 4.4. Prncpe de l étalonnage Le prncpe de l étalonnage conte à établr la relaton, pour l apparel de meure étudé, lant le valeur G fourne par l apparel au valeur connue du meurande G e, celle-c étant ouvent obtenue au moen d étalon ou de dpotf équvalent. Le opératon ont réalée dan de condton pécfée telle que le grandeur d nfluence n ntervennent pa ou que leur nfluence et quantfable (Fgure 4.7. A partr de obervaton réalée et de la relaton an étable, l et poble, elon le beon de l utlateur et /ou le poblté du matérel, ot de procéder au réglage de l offet et de la enblté de l apparel pour fare coïncder le valeur de G et de G e, ot d utler la relaton étable pour corrger le ndcaton fourne par l apparel, ou de combner ce deu méthode. valeur meurée (unté SI 8 6 4 4 6 8 valeur connue du meurande (unté SI Fgure 4.7 : eemple de courbe d étalonnage Dan la ute de ce paragraphe 4.4, nou mplferon le écrture en notant la valeur étalon du meurande et la valeur fourne par l apparel. Le valeur ont de valeur étalon dont l ncerttude et connue. Ou, ce ne ont pa de étalon au en métrologque du terme (vor chaptre 3, ce ont de valeur meurée certfée dont l ncerttude et évaluée et et pette par rapport à l ncerttude ur la valeur meurée correpondante.

Avec ce notaton, pour une valeur connue donnée, la valeur fourne par l apparel de meure et condérée comme une valeur partculère d une varable aléatore Y dont l epérance mathématque peut écrre : F(, AF, BF, CF,... Eq. 4.8 avec A F, B F, C F de paramètre numérque lé au condton epérmentale. On peut alor écrre Y ou la forme : Y + Δ F(, AF, BF, CF,... + Δ Eq. 4.9 avec Δ une varable aléatore de moenne nulle dont la varance σ et appelée varance de Y lée à. Cette varance lée et également appelée varance condtonnelle. Elle peut être contante dan tout le domane de varaton de (généralement, l agt de l étendue de meure, ou varer avec. La courbe donnant en foncton de et appelée courbe de régreon de en. Un de objectf de l étalonnage et d etmer cette courbe de régreon par une équaton de la forme : f (, a, b, c,... Eq. 4. Lorque l ajutement et correct, la foncton f a la même forme que la foncton F et le coeffcent a, b, c ont de etmateur, au en tattque, de paramètre A F, B F, C F L ajutement et réalé par la méthode claque de mondre carré (manuellement ou par eemple avec le tableur Ecel en utlant la foncton courbe de tendance, certan logcel d ajutement numérque (par eemple Table Curve D, SgmaPlot faant appel à de algorthme plu générau tel que celu de Marquardt-Levenberg (Marquardt, 963. On appelle rédu la valeur : ε f (, a, b, c,... Eq. 4. Le rédu ont de varable aléatore dont la varance, appelée varance réduelle, n et due qu à la varance lée la foncton f et correcte et le valeur ont connue an erreur. On cherche en général, pour de raon de mplcté et de commodté d emplo, à établr de relaton f ou forme de drote. S, au vu de réultat de tet tattque préenté plu lon dan ce chaptre, une drote n et pa approprée pour décrre le obervaton, on peut utler de relaton f plu complee, ouvent du tpe polnôme de degré ou plu (rappelon c que pour détermner un polnôme de degré n, l et néceare de dpoer d au mon (n+ valeur. Cependant, au delà du degré, la détermnaton du meurande à partr de la valeur fourne par l apparel n et plu drecte et fat appel à de méthode numérque de recherche de racne, ce qu a pour effet de lmter on emplo pratque malgré le moen de calcul numérque faclement dponble ur mcro-ordnateur depu le mleu de année 98. 3

Enfn, et contrarement à une pratque encore relatvement fréquente, l nou paraît mportant de noter dè à préent que le coeffcent de corrélaton r claque et nuffant pour évaluer la qualté de l ajutement de la foncton f ur le pont epérmentau. En effet, comme on cherche à établr une relaton entre de valeur connue et le valeur ndquée par l apparel, on obtent toujour de valeur de r élevée et trè proche de, cec quelle que ot la courbe d étalonnage retenue (drote, polnôme de degré ou 3. Cela gnfe mplement qu l ete une relaton forte entre valeur connue et valeur meurée, ce qu et le mon que l on pue attendre d un apparel de meure! (dan le ca contrare, l faudra éreuement mettre en doute l apparel, e condton de me en œuvre ou on réglage, etc.. C et pourquo nou utleron dan ce chaptre de tet tattque plu élaboré (par eemple tet de Student, de Snedecor, de Welch, ma plu dcrmnant que le coeffcent de corrélaton pour chor la courbe d étalonnage la plu adaptée. 4.4. Détermnaton d une drote d étalonnage Dan le ca, de lon le plu fréquent pour l étalonnage de ntrument de meure, où on établt une drote d étalonnage, on cherche à ajuter une relaton lnéare de la forme : AF + BF Eq. 4. S on procède à l étalonnage en utlant m valeur connue et en procédant à la lecture de n valeur de pour chaque valeur de, on obtent un enemble de N couple de valeur (, k, avec de à m et k de à n et avec N donné par la relaton : N n Eq. 4.3 En toute rgueur, le relaton qu uvent ne ont applcable que dan le ca où le varance de l échantllon de n valeur k pour une valeur de donnée, calculée par l Eq. 4.4, ont contante et ne varent pa (ou peu en foncton de. n k ( k Eq. 4.4 Dan le ca contrare, l faut procéder à une pondératon de couple de pont (, k, ca plu complee qu ne era pa traté c (vor par eemple Neull et CETAMA, 998. 4.4.. Etmaton de coeffcent a et b Dan ce condton, le coeffcent a et b qu ont le etmateur de paramètre A F et B F ont calculé au moen de 4 relaton : n N Eq. 4.5 4

5 N k k Eq. 4.6 k k n b ( ( ( Eq. 4.7 b a Eq. 4.8 4.4.. Etmaton de la varance lée l En notant ( ˆ f la valeur de etmée par la foncton f, la varance lée σ l et etmée par la valeur l donnée par la relaton : ˆ ( N k k l Eq. 4.9 Pour un calcul manuel, on peut utler la relaton plu pratque uvante : k k l n b N ( ( Eq. 4. S la relaton entre le valeur et le valeur moenne et ben lnéare et le valeur ont connue an erreur, la varance réduelle de l ajutement et égale à la varance lée. 4.4..3 Varance a de la contante a L etmaton de la contante a dépend de N couple de valeur de l étalonnage et dot donc être condérée comme une varable aléatore. Sa varance etmée a et donnée par la relaton : ( + l a n N ( Eq. 4.

Pour détermner l ntervalle de confance blatéral au nveau (-α de la contante A F, on utle la varable de Student, notée t, pour (N- degré de lberté, qu permet d écrre drectement : a a t α / ( N AF a + atα / ( N Eq. 4. Le valeur de t ont lue dan le table tattque (vor Annee 3 ou calculée drectement par le foncton numérque correpondante dan de tableur ou autre logcel de calcul numérque. Il peut ouvent être utle de vérfer que l etmateur a de la contante A F et ben égal à une valeur théorque connue A F, par eemple A F, lorqu on compare, pour un apparel de meure donné, le valeur meurée et le valeur connue d une même grandeur (ca d une drote paant par l orgne. On fat l hpothèe H o (a A F. S : a AF tα / ( N Eq. 4.3 a on accepte l hpothèe H o. Snon, on rejette cette hpothèe, avec un rque α de e tromper. 4.4..4 Varance b de la pente b L etmaton de la pente b dépend de N couple de valeur de l étalonnage et dot donc être condérée comme une varable aléatore. Sa varance etmée b et donnée par la relaton : b l n ( Eq. 4.4 Pour détermner l ntervalle de confance blatéral au nveau (-α de la pente B F, on utle la varable de Student, notée t, pour (N- degré de lberté, qu permet d écrre drectement : b btα / ( N BF b + btα / ( N Eq. 4.5 Le valeur de t ont lue dan le table tattque (vor Annee 3 ou calculée drectement par le foncton numérque correpondante dan de tableur ou autre logcel de calcul numérque. Il peut ouvent être utle de vérfer que l etmateur b de la pente B F et ben égal à une valeur théorque connue B F, par eemple B F, lorqu on compare, pour un apparel de meure donné, le valeur meurée et le valeur connue d une même grandeur. 6

On fat l hpothèe H o (b B F. S : b BF tα / ( N Eq. 4.6 b on accepte l hpothèe H o. Snon, on rejette cette hpothèe, avec un rque α de e tromper. 4.4.3 Comparaon de drote d étalonnage La comparaon de drote d étalonnage et une opératon mportante, notamment pour comparer de étalonnage uccef du même apparel de meure afn de avor, avec un nveau de confance (-α donné, le drote d étalonnage ont gnfcatvement dfférente ou non l une de l autre. Cela permet de mettre en évdence de dérve de la répone de l apparel de meure au cour du temp. Pour procéder à la comparaon de deu drote, l faut préalablement vérfer que leur varance lée ne ont pa dfférente au moen du tet de Snedecor applqué au rapport de deu varance. On compare enute le pente de deu drote et, ce pente ont égale, le ordonnée de drote pour une abce donnée. L enemble de calcul et détallé dan le paragraphe uvant, en utlant l ndce pour le valeur relatve à la premère drote et l ndce pour le valeur relatve à la deuème drote. 4.4.3. Comparaon de varance lée l On forme le rapport F l que l on compare enute au valeur lmte uvante l donnée par la table de Snedecor (vor Annee 4 ou la foncton Ecel correpondante au nveau de probablté (-α : F nf Fα / ( N ; N F α / ( N ; N et F up F α / ( N, N S le rapport F de varance calculée et compr entre F nf et F up, on admet que le varance lée ont égale. Snon, on admet qu elle ont dfférente avec un rque de e tromper égal à α. 4.4.3. Comparaon de pente b avec varance lée égale S le varance lée ont égale, la comparaon de pente et réalée au moen du tet de Student. On calcule préalablement une varance lée commune notée lc par la relaton : 7

( ( N + N l l lc Eq. 4.7 N + N 4 On calcule enute de nouveau etmateur de varance de pente à partr de cette varance commune par le deu relaton : b b lc n ( Eq. 4.8 lc n ( Eq. 4.9 Le tet conte à calculer la valeur numérque de la varable t défne par : t b b b + b Eq. 4.3 avec un nombre de degré de lberté ν N + N - 4. On compare enute la valeur de t au lmte ± t -α/ donnée par la table de Student (Annee 3 ou la foncton Ecel correpondante : la valeur et hor de cet ntervalle, on admet que le pente ont dfférente avec un rque de e tromper égal à α. S le pente ont condérée comme dentque, on procède enute à la comparaon de ordonnée en un pont. Snon, la comparaon et termnée. 4.4.3.3 Comparaon de pente b avec varance lée dfférente S le varance lée ont gnfcatvement dfférente, la comparaon de pente n et pa poble drectement par le tet de Student précédent. On utle alor le tet de Welch (Neull et CETAMA, 998, dan lequel le varance b de pente ont pre égale au valeur ntale obtenue lor du calcul de drote (et non pa recalculée à partr de la varance lée commune comme dan le ca précédent. Le tet conte à calculer la valeur numérque de la varable t défne par : t b b b + b Eq. 4.3 avec un nombre de degré de lberté défn par la relaton : 8

9 ( 4 4 + + N N b b b b ν Eq. 4.3 On compare enute la valeur de t au lmte ± t -α/ donnée par la table de Student (Annee 3 ou la foncton Ecel correpondante : la valeur et hor de cet ntervalle, on admet que le pente ont dfférente avec un rque de e tromper égal à α. S le pente ont condérée comme dentque, on procède enute à la comparaon de ordonnée en un pont donné. Snon, la comparaon et termnée. 4.4.3.4 Comparaon de ordonnée avec varance lée égale On chot une abce commune au deu domane de varaton de valeur et, et la plu proche poble de deu valeur et. Le drote eront condérée comme confondue le deu valeur calculée ( ˆ b + Eq. 4.33 ( ˆ b + Eq. 4.34 peuvent être adme comme étant égale. On calcule leur varance repectve par le relaton : + lc n N ˆ ( ( Eq. 4.35 + lc n N ˆ ( ( Eq. 4.36 S le varance lée ont égale, on utle le tet de Student avec la varable t défne par : ˆ ˆ ˆ ˆ t + Eq. 4.37 avec un nombre de degré de lberté ν N + N - 4.

On compare enute la valeur de t au lmte ± t -α/ donnée par la table de Student (Annee 3 ou la foncton Ecel correpondante : la valeur et hor de cet ntervalle, on admet que le ordonnée ont dfférente avec un rque de e tromper égal à α. 4.4.3.5 Comparaon de ordonnée avec varance lée dfférente S le varance lée ont dfférente, on utle à nouveau le tet de Welch avec : + l n N ˆ ( ( Eq. 4.38 + l n N ˆ ( ( Eq. 4.39 et la varable t défne par : ˆ ˆ ˆ ˆ t + Eq. 4.4 avec un nombre de degré de lberté donné par la relaton : ( 4 ˆ 4 ˆ ˆ ˆ + + N N ν Eq. 4.4 On compare enute la valeur de t au lmte ± t -α/ donnée par la table de Student (Annee 3 ou la foncton Ecel correpondante : la valeur et hor de cet ntervalle, on admet que le ordonnée ont dfférente avec un rque de e tromper égal à α. 4.4.4 Détermnaton d une courbe d étalonnage Dan le ca où on cherche à établr une courbe d étalonnage ou forme de polnôme (d autre foncton que le polnôme peuvent parfo être emploée pour de beon pécfque, l Eq. 4.8 devent : +... + + F F F C B A Eq. 4.4 Nou nou lmteron dan ce paragraphe à préenter le calcul pour le polnôme de degré, la méthode étant mplement étendue et adaptée pour le polnôme de degré

upéreur. Le cho d augmenter le degré du polnôme, c et à dre d augmenter la completé de la courbe d étalonnage, et fondé ur la comparaon de varance réduelle au moen du tet de Snedecor. L ajutement d un polnôme de degré ur le N couple (, k par le mondre carré fat appel à de calcul matrcel plu complee que pour une drote. Nou n entreron pa c dan le détal de la méthode, nou ndquon mplement le calcul à effectuer. En condérant que le varance ont appromatvement contante ur l étendue de meure, on et condut à réoudre le tème uvant : [ ][ ] [ ] 3 M M M Eq. 4.43 avec n n n n n n n n N M 4 3 3, c b a M et k k k k k k M 3 On obtent donc le valeur de coeffcent a, b et c par la relaton : [ ] [ ] [ ] 3 M M M Eq. 4.44 Le calcul c-deu peuvent être condut manuellement à la calculatrce ou avec un tableur tpe Ecel, ou encore avec de logcel d ajutement numérque (Table Curve D, SgmaPlot ou autre qu donneront en plu le valeur de varance, de ntervalle de confance, etc. 4.4.4. Etmaton de la varance lée l En notant ( ˆ f la valeur de etmée par la foncton f, la varance lée σ l et etmée par la valeur l donnée par la relaton : 3 ˆ ( N k k l Eq. 4.45 S la relaton entre le valeur et le valeur moenne ut ben une relaton polnomale de degré et le valeur ont connue an erreur, la varance réduelle de l ajutement et égale à la varance lée.

4.4.4. Varance de coeffcent a, b et c Le varance etmée de coeffcent a, b et c ont calculée à partr de la varance lée l et de terme dagonau correpondant de la matrce nvere [ M ] elon le relaton uvante : 4 3 3 n n n n Eq. 4.46 a l det( M 4 n n n n b l det( M n n n n c l det( M Eq. 4.47 Eq. 4.48 avec det(m le détermnant de la matrce [M ]. Pour détermner le ntervalle de confance blatérau au nveau (-α de coeffcent, on utle la varable de Student, notée t, pour (N-3 degré de lberté, qu permet d écrre drectement : a a t α / ( N 3 AF a + at α / ( N 3 Eq. 4.49 b b t α / ( N 3 BF b + btα / ( N 3 Eq. 4.5 c c t α / ( N 3 CF c + ct α / ( N 3 Eq. 4.5 Le valeur de t ont lue dan le table tattque (vor Annee 3 ou calculée drectement par le foncton numérque correpondante dan de tableur ou autre logcel de calcul numérque. 4.4.4.3 Comparaon d un polnôme de degré avec une drote Afn de détermner l et utle de paer d une drote à un polnôme de degré pour établr la courbe d étalonnage d un apparel de meure, on compare le omme de carré de rédu de la drote et du polnôme de degré en applquant le tet de Snedecor.

On calcule le rapport : ( N ( 3 l drote N l pol F ( N 3 Eq. 4.5 ( N 3 l pol Pour un rque α donné, on compare cette valeur avec la valeur lmte F -α (ν, ν donnée par la table de Snedecor (Annee 4 ou la foncton Ecel correpondante avec ν et ν N 3. S F et upéreur à F -α, cela gnfe que le carré de rédu ont gnfcatvement plu fable avec un polnôme. On peut donc conclure avec un nveau de confance égal à (-α que la relaton n et pa lnéare et qu un polnôme de degré repréente meu le obervaton. La méthode peut ben ûr être étendue pour comparer, néceare, de polnôme de degré et 3, ou 3 et 4, etc. La règle générale conte à fare ce comparaon dan l ordre croant de degré, en arrêtant au plu pett degré pour lequel F et nféreur à F -α. Dan la trè grande majorté de ca, le relaton d étalonnage de apparel de meure ont de drote. Ma de polnôme ont ouvent utle pour établr de relaton d étalonnage dan de contete dfférent, par eemple : - étalonnage en ntenté d un pluvographe (vor chaptre 6 ; - établement d une courbe d étalonnage hauteur-débt (vor chaptre ; - relaton entre la turbdté meurée en contnu et la concentraton en MES ou en DCO (vor chaptre. 4.5 UTILISATION DES COURBES D ETALONNAGE Le courbe d étalonnage permettent, à partr d une valeur meurée, de détermner une etmaton de la valeur vrae du meurande et on écart tpe (. Dan le ca d une drote, on a : a Eq. 4.53 b Dan le ca d un polnôme de degré, on a : b + 4c( a b Eq. 4.54 c S la valeur correpond non pa à un meurage unque ma à la moenne de n valeur, on remplace par la valeur dan le relaton précédente. Pour de polnôme de degré upéreur ou pour d autre foncton, l et néceare d utler de méthode numérque de réoluton, par eemple la méthode de Newton. 3

4 La détermnaton de l écart tpe ( tent compte de deu contrbuton complémentare : - l ncerttude ur l etmaton de paramètre de la foncton f : elle entraîne une erreur ur la valeur de dont la varance ( et donnée dan le ca d une drote par la relaton, avec f la dérvée de f : ( ( '( ( ( '( ˆ ( ( f n N f l + Eq. 4.55 et dan le ca d un polnôme de degré par la relaton : ( ( 5 '( '( ˆ ( ( f A N f F l + Eq. 4.56 avec 3 4 3 4 3 5 ( ( ( ( F F F F F F F F F F F F A A A A n N n A n A n N n A A N n A N n A A A + - l ncerttude de meure ur : pour un eul meurage, elle et etmée au moen de la varance : ( Eq. 4.57 cette dernère étant uppoée appromatvement contante ur l étendue de meure (dan le ca contrare, de approche plu complee avec pondératon ont

néceare. S on utle une valeur moenne obtenue à partr de n meurage, la varance correpondante et donnée par la relaton : ( Eq. 4.58 n Il en réulte une deuème erreur ur la valeur de dont la varance ( et donnée par la relaton, avec f la dérvée de f : ( ( ( ou Eq. 4.59 f '( n f '( La varance totale ( ur l etmaton et égale à la omme de deu varance précédente : ( ( + ( Eq. 4.6 L ntervalle de confance au nveau (-α ur la valeur vrae du meurande et donné par la relaton uvante, avec t la varable de Student et un nombre de degré de lberté ν N - pour une drote et ν N - 3 pour un polnôme de degré : [ t ( ν ; ( t ( ] ( α / + α / ν Eq. 4.6 S le calcul précédent retent relatvement mple dan le ca d une drote, l devennent vte trè lourd pour un polnôme. Au et-l préférable dan ce ca d utler de logcel de calcul numérque ou le foncton approprée de tableur elle etent pour effectuer ce calcul. L écart tpe ( obtenu peut enute être utlé en le condérant comme l ncerttude tpe u( pour le calcul d ncerttude préenté au chaptre 5. 4.6 VERIFICATION D UN APPAREIL DE MESURE La vérfcaton d un apparel de meure et une opératon mlare à l étalonnage en ce qu concerne le mode opératore, ma dont le réultat et de nature dfférente. En effet, l agt également de oumettre l apparel à de meurande de valeur connue couvrant l étendue de meure et de noter le valeur de orte correpondante fourne par l apparel. S le valeur obervée k ne écartent pa de valeur attendue de plu d une certane quantté I mt appelée ncerttude mamale tolérée et défne par l utlateur, l apparel et déclaré conforme et contnue à être utlé en l état. S au contrare une ou plueur valeur k écartent de valeur attendue avec un écart upéreur à I mt, l apparel et déclaré non conforme et dot ubr un nouvel étalonnage complet, un nouveau réglage, vore une réparaton ou un remplacement elon la gravté contatée de dfonctonnement. L opératon de vérfcaton et llutrée graphquement Fgure 4.8 et Fgure 4.9. 5

valeur meurée (unté SI 8 6 4 pont epérmentau de la vérfcaton I mt I mt courbe d'étalonnage antéreure courbe enveloppe +/- I mt 4 6 8 valeur connue du meurande (unté SI Fgure 4.8 : eemple de vérfcaton atfaante : tou le pont epérmentau e tuent à une dtance nféreure à Imt de la valeur prévue valeur meurée (unté SI 8 6 4 pont epérmentau de la vérfcaton I mt I mt courbe d'étalonnage antéreure courbe enveloppe +/- I mt 4 6 8 valeur connue du meurande (unté SI Fgure 4.9 : eemple de vérfcaton non atfaante : tro pont epérmentau au abce, et 3 e tuent à une dtance upéreure à Imt de la valeur prévue La vérfcaton peut être condute ot en laboratore dan de condton dentque à celle de l étalonnage, ot ur le te de meure le condton prêtent et elle ne ont pa trop dfférente de celle du laboratore, notamment en ce qu concerne le ncerttude de meure et le grandeur d nfluence. La vérfcaton ur te dan de 6

condton atfaante ne contrant pa à démonter l apparel de meure, ce qu conttue un avantage certan. Le norme NF X 7- (994 et NF X 7-6 (993 fournent de nformaton complémentare utle pour un ervce métrologque opératonnel. Comme pour l étalonnage, la vérfcaton dot fare l objet de procédure écrte pécfque pour chaque apparel de meure (vor au chaptre 3. 4.7 EXEMPLES D ETALONNAGE 4.7. Etalonnage d un capteur pézorétf Le capteur étudé et un capteur pézorétf à membrane céramque Al O 3 dont l étendue de meure et m (vor chaptre. Aprè un réglage ntal conforme au pécfcaton du contructeur, l étalonnage de l apparel a été réalé en laboratore, en le fant au ped d une colonne d étalonnage conttuée d un tube vertcal en Plegla de 3,5 m de hauteur (Photo 4.. La colonne et équpée d un mètre certfé de clae II de 4 m de longueur, calé à une cote zéro de référence en ped de colonne. Le valeur connue de la hauteur d eau dan la colonne ont lue ur le mètre certfé avec une ncerttude nféreure à,5 mm. Photo 4. : colonne d étalonnage de capteur de preon (photo J.-L. Bertrand-Krajewk Cette valeur de l ncerttude en laboratore et acceptable car elle et à fo plu fable que l ncerttude de meure réelle n tu pour un meurage de hauteur d eau ur une ecton moullée en collecteur d aanement par eemple. 7

On commence l étalonnage avec une colonne vde que l on remplt progrevement de à m, en m 5 paler correpondant repectvement à, 4, 6, 8 et % de l étendue de meure. A chaque paler, on effectue uccevement n lecture conjonte de la hauteur d eau affchée par l apparel et du courant ur la orte analogque 4- ma, avec une lecture toute le 3 econde. Le meurage conjont du courant avec un multmètre de précon permet de vérfer que le gnal tranm ur la boucle de courant 4- ma et renvoé ur une centrale d acquton de donnée correpond à la valeur affchée par l apparel et, le ca échéant, de procéder au réglage néceare pour garantr cette correpondance. La relaton lnéare entre l ntenté I c en ma et la hauteur d eau h en mm et : h 5 Ic 5 Eq. 4.6 On rétère l enemble de la procédure à la decente, en paant en 5 paler de % à % de l étendue de meure, afn de pouvor détecter d éventuel phénomène d htéré du tranducteur. L enemble de donnée brute relatve au hauteur d eau meurée et préenté Tableau 4.. A ttre d nformaton complémentare, le document orgnal décrvant la procédure d étalonnage et reprodut Fgure 4.. Capteur Mlltronc NvuBar Plu n 839 NBP 83 Enregtreur Mlltronc 839 OGH 3 Etalonnage réalé le 5/6/999 (CM, AJR, MM, JLBK 3 4 5 6 7 8 9 moen 399 399 4 4 4 4 4 4 399 399 399 399 399 399,5,5 799 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8,,,33,494 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6,58,6686,5,5 999 999,9,887 6 6 6 6 599 6 6 6 6 6 599 6 599 599,75,453,5,5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8,9,887 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4,, Tableau 4. : donnée brute de l étalonnage d un capteur pézorétf 8

OTHU INSA de Lon, URGC Hdrologe Urbane Procédure d étalonnage de pézomètre Mlltronc NvuBar Plu avec tranmetteur OCMD NTWE Matérel néceare : colonne d étalonnage avec mètre étalon certfé de clae II (dalle URGC multmètre et fl acceore (alle Othu rétance ohmque de 3 Ω (alle Othu pompe de vdange (3,6 m3/h (alle Othu Durée totale (appromatve : 3 heure au laboratore Réalaton : - A fare avant me ur te, - pu tou le 6 mo, - et en ca de non conformté de la vérfcaton. Précauton générale : - Toujour effectuer le étalonnage ur une onde préalablement nettoée. - Le autre précauton énoncée dan le procédure de nettoage et de vérfcaton retent valable. Protocole opératore : Branchement du tranmetteur : - Oter le capot en face avant du tranmetteur. - Brancher l almentaton trphaée V ur le borne L, N et PE (terre. - Branchement du capteur de hauteur : - fl rouge ur la borne +. - fl bleu ur la borne 3+. - Reler par un fl,5 mm le borne et 4. - La orte de courant 4- ma entre le borne 33 et 34 va être confgurée pour coder la hauteur d eau meurée par le capteur. Pour pouvor procéder au meurage de ce courant, l faut réaler le crcut uvant en nérant la rétance et l ampèremètre : Sorte analogque 33 34 - + 3 Ω A - Refermer le boîter et almenter le tranmetteur. Fgure 4. : eemple de procédure d étalonnage d un capteur pézométrque (début 9

Confguraton du tranmetteur : - Accéder au paramètre 8, elon la méthode décrte dan la procédure de vérfcaton. - Entrer le code 87 de reme à zéro générale. - Accéder au paramètre (ALT DISP ENTER. - Entrer le code pour avor l affchage de la hauteur d eau lor de meurage. - Accéder au paramètre 4 et entrer le code (meurage en mètre. - Accéder au paramètre 36 et entrer le code (actvaton de la orte courant. - Accéder au paramètre 37 et entrer le code (cho de la hauteur. - Accéder au paramètre 38 et entrer le code (cho de la gamme 4- ma en orte. - Accéder au paramètre 4 et entrer la valeur. (étendue de meure en orte. - Accéder au paramètre 8 et entrer le code (cho de la gamme 4- ma. - Accéder au paramètre 83 et entrer la valeur. (étendue de meure du capteur. - Régler l offet à. m elon la méthode décrte dan la procédure de vérfcaton. Protocole de meure : - Monter le capteur dan la colonne, en aurant que : - le capteur et vertcal. - le capteur touche le fond de la colonne (calage du zéro. - Réalaton d un pont de meure : - Remplr la colonne d eau à la hauteur voulue en ouvrant la vanne d almentaton et noter la hauteur réelle lue ur le mètre certfé aprè tablaton du nveau d eau dan la colonne. - Attendre la tablaton de la valeur affchée par l apparel ( mn. - Noter la hauteur k affchée ur le tranmetteur et le courant Ic k meuré par l ampèremètre. - Fare au total douze (k à meurage (à 3 d ntervalle envron pour cette hauteur d eau. Pour ce capteur d étendue de meure - m, on réale m 5 ( de à 5 pont de meure pour le hauteur d eau,4 m,,8 m,, m,,6 m et, m. On effectue ce meurage d abord dan le en croant (remplage de la colonne, pu dan le en décroant de, m à,4 m (vdange de la colonne avec la pompe. Au total, on effectue donc deu fo 6 meurage. Référence : - Manuel d ntructon du tranmetteur OCMD : PRR 5.4 (avrl 998. - Decrptf technque du capteur NvuBar Plu : 66T97.. - Rapport OTHU «Procédure capteur» (999 Fgure 4. : eemple de procédure d étalonnage d un capteur pézométrque (fn 3

Le détal de calcul et préenté pour la phae «montée en preon». Le graphque de écart tpe en Fgure 4. montre que l on peut, en premère appromaton, le condérer comme contant autour de,55 mm en faant abtracton de la valeur nulle pour 8 mm (et,44 mm en tenant compte de toute le valeur et donc admettre que la varance et contante ur l étendue de meure ou, tout au mon, que e varaton peuvent être condérée comme néglgeable.,8 Montée en preon écart tpe (mm,6,4, 5 5 5 hauteur connue (mm Fgure 4. : varaton de ur l'étendue de meure à la montée en preon Détermnaton d une drote d étalonnage Dan ce condton, nou pouvon applquer l enemble de relaton donnée au paragraphe 4.4. pour détermner la drote d étalonnage. En utlant le logcel d ajutement numérque Table Curve D (ou l utltare d anale Régreon Lnéare dan Ecel nou obtenon drectement l enemble de réultat ndqué Tableau 4. et Fgure 4.. L ntervalle de confance pour a ndque, avec une probablté de 95 %, que la contante a et non nulle. L ordonnée à l orgne et donc ben dfférente de zéro et l et néceare d en tenr compte pour corrger le réultat de meure. On peut également établr drectement ce réultat en tetant l hpothèe H o (a : a,58854 on a d une part, 8664 a,775 et d autre part, en lant la table de Student (Annee 3 ou en utlant la foncton Ecel, t -α/ (N- t,975 (58 LOI.STUDENT.INVERSE(,5 ; 58,7 <,8644. 3

Grandeur Valeur Intervalle de confance à 95 % Ecart tpe N 6 99,6,583 a,58854,53557,8645,775 b,395,8,663,34 Σ ε 9,9758 l,344398 Tableau 4. : réultat numérque du calcul de la drote d étalonnage du capteur pézométrque à la montée en preon a+b 5 a.5885386 b.3955 hauteur meurée k (mm 5 5 5 5 5 hauteur connue (mm Fgure 4. : drote d'étalonnage du capteur pézométrque à la montée en preon On a donc ben rejet de l hpothèe H o avec un rque de refuer à tort de 5 %. Un étalonnage pécfque de l apparel pour le hauteur d eau nféreure à cm a confrmé ce réultat. De même, l ntervalle de confance pour b ndque, avec une probablté de 95 %, que la pente b et upéreure à. On peut également établr drectement ce réultat en tetant l hpothèe H o (b : b,395 on a d une part, 9478 b,34 et d autre part, en lant la table de Student (Annee 3 ou en utlant la foncton Ecel, 3

t -α/ (N- t,975 (58 LOI.STUDENT.INVERSE(,5 ; 58,7 <,9478. On a donc ben rejet de l hpothèe H o avec un rque de refuer à tort de 5 %. Détermnaton d une courbe d étalonnage Afn de vor la relaton d étalonnage lnéare et atfaante, on peut comparer le réultat obtenu lorqu on ajute un polnôme de degré. Le tème à réoudre écrt : [ ][ M ] [ ] M M3 Eq. 4.63 6 7976 5574 a avec M 7976 5574 7774376, M b et 5574 7774376 3795444 c 735 M 3 564966 (attenton, le terme de matrce ne dovent pa être arrond. 7898994 On peut réoudre ce tème manuellement ou avec la foncton Ecel uvante : M PRODUITMAT(INVERSEMAT(M ; M 3,3845,663 7.545. En utlant le logcel d ajutement numérque Table Curve D (ou en utlant dan l utltare d anale Ecel l outl Régreon Lnéare en ntroduant comme deuème varable eplcatve le carré de valeur, nou obtenon drectement l enemble de réultat ndqué Tableau 4.3 et Fgure 4.3. Grandeur Valeur Intervalle de confance à 95 % Ecart tpe N 6 99,6,583 a,3845 -,34773,53,3653 b,663,99969,57,696 c -,54.-7-6,869.-7 4,5859.-7,8476.-7 Σ ε 9,945 lpol,349499 Tableau 4.3 : réultat numérque du calcul du polnôme de degré d étalonnage du capteur pézométrque à la montée en preon 33

5 a+b+c a.38447 b.663 c -.54457e-7 hauteur meurée k (mm 5 5 5 5 5 hauteur connue (mm Fgure 4.3 : parabole d'étalonnage du capteur pézométrque à la montée en preon Par rapport à la drote, on oberve que la valeur de a n et pa gnfcatvement dfférente de zéro et peut être condérée comme nulle avec un nveau de confance de 95 %. La omme de carré de rédu et légèrement plu fable que dan l ajutement lnéare. Le rapport (( N ( 3 l N lpol (9,9758 9,945 F ( N 3 57,534 ( N 3 9,945 lpol et nféreur à la valeur F pour un rque α,5 lue dan la table de Snedecor (Annee 4 ou calculée avec Ecel : F,95 ( ; 57 INVERSE.LOI.F(,5 ; ; 57 4,99. On peut donc admettre que la drote d étalonnage et atfaante. De calcul mlare ont effectué pour l étalonnage à la decente en preon (vor Tableau 4.4. Le réultat fnau ont le uvant : - drote d étalonnage à la montée :,58854 +,395 a m + b m - drote d étalonnage à la decente :,688 +,99967 a d + b d On contate que le deu drote ne ont pa dentque et donc que le capteur ne réagt pa de manère dentque à la montée et à la decente en preon. Cela peut poer de problème pour paer de la valeur meurée à la valeur vrae du meurande le écart entre le deu drote avèrent trop mportant. 34

Grandeur Valeur Intervalle de confance à 95 % Ecart tpe N 6,,47 a,688,69684,73743,66 b,99967,998774,999559,96 Σ ε 4,83734 l,738574 Tableau 4.4 : réultat numérque du calcul de la drote d étalonnage du capteur pézométrque à la decente en preon Nou allon donc vérfer que ce deu drote ont gnfcatvement dfférente d un pont de vue tattque, en utlant le méthode de comparaon de drote préentée au paragraphe 4.4.3. S ce n et pa le ca, nou pourron utler une eule de deu drote pour trater le réultat de meure. Pour procéder à cette comparaon, l faut préalablement vérfer que leur varance lée ne ont pa dfférente au moen du tet de Snedecor applqué au rapport de deu varance. Nou utleron dan la ute l ndce m pour le valeur relatve à la montée, et l ndce d pour le valeur relatve à la decente. Nou avon N N m N d 6,,344398 et F lm, 4663.,738574 ld En prenant un rque α, on a F nf /[INVERSE.LOI.F(, ; 58 ; 58] /,8559,5388 et F up INVERSE.LOI.F(, ; 58 ; 58,8559. F n étant pa compr dan l ntervalle [F nf ; F up ], le varance lée de deu drote ont condérée comme dfférente avec un rque de % de e tromper. Le varance lée étant gnfcatvement dfférente, on utle le tet de Welch. On obtent : t,395,99967,34 +,96,34 +,96,34 4,96 4 + 58 58 5,7 ( et ν,49 35

Or, en prenant un rque α, on a t -α/ ( LOI.STUDENT.INVERSE(, ;,649 < 5,7. On peut donc admettre que le deu pente ont dfférente, avec un rque de % de e tromper. Nou pouvon également obtenr ce réultat, ben qu avec un nveau de confance légèrement nféreur, en comparant le ntervalle de confance à 95 % de deu pente b m et b d : comme le deu ntervalle [,8 ;,663] et [,998774 ;,999559] ont djont, on peut conclure drectement que le deu pente ont gnfcatvement dfférente. Fnalement, le deu drote d étalonnage ont ben dfférente avec un nveau de confance de 99 %, et ne peuvent donc pa être confondue. Cela nou condurat logquement à tenr compte dfféremment de pérode où la hauteur d eau augmente et dmnue dan l étude de valeur brute fourne par l apparel de meure, ce qu conttue un problème complee dan lequel la dnamque de la répone du capteur devrat être pre en compte. Au allon-nou utler, à ce tade de calcul, une approche pragmatque, en analant le écart fourn par le deu drote d étalonnage. Pour une valeur meurée, le deu drote conduent à deu valeur m et d dfférente. La dfférence m d et repréentée Fgure 4.4. m - d (mm - e 577, mm - 5 5 (mm Fgure 4.4 : dfférence m d en foncton de la hauteur meurée On oberve que l écart mamal ur l étendue de meure mm et nféreur à mm en valeur abolue. Cet écart et potf pour le valeur de nféreure à e 577, mm et négatf au-delà. S donc on utle une eule drote d étalonnage, l erreur ur la valeur vrae era toujour nféreure à mm, ou réerve que le condton de fonctonnement du capteur n tu et en régme dnamque (hauteur 36

fluctuante et non tablée lor de meurage ot amlable au condton de fonctonnement en laboratore lor de l étalonnage (hauteur non fluctuante toujour croante ou décroante et tablée lor du meurage. Dan le ca étudé c, nou avon cho de travaller avec la drote d étalonnage à la montée en preon. Pour conclure cet eemple, nou pouvon détermner l ntervalle de confance à 95 % ur le etmaton de la valeur vrae du meurande obtenue à partr de valeur meurée, et cec pour toute l étendue de meure. A ttre d eemple, pour un meurage unque 6 mm, on obtent 599,54 mm et, en prenant l, la varance vaut : ( l,344397 6 3645,7 ( + + +,3564 b N ( (,395 6 9884,4 n et donc (,597 mm. Fnalement, l ntervalle de confance à 95 % contenant la valeur vrae du meurande, avec t -α/ (58,7 et donné par : [ -,7,597 ; +,7,597] [598,6 ; 6,45]. La valeur vrae du meurande a une probablté de 95 % de e trouver dan un ntervalle centré ur 599, mm et de largeur,4 mm.,5 ntervalle de confance à 95 % (mm,45,4,35 valeur moenne,39 mm,3 5 5 valeur meurée (mm Fgure 4.5 : largeur de l ntervalle de confance à 95 % pour l enemble de l étendue de meure 37

Eprmé ou forme d ncerttude de meure comme nou le verron au chaptre 5, on peut écrre : 599, ±, mm. L ntervalle de confance calculé pour l enemble de l étendue de meure et ndqué Fgure 4.5. On contate ben que l ntervalle de confance et mnmum pour de valeur vone de k mm, et que a valeur augmente ver le etrémté de l étendue de meure. Cependant, cette varaton rete fable et en pratque on prendra comme valeur unque,4 mm, ce qu correpond à un écart tpe ( arrond à,6 mm. 4.7. Etalonnage d un ph-mètre Cet eemple montre le réultat d étalonnage d un ph-mètre à électrode de meure en verre et électrode de référence en platne/ttane, detné à la meure en contnu du ph ur un réeau d aanement. Son étendue de meure et ph et l et corrgé en température (Photo 4.. Photo 4. : capteur et tranmetteur du ph-mètre Yokogawa FU dont l étalonnage et décrt dan le tete (photo Servce Audovuel INSA de Lon L apparel a été étalonné avec de oluton étalon certfée pour le 3 valeur de ph 4, 7 et qu correpondent à la gamme de valeur normalement obervable ur le te de meure (de valeur nféreure à 4 et upéreure à ont a pror eceptonnelle et correpondent généralement à de événement partculer tel que de déverement accdentel ou de rejet de tpe ndutrel non autoré. L étalonnage et donc conçu en vue d une utlaton de la courbe d étalonnage entre ph 4 et ph. Le oluton étalon, certfée avec une procédure tpe NIST (US Natonal Inttute of Standard and Technolog Buffer, poèdent un certfcat d étalonnage ndvduel. Elle préentent une erreur nféreure à, unté ph à C. Un tableau ndque la correcton de la valeur étalon en foncton de la température (vor Fgure 4.6. 38

7,6 7,4 7,4 Soluton ph 7, +/-,5 à C Produt n 7 c Lot n 79AC valeur du ph 7, 7, 6,98 7, 7, 6,986 6,96 6,97 6,958 6,95 6,947 6,946 6,94 3 4 5 6 7 température ( C Fgure 4.6 : valeur de la oluton étalon ph 7, en foncton de la température Sonde ph Yokogawa FU.5.T.NPT n K6 495 Converteur Yokogawa ph 4G.E..F.ISCT n KY 6 Etalonnage réalé le 6/5/999 (CM, AJR, MM, JLBK Paramètre Valeur Intervalle de confance à 95 % Polnôme de degré : a + b a,9977,89,9435 b,979,977836,98585 Σ ε,3839695 l 9,658734.-5 Polnôme de degré : a + b + c a,488,977,48638 b,3499,99599,9 c -,74 -,76,7 Σ ε,483333 l 4,67677.-5 Polnôme de degré 3 : a + b + c+d3 a,67645 non détermné b,334 non détermné c,87 non détermné d -,5753 non détermné Σ ε,483333 l 4,44.-5 Tableau 4.5 : étalonnage du ph-mètre par tro polnôme de degré à 3 39

La procédure d étalonnage et aez mple. Elle et décrte en détal dan un document pécfque analogue à celu du pézomètre du paragraphe précédent. Aprè dégraage et nettoage ogné à l eau démnéralée, la onde ph et plongée dan la oluton étalon à ph 4,. Aprè tablaton de la valeur meurée pendant mnute, on procède à la lecture : - de la température de la oluton étalon avec un thermomètre étalonné certfé Quck 74847 de précon, C ; - de la température ndquée par la onde ph pour a correcton nterne ; - de la valeur du ph affchée par l apparel de meure ; - de l ntenté 4- ma ur le orte ph et température de l apparel de meure. Ce lecture ont réalée fo de ute pour chaque oluton étalon de ph 4, 7 et (N 36, en tenant compte de la température de la oluton pour corrger la valeur théorque de la oluton ph étalon (la température et une grandeur d nfluence et vérfer que la correcton nterne du capteur et correcte. Nou avon ajuté de polnôme de degré à 3. Le réultat prncpau de calcul ont ndqué dan le Tableau 4.5. On contate que le polnôme de degré 3 n apporte aucune améloraton : la omme de carré de rédu et dentque à celle obtenue avec le polnôme de degré. Par contre, cette omme et gnfcatvement rédute en paant de la drote au polnôme de degré. a+b+c ph meuré 9 8 7 6 5 a.48788 b.34996 c-.747783 4 3 4 6 8 ph connu Fgure 4.7 : courbe d étalonnage du ph-mètre Le rapport (( N ( 3 l N lpol (,38397,4833 F ( N 3 33 43,95 ( N 3,4833 lpol 4

et upéreur à la valeur F pour un rque α,5 lue dan la table de Snedecor (Annee 4 ou calculée avec Ecel : F,95 ( ; 33 INVERSE.LOI.F(,5 ; ; 33 4,39. On adoptera donc le polnôme de degré comme courbe d étalonnage. Cette courbe et repréentée Fgure 4.7. 4

5. EVALUATION DES INCERTITUDES DE MESURE L évoluton du concept d ncerttude de meure ère étape : quantfcaton de l erreur probable, c et l époque du «calcul d erreur», on calcule de erreur mamale que l on combne lnéarement. ème étape : etmaton caractérant l étendue de valeur dan laquelle e tue la valeur vrae (norme de 984. 3 ème étape : paramètre, aocé au réultat d un meurage, qu caractére la dperon de valeur qu pourraent raonnablement être attrbuée au meurande (norme de 993. [ ] On remarquera que ce tro défnton ne ont pa équvalente, la dernère défnton fat preuve d humlté et de réalme, elle ne préume pa de notre poblté de connaître pu de compener toute le erreur. S l on et ûr d avor corrgé toute le erreur, le tro défnton ont équvalente. M. Prel, n Barber et al. (996, p. 5-53 5. INTRODUCTION Ce chaptre conacré à l évaluaton de ncerttude de meure conttue un complément et un approfondement de noton générale préentée au chaptre 3 «Démarche métrologque». Il ndque le détal théorque et pratque pour évaluer de ncerttude de meure, en préentant le méthode utlable et en fournant de eemple d applcaton. Certan de terme pécfque utlé dan ce chaptre ont défn au fl du tete ; pour le autre, nou renvoon le lecteur au leque en fn d ouvrage. Enfn, dan tout ce chaptre, on condère le grandeur faant l objet de meurage comme de varable aléatore. Au le deu dénomnaton eront-elle utlée conjontement en foncton du contete. 5. VALEUR VRAIE, ERREURS ALEATOIRES ET ERREURS SYSTEMATIQUES «L ncerttude de meure et un paramètre, aocé au réultat d un meurage, qu caractére la dperon de valeur qu pourraent raonnablement être attrbuée au meurande» (norme XP X 7-, 996. Au l epreon d une grandeur phque dot-elle toujour comprendre tro élément ndocable (Barber et al., 996 : 4

- une valeur numérque ; - une unté (choe dan le tème SI ; - une ncerttude, qu caractére la dperon de valeur meurée autour de la melleure etmaton de la valeur vrae. Tout l art du métrologue conte à évaluer ce ncerttude, à le ramener à une valeur compatble avec le egence pécfée et à garantr tout au long de la durée de meure que cette valeur n et jama dépaée, par la programmaton d opératon d étalonnage ou de vérfcaton pérodque. La valeur vrae d une grandeur et mpoble à meurer car l ete toujour de ource d erreur affectant le meurage et donc le réultat de meure, qu elle oent tématque ou aléatore. Le VIM (Vocabulare Internatonal de Métrologe donne le défnton uvante de ce ource d erreur (NF X 7-, 994 : - Erreur aléatore : réultat d un meurage mon la moenne d un nombre nfn de meurage du même meurande, effectué dan le condton de répétablté. On note que, comme on ne peut fare qu un nombre fn de meurage, l et eulement poble de détermner une etmaton de l erreur aléatore ; - Erreur tématque : moenne qu réulterat d un nombre nfn de meurage du même meurande, effectué dan le condton de répétablté, mon la valeur vrae du meurande. Comme la valeur vrae, l erreur tématque et e caue ne peuvent pa être connue complètement. Il et poble de rédure d une part le erreur aléatore en répétant le meurage, et d autre part le erreur tématque en applquant de correcton et en e raccordant à de étalon (vor chaptre 3 et 4. 5.. Réducton de erreur aléatore On condère une grandeur Y dont on a procédé au meurage N fo de ute en garantant le condton de répétablté. Ce N valeur, notée avec de à N, conttuent un échantllon, que l on uppoe repréentatf, de la populaton mère conttuée par un nombre nfn de meurage de la même grandeur Y, cette grandeur étant condérée comme une varable aléatore. Cette populaton peut être décrte par deu paramètre : - on epérance mathématque E(Y ; - a varance V(Y - à ttre de rappel, noton que l écart tpe σ ( Y V ( Y. L échantllon de N valeur nou permet de calculer le grandeur et (Y, etmaton repectve de E(Y et V(Y : N E( Y Eq. 5. N 43

N V ( Y ( Y ( Eq. 5. N La varance de la moenne et calculée par la relaton : V ( Y V ( Eq. 5.3 N Elle dmnue avec le nombre N de meurage. On oberve donc ben une réducton de l ncerttude ur la valeur moenne de la grandeur Y lorque le nombre de meurage augmente. 5.. Réducton de erreur tématque La réducton de erreur tématque et beaucoup plu dffcle que celle de erreur aléatore et ege un on partculer de la part du métrologue qu dot procéder à une anale détallée du proceu de meure et de caue d erreur potentelle. Le prncpale ource d erreur tématque ont, an ordre hérarchque : - effet de grandeur d nfluence (nfluence de la preon, de la température, etc., qu l et poble de rédure en procédant à de correcton de valeur brute ; - erreur de jutee de l ntrument de meure ; - perturbaton du phénomène phque étudé due à la préence de l ntrument de meure (dcréton de l apparel de meure ; - erreur d arrondage ou de troncature de valeur numérque ; - erreur dan un algorthme de tratement de réultat de meure ; - erreur ntrodute par la méthode de meure ou par le hpothèe mplfcatrce utlée ; - erreur due au mode opératore. Afn de mettre en évdence d éventuelle erreur tématque affectant la valeur d une grandeur, l ete plueur poblté complémentare (Barber et al., 996 : - meurage de la même grandeur avec un ntrument dfférent ; - meurage de la même grandeur avec de méthode de meure dfférente ; - meurage d une grandeur connue ou d un étalon ; - meurage de la même grandeur en faant varer de manère contrôlée le condton d envronnement (me en évdence de grandeur d nfluence telle que la preon, la température, etc. ; - meurage de la même grandeur par de opérateur ou de laboratore dfférent. Le correcton effectuée ur la valeur brute d un réultat de meure peuvent être claée en tro catégore : 44

- le correcton d étalonnage (vor chaptre 4 ; - le correcton d envronnement, detnée à compener l effet de grandeur d nfluence (par eemple, correcton de température pour le valeur du ph, de la conductvté, de la concentraton en ogène dou, etc. ; - le correcton pour ramener le réultat à de condton tandard (de température, de preon, ou toute autre condton normalée. 5.3 METHODES D ESTIMATION DES INCERTITUDES En général, la valeur d une grandeur Y et détermnée à partr de n valeur,, k,... n d autre grandeur ou terme correctf X, X, X k,... X n par une relaton du tpe : f (,,... k,... n Eq. 5.4 avec valeur brute du meurande ; f relaton fonctonnelle qu content chaque grandeur, compr le facteur éventuel de correcton ; n valeur de n grandeur meurée X k. Chaque valeur k et affectée d une ncerttude, appelée ncerttude tpe et notée u(x k, correpondant à l écart tpe (X k de la dtrbuton de la varable aléatore X k. De même, on note u(y l ncerttude tpe ur la valeur. Pour etmer la valeur de l ncerttude tpe u(y, tro méthode peuvent être emploée : - la premère, dte de tpe A, et entèrement epérmentale car fondée ur l anale tattque de ére de meurage répété de la grandeur Y ; - la deuème, dte de tpe B, et fondée ur l anale du prncpe de meure de la grandeur Y, de on modèle mathématque, de grandeur d nfluence, de nformaton dponble au ujet de la varablté poble due au dfférente ource d ncerttude et à leur nfluence ur le meurage réalé ; - la troème, fondée ur l anale tattque de réultat de mulaton du proceu de meure de la grandeur Y par la méthode de Monte-Carlo, permet de trater certan problème dan lequel le calcul permettant de paer de valeur k à la valeur ont complee. Le deu premère méthode ont décrte dan la norme XP X 7- (996. 5.3. Méthode de tpe A La méthode de tpe A par meurage répété et mple dan on prncpe, ma fatdeue dan a réalaton. Elle conte à procéder à N meurage uccef de la même grandeur Y en enregtrant le valeur,,...,,... N (en général N 3. Ce meurage dovent être réalé dan un premer temp an fare varer le condton de meure (tet de répétablté pu dan un deuème temp en faant varer le condton de meure en uvant le contrbuton lée au 5 M décrt au chaptre 3 45

(tet de reproductblté. Chaque ére de valeur et enute oume à une anale tattque pour détermner la valeur moenne et l écart tpe (Y. On condère que la varable Y ut une lo normale, également appelée lo de Laplace- Gau. A ttre d llutraton, la Fgure 5. montre la dtrbuton de probablté uvant une lo normale d une varable Y telle que la valeur moenne 5 et l écart tpe (Y, obtenue à partr d un échantllon de talle N.,5,4 LOI NORMALE probablté P(,3, (Y (Y, (Y (Y 3 4 5 6 7 8 9 valeur de la varable Y Fgure 5. : eemple de dtrbuton normale de valeur d'une varable Y, avec valeur, moenne 5, écart tpe On peut contrure dfférent ntervalle centré ur la valeur moenne et de largeur égale à k e (Y, avec k e un facteur multplcatf. On contate alor que : - pour k e : l ntervalle [ ( Y, + ( Y] [4 ; 6] centré ur la valeur moenne 5 content 68,3 % de valeur ; - pour k e,96 : l ntervalle [,96( Y, +,96( Y ] [3,4 ; 69,6] centré ur la valeur moenne 5 content 95 % de valeur ; - pour k e : l ntervalle [ ( Y, + ( Y ] [3 ; 7] centré ur la valeur moenne 5 content 95,4 % de valeur ; 46

- pour k e 3 : l ntervalle [ 3( Y, + 3( Y ] [ ; 8] centré ur la valeur moenne 5 content 99,8 % de valeur. Ce réultat nou permettent de détermner l ncerttude aocée à la valeur de la grandeur Y, en ntroduant le noton d ncerttude tpe, de nveau de confance et d ncerttude élarge. Par défnton, l ncerttude tpe u(y et pre égale à l écart tpe (Y. Le nveau de confance correpond à la probablté que la valeur vrae du meurande ot contenue dan un ntervalle dont la largeur et fée en foncton du nveau de confance. Par eemple, un nveau de confance de 95,4 % correpond à un ntervalle de largeur égale à 4(Y, c et à dre à k e, centré ur la valeur moenne. Le nveau de confance peut donc être caractéré par le coeffcent numérque k e appelé facteur d élargement. La valeur de k e vaut généralement, ou 3. La valeur,96 n et quament jama utlée ma remplacée par la valeur, l écart qu en réulte ur le calcul de l ncerttude pouvant être condéré comme néglgeable. En Europe, la valeur de k e et normalement égale à, ma l et prudent de toujour le vérfer ou le fare précer (vor chaptre 4. An, dan notre eemple, avec k e, la valeur vrae du meurande a une probablté d envron 95 % d être compre dan l ntervalle [3 ; 7]. On défnt enute l ncerttude élarge I ke (Y k e u(y. Avec k e, valeur qu era retenue pour l enemble de cet ouvrage, on a donc, pour l eemple précédent, I ke (Y I (Y. Cette ncerttude élarge et utlée pour eprmer le réultat fnal de meure ou la forme : Y ± ke u( Y m ± I ( Y m 5 ± m Eq. 5.5 avec m l unté utlée (par eemple le mètre. La méthode de tpe A permet donc de défnr et d etmer une ncerttude de meure à partr de meurage répété d une grandeur. C et une méthode trè utlée par eemple en laboratore d anale pour etmer le ncerttude aocée à un protocole analtque. En hdrologe urbane, la plupart de grandeur meurée n tu varent au cour du temp et ne ont donc n reproductble, n prévble n contrôlable par le métrologue. Par eemple, l et mpoble de procéder à N meurage conécutf du même débt dan un collecteur car le débt vare contamment. La méthode de tpe A peut cependant être utlée pour évaluer l ncerttude de meure lor de certane opératon d étalonnage ou de vérfcaton (vor chaptre 4, par eemple dan le ca d un lmnmètre où l et poble de procéder à N meurage uccef, n tu ou en laboratore, d une valeur étalon. Lorque la méthode de tpe A n et pa utlable (phénomène non tatonnare, condton non contrôlable par l opérateur, coût 47

mportant de meurage, etc., on emploe le méthode de tpe B ou de Monte Carlo préentée dan le deu paragraphe uvant. 5.3. Méthode de tpe B et lo de propagaton de ncerttude La méthode de tpe B et fondée ur l anale du prncpe de meure de la grandeur Y, de on modèle mathématque, de grandeur d nfluence, de nformaton dponble au ujet de la varablté poble due au dfférente ource d ncerttude et à leur nfluence ur le meurage. La méthode de tpe B fat appel à l epérence de l opérateur, à de ea et à de étalonnage antéreur, à la connaance de phénomène phque m en œuvre, an qu à de réultat partel obtenu généralement par de méthode de tpe A. Reprenon le ca général où la valeur d une grandeur Y et détermnée à partr de n valeur,, k,... n d autre grandeur ou terme correctf X, X, X k,... X n par une relaton du tpe : f (,,... k,... n Eq. 5.4 avec valeur brute du meurande ; f relaton fonctonnelle qu content chaque grandeur, compr le facteur éventuel de correcton ; n valeur de n grandeur meurée X k. Chaque ncerttude tpe u(x k devra être etmée à partr de toute le nformaton dponble, compr de évaluaton a pror lorqu l n et pa poble de procéder autrement. Noton dè à préent que la méthode de tpe B, en dépt de apparence, ne condut pa à une etmaton de ncerttude mon bonne que la méthode de tpe A. En effet, cette dernère nécete un nombre mportant de meurage pour rédure le ncerttude (vor paragraphe 5.. et le meurage ne ont pa aez nombreu, l écart tpe et donc l ncerttude élarge ur la moenne eront élevé. La détermnaton de n ncerttude tpe u(x k aocée au valeur k dépend de l nformaton et de connaance dponble. De nombreu ca peuvent e préenter. Le plu fréquent ont le uvant : - la varable X k ut une lo normale, dont la moenne vaut k et l écart tpe σ(x k. Dan ce ca, on prend mplement u(x k (X k. Ce tpe d nformaton réulte de l applcaton d une méthode de tpe A ou d une etmaton fondée ur l epérence, la méthode de meure, le ntrument utlé, etc. (vor Fgure 5. ; - la varable X k ut une lo unforme : cela correpond au ca où l nformaton et lmtée et où on at mplement que la valeur vrae dot e tuer dan un ntervalle centré ur k et de dem-largeur a : [ k - a, k + a], et que toute valeur au en de cet ntervalle et équprobable. Cet ntervalle correpond généralement au valeur mnmale et mamale que peut prendre la varable X k. Le calcul de l écart tpe d une lo unforme donne : u(x k (X k a 3 (vor Fgure 5.. 48

C et notamment le ca pour un ntrument vérfé et conforme à une clae d eacttude. Par eemple, pour un mètre certfé de clae II de m de longueur, le dtance ont connue avec une ncerttude mamale a,5 mm, ot u(x,8 mm,3 mm., LOI UNIFORME,5 a a probablté P(, (Y (Y,5, 3 4 5 6 7 8 9 valeur de la varable Y Fgure 5. : eemple de dtrbuton unforme de valeur d'une varable Y, avec valeur, valeur centrale 5, dem-ntervalle 5, écart tpe 4,43,4,3 LOI TRIANGULAIRE a a probablté P(,, (Y (Y, 3 4 5 6 7 8 9 valeur de la varable Y Fgure 5.3 : eemple de dtrbuton trangulare de valeur d'une varable Y, avec valeur, valeur centrale 5, dem-ntervalle 5, écart tpe, 49

- la varable X k ut une lo trangulare : l agt d un ca analogue au précédent, ma avec une nformaton un peu mon lmtée. La valeur vrae dot e tuer dan un ntervalle centré ur k et de dem-largeur a : [ k - a, k + a]. Cet ntervalle correpond généralement au valeur mnmale et mamale que peut prendre la varable X k, qu ut une lo de dtrbuton trangulare métrque. Le calcul de l écart tpe d une lo trangulare donne : u(x k (X k a 6 (vor Fgure 5.3. Le n ncerttude tpe u(x k étant évaluée, elle permettent de détermner l ncerttude tpe u(y en applquant la lo de propagaton de ncerttude, lo étable à partr d un développement en ére de Talor au premer ordre de la foncton f, qu écrt : n n n f f f u ( Y u( X k + u( X k, X j Eq. 5.6 X k X k + X j k k j k avec u ( X k, X j u( X k u( X j r( X k, X j la covarance etmée de X k et X j, où r(x k, X j et le coeffcent de corrélaton entre le grandeur X k et X j. L Eq. 5.6 e mplfe dan le ca, le plu nombreu, où le grandeur X k ne ont pa corrélée entre elle. On a alor u(x k, X j, k et j de à n, et l équaton ne content plu que le premer terme : n ( ( f u Y u X k Eq. 5.7 X k k On dot toujour néanmon vérfer l ndépendance de varable X k, en portant une attenton partculère au grandeur d nfluence telle que la température ou la preon qu peuvent condure à de covarance non nulle. Le lecteur ntéreé par de détal complémentare ur la lo de propagaton de ncerttude pourra e reporter utlement à la norme XP X 7- (996. Le deu équaton précédente permettent donc de détermner u(y. En choant un facteur d élargement k e correpondant au nveau de confance ouhaté, on défnt l ncerttude élarge I ke (Y k e u(y. Avec k e correpondant à un nveau de confance de l ordre de 95 %, on note I ke (Y I (Y u(y. Cette ncerttude élarge I (Y et utlée pour eprmer le réultat fnal de meure ou la forme : Y ± ke u( Y m ± I( Y m Eq. 5.8 avec m l unté utlée (par eemple le mètre. 5

Il nou paraît utle, parvenu à ce tade, de cter un court etrat de Barber et al. (996 : «Attenton au fanatme métrologque. Une ncerttude connue à % prè et un réultat tout à fat honorable». Cela gnfe que le ncerttude u(x k et u(y dovent être évaluée avec de hpothèe raonnable, en faant preuve de rgueur et d honnêteté ntellectuelle et en eaant de ne pa entretenr d lluon quant au ncerttude réelle de meurage n tu. Un premer eemple détallé de calcul d ncerttude elon la méthode de tpe B et donné au paragraphe 5.4. D autre eemple eront également préenté au fl de chaptre de cet ouvrage. 5.3.3 Méthode de Monte-Carlo La méthode de tpe B fat ntervenr la foncton f et e dérvée partelle par rapport à chacune de grandeur meurée X k. Le calcul n et réalable que dan le ca où l et poble d eplcter une foncton f unque relant la grandeur Y au grandeur X k. S la grandeur Y dépend de grandeur meurée X k, ma que cette dépendance e préente ou une forme beaucoup plu complee qu une foncton f, le calcul elon la méthode de tpe B n et plu poble. Dan ce condton, on procède par mulaton tochatque au moen de la méthode de Monte-Carlo. La méthode de Monte Carlo conte à muler N fo le proceu de meure à partr d échantllon artfcel de n varable X k, et à réaler une anale tattque de N valeur de la varable Y réultant de ce N mulaton. Pour que la méthode fourne de réultat pertnent, l et néceare que N ot grand, c et à dre de l ordre de plueur centane ou même plueur mller. La procédure, llutrée Fgure 5.4, et la uvante : - Pour chaque varable X k, on conttue un échantllon artfcel de N valeur aléatore kj, avec j de à N, non ordonnée, qu uvent une lo normale, notée N ( k, σ(x k, de moenne k et d écart tpe σ(x k - ou toute autre lo approprée, par eemple une lo log-normale, généralement applcable pour le concentraton moenne en polluant dan le rejet urban de temp de plue. Cet échantllon artfcel et fabrqué à partr d une foncton de génératon de nombre aléatore unformément dtrbué dponble dan le tableur ou le logcel de calcul numérque et tattque. - La talle N de échantllon artfcel, dan le ca d une lo normale, et détermnée de telle orte que le rapport de l écart tpe de l échantllon (X k ur l écart tpe de la populaton σ(x k ot compr dan un ntervalle [a, b] d ampltude (b a tel que : ( X a k b σ ( X k Eq. 5.9 5

probablté varable X probablté varable X n échantllon de talle N modèle du prncpe de meure (Y en foncton de X k probablté varable Y probablté varable X n Fgure 5.4 : prncpe de la méthode de Monte Carlo En élevant ce rapport au carré, l devent un rapport de varance : ( X a k b en notant Δ ( b a Eq. 5. V ( X k Dan ce condton, pour que le rapport de varance ot compr dan l ntervalle d ampltude Δ cho, l faut, pour un nveau de confance ( - α donné, détermner par tératon ucceve une talle d échantllon N telle que, avec le nombre de degré de lberté ν N, on at de valeur de la varable Kh-deu, notée χ, qu vérfent la relaton (Anonme, 995a CISIA-CERESTA : χ ν χ ν α ( / α / ( Δ Eq. 5. ν ν ce qu peut également écrre : χ + ( ( / N / N N α χ α Δ Eq. 5. Le valeur du χ ont lue dan de table tattque ou, le plu ouvent, calculée drectement car le valeur élevée de N ont généralement en dehor de la plage de valeur donnée par le table. Lorque la varable X k ne ut pa une lo normale, le calcul précédent ne ont pa applcable et l n ete pa de procédé analogue pour le autre lo. Une oluton poble à calculer N en uppoant que le lo et normale, pu de majorer N pour ne 5

pa rquer d avor une valeur par défaut. Cette majoraton peut être obtenue par eemple en multplant la valeur ntale de N par,5 ou. - Le n échantllon correpondant au n varable X k dovent être ndépendant, ce que l on peut vérfer faclement à l ade de covarance ou de coeffcent de corrélaton qu dovent être nul ou tout au mon trè proche de la valeur zéro. - On dpoe alor d un nombre N de n-uplet ( j, j, kj, nj avec j de à N. A partr de ce N n-uplet, on détermne le N valeur correpondante de la varable Y en utlant le modèle décrvant le prncpe de meure, que le prncpe de meure ot décrt par une foncton mple comme celle donnée par l Eq. 5.4 ou qu l correponde à une ucceon plu complee d opératon varée ou ntroduant de non lnéarté mportante (par eemple de calcul d ntégrale, de dérvée, de effet de eul, etc.. On obtent an un échantllon de N valeur j de la varable Y. - On effectue une anale tattque de cet échantllon, afn de détermner a valeur moenne et on écart tpe (Y. On prend alor, comme pour une méthode de tpe A, u(y (Y. L epreon fnale du réultat de meure et de on ncerttude élarge et dentque à celle de méthode de tpe A ou B. Un premer eemple détallé de calcul d ncerttude elon la méthode de Monte Carlo et donné au paragraphe 5.4. Un autre eemple et préenté au chaptre 4 conacré à la détermnaton de débt par eploraton du champ de vtee, car cette détermnaton fat appel à une double ntégraton de valeur k pour calculer la valeur. 5.4 EXEMPLE DE CALCUL Pour llutrer le méthode de tpe B et de Monte Carlo, nou prendron comme eemple d applcaton la détermnaton du débt Q dan une condute crculare de raon R c,5 m. Le débt et détermné à partr de meurage conjont de la hauteur d eau h au centre du collecteur et de la vtee d écoulement moenne U à traver la ecton moullée S (vor Fgure 5.5. Le débt Q et calculé par la relaton : h h h Q S ( h U R c Arcco U R c R n Arcco c R c Eq. 5.3 Le réultat brut de meure ont le uvant : h,7 m et U,8 m/. D où Q,4697 m3/. Pour le beon de l eemple, nou affcheron le quatre premère décmale de valeur numérque obtenue, ma en pratque courante, compte tenu de valeur de h et U, nou arrondron le valeur à deu décmale, c et à dre Q,47 m3/. Cela applque également pour le valeur de ncerttude tpe et élarge. 53

raon Rc hauteur d'eau h ecton S Fgure 5.5 : meurage de la hauteur d eau h et de la vtee U dan un collecteur crculare de raon Rc 5.4. Méthode de tpe B (lo de propagaton de ncerttude En condérant que le tro varable R c, h et U ne ont pa corrélée, la lo de propagaton de ncerttude écrt : Eq. 5.4 Le ncerttude tpe ur chacune de tro grandeur h, R c et U dovent être évaluée par alleur, ot au moen de méthode de tpe A et B, ot de manère epérmentale. Pour cet eemple, nou adopteron le valeur uvante, qu correpondent à de ordre de grandeur réalte : - u(r c, m ; - u(h,5 m ; - u(u,5 m/. Le calcul de dérvée partelle et de leur valeur numérque condut à : Q h UR Arcco U hr h c c R c R c,856 m/ Eq. 5.5,733 m/ Eq. 5.6 Q R c Arcco U ( Rc h c h R hr h c,587 m Eq. 5.7 L Eq. 5.4 permet alor de calculer : u(q,344.-5 +,98.-6 + 8,6.-4 8,784.-4 m6/ 54

et u(q,96 m3/. En prenant k e, l ncerttude élarge I (Q,593 m3/. D où Q,4697 ±,593 m3/, I ot une ncerttude de meure relatve ( Q,593, 6 Q,4697,6 %. (en pratque, nou prendron la valeur Q,47 ±,3 m3/. Dan cet ouvrage, pour mplfer le écrture, nou utleron ouvent pour Δ I X l ncerttude relatve la notaton X (. X X On contate, avec le valeur numérque de cet eemple, que la contrbuton majeure à l ncerttude totale ur Q provent de l ncerttude ur la vtee U. Noton que le dérvée partelle ont été calculée analtquement. Dan le ca où le calcul eraent trop fatdeu, l et poble de calculer de valeur numérque approchée. La relaton uvante donne une appromaton à l ordre par rapport à Δ de la dérvée partelle d une foncton f quelconque par rapport à une varable : Eq. 5.8 Dan notre eemple on obtent pour la dérvée partelle de Q par rapport à h,7 m, avec Δh,5 m, U,8 m/ et R c,5 m :,73394, valeur trè proche de la valeur eacte,733. Ce valeur numérque de dérvée partelle, moennant le cho d un pa Δ appropré, ont généralement tout à fat atfaante pour le calcul d ncerttude. 5.4. Méthode de Monte-Carlo On utle le même donnée ntale que dan la méthode de tpe B pour contrure le échantllon artfcel. Le réultat brut de meure et le ncerttude tpe ont le uvant : - R c,5 m u(r c, m ; - h,7 m u(h,5 m ; - U,8 m/ u(u,5 m/. La talle de échantllon artfcel et détermnée de telle orte que l on at, avec un nveau de confance de 95 %, une ncerttude de 5 % ur le rapport (X k /σ(x k, c et à dre : 55

( X,95 k,5 σ ( X k ( X,9 k σ ( X k, Eq. 5.9 D où Δ,,9,. Par tératon ucceve ur le valeur de χ, avec α,5 (c et à dre un nveau de confance à 95 %, on trouve N 769. En effet, pour cette valeur, ν N 768 et l vent : χ ( α / ν χ, 975 (768 846,69 et χ ( α / ν χ, 5 (768 693, On vérfe donc ben : χ ( α / ν χ ( 846,69 693, α / ν, Δ Eq. 5. ν ν 768 768 Nou adopton fnalement une valeur de N arronde légèrement upéreure : N 8. Nou contruon enute tro échantllon artfcel pour le varable R c, h et U uvant tro lo normale de paramètre repectf N (,5 ;,, N (,7 ;,5 et N (,8 ;,5. Il faut noter c que le valeur de échantllon artfcel ont été lmtée au valeur compre dan le ntervalle [ k - 3(X k ; k + 3(X k ] pour évter le valeur aberrante (rappelon que cette largeur correpond à 99,8 % de valeur poble. Ce tro dtrbuton ont repréentée Fgure 5.6 à Fgure 5.8. Le valeur numérque correpondante ont ndquée Tableau 5. et montrent que le écart entre le valeur théorque pour le populaton et le valeur obervée de échantllon artfcel ont etrêmement fable. Le calcul de covarance et de coeffcent de corrélaton confrme que le tro échantllon ont ndépendant. Le réultat ont donné dan le Tableau 5. et la Fgure 5.9 llutre l abence de corrélaton entre le échantllon dan le ca de varable h et U. 56

fréquence 6 8 4 N (,5 ;,..8.6.4. foncton de répartton..493.495.497.499.5.53.55.57 clae de raon R c (m Fgure 5.6 : échantllon artfcel pour la varable Rc uvant une lo N (,5 ;, fréquence 6 8 4 N (,7 ;,5..8.6.4..68.686.69.694.698.7.76.7.74.78 foncton de répartton. clae de hauteur d'eau h (m Fgure 5.7 : échantllon artfcel pour la varable h uvant une lo N (,7 ;,5 57

fréquence 5 9 6 3 N (,8 ;,5..8.6.4. foncton de répartton..65.69.73.77.8.85.89.93.97 clae de vtee d'écoulement U (m/ Fgure 5.8 : échantllon artfcel pour la varable U uvant une lo N (,8 ;,5, r(h,u 5,6, - vtee d'écoulement U (m/,9,8,7,6,68,685,69,695,7,75,7,75,7 hauteur d'eau h (m Fgure 5.9 : corrélaton entre le échantllon artfcel h et U 58

Varable X k R c h U Q Unté SI m m m/ m3/ E(X k,5,7,8 - k,5 59,7 4,83 386,479 V( k,46.-6 6,4.-6 6,35.-5 3,79.-5 σ(x k,,5,5 - (X k, 965,4 99,5 88,33 (X k / σ(x k,98,998,6 - Tableau 5. : valeur numérque caractértque de tro échantllon artfcel et de l échantllon réultant pour la varable Q Covarance u(x k, X j R c h U R c 3,86.-6 h,4.-7,49.-5 U 3,54.-7,4.-5,58.-3 Coeffcent de corrélaton r(x k, X j R c h U R c h,45.- U 3,54.-3 5,6.- Tableau 5. : covarance et coeffcent de corrélaton de tro varable Rc, h et U Le réultat de 8 mulaton du débt Q ont repréenté Fgure 5.. Le réultat numérque ont le uvant : Q,479 m 3 / u(q,33 m3/. En prenant k e, l ncerttude élarge I (Q,66 m3/. D où Q,479 ±,66 m3/, ot une ncerttude de meure relatve de,8 %. On contate que le réultat ont quament dentque à ceu obtenu avec la méthode de tpe B, et qu une lo normale et approprée pour repréenter la dtrbuton de valeur du débt Q (vor Fgure 5.. 59

5 75 5 5.39.4.43.45.47.49.5.53.55.57 fréquence N (,479 ;,33..8.6.4. foncton de répartton. clae de débt Q (m 3 / Fgure 5. : htogramme de valeur du débt Q Il et évdent que la méthode de Monte Carlo n et pa ndpenable pour un modèle au mple que celu de l Eq. 5.3. Ma cet eemple a perm une préentaton détallée de la méthode et une comparaon avec celle de tpe B. On notera cependant que la méthode de Monte Carlo fournt un réultat upplémentare ntéreant : l htogramme de valeur de la grandeur Y apporte une nformaton utle et peut permettre de meu appréhender la dtrbuton fnale de ncerttude de meure. 6