IUT ORSAY Mesures Physques Intégrales trples Calcul de volumes et d hyper-volumes Cours du ème semestre A. omane «cubable» On dt qu un domane est cubable quand son volume peut être approché par une subdvson en petts pavés obtenus en partageant l espace par tros famlles de plans, les premers d abscsse constante, les seconds d ordonnée constante et les trosèmes de cote constante c est la généralsaton à l espace de la noton de domane quarrable. B. Expresson ntégrale du volume d un domane cubable B-I. Elément de volume en coordonnées cartésennes En coordonnées cartésennes, l élément de volume est et le volume d un domane peut donc se noter où cette notaton montre que le volume s obtent par tros ntégratons successves, l une pour dx, l autre pour dy et la trosème pour dz. B-II. Changement de coordonnées On défnt le Jacoben du changement de coordonnées ( x, y, z) ( u, v, w) comme l expresson J ( x, y, z ) telle que : u u u x y z v v v J ( x, y, z) =. x y z w w w x y z Comme pour les ntégrales doubles où ce Jacoben permet d adapter la talle de l élément de surface au moment d un changement de coordonnées, l permet c d adapter la talle d un élément de volume : dudvdw = J ( x, y, z). pourvu que dans le domane consdéré le Jacoben garde un sgne constant a. Cas des coordonnées cylndrques : x = r.cos( θ ) y = r.sn( θ ) z = z On obtent J ( r, θ, z) = r donc =. b. Cas des coordonnées sphérques : r drdθdz x = r.sn( θ ) cos( ϕ) y = r.sn( θ )sn( ϕ) z = r.cos( θ ) On obtent J ( r, θ, ϕ) = r sn( θ ) donc =.sn( θ ). r drdθdϕ Page 55
C. Méthodes de calcul des ntégrales trples C-I. Intégrales térées S pour z fxé entre les bornes z et z, y vare entre mn max y mn ( z ) et y max ( z ) où ces expressons sont des fonctons contnues de z et s de plus pour y et z fxés respectvement entre les bornes y mn ( z ) et y max ( z ) d une part et z mn et z d autre part, x vare entre les bornes max x mn ( y, z ) et max (, ) sont des fonctons contnues de y et z, alors : zmax ymax ( z) xmax ( y, z) x y z max ( ) y z où ces expressons = ( ( ) ) z mn ymn ( z) dx dy dz xmn ( y, z) Remarque : Ben entendu cette méthode se déclne suvant l ordre dans lequel l est le plus ntéressant d effectuer les ntégratons En général, on ntègre en derner (ntégrale extéreure) suvant la varable dont les bornes sont les plus smples, s possble constantes. C-II. Intégrales «en tranches» S les coupes du domane pour z fxé entre les bornes z et z ont une forme smple (carrés, dsques, mn max trangles) on appelle z le domane où varent x et y lorsque z est chos et on a : zmax = ( ) dxdy dz z mn z L ntégrale trple est donc devenue «une ntégrale smple d ntégrale double» : on dt qu on pratqué une ntégraton «en tranches». C-III. Intégrales «en ples» S la projecton du domane dans le plan xoy est et s pour tout couple ( x, y ) chos dans la varable z vare entre z mn ( x, y ) et z max ( x, y ) où ces expressons sont des fonctons contnues de x et y alors on a : zmax ( x, y) = ( ) dz dxdy zmn ( x, y) L ntégrale trple est devenue «une ntégrale double d ntégrale smple» : on dt qu on a pratqué une ntégraton «en ples» ou «en bâtons».. Généralsaton de l ntégrale trple S f ( x, y, z ) est une foncton contnue dans le domane, on peut applquer la méthode de Remann au calcul de f ( x, y, z ). Cette ntégrale ne calcule plus un volume, la dmenson physque n est plus celle d un volume. Les méthodes de calcul (ntégrales térées, ntégrales «en tranches», ntégrales «en ples») restent valables. E. Quelques ntégrales trples et des applcatons ) ) E-I. Calcul de I = z. dans deux cas "bens pour des tranches" z x y z est le domane lmté par la surface d'équaton = et le plan = 0. z = 0 est le domane lmté par la surface d'équaton x + y = et les plans. z = 56
) ) E-II. Calcul de I = x + y ( ). dans deux cas "bens pour des ples" z x y z est le domane lmté par la surface d'équaton = et le plan = 0. z = y est le domane lmté par la surface d'équaton x + y = et les plans. z = + y E-III. Calculs dans des cas où l faut se débrouller ) L ntégrale I s écrt a x x ( ( xyz. dz) dy) dx 0 0 y Précser le domane d ntégraton Ré-exprmer l ntégrale de cnq autres façons en changeant l ordre d ntégraton Calculer l ntégrale 4 ) Prouver que x. = avec { ; 0; ; 0} 35 = x + z z x y y z. = avec 0; 0; ; 60 = x y z y x + y 3) Prouver que { } F. Noton de centre d nerte F-I. Rappels Barycentre de deux ponts (cours de nde ) à partr du porteur d eau et de la condton d équlbre. Barycentre de n ponts (cours de ère ) à partr de l équlbre d une plaque soumse à tros forces vertcales et de la condton d équlbre. n α. OA = Formule OG = (cours de termnale) n α = et son expresson en séparant les coordonnées : n n n α. x α. y α. z x y z α α α = = = A A A = = = G = ; G = ; n n G = n Généralsaton : La masse est réparte dans l ensemble d un domane, on ne peut plus numéroter les ponts du domane La somme dscrète est remplacée par une somme contnue (une ntégrale) où les coeffcents sont de la forme dm = ρ( x, y, z)., la foncton ρ ( x, y, z) représentant la densté volumque de masse, et l élément de volume s ben que dm représente l élément de masse au pont ( x, y, z ). Les formules devennent pour un objet à tros dmensons : x. ρ( x, y, z). y. ρ( x, y, z). z. ρ( x, y, z). xg = ; yg = ; zg = ρ( x, y, z). ρ( x, y, z). ρ( x, y, z). x G et pour un objet à deux dmensons : x. ρ( x, y). dxdy y. ρ( x, y). dxdy = ; yg = ρ( x, y). dxdy ρ( x, y). dxdy Remarque : Quel que sot le nombre de dmensons, le dénomnateur correspond toujours à la masse totale de l objet. C est la somme, dans l objet, de tous les dm. 57
F-II. Exercces a. Cas d'un cône Le cône C est comprs entre la surface d'équaton z x y = + et le plan 0 z =. ) S la densté volumque de masse au pont M(x;y;z) est égale à, quelles sont les coordonnées de son centre d'nerte? ) S la densté volumque de masse au pont M(x;y;z) est égale à z quelles sont les coordonnées de son centre d'nerte? b. Cas d une dem boule La dem boule de centre O(0 ;0 ;0) et de rayon stuée dans le dem espace z 0 a une densté unforme. Quelles sont les coordonnées de son centre d nerte? c. Cas d un «culbuto» Un culbuto est consttué d une dem sphère homogène (comme celle utlsée au B) surmontée d un cône homogène auss (comme celu utlsé au B). La sphère est dans une matère dont la densté volumque de masse est 3 et le cône dans une matère dont la densté volumque de masse est. Quelles sont les coordonnées du centre d nerte du culbuto. d. Cas d un dsque évdé On utlse un dsque de centre O(0 ;0) et de rayon. Ce dsque est homogène dans une matère dont la densté surfacque de masse est. On évde ce dsque en créant un trou de forme crculare à l emplacement du dsque de centre I( ;0) et de rayon. Où est le centre d nerte de ce dsque évdé? G. Noton de moment d nerte G-I. Le cas physque : par rapport à un axe On sat que fare tourner une masse m autour d un axe est d autant plus dffcle (c est à dre demande d autant plus d efforts) que m est grand et que la dstance de cette masse à l axe de rotaton est grande. En fat, s on note l axe de rotaton et r la dstance du pont M portant la masse m, l effort pour fare tourner M autour de est mr. Cet effort est nommé moment d nerte du pont M par rapport à l axe. On admet que s on veut fare tourner pluseurs ponts M (du même solde) pour =.. n autour du même axe, l effort global à fournr est la somme des efforts à fournr pour fare tourner séparément chaque n pont : Moment = m. r. = Lorsqu un solde S est contnu, la masse est réparte dans l ensemble de ce solde et, en notant δ ( x, y, z) la densté de masse en tout pont M ( x, y, z ), on obtent la formule de défnton : Moment (S, ) formule qu s écrt plus banalement : où S ( M x y z ) = δ ( x, y, z).. dst( (,, ), ) Moment x y z = r. δ (,, ). (S, ) S r est ben entendu le carré de la dstance du pont M ( x, y, z ) à l axe. Par exemple, s l axe est l axe Oy, on a r = x + z. S le solde n est qu à deux dmensons (par exemple une plaque métallque «fne») la masse n est réparte qu en deux dmensons et la densté de masse est une densté surfacque 58
G-II. Généralsatons mathématques : par rapport à un plan ou un pont La noton physque de rotaton n a de sens par rapport à un axe, mas les matheux (qu ne sont pas des expérmentateurs) ont généralsé cette noton de moment en magnant que les dstances ne soent plus calculées par rapport à un axe mas plutôt par rapport à un plan ou par rapport à un pont. La formule de défnton reste exactement la même : S P est un plan, le moment d nerte du solde S par rapport à P est Moment =. δ ( x, y, z). (S, ) G-III. où r P S r est le carré de la dstance du pont (,, ) M x y z au plan P. S I est un pont, le moment d nerte du solde S par rapport à I est Moment =. δ ( x, y, z). (S, ) où r I S r est le carré de la dstance du pont (,, ) Moment d nerte par rapport à un axe M x y z au pont I. ) Une tge matérelle homogène de longueur l est placée perpendcularement à l axe de rotaton nommé. S passe par une extrémté de la tge, quelle est le moment d nerte de cette tge? Et s passe par le mleu de la tge? ) Un dsque matérel de rayon R tourne autour d un axe passant par un pont de la crconférence de ce dsque. S est dans le plan du dsque, quel est le moment d nerte du dsque? Et s est perpendculare au plan du dsque? G-IV. Moments d nerte par rapport à un pont ) Une sphère Σ homogène a pour rayon. Quel est son moment d nerte par rapport à son centre? ) Une boule B homogène a pour rayon. Quel est son moment d nerte par rapport à son centre? 3) P est une plaque homogène, carrée, de côté. Quel est son moment d nerte par rapport à son centre? Et par rapport à l un de ses sommets? Et par rapport à un de ses côtés? G-V. Moments d nerte par rapport à un plan ) Une tge matérelle homogène a pour longueur l. Elle est placée perpendcularement à un plan P. S P passe par une extrémté de la tge, quelle est le moment d nerte de cette tge? Et s P passe par le mleu de la tge? Et s P content la tge? ) Une sphère Σ homogène a pour rayon. Quel est son moment d nerte par rapport à un plan qu content son centre? Et par rapport à un plan tangent à la sphère? 3) Une boule B homogène a pour rayon. Quel est son moment d nerte par rapport à un plan qu content son centre? Et par rapport à un plan tangent à la boule 59
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