Cpitre 11 : Clcul intégrl I Intégrle d une fonction positive I.1 Définition Définition ( 1. Dns un repère ortogonl O; i ; ) j, on ppelle unité d ire l ire du rectngle de côtés [OI] et [OJ]. 2. Soient f une fonction continue et positive sur [; ] et C s coure représenttive dns un repère ortogonl. C j D O i On ppelle intégrle de f de à l ire, exprimée en unités d ires, du domine démilité pr l coure C, l xe des scisses, et les droites d éqution x = et x =. Cette intégrle se note f(x) dx et se lit intégrle de à de f. Remrque L vrile x peut être remplcée pr n importe quelle utre vrile : On dit que l vrile est muette. f(x) dx = f(t) dt. Remrque (Reltion de Csles sur les intégrles) Soit f une fonction continue et positive sur I. Pour tous réels, et c de I vec < < c, f(x) dx+ c f(x) dx = c C j O i c 1
I.2 Métode des rectngles pour encdrer une intégrle On suppose que l fonction f est continue, positive, et monotone sur l intervlle [; ]. Pour pprocer l intégrle de à de f, on prtge l intervlle [;] en n intervlles de même longueur = n. On pose =, et pour 0 k n x k = +k n = +k. x k x k+1 x n Sur ccun de ces intervlles [x k ;x k+1 ], on peut encdrer l ire sous l coure de f pr des ires de rectngles. Dns le cs où f est croissnte sur [x k ;x k+1 ], on f(x k ) xk+1 x k f(t) dt f(x k+1 ) C f(x k+1 ) f(x k ) x k x k+1 x n D près l reltion de Csles, n 1 f(t) dt = k=0 xk+1 x k f(t) dx. L ire sous l coure de f sur [;] est lors comprise entre l somme des ires des rectngles sous l coure et l somme des ires des rectngles u-dessus de l coure. Toujours dns le cs où f est croissnte sur l intervlle [; ], on otient l encdrement soit n 1 k=0 n n f(x k) n 1 f(x k ) k=0 f(t) dt n 1 k=0 f(t) dt n n f(x k+1) n 1 f(x k+1 ) k=0 2
Algoritme ssocié à l métode des rectnges : Déut Entrer f,,, n. prend l vleur n x prend l vleur U prend l vleur 0 V prend l vleur 0 Pour k vrint de 0 à n 1 U prend l vleur U + f(x) x prend l vleur x+ V prend l vleur V + f(x) Fin pour Afficer U, V Fin Remrque 1. Dns le cs où f est croissnte sur l intervlle [;], on U f(t) dt V. Si f est décroissnte sur [;], l lgoritme reste vlle et on cette fois V f(t) dt U. 2. L métode des rectngle et l lgoritme restent vlles dns le cs où f est seulement continue et monotone sur [; ] (f de signe quelconque, voir prgrpe IV). Progrmmtion de l lgoritme à l clcultrice 3
Texs L fonction f étnt entrée dns Y 1. Prompt A,B,N (B A)/N H A X 0 U 0 V For(K,0,N 1) U +H Y 1 (X) U X +H X V +H Y 1 (X) V End Disp U,V Attention : Y 1 s otient pr vr, VAR-Y, Fonction, Y 1. Csio L fonction f étnt entrée dns Y 1.? A? B? N (B A)/N H A X 0 U 0 V For 0 K To N 1 U +H Y 1 (X) U X +H X V +H Y 1 (X) V Next U V II Primitives d une fonction continue Téorème (fondmentl) Si f est une fonction continue et positive sur [;], l fonction F définie sur [;] pr F(x) = x f(t) dt est dérivle sur [;] et pour dérivée f. On donc pour tout x [;], F (x) = f(x). Démonstrtion (cs où f est croissnte) On se limite u cs où f est croissnte pour l démonstrtion. On suppose que f est continue, positive, et croissnte sur [;]. Soit [;], et un réel tel que + [;]. 1 er cs : si > 0. D près l reltion de Csles, c est-à-dire F( +) F( ) = f(t) dt = f(t) dt. x0 Comme f est croissnte sur [,], on peut encdrer f( ) f(t) dt+ f(t) dt pr : f(t) dt f( +) f(t) dt, On encdré l ire sous l coure pr les ires des rectngles de lrgeur + = et de uteurs respectives f( ) et f( +). 4
f( +) C f( ) + Comme > 0, on donc f( ) f(t) dt f( +) f( ) F( +) F( ) f( +) f( ) F( +) F( ) f( +) Comme f est continue sur [;], lim f( +) = f( ). 0 D près le téorème des gendrmes, si > 0, on lim 0 >0 2ème cs : si < 0. On étlit de même l encdrement f( +) F( +) F( ) Il vient toujours d près le téorème des gendrmes, lim 0 <0 F( +) F( ) = f( ). 0 On donc montré que lim F( +) F( ) f( ) F( +) F( ) = f( ). = f( ). Donc F est dérivle en et F ( ) = f( ). On montré ce résultt pour un réel quelconque de l intervlle [;], donc F est dérivle sur [;] et F = f. Remrque On dmet le téorème dns le cs générl. Définition Soit f une fonction continue sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I toute fonction F dérivle sur I et dont l dérivée est f. Ainsi, pour tout x I, F (x) = f(x). Téorème Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Démonstrtion Pour l démonstrtion, on se limite u cs où I = [;] et où f dmet un minimum m sur I. L fonction g définie pr g(x) = f(x) m est continue et positive sur [;]. D près le téorème fondmentl, elle dmet pour primitive l fonction G : x x g(t) dt. Alors, l fonction F définie pr F(x) = G(x)+mx est une primitive de f sur [;]. En effet, F est dérivle sur [;] et F (x) = G (x)+m = g(x)+m = f(x) m+m = f(x). Donc f dmet des primitives sur [;]. 5
Remrque On dmet le téorème dns le cs générl. Remrque L fonction x exp( x 2 ) est continue sur R, donc elle dmet des primitives sur R, mis on n en connît ps de formule explicite. Propriété Soit f une fonction continue sur un intervlle I. 1. Si F est une primitive de f sur I, lors toutes les primitives de f sont les fonctions G définies pr G(x) = F(x)+k, où k est une constnte. 2. Soit I et y 0 R. Il existe une unique primitive G de f telle que G( ) = y 0. Démonstrtion 1. Pour tout k R, l fonction G définie pr G(x) = F(x) + k est églement une primitive de f cr c est ien une fonction dérivle sur I (pr somme de fonctions dérivles), etpour tout x I, G (x) = F (x)+0 = f(x). Réciproquement, soit G une utre primitive de f. Alors (G F) = G F = f f = 0. Donc l fonction (G F) est constnte sur l intervlle I, c est-à-dire qu il existe une constnte k R telle que G(x) = F(x)+k pour tout x I. 2. Soit G(x) = F(x)+k une primitive de f sur I. Pour que G( ) = y 0, il fut et il suffit que F( ) + k = y 0, ce qui détermine une unique vleur pour l constnte k (k = y 0 F( )). Donc il esite une unique primitive G de f telle que G( ) = y 0. III Recerce de primitives III.1 Primitives des fonctions usuelles Fonction f Une primitive F Intervlle de vlidité f(x) =, ( R) F(x) = x R f(x) = x F(x) = 1 2 x2 R f(x) = x 2 F(x) = 1 3 x3 R f(x) = x n n entier différent de 0 et 1 F(x) = 1 n+1 xn+1 R si n > 0, ] ;0[ ou ]0;+ [ si n < 0 f(x) = 1 x 2 F(x) = 1 ] ;0[ ou ]0;+ [ x f(x) = 1 F(x) = lnx ]0;+ [ x f(x) = e x F(x) = e x R f(x) = 1 x F(x) = 2 x ]0;+ [ f(x) = cosx F(x) = sinx R f(x) = sinx F(x) = cosx R f(x) = cos(x+), 0 F(x) = 1 sin(x+) R f(x) = sin(x+), 0 F(x) = 1 cos(x+) R 6
III.2 Opértions sur les primitives Propriété Soient f et g deux fonctions continues sur I, de primitives respectives F et G. 1. Une primitive de f +g est F +G. 2. Pour toute constnte k R, une primitive de kf est kf. Démonstrtion 1. (F +G) = F +G = f +g. 2. (kf) = kf = kf. Remrque Attention, F G n est ps en générl une primitive de f g cr (FG) = F G+FG = fg+fg. Propriété (composée) Soit u une fonction dérivle sur I. 1. Une primitive de u e u est e u. 2. Une primitive de u u n vec n 1 est 1 n+1 un+1. 3. Pourn < 1etvecunes nnulntpssuri,uneprimitivedeu u n est 4. Si u(x) > 0 sur I, une primitive de u u est lnu. 5. Si u(x) > 0 sur I, une primitive de u u est 2 u. 1 n+1 un+1. Démonstrtion 1. (e u ) = u e u. 2. ( 1 3. Idem. n+1 un+1 4. (lnu) = u u. 5. (2 u) = 2 u 2 u = u u. ) = 1 n+1 (n+1)un u = u u n. IV Intégrle d une fonction continue Propriété Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [;]. Si F est une primitive de f sur I, lors f(x) dx = F() F(). 7
Démonstrtion On sit que l fonction G définie pr G(x) = x f(t) dt est une primitive de f sur [;]. De plus, si F est une primitive de f sur [;], lors il existe une constnte k telle que F(x) = G(x)+k. On en déduit que F() F() = G() G(). Or, G() = f(t) dt, et G() = 0, donc F() F() = f(t) dt. Remrque Cette formule s étend ux fonctions continues de signes quelconques sur un intervlle I, vec et quelconques dns I, et l on peut lors définir l intégrle d une fonction continue de signe quelconque. Définition Soient f une fonction continue sur un intervlle I, F une primitive de f sur I, et et deux réels quelconques de I. On ppelle intégrle de f de à l différence F() F(). On note f(x) dx cette intégrle. Remrque On peut donc clculer l vleur excte d une intégrle dès que l on connît une primitive de l fonction. Propriété Soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle I,,, c trois réels de I, et k un réel quelconque. 1. 2. f(x) dx = 0. f(x) dx = 3. Linérité de l intégrle : () () kf(x) dx = k (f(x)+g(x)) dx = 4. Reltion de Csles : f(x) dx+ 5. Positivité de l intégrle : f(x) dx+ c f(x) dx = Si < et pour tout x [;] f(x) 0, lors 6. Croissnce de l intégrle. Si pour tout x [;], f(x) g(x), lors g(x) dx. c f(x) dx 0. f(x) dx g(x) dx. Démonstrtion Soient F une primitive de f et G une primitive de g. 8
1. 2. f(x) dx = F() F() = 0. f(x) dx = F() F() = (F() F()) = 3. Linérité de l intégrle : () L fonction kf est une primitive de kf, donc kf(x) dx = (kf)() kf() = k(f() F()) = k () L fonction F +G est une primitive de f +g, donc = 4. Reltion de Csles f(x) dx+ f(x) dx (f(x)+g(x)) dx = (F +G)() (F +G)() c = F() F()+G() G() f(x) dx+ g(x) dx f(x) dx = F() F()+F(c) F() = F(c) F() = f(x) dx 5. Ce résultt se déduit directement de l définition de l intégrle dns le cs où f est positive. 6. Sif(x) g(x)sur[;],lors(f g) 0,etdonc,veclepointprécédent, 0. Pr linérité de l intégrle, on f(x) dx g(x) dx. (f(x) g(x)) dx 9
V Applictions du clcul intégrl V.1 Clculs d ires Propriété 1. Si f est une fonction continue et négtive sur [;], lors l ire, exprimée en unités d ires, du domine délimité pr l coure C, l xe des scisses, et les droites d équtions x = et x = est O C 2. Si f et g sont deux fonctions continues sur [;] et telles que pour out x [;], f(x) g(x). Alors l ire de l surfce comprise entre les deux coures et les droites d équtions x = et x = est (g(x) f(x)) dx. C g O C f V.2 Vleur moyenne Définition Pour toute fonction f continue sur un intervlle [;], on ppelle vleur moyenne de f sur [;] le réel m tel que m = 1 Remrque Cette églité s écrit ussi m( ) = Ainsi, pour une fonction positive, m est l uteur du rectngle de lrgeur ( ) qui l même ire que l ire 10
Exemple : Clculons l vleur moyenne de l fonction crré sur [0;2]. m = 1 2 0 2 0 t 2 dt = 1 [ ] 1 2 2 3 t3 0 = 1 ( ) 2 3 2 3 0 = 4 3 L ire sous l coure de f sur [0;2] est égle à l ire du rectngle de uteur 4 3 lrgeur 2. 5 et de 4 3 2 4 31 1 1 1 2 3 11