Analyse Complexe (Math 4)

UNIVERSITÉ DES SIENES ET DE LA TEHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENNE () FAULTÉ DES MATHÉMATIQUES DÉPARTEMENT D ANALYSE Notes de ours du module Analyse omplexe (Math 4) Par LAADJ Toufik (2) Pour Deuxième année Licence Domaine : Sciences et Technologies Février 24 () USTHB : Bab Ezzouar Alger, Algérie. (2) Page Web : http://perso.usthb.dz/~tlaadj/

Table des matières Table des matières Description du ours iii iv Les nombres complexes. L ensemble des nombres complexes........................... Opérations sur les nombres complexes................... 2..2 Valeur absolue (ou module)......................... 3.2 Représentation graphique des nombres complexes................. 3.2. ourbes dans le plan complexe....................... 4.3 Forme polaire des nombres complexes........................ 4.3. Formule de De Moivre............................ 5.3.2 Racines d un nombre complexe....................... 5 Fonctions élémentaires 7. Fonctions complexes................................. 8.. Fonctions uniformes et multiformes..................... 8..2 Fonctions inverses............................... 9..3 Transformations................................ 9..4 Limites..................................... 9..5 ontinuité....................................2 Fonctions élémentaires.................................2. Les fonctions polynômiales...........................2.2 Les fractions rationnelles........................... i

Table des matières.2.3 Les fonctions exponentielles..........................2.4 Fonctions trigonométriques.......................... 2.2.5 Les fonctions hyperboliques......................... 2.2.6 Fonctions logarithmiques........................... 2.2.7 La fonction z α................................. 4.2.8 Fonctions trigonométriques inverses..................... 4.2.9 Fonctions hyperboliques inverses....................... 4 2 Dérivation dans le domaine complexe 5 2. Domaines dans le plan complexe........................... 5 2.2 Fonctions holomorphes................................ 7 2.2. Dérivées.................................... 7 2.2.2 onditions de auchy-riemann....................... 8 2.2.3 Fonctions harmoniques............................ 9 2.2.4 Règles de dérivation............................. 2 2.2.5 Règle de l Hôpital............................... 2 2.2.6 Points singuliers................................ 22 3 Intégration dans le domaine complexe 23 3. hemins et courbes dans le plan complexe..................... 24 3.2 Intégration le long d une courbe........................... 25 3.2. Propriétés................................... 27 3.3 Théorèmes de auchy................................ 3 3.3. Domaines simplement ou multiplement connexes.............. 3 3.3.2 Théorème de auchy............................. 3 3.3.3 Primitives et intégration........................... 32 3.3.4 Formule intégrale de auchy......................... 33 4 Séries infinies, séries de Taylor, séries de Laurent 35 4. Séries de fonctions.................................. 35 4.. onvergence absolue............................. 36 4.2 Séries entières..................................... 36 4.2. Rayon de convergence............................ 37 4.3 Séries de Taylor.................................... 38 ii

Table des matières 4.3. Quelques séries particulières......................... 38 4.4 Séries de Laurent................................... 39 4.4. lassification des singularités........................ 4 5 Théorème des résidus 43 5. Résidus........................................ 43 5.. alcul des résidus............................... 44 5.2 Le théorème des résidus............................... 46 5.3 Application du théorème des résidus........................ 47 5.3. Théorèmes particuliers utilisés pour le calcul d intégrales......... 47 5.3.2 Application aux transformées de Fourier.................. 48 5.3.3 alcul d intégrales définies diverses..................... 5 Références 57 iii

Description du ours Objectif du ours L objectif du module Analyse omplexe (Math 4) est de maîtriser les concepts et les résultats fondamentaux de la théorie des fonctions complexes de variables complexes de manière à pouvoir les utiliser dans d autre cours. es notes de cours donnent les principales définitions et les résultats fondamentaux, illustrés par des exemples. ontenu du ours Les nombres complexes Fonctions complexes Dérivation complexe, équations de auchy-riemann Intégration complexe, Théorème de auchy Séries infinies, séries de Taylor, séries de Laurent Théorème des résidus iv

Description du ours Résultats d apprentissage À la fin du cours, l étudiant doit avoir une bonne compréhension de la théorie des fonctions complexes à variable complexe et devrait être en mesure d appliquer ces connaissances pour résoudre les exercices dans une variété de contextes. En particulier, l étudiant doit être capable de : omprendre ce qu une dérivation complexe est. iter, tirer et appliquer les équations de auchy-riemann. Effectuer l intégration curviligne de fonctions complexes. omprendre et appliquer le théorème de auchy et la formule intégrale de auchy Étudier les propriétés de convergence d une série de puissance complexe. Appliquer les théorèmes de Taylor et de Laurent pour obtenir des développements en série de puissance. Identifier et classifier les singularités de fonctions complexes et trouver des résidus. Tirer et appliquer le théorème des résidus pour calculer des intégrales réelles en utilisant des résidus. v

hap i tre Les nombres complexes Sommaire. L ensemble des nombres complexes..................... Opérations sur les nombres complexes.................. 2..2 Valeur absolue (ou module)........................ 3.2 Représentation graphique des nombres complexes.......... 3.2. ourbes dans le plan complexe...................... 4.3 Forme polaire des nombres complexes................. 4.3. Formule de De Moivre........................... 5.3.2 Racines d un nombre complexe...................... 5. L ensemble des nombres complexes Question : Trouver un nombre réel solution de l équation algébrique x 2 + =. Réponse : Il n existe pas de nombre réel x qui soit solution de l équation x 2 + =.

.. L ensemble des nombres complexes Pour donner des solutions à cette équation et à des équations semblables, on introduit un ensemble plus grand que celui des nombres réels. On appelle cet ensemble les nombres complexes. Définition Un nombre complexe z s écrit sous la forme dite algébrique : z = x + iy où x et y sont des nombres réels, et i est appelé l unité imaginaire, a la propriété i 2 =. Le nombre x est appelée la partie réelle de z, on note x = Re (z). Le nombre y est appelée la partie imaginaire de z, on note y = Im (z). L ensemble des nombres complexes est noté. Remarque 2 a) Deux nombres complexes z et z sont égaux si et seulement si Re (z) = Re (z ) et Im (z) = Im (z ). b) Si y = on dit que z est réel, si x = on dit que z est un imaginaire pur. c) Le nombre complexe z = x iy est appelé le conjugué de z... Opérations sur les nombres complexes Addition : (x + yi) + (u + vi) = (x + u) + (y + v) i. Soustraction : (x + yi) (u + vi) = (x u) + (y v) i. Multiplication : (x + yi) (u + vi) = xu + xvi + yui + yvi 2 = xu yv + (xv + yu) i. Division : x + yi u + vi = x + yi u + vi u vi u vi = xu xvi + yui yvi2 u 2 + v 2 = xu + yv u 2 + v 2 yu xv + u 2 + v i. 2 Remarque 3 Soient z et w deux nombres complexes. On a les propriétés suivantes : () z + w = z + w (2) zw = z w (3) z = z (4) z + z = 2 Re (z) (5) z z = 2 Im (z) i. 2

..2 Valeur absolue (ou module).2. Représentation graphique des nombres complexes Définition 4 La valeur absolue ou module d un nombre complexe z = x + iy est définie par z = x + iy = x 2 + y 2. Exemple 3 + 4i = ( 3) 2 + 4 2 = 9 + 6 = 25 = 5. Si z et w sont deux nombres complexes, on a les propriétés suivantes : () zw = z w (2) z = z w w, w (3) z = z (4) z z = z 2. (5) z + w z + w (inégalité triangulaire) (6) z w z w. Remarque 5 On a les propriétés suivantes : () x 2 = x et x 2 = x 2 si x R (2) z 2 z 2 si Im (z). (3) z = z = (4) z R z = z. Remarque 6 Si z et w sont deux nombres complexes tels que w, alors on a : z w = z w w w = z w w 2. Exemple 2 2 + 3i (2 + 3i) ( + 2i) = 2i 2 + ( 2) 2 = 4 5 + 7 5 i..2 Représentation graphique des nombres complexes y Un nombre complexe a + ib pouvant être considéré comme un couple ordonné de nombres réels, nous pouvons représenter de tels nombres par des points b P (a, b) d un plan des xy appelé plan complexe. x À chaque nombre complexe z = a + ib correspond un a point P (a, b) du plan. 3

.3. Forme polaire des nombres complexes.2. ourbes dans le plan complexe ercle z z = r y Le cercle de rayon r et de centre z = x + iy est défini par l équation z z = r. y z x r x Segments y y z Le segment de droite reliant deux points complexes z et z est l ensemble des points {z / z = ( t) z + tz, t [, ]}. y z x x x ourbes y En général, une courbe y = f (x), x [a, b] où f f(b) est une fonction continue, correspond à l ensemble de points {z / z = x + if (x) = (x, f (x)), x [a, b]}. f(a) a b x.3 Forme polaire des nombres complexes Si P (x, y) désigne un point du plan complexe correspondant au nombre complexe z = x + iy, nous voyons que y P (x, y) x = r cos θ, y = r sin θ, r où r = x 2 + y 2 = x + iy est le module ou la valeur absolue de z = x + iy, et θ est appelé l amplitude ou l argument de z = x+iy, noté arg z, est l angle que fait le vecteur OP avec le demi-axe positif Ox. On en tire z = x + iy = r (cos θ + i sin θ), O θ x 4

.3. Forme polaire des nombres complexes qui est appelée la forme polaire ou forme trigonométrique du nombre complexe z. Si π < θ π, alors l angle θ est appelé l argument principal, noté par Arg θ. On a arg z = Arg θ + 2kπ, k Z..3. Formule de De Moivre Si z = x + iy = r (cos θ + i sin θ ), z 2 = x 2 + iy 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ), alors Une généralisation de (.) conduit à z z 2 = r r 2 {cos (θ + θ 2 ) + i sin (θ + θ 2 )}, (.) z z 2 = r r 2 {cos (θ θ 2 ) + i sin (θ θ 2 )}. z z 2...z n = r r 2...r n {cos (θ + θ 2 +... + θ n ) + i sin (θ + θ 2 +... + θ n )}, ce qui, si z = z 2 =... = z n = z, conduit à z n = {r (cos θ + i sin θ)} n = r n {cos (nθ) + i sin (nθ)}, qui est appelée formule de De Moivre..3.2 Racines d un nombre complexe Un nombre z est appelé racine n-ième d un nombre complexe a + ib si z n = a + ib, et nous écrivons z = (a + ib) n ou z = n a + ib. D après la formule de De Moivre z = (a + ib) n = {r (cos θ + i sin θ)} n = r n { cos ( θ+2kπ n ) ( + i sin θ+2kπ )} n, k =,, 2,...n. D où il résulte qu il y a n racines n-ièmes différentes de a + ib pourvu que a + ib. Exemple 3 alculer les racines quatrièmes de. On a 4 = {cos ( + 2kπ) + i sin ( + 2kπ)} 4 ( ) 2kπ = cos + i sin 4 ( 2kπ Pour k =, z = cos + i sin = ; k =, z = cos π 2 + i sin π 2 = i ; 4 ), k =,, 2, 3. k = 2, z = cos π + i sin π = ; k = 3, z 3 = cos 3π 2 + i sin 3π 2 = i. 5

Exemple 4 alculer 3 i. On a { ( ) 3 2 i = ( i) 3 π = (cos + i sin 4 = { ( 2 π 3 4 cos + 2kπ ) ( π + i sin = 6 2 3 { ( π cos 2 + 2kπ ) 3 + i sin.3. Forme polaire des nombres complexes ( π 4 + 2kπ )} 4 3 ( π 2 + 2kπ 3 ))} 3 )}, k =,, 2. Pour k =, z = 6 2 { cos ( ) ( π 2 + i sin π )} 2 ; k =, z = 6 2 { cos ( ) ( 7π 2 + i sin 7π )} 2 ; k = 2, z 2 = 6 2 { cos ( ) ( 5π 4 + i sin 5π )} 4. 6

hap i tre Fonctions élémentaires Sommaire. Fonctions complexes............................ 8.. Fonctions uniformes et multiformes.................... 8..2 Fonctions inverses............................. 9..3 Transformations.............................. 9..4 Limites................................... 9..5 ontinuité...................................2 Fonctions élémentaires...........................2. Les fonctions polynômiales.........................2.2 Les fractions rationnelles..........................2.3 Les fonctions exponentielles.........................2.4 Fonctions trigonométriques........................ 2.2.5 Les fonctions hyperboliques........................ 2.2.6 Fonctions logarithmiques......................... 2.2.7 La fonction z α............................... 4.2.8 Fonctions trigonométriques inverses................... 4.2.9 Fonctions hyperboliques inverses..................... 4 7

.. Fonctions complexes. Fonctions complexes Définition 7 Soient A et B deux ensembles non vides dans. Si à chaque valeur z A, il correspond une ou plusieurs valeurs w B, on dit que w est une fonction de z et on écrit w = f (z) ou f : A B z w = f (z). La fonction w = f (z) définie une correspondance entre deux plans complexes. w = f(z) v w A z y B x u Exemple 5 z w = f (z) = z 2. Par exemple, la valeur de f en z = 2i est f (2i) = (2i) 2 = 4... Fonctions uniformes et multiformes Définition 8 Si une seule valeur de w correspond à chaque valeur de z on dira que w est une fonction uniforme de z ou que f (z) est uniforme. Si plusieurs valeurs de w correspondent à chaque valeur de z, on dira que w est une fonction multiforme de z. Remarque 9 Une fonction multiforme peut être considérée comme un ensemble de fonctions uniformes, chaque élément de cet ensemble étant appelé une branche de la fonction. On choisit habituellement un élément comme branche principale, ainsi est appelée détermination principale. 8

.. Fonctions complexes Exemple 6 Si w = f (z) = z 2, à toute valeur de z il correspond une seule valeur de w. Donc f (z) = z 2 est une fonction uniforme de z. Exemple 7 Si l on considère la fonction w = f (z) = z 2, à chaque valeur de z correspondent deux valeurs de w. Donc f (z) = z 2 est une fonction multiforme de z...2 Fonctions inverses Si w = f (z), on peut aussi considérer z comme fonction de w, ce qui peut s écrire sous la forme z = g (w) = f (w). La fonction f est appelée la fonction inverse de f. Exemple 8 La fonction g (z) = z 2 est la fonction inverse de la fonction f (z) = z 2...3 Transformations Définition Si z = x+iy, on peut écrire f (z) comme f (z) = f (x + iy) = u (x, y)+iv (x, y). Les fonctions u et v sont appelées, respectivement, partie réelle et partie imaginaire de f. On note u = Re (f) et v = Im (f). Exemple 9 f (z) = z 3 = (x + iy) 3 = (x 3 3xy 2 ) + (3yx 2 y 3 ) i. Les parties réelle et imaginaire sont u (x, y) = x 3 3xy 2 et v (x, y) = 3yx 2 y 3...4 Limites Définition Soit f une fonction complexe à une variable complexe, on dit que f admet une limite l en z = x + iy, et on note lim z z f (z) = l, si et seulement si ε >, δ > tel que < z z < δ f (z) l < ε. Exemple Soit f (z) = z 2. Par exemple lim z i f (z) = f (i) = i 2 =. 9

.. Fonctions complexes Proposition 2 Posons l = a + ib et f = u + iv où a, b, u et v sont des réels, alors { lim f (z) = l z z lim u (x, y) = a et lim (x,y) (x,y ) } v (x, y) = b. (x,y) (x,y ) Remarque 3 Quand la limite d une fonction existe, elle est unique. Si la fonction f est multiforme la limite de f quand z z peut dépendre de la branche choisie...5 ontinuité Définition 4 Soit f une fonction complexe uniforme. La fonction f est dite continue en z si lim z z f (z) = f (z). Une fonction f est dite continue dans une région du plan complexe si elle est continue en tous les points de cette région. Exemple Soit f la fonction définie par z 2 si z i f (z) = si z = i. Quand z tend vers i, f (z) se rapproche de i 2 =, i.e. lim z i f (z) = i 2 =. Mais f (i) =. Donc lim z i f (z) f (i) et la fonction n est pas continue en z = i. Remarque 5 La fonction f = u + iv est continue dans un domaine si et seulement si la partie réelle u et la partie imaginaire v sont continues.

.2. Fonctions élémentaires.2 Fonctions élémentaires.2. Les fonctions polynômiales Les fonctions polynômiales sont définies par f (z) = P (z) = a n z n + a n z n +...a 2 z 2 + a z + a, où a n, a, a,...a n sont des constantes complexes et n un entier positif appelé le degré du polynôme P (z)..2.2 Les fractions rationnelles Les fractions rationnelles sont définies par f (z) = P (z) Q (z), où P et Q sont des polynômes. Le cas particulier f (z) = az + b, où ad bc est appelé cz + d transformation homographique..2.3 Les fonctions exponentielles Les fonctions exponentielles sont définies par f (z) = e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y) formule dans laquelle e est la base des logarithmes népériens, e 2, 78. Si a est réel et positif on définit a z = e z Log a. Les fonctions exponentielles complexes ont des propriétés analogues à celles des fonctions exponentielles réelles. Ainsi par exemple e z e z 2 = e z +z 2 e z, e = z ez z 2. 2

.2. Fonctions élémentaires.2.4 Fonctions trigonométriques Nous définirons les fonctions trigonométriques ou circulaires, sin z, cos z, etc., à l aide des fonctions exponentielles de la manière suivante. sin z = eiz e iz 2i cos z = eiz + e iz 2 sec z = cos z = 2 e iz + e iz csc z = sin z = tg z = sin z cos z = eiz e iz i (e iz + e iz ) 2i e iz e iz cotg z = cos z sin z = i (eiz + e iz ) e iz e iz. La plupart des propriétés des fonctions trigonométriques réelles sont encore valables dans le cas complexe. Ainsi par exemple sin 2 z + cos 2 z =, sin (z + z 2 ) = sin z cos z 2 + cos z sin z 2,....2.5 Les fonctions hyperboliques Les fonctions hyperboliques sont définies comme suit : sh z = ez e z 2 ch z = ez + e z 2 sech z = ch z = 2 e z + e z csch z = sh z = 2 e z e z th z = sh z ch z = ez e z e z + e z Les propriétés suivantes sont encore vérifiées : ch 2 z sh 2 z =, sh (z + z 2 ) = sh z ch z 2 + ch z sh z 2,... coth z = ch z sh z = ez + e z e z e z. Les fonctions trigonométriques (ou circulaires) et les fonctions hyperboliques sont liées par les relations suivantes : sin (iz) = i sh z cos (iz) = ch z tg (iz) = i th z sh (iz) = i sin z ch (iz) = cos z th (iz) = i tg z..2.6 Fonctions logarithmiques La fonction f (z) = Log z, z est définie comme l inverse de la fonction exponentielle e z. w = Log z z = e w. 2

.2. Fonctions élémentaires Question : Pour un nombre complexe z donné, le nombre w qui vérifie z = e w est-il unique? Réponse : Posons z = x + iy et w = u + iv. On a z = e w x + iy = e u+iv = e u (cos v + i sin v) D où w n est pas unique car { z = e u et v = Arg z + 2kπ, k Z}. w = Log z = u + iv = ln z + i ( Arg z + 2kπ), k Z. Proposition 6 La fonction Log z, z est une fonction multiforme définie par Log z = ln z + i arg z = ln z + i ( Arg z + 2kπ), k Z, où π < Arg z π. Remarque 7 La détermination principale ou valeur principale de Log z est souvent définie par Log z = ln z + i Arg z, où π < Arg z π. Exemple 2 Log ( ) = ln + i arg ( ) = i (π + 2kπ), k Z. Pour la détermination principale, Log ( ) = iπ. Les propriétés suivantes sont vérifiées (modulo[2πi]) : ( ) z Log (z z 2 ) = Log z + Log z 2 ; Log = Log z Log z 2 ; Log (z n ) = n Log z. Exemple 3 Utilisons la détermination principale du logarithme : Log ( + i) = ln + i + i Arg ( + i) = ln 2 + π 4 i, z 2 Log ( ) = ln + i Arg ( ) = πi, Log (( + i) ( )) = Log ( i) = ln i + i Arg ( i) = ln 2 3π 4 i. On remarque que Log (( + i) ( )) = Log ( + i) + Log ( ) 2πi. 3

.2. Fonctions élémentaires.2.7 La fonction z α La fonction z α, α, est définie par z α = e α Log z. De même si f (z) et g (z) sont deux fonctions données, de z, on peut définir f (z) g(z) = e g(z) Log f(z). En général de telles fonctions sont multiformes. Exemple 4 i i = e i Log i = e i(ln i +i arg(i)) = e i2 ( π +2kπ) 2 = e π 2 +2kπ, k Z. La détermination principale est i i = e π 2. Remarque 8 On a (z α ) k = z αk, α, k Z. Mais (z α ) β z αβ dans le cas général si α, β. Exemple 5 On a ( ( i) 2) i = ( ) i = e i Log ( ) = e i(ln +i arg( )) = e i2 (π+2kπ) = e π 2kπ, k Z. Mais ( i) 2i = e 2i Log ( i) = e 2i(ln i +i arg( i)) = e 2i2 ( π +2kπ) 2 = e π 4kπ, k Z..2.8 Fonctions trigonométriques inverses Arcsin z = i Log ( iz + z 2) Arcos z = i Log ( z + z 2 ) Arctg z = ( ) + iz 2i Log iz Arcotg z = ( ) z + i 2i Log. z i.2.9 Fonctions hyperboliques inverses Argsh z = Log ( z + z 2 + ) Argch z = Log ( z + z 2 ) Argth z = ( ) + z 2 Log z Argcoth z = ( ) z + 2 Log. z 4

hap i tre2 Dérivation dans le domaine complexe Sommaire 2. Domaines dans le plan complexe.................... 5 2.2 Fonctions holomorphes.......................... 7 2.2. Dérivées................................... 7 2.2.2 onditions de auchy-riemann...................... 8 2.2.3 Fonctions harmoniques........................... 9 2.2.4 Règles de dérivation............................ 2 2.2.5 Règle de l Hôpital............................. 2 2.2.6 Points singuliers.............................. 22 2. Domaines dans le plan complexe On note D r (z ) = {z tel que z z < r, r > }. D r (z ) est appelé disque ouvert de centre z et de rayon r. On note D r (z ) = {z tel que < z z < r, r > }. D r (z ) est appelé disque ouvert pointé de z. 5

2.. Domaines dans le plan complexe y y z z = r z z = r z z < r y z r x < z z < r y z r x x x Disque ouvert de centre z Disque ouvert pointé de z Définition 9 Un ensemble E est dit ouvert si chaque point z de E peut être entouré par un disque ouvert centré en ce point et tous les points du disque sont contenus dans E. Exemple 6 y Un rectangle sans ses arêtes est un ensemble ouvert. x Définition 2 Un ensemble ouvert S est dit connexe si deux points quelconques de S peuvent être joints par un chemin formé de segments de droites dont tous les points appartiennent à S. Intuitivement, un ensemble est connexe si elle ne peut être divisé en une union disjointe d ensembles ouverts. D D 2 D D 2 L ensemble E = D D 2 est connexe L ensemble E = D D 2 n est pas connexe Définition 2 Un domaine dans le plan complexe est un ensemble connexe ouvert. 6

2.2. Fonctions holomorphes Exemple 7 Les triangles, les rectangles, les polygones et les disques ouverts sont des domaines Exemple 8 La couronne de centre z et de rayons r et r 2 est un domaine. y r 2 r z x 2.2 Fonctions holomorphes 2.2. Dérivées Par analogie avec le cas des fonctions réelles, on définit la dérivée d une fonction complexe f de la variable complexe z. Définition 22 Soit D un domaine dans le plan complexe. Soit f une fonction de D dans et z D. La dérivée de f en z est définie par f (z ) = lim z z f (z) f (z ) z z pourvu que cette limite existe. Dans ce cas on dit que f est dérivable en z. On utilise souvent l écriture analogue f f (z + h) f (z ) (z ) = lim. h h Définition 23 Si la dérivée de f existe en tout point z d un domaine D, alors f est dite holomorphe dans D. Une fonction f est dite holomorphe en un point z si elle est dérivable dans un disque ouvert centré en z. 7

2.2. Fonctions holomorphes Exemple 9 La fonction f (z) = z est holomorphe dans \ {}. Exemple 2 La fonction f (z) = Re (z) n est pas dérivable en aucun point. Définition 24 Une fonction f est dite entière si elle est dérivable dans tout le plan complexe. Exemple 2 Les polynômes f (z) = a n z n +... + a z + a, a,..., a n sont des fonctions entières. 2.2.2 onditions de auchy-riemann Soit D un domaine dans et f (z) = u (x, y) + iv (x, y) une fonction de D dans. Si f est holomorphe dans D, alors les dérivées partielles u x, u y, v v et existent en tout point de x y D, et vérifient les conditions de auchy-riemann u x = v y, u y = v x. (2.) Réciproquement, si les dérivées partielles u x, u y, v v et continues dans D, et vérifient les x y conditions de auchy-riemann, alors la fonction f (z) = u (x, y) + iv (x, y) est holomorphe dans D. Proposition 25 Soit D un domaine dans. Si f = u + iv est holomorphe dans D, alors la dérivée de f est donnée par f (z) = u x + i v x = u y i v y, z D. Exemple 22 On considère la fonction définie par f (z) = z 2. On a f (z) = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + 2ixy, d où u (x, y) = x 2 y 2 et v (x, y) = 2xy. Alors u x = 2x = v y, u y = 2y = v x. La fonction f est donc holomorphe dans, et f (z) = u x + i v x 8 = 2x + 2iy = 2z.

2.2. Fonctions holomorphes Remarque 26. En multipliant la deuxième condition de (2.) par i et l ajouter à la première, les conditions de auchy-riemann peuvent être reformulées comme f x + i f y =. 2. En notant que x = z + z et y = z z, les conditions de auchy-riemann aussi peuvent 2 2i être écrites sous la forme f z =. Exemple 23 Soit la fonction définie par f (z) = z 2 + z. z 2 + z z + z = 3 2 2 z2 + f zz, et donc 2 z = 2 z. holomorphe en aucun domaine. Dérivées d ordre supérieur On a = x = z + z, alors f (z) = 2 D où la fonction f ne peut pas être Si f est holomorphe dans un domaine D, sa dérivée est notée f. Si f est holomorphe également dans le même domaine, sa dérivée est notée f. De la même façon la dérivée n ième de f sera notée f (n). Proposition 27 Si f est holomorphe dans un domaine D, alors f, f,... sont également holomorphe dans D, i.e. les dérivées de tous ordres existent dans D. On n a pas un résultat analogue pour les fonctions réelles. 2.2.3 Fonctions harmoniques Soit u une fonction de Ω R 2 dans R. u est dite de classe 2 sur Ω, (on note u 2 (Ω)), si 2 u x, 2 u 2 y et 2 u 2 x y existent et continues sur Ω R2. Définition 28 Soit u une fonction de Ω R 2 dans R de classe 2 sur Ω. On dit que u est harmonique si 2 u x + 2 u 2 y = pour tout (x, y) Ω 2 R2. 9

Notation. La fonction 2 u x + 2 u est notée u et est appelée laplacien de u. 2 y2 Exemple 24 Soit la fonction u de R 2 dans R définie par u (x, y) = e y cos x. On a u x = ey sin x, 2 u x 2 = ey cos x, u y = ey cos x, 2.2. Fonctions holomorphes 2 u y 2 = ey cos x. La fonction u est de classe 2 sur Ω = R 2 et on a u = 2 u x + 2 u 2 y = 2 ey cos x2 + e y cos x =, d où la fonction u est harmonique. Proposition 29 Soit f (z) = u (x, y) + iu (x, y) une fonction holomorphe dans un domaine D. Les deux fonctions réelles u et v sont harmoniques dans D. Exemple 25 On reprend l exemple f (z) = z 2 = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + 2ixy où u (x, y) = x 2 y 2 et v (x, y) = 2xy. On a u x = 2x, 2 u x = 2, 2 v x = 2y, 2 v x =, 2 u y = 2y, 2 u y = 2, 2 v y = 2x, 2 v y =. 2 Alors u = 2 u x + 2 u 2 y = 2 2 = et v = 2 v 2 x + 2 v = + =. D où les fonctions u et v 2 y2 sont harmoniques. Définition 3 Soit u une fonction harmonique dans A R 2. Alors une fonction v est dite harmonique conjuguée de u si les fonctions u et v vérifient les conditions de auchy-riemann. Proposition 3 Soit u une fonction harmonique dans A R 2. Alors il existe une fonction f holomorphe de A dans telle que Re f = u. Exemple 26 Soit la fonction définie par u (x, y) = x 2 y 2 + x, x, y R. Trouver une fonction v pour que la fonction f = u + iv soit holomorphe. On a u x = 2x +, 2 u x 2 = 2. 2 u y = 2y, 2 u y = 2. 2

2.2. Fonctions holomorphes Alors u = 2 u x + 2 u = 2 2 =, ce qui montre que u est harmonique. 2 y2 Pour trouver une fonction v pour que f = u + iv soit holomorphe, on utilise les conditions de auchy-riemann. es conditions s écrivent sous la forme En intégrant l équation (2.2) par rapport à y, il vient où (x) est une fonction réelle de x. Par substitution de (2.4) dans (2.3) on obtient v y = u = 2x +, x (2.2) v x = u = 2y. y (2.3) v = 2xy + y + (x), (2.4) 2y + d dx (x) = 2y d dx (x) = (x) = c, où c désigne une constante dans R. D où de (2.4), v = 2xy + y + c. 2.2.4 Règles de dérivation Les règles de dérivation concernant sommes, différences, produits, quotients et compositions (lorsqu elles sont définies) sont les mêmes que celles utilisées dans le cas des fonctions réelles. Les dérivées des fonctions élémentaires dans le cas complexe sont identiques à celles dans le cas réel. Exemple 27 dz n dz = nzn, d sin z dz = cos z, dez dz = ez,... 2.2.5 Règle de l Hôpital Soit f et g deux fonctions holomorphes dans un domaine contenant le point z et supposons que f (z ) = g (z ) = avec g (z ). Alors la règle de L Hôpital permet d affi rmer que f (z) lim z z g (z) = f (z ) g (z ). Dans le cas où f (z ) = g (z ) =, on peut utiliser cette règle à nouveau. Exemple 28 z 6 + lim z i z 2 + = lim 6z 5 z i 2z = 3i4 = 3. 2

2.2. Fonctions holomorphes 2.2.6 Points singuliers Soit f une fonction uniforme. Un point en lequel la fonction f cesse d être holomorphe est appelé un point singulier ou une singularité de f. Il existe des types variés de singularités. Singularités apparentes Le point singulier z est appelé singularité apparente de f si lim z z f (z) existe. Exemple 29 Le point singulier z = est une singularité apparente de la fonction f (z) = sin z z sin z lim =. z z puisque Pôles Si l on peut trouver un entier positif n tel que lim z z (z z ) n f (z) = a, alors z est appelé un pôle d ordre n. Si n =, z est appelé un pôle simple. Exemple 3 3z f (z) = (z ) 2 (z + 4) a un pôle double en z = et un pôle simples en z = 4. Singularités essentielles Une singularité qui n est ni un pôle, ni une singularité apparente est appelée singularité essentielle. Exemple 3 f (z) = e z a une singularité essentielle en z =. 22

hap i tre3 Intégration dans le domaine complexe Sommaire 3. hemins et courbes dans le plan complexe.............. 24 3.2 Intégration le long d une courbe.................... 25 3.2. Propriétés.................................. 27 3.3 Théorèmes de auchy........................... 3 3.3. Domaines simplement ou multiplement connexes............ 3 3.3.2 Théorème de auchy............................ 3 3.3.3 Primitives et intégration.......................... 32 3.3.4 Formule intégrale de auchy....................... 33 23

3.. hemins et courbes dans le plan complexe 3. hemins et courbes dans le plan complexe Définition 32 Un chemin est défini comme étant une fonction continue d un intervalle réel [a, b], a < b, vers le plan complexe. z = z(b) [a, b] t z (t) = x (t) + iy (t). z = z(a) Ses points initial et final sont z = z (a) et z = z (b). La fonction t z (t) est souvent notée t γ (t). Définition 33 L image = {z (t), t [a, b]} s appelle courbe dans le plan complexe paramétrée par la fonction t z (t). Exemple 32 Les fonctions z (t) = 3 cos t+3i sin t, t 3π 2 et z (t) = 2 + 5 2 cos t+i ( 3 2 + sin t), t 2π définies des chemins dans le plan complexe. z = z( 3 2 ) z = z() z = z (z() = z(2π)) z (t) = 3 cos t + 3i sin t, t 3π 4. z (t) = 2 + 5 2 cos t + i ( 3 2 + 2 sin t), t 2π. Exemple 33 Le cercle de centre z et de rayon r est une courbe paramétrée par la fonction ou z (t) = z + r (cos t + i sin t), t 2π, z (t) = z + re it, t 2π. z(t) = z + re it z y x r ercle de centre z et de rayon r 24

3.2. Intégration le long d une courbe Exemple 34 Le segment d extrémités z et z noté [z, z ] est une courbe paramétrée par la fonction z(t) = z + t(z z ) z z (t) = z ( t) + tz, t, ou z z (t) = z + t (z z ), t. Segment d extrémités z et z Définition 34. Si les points initial et final d un chemin coïncident, il est appelé chemin fermé ou lacet. 2. On dit qu un chemin est simple si ne se recoupe pas lui-même i.e. il n a pas de points doubles. 3. Toute courbe fermée et simple, est appelée courbe de Jordan. Exemple 35 hemin non fermé et simple hemin non fermé et non simple hemin fermé et simple hemin fermé et non simple 3.2 Intégration le long d une courbe Soit D un domaine du plan complexe et soit une courbe paramétrée par un chemin z : [a, b] D t z (t), tel que z (t) existe et continue. Soit f une fonction complexe continue définie sur D f : D z f (z). 25

3.2. Intégration le long d une courbe Définition 35 On définit l intégrale de f le long de la courbe par b f (z) dz = f (z (t)) z (t) dt. z = z(b) a Si la courbe est fermée et orientée dans le sens inverse des aiguilles d une montre on note f (z) dz au lieu de f (z) dz. z = z(a) Remarque 36. L intégrale le long d une courbe est aussi appelée intégrale le long d un chemin, ou intégrale curviligne complexe. 2. Le sens inverse des aiguilles d une montre est aussi appelé le sens positif ou sens direct. Exemple 36 Soit l arc { } z (t) tel que z (t) = 2e it, t 3π 2. Évaluons l intégrale z 2 dz. On a dz = z (t) dt = 2ie it dt. Alors z 2 dz = = 3π 2 [ ] 3π 8 2 3 e3it ( 2e it ) 2 2ie it dt = 3π 2 8ie 3it dt = 8 3 e6iπ 8 3 e 9 2 iπ = 8 3 8 3 i. z = z() z = z(3 π 2 ) Proposition 37 Si f (z) = u (x, y) + iv (x, y) et z (t) = x (t) + iy (t), l intégrale f (z) dz peut être exprimée sous la forme suivante : f (z) dz = (u + iv) (dx + idy) = (udx vdy) + i (vdx + udy) b = {u (x (t), y (t)) x (t) v (x (t), y (t)) y (t)} dt a b +i {v (x (t), y (t)) x (t) + u (x (t), y (t)) y (t)} dt. a 26

3.2. Intégration le long d une courbe Exemple 37 alculer f (z) dz où f (z) = iz = y + ix et z = z(2) = {( t 2, 3 2 t) R 2, t [, 2] }. On a x (t) = t 2, y (t) = 3 2 t et dz = dx + idy = (x (t) + iy (t)) dt = ( 2t + 3 2 i) dt. z = z( ) Alors f (z) dz = t=2 (y (t) + ix (t)) (x (t) + iy (t)) dt = t= 2 ( t + it 2 ) ( 2t + 3 2 i) dt = 2 ( 2 t2 + i ( 2t 3 + 3 2 t)) dt 3.2. Propriétés = [ 6 t3 + i ( 2 t4 + 3 4 t2)] 2 = 3 2 + 39 4 i. Soit une courbe dans le plan complexe. On note par, la courbe orientée dans son sens inverse. On suppose que = 2 avec le point final de la courbe coïncide avec le point initial de la courbe 2. Si f et g sont intégrables le long de, alors 2. (f (z) + g (z)) dz = f (z) dz + g (z) dz. 2. 3. αf (z) dz = α f (z) dz = f (z) dz. f (z) dz où α est une constante dans. 4. f (z) dz = f (z) dz = f (z) dz + f (z) dz. 2 2 27

3.2. Intégration le long d une courbe Exemple 38 Évaluer zdz où est la courbe formée des segments joignant i à 3i et 3i à 3 + 3i. Soit = {(4t ) i, t } le segment joignant i à 3i et 2 segment joignant 3i à 3 + 3i. = {3t + 3i, t } le Sur le segment, on a z (t) = (4t ) i, dz = z (t) dt = 4idt et zdz = (4t ) i (4idt) = 3i i 2 (6t 4) dt = [ 8t 2 4t ] = 4. 3 + 3i Sur le segment 2, on a z (t) = 3t + 3i, dz = z (t) dt = 3dt et zdz = (4t ) i (3dt) = ( 2t + 3) idt = [( 6t 2 + 3t ) i ] = 3i. 2 Le résultat demandé est zdz = zdz + zdz = 4 3i. 2 Longueur d une courbe Soit une courbe paramétrée par un chemin z : [a, b] t z (t), tel que z (t) = x (t) + iy (t) existe et continue. La longueur L de la courbe est définie comme étant L = b z (t) dt = b a a (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt. Exemple 39 Trouver la longueur du demi-cercle = { z (t) où z (t) = 2e it, t [, π] }. On a z (t) = 2ie it et donc z (t) = 2ie it = 2. D où L = π 2dt = [2t] π = 2π. z(π) = 2 z() = 2 28

3.2. Intégration le long d une courbe Théorème d estimation Soit f une fonction complexe continue définie sur un domaine D du plan complexe f : D z f (z). Soit une courbe paramétrée par un chemin z : [a, b] D t z (t), tel que f (z (t)) M, t [a, b], i.e. f (z) est bornée sur par une constante réelle M. Alors où, par définition, f (z) dz f (z) dz = et L est la longueur de la courbe. f (z) dz M L, b a f (z (t)) z (t) dt Exemple 4 Soit le segment d extrémités et 3 + 3i qui est définie par 3 + 3i = {z (t), t [, ] où z (t) = + 4t + 3it}. Vérifier le théorème d estimation pour f (z) = = xy. On a dz = z (t) dt = (4 + 3i) dt et donc d une part f (z) dz = ( + 4t) (3t) (4 + 3i) dt = + 5 2 i = 25 2 = 2, 5. D autre part f (z) dz = f (z (t)) z (t) dt = ( + 4t) (3t) (5) dt = 25 6 = 2, 825. Ainsi M = sup ( + 4t) (3t) = 9 et L = 5. t Alors le théorème d estimation est vérifié car 2, 5 2, 825 45. 29

3.3. Théorèmes de auchy 3.3 Théorèmes de auchy 3.3. Domaines simplement ou multiplement connexes Un domaine D du plan complexe est dit simplement connexe si toute courbe fermée simple de D peut être réduite par déformation continue à un point sans quitter D. Dans le cas contraire D est dit multiplement connexe. z < 5 2 < z < 5 2 Simplement connexe Multiplement connexe Multiplement connexe Intuitivement, un domaine sans trous est simplement connexe mais s il possède au moins un seul trou il est multiplement connexe. 3.3.2 Théorème de auchy Soit f une fonction holomorphe dans un domaine connexe D et sur sa frontière. Alors f (z) dz =. D e théorème fondamental est souvent appelé théorème de auchy, il est à la fois valable pour des domaines simplement connexes ou multiplement connexes. 3

3.3. Théorèmes de auchy Exemple 4 Soit le cercle de centre et de rayon 2, alculer zdz. = { z (t), t [, 2π] où z (t) = 2e it}. On a dz = z (t) dt = 2ie it dt, alors zdz = 2π 2e it ( 2ie it dt ) = 4i 2π e 2it dt = [ 2e 2it] 2π = 2 2 =. Proposition 38 Soit f une fonction holomorphe dans un domaine connexe limité par deux courbes fermées simples et et sur ces courbes. Alors f (z) dz = f (z) dz. D où et sont décrites dans le sens positif relatif à leur intérieur. Exemple 42 alculer dz, où est l ellipse définie par z = {z (t), t [, 2π] où z (t) = 2 cos t + 3i sin t}. La fonction z est holomorphe dans le domaine limité z par les courbes et et sur ces courbes, où est le cercle de centre et de rayon = { z (t), t [, 2π] où z (t) = e it}. Alors d après la proposition précédente z dz = z dz = 2π e it d ( e it) = 3 2π idt = [it] 2π = 2πi.

3.3. Théorèmes de auchy 3.3.3 Primitives et intégration Si f et F sont holomorphes dans un domaine connexe D et telles que F (z) = f (z), alors F est appelée intégrale indéfinie ou anti-dérivée ou primitive de f et est notée F (z) = f (z) dz. Exemple 43 On a d dz (3z2 4 sin z) = 6z 4 cos z, alors (6z 4 cos z) dz = 3z 2 4 sin z + c, c. La fonction z 3z 2 4 sin z est une primitive de z 6z 4 cos z. Théorème fondamental de l intégration Soient f et F deux fonctions holomorphes dans un domaine connexe D telles que F (z) = f (z). Si z et z z sont deux points quelconques de D, alors pour toute courbe de point initial z a f (z) dz = z et de point final z 2, on f (z) dz = [F (z)] z z = F (z ) F (z ). z D z ela signifie que si f est holomorphe alors la valeur de l intégrale est indépendante du chemin suivi pour aller de z à z. Exemple 44 z Évaluer 2zdz de z = à z = 3+3i le long de la parabole = 3 + 3i = { z (t), t [, 3] où z (t) = 3 t2 + it } 2 et le long du segment de droite 2 = {z (t), t [, ] où z (t) = 3t + 3it}. z = Sur la parabole, on a z (t) = 3 t2 + it, dz = z (t) dt = ( 2 t + i) dt et 3 3 2zdz = 2 ( 3 t2 + it ) ( [ 2 ( t + i) dt = 3 3 t2 + it ) ] 2 3 = 8i. 32

3.3. Théorèmes de auchy Sur le segment 2, on a z (t) = 3t + 3it, dz = z (t) dt = (3 + 3i) dt et 2 2zdz = 2 (3t + 3it) (3 + 3i) dt = [ (3t + 3it) 2] = 8i. Par le théorème fondamental de l intégration 2zdz = 3+3i 2zdz = [z 2 ] 3+3i = 8i. Nous observons comment il est plus facile d évaluer ces intégrales en utilisant une primitive, au lieu de paramétrer les chemins d intégration. 3.3.4 Formule intégrale de auchy Soit f une fonction holomorphe à l intérieur d une courbe fermée simple et sur, soit w un point intérieur à, alors f (w) = 2πi f (z) z w dz. où la courbe est décrit dans le sens direct. De même la n-ième dérivée de f en w est donnée par f (n) (w) = n! f (z) n+ dz, n =, 2, 3,... 2πi (z w) w Les deux formules précédentes sont appelées formules intégrales de auchy et sont très remarquables car ils montrent que si une fonction f est connue sur la courbe fermée simple, alors ses valeurs et les valeurs de toutes ses dérivées peuvent être calculées en tout point situé à l intérieur de. Si une fonction de la variable complexe admet une dérivée première dans un domaine simplement connexe D, toutes ses dérivées d ordre supérieur existent dans D. eci n est pas nécessairement vrai pour les fonctions de la variable réelle. 33

3.3. Théorèmes de auchy Exemple 45 Utiliser la formule intégrale de auchy pour évaluer dz le long du cercle (z 2) (z + ) = {z (t), t [, 2π] où z (t) = 2 + e it }. La fonction z f (z) = est holomorphe à z + l intérieur du cercle et sur, alors d après la formule intégrale de auchy avec w = 2, on a (z 2) (z + ) dz = z = z = 2 f (z) z 2 dz = 2πif (2) = 2πi 2 + = 2 3 πi. Dans ce qui suit on énonce quelques théorèmes importants qui sont des conséquences des formules intégrales de auchy. Inégalité de auchy Si f est holomorphe à l intérieur du cercle et sur, où désigne le cercle d équation z z = r, alors f (n) (z ) Mn!, n =,, 2,... rn M désignant une constante telle que f(z) < M sur, i.e. M est une borne supérieure de f(z) sur. Théorème de Liouville Supposons que quel que soit z dans le plan complexe (a) f est holomorphe (b) f est bornée, i.e. f(z) < M, où M désigne une constante. Alors f est constante. Théorème fondamental de l algèbre Toute équation algébrique P (z) = a + a z + a 2 z 2 +... + a n z n, racines, chaque racine étant comptée avec son ordre de multiplicité. a n, possède exactement n 34

hap i tre4 Séries infinies, séries de Taylor, séries de Laurent Sommaire 4. Séries de fonctions............................. 35 4.. onvergence absolue............................ 36 4.2 Séries entières............................... 36 4.2. Rayon de convergence........................... 37 4.3 Séries de Taylor.............................. 38 4.3. Quelques séries particulières........................ 38 4.4 Séries de Laurent............................. 39 4.4. lassification des singularités....................... 4 4. Séries de fonctions À partir d une suite de fonctions {u n (z)}, nous formons une nouvelle suite {S n (z)} définie par n S n (z) = u (z) + u 2 (z) +... + u n (z) = u k (z) où S n (z) est appelée la n ième somme partielle, qui est la somme des n premiers termes de la suite {u n (z)}. 35 k=

4.2. Séries entières La suite S n (z) est représentée par u (z) + u 2 (z) +... = + n= u n (z) appelée série infinie de terme général u n (z). Si lim n S n (z) = S (z), la série est dite convergente et S (z) est sa somme ; dans le cas contraire la série est dite divergente. Proposition 39 Une condition nécessaire et suffi sante pour que + (a n + ib n ) converge, a n et b n étant réels, est que + a n et + a n convergent. n= n= n= 4.. onvergence absolue Définition 4 Une série + u n (z) est dite absolument convergente si la série des valeurs absolues, i.e. + n= n= u n (z), converge. Proposition 4 Si + u n (z) converge alors + u n (z) converge. n= n= Autrement dit une série absolument convergente est convergente. 4.2 Séries entières Définition 42 Une série de la forme a + a (z z ) + a 2 (z z ) 2 +... = est appelée série entière en z z. + n= a n (z z ) n (4.) 36

4.2. Séries entières 4.2. Rayon de convergence Il existe un nombre positif R tel que (4.) converge pour z z < R et diverge pour z z > R, cependant que pour z z = R elle peut ou non converger. Géométriquement si est le cercle de rayon R centré en z, alors la série (4.) converge en tous les points intérieurs à et diverge en tous les points extérieurs ; elle peut ou non converger sur le cercle. Diverge z z > R z z < R onverge z R Les valeurs spéciales R = et R = + correspondent aux cas où (4.) converge uniquement en z = z ou converge pour toute valeur (finie) de z. Le nombre R est souvent appelé le rayon de convergence de (4.) et le cercle z z = R est appelé le cercle de convergence. Proposition 43 Nous pouvons obtenir le rayon de convergence de la série entière critère de d Alembert : R = si les limites existent. lim n + a n a n+ + n= ou celui de auchy : R = lim a n (z z ) n par n + an, n Exemple 46 a) + n= n= z n, on a a n = pour tout n N et donc R = lim n + a n+ a n a n+ ette série converge pour z < et diverge pour z. + z n b) n, on a a n =, n N et donc R = lim a n n n = lim n = lim n =. n n+ =. ette série converge dans z < et diverge en dehors i.e. z >. Sur le cercle z =, la série converge en certains points et diverge en d autres points. Proposition 44 Une série entière peut être dérivée terme à terme dans tout ouvert connexe situé à l intérieur du cercle de convergence. Une série entière peut être intégrée terme à terme sur toute courbe située entièrement à l intérieur du cercle de convergence. 37

4.3. Séries de Taylor 4.3 Séries de Taylor Soit f une fonction holomorphe à l intérieur d une courbe fermée simple et sur. Alors f (z + h) = f (z ) + hf (z ) + h2 2! f (z ) +... + hn n! f (n) (z ) +... ou en posant z = z + h, h = z z, f (z) = f (z ) + f (z ) (z z ) + f (z ) 2! (z z ) 2 +... + f (n) (z ) n! (z z ) n +... eci est appelé le théorème de Taylor et les séries précédentes sont appelées séries de Taylor ou développement de Taylor de f (z + h) ou f (z). Le domaine de convergence de la dernière série est défini par z z < R, le rayon de convergence R étant égal à la distance de z à la singularité de f (z) la plus proche. Sur z z = R la série peut ou non converger. Pour z z > R la série diverge. Si la singularité la plus proche est à l infini, le rayon de convergence R = +, i.e. la série converge quel que soit z dans. 4.3. Quelques séries particulières La liste qui suit contient quelques séries particulières avec leurs domaines de convergence.. e z = + z + z2 2! + z3 zn +... + +... z < +. 3! n! 2. sin z= z z3 3! + z5 5!... z 2n ( )n +... z < +. (2n )! 3. cos z= z2 2! + z4 4!... z 2n 2 ( )n +... z < +. (2n 2)! 4. Log z= z z2 2 + z3 3... z n ( )n +... z <. n 5. Arctg z= z z3 3 + z5 5... z 2n ( )n +... z <. 2n 6. ( + z) p = + pz + p(p ) 2! z 2 +... + p(p )...(p n+) n! z n +... z <. Si ( + z) p est multiforme le résultat est valable pour la branche de la fonction qui prend la valeur pour z =. 38

4.4. Séries de Laurent 4.4 Séries de Laurent Soit et 2 des cercles concentriques, de centre z et de rayons respectifs R et R 2. On suppose que f est uniforme et holomorphe sur et 2 et également dans la couronne D [ou région annulaire D] limitée par et 2. Les courbes et 2 étant décrits dans le sens positif par rapport à leurs intérieurs. z + h R R 2 z D 2 Soit z + h un point quelconque de D, on a alors où a n = 2πi f (z + h) = a +a h + a 2 h 2 + a 3 h 3 +... + a h + a 2 h 2 + a 3 h 3 +... f (z) n+ dz, n =... 2,,,, 2,... (z z ) et = ou 2. Avec le changement de notation z = z + h, on peut écrire f (z) = a +a (z z ) + a 2 (z z ) 2 + a 3 (z z ) 3 +... + a + a 2 z z (z z ) 2 + a 3 (z z ) 3 +... (4.2) eci est appelé le théorème de Laurent et la formule ci-dessus est appelée une série de Laurent ou un développement de Laurent. La partie a + a (z z ) + a 2 (z z ) 2 + a 3 (z z ) 3 +... est appelée la partie analytique de la série de Laurent, cependant que le reste de la série formé des puissances négatives de z z ; est appelé la partie principale. a + a 2 z z (z z ) 2 + a 3 (z z ) 3 +... Si la partie principale est nulle, la série de Laurent se réduit à une série de Taylor. 39

4.4. Séries de Laurent Exemple 47 Déterminons le développement en série de Laurent de la fonction f (z) = (z + ) (z + 3) = ( 2 z + ) z + 3 dans la couronne D = { z, 3 2 < z < 5 2}. 3 2 < z < 5 2 La fonction f est holomorphe dans D et sur sa frontière, car les singularités et 3 sont à l extérieur D. 3 2 z = D Donc f admet un développement en série de Laurent centré à l origine z =. Si z > 3 2 >, on a z + = ( ) z + = z z n ( ) n = ( ) n = z z n z z +... 2 n Si z < 5 2 < 3, on a z + 3 = 3 + z 3 = 3 n ( z ) n = 3 n ( ) n z n 3 n+ = 3 z 9 + z2 27... Alors dans la couronne D = { 3 z, < z < 5 2 2} on a f (z) = ( 2 z + ) =... z + 3 2z + 2 2z 6 + z 8 z2 54 +... Exemple 48 Développons en série de Laurent la fonction de l exemple précédent f (z) = (z + ) (z + 3) mais dans le disque pointé de z =, D = {z, < z + < }. Notons que pour tout < z + < on peut écrire z + 3 = z + + 2 = 2 + z + = ( z + ) n = 2 2 n n 2 D où 3 D < z + < z = ( ) n 2 n+ (z + )n. f (z) = (z + ) (z + 3) = n ( ) n 2 n+ (z + )n = 2 (z + ) 4 + (z + )... 8 4

4.4. Séries de Laurent Exemple 49 Développons en série de Laurent la fonction f (z) = e z dans. Rappelons que e w = w n n n!, w, alors pour w = z on a e z = n n!z =... + n 6z + 3 2z + 2 z +. 4.4. lassification des singularités Le point z est appelé singularité isolée, ou point singulier isolé de f, si la fonction f est holomorphe sur un disque pointé de z, D = {z, < z z < r}, r >. D < z z < r z Il est possible de classer les singularités isolées d une fonction f par l examen de sa série de Laurent. Pôles Si f à la forme (4.2) dans laquelle la partie principale ne possède qu un nombre fini de termes donnés par a + a 2 z z (z z ) 2 + a 3 (z z ) 3 +... + a n (z z ) n, où a n, alors z = z est appelé un pôle d ordre n. Si n = on a affaire à un pôle simple. Si z = z est un pôle de f alors lim z z f (z) =. Exemple 5 La fonction f (z) = (z + ) (z + 3) de l exemple 48 présente un pôle simple au point z =. Singularités apparentes Si une fonction uniforme f n est pas définie en z = z mais si lim z z f (z) existe, alors z = z est appelée une singularité apparente. Dans un pareil cas on définit f (z) pour z = z comme étant égal à lim z z f (z). 4

Exemple 5 Si f (z) = sin z z sin z lim z z 4.4. Séries de Laurent alors z = est une singularité apparente car f () n est pas défini mais =. On définit f () = lim z sin z z =. On remarque que dans ce cas sin z z = z } {z z3 3! + z5 5! z7 7! +... = z2 3! + z4 5! z6 7! +... Singularités essentielles Si f est uniforme alors toute singularité qui n est ni un pôle ni une singularité apparente est appelée une singularité essentielle. Si z = z est une singularité essentielle de f (z), la partie principale du développement de Laurent possède une infinité de terme. Exemple 52 Le développement de e z s écrivant e z = + z + 2!z 2 + 3!z 3 +..., on en déduit que z = est une singularité essentielle. Singularités à l infini En posant z = w dans f (z) on obtient la fonction f ( w) = F (w). Alors la nature de la singularité à z = [le point à l infini] est définie comme étant la même que celle de F (w) en w =. Exemple 53 La fonction f (z) = z 3 a un pôle triple en z = car F (w) = f ( w triple en z =. Exemple 54 ) = w 3 De la même façon f (z) = e z possède une singularité essentielle en z = car a une singularité essentielle en w =. F (w) = f ( ) w = e w possède un pôle 42

hap i tre5 Théorème des résidus Sommaire 5. Résidus................................... 43 5.. alcul des résidus............................. 44 5.2 Le théorème des résidus......................... 46 5.3 Application du théorème des résidus.................. 47 5.3. Théorèmes particuliers utilisés pour le calcul d intégrales........ 47 5.3.2 Application aux transformées de Fourier................. 48 5.3.3 alcul d intégrales définies diverses.................... 5 5. Résidus Soit f une fonction holomorphe et uniforme à l intérieur d un cercle et sur, excepté au point z = z centre de. Alors f (z) possède un développement en série de Laurent dans le voisinage de z = z, donné par z f (z) = + n= a n (z z ) n = a + a (z z ) + a 2 (z z ) 2 +... + a + a 2 z z (z z ) 2 + a 3 (z z ) 3 +... (5.) 43

5.. Résidus où a n = 2πi f (z) n+ dz, n =... 2,,,, 2,... (5.2) (z z ) Dans le cas particulier n = on a f (z) dz = 2πia. (5.3) Observons que l intégrale f (z) dz s exprime à l aide du seul coeffi cient a de (5.). On peut obtenir formellement (5.3) à partir de (5.) par intégration terme à terme en utilisant le résultat Définition 45 (z z ) p dz = 2πi p = p Z, p. Avec les notations ci-dessus, le coeffi cient a du développement de Laurent de f au voisinage de z s appelle le résidu de f (z) au point z et se note Res (f, z ) = a = f (z) dz. 2πi (5.4) 5.. alcul des résidus Pour obtenir le résidu d une fonction f en z = z on pourrait croire d après (5.) à la nécessité d écrire le développement de f (z) en série de Laurent dans le voisinage de z = z. Dans beaucoup de cas on peut déterminer le résidu sans passer par le développement de Laurent. Pôle simple Si z = z est un pôle simple le calcul du résidu est particulièrement simple Res (f, z ) = lim z z (z z ) f (z). (5.5) Exemple 55 z + Trouver le résidu de f (z) = en z =. (z + 2) (z ) Le point z = est un pôle simple et le résidu en z = est { } z + z + Res (f, ) = lim (z ) = lim z (z + 2) (z ) z z + 2 = 2 3. 44