V. Quelques équations diophantiennes

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V. Quelques équations diophantiennes L équation du premier degré I. L équation du premier degré On considère l équation a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b avec a i Z (1 i n) et b Z. Il s agit d en déterminer toutes les solutions dans Z. Il y a deux principes généraux. Cette équation est résoluble dans Z si et seulement si b est divisible par P.G.C.D. ( (a i ) 1 i n ) Cela équivaut exactement à : b I ( (a i ) 1 i n ) Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 2 / 37

V. Quelques équations diophantiennes L équation du premier degré Toute solution est somme d une solution particulière de a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b et d une solution de a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = 0 C est clair, puisque si (α i ) 1 i n et (β i ) 1 i n sont tels que a 1 α 1 + a 2 α 2 + + a n α n = b a 1 β 1 + a 2 β 2 + + a n β n = b on a alors a 1 (β 1 α 1 ) + a 2 (β 2 α 2 ) + + a n (β n α n ) = 0 Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 3 / 37

V. Quelques équations diophantiennes L équation du premier degré Question Résoudre dans Z l équation 3x + 4y = 17 Solution. Comme P.G.C.D.(3, 4) = 1, on trouve facilement une solution particulière de 3x + 4y = 1 : ( x 0, y 0 ) = ( 1, 1) On en déduit une solution particulière de 3x + 4y = 17 : (x 0, y 0 ) = ( 1 17, 1 17) = ( 17, 17) Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 4 / 37

V. Quelques équations diophantiennes L équation du premier degré D autre part, toujours à cause de P.G.C.D.(3, 4) = 1, toutes les solutions de 3x + 4y = 0 sont données par : (x, y) {(4t, 3t)} t Z L ensemble de toutes les solutions entières de 3x + 4y = 17 est donc donné par : (x, y) {( 17 + 4t, 17 3t)} t Z Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 5 / 37

V. Quelques équations diophantiennes L équation du premier degré Question Résoudre dans Z l équation 42x + 10y + 15z = 7 Solution. Une solution particulière de 42x + 10y + 15z = 7 est donnée par : (x 0, y 0, z 0, ) = (1, 2, 1) N.B. Une méthode pour trouver une solution particulière consiste à fixer d abord une valeur de z de telle sorte que P.G.C.D.(42, 10) = 2 soit un diviseur de 7 15z. Il reste ensuite à résoudre l équation à deux inconnues correspondante, par exemple à l aide de l algorithme d Euclide pour le calcul du P.G.C.D. de deux nombres. Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 6 / 37

V. Quelques équations diophantiennes L équation du premier degré Il s agit maintenant de trouver toutes les solutions entières de 42x + 10y + 15z = 0 ou 42x + 10y = 15z Comme P.G.C.D.(2, 15) = 1, l équation 2 (21x + 5y) = 15z implique qu il doit exister z Z tel que z = 2 z. On se ramène ainsi à déterminer toutes les solutions entières de 21x + 5y = 15z Comme P.G.C.D.(21, 5) = 1, on trouve toutes ces solutions comme dans la question précédente : (x, y) {( 15z + 5t, 60z 21t)} t Z Toutes les solutions entières de 42x + 10y + 15z = 0 sont donc données par : (x, y, z) {( 15s + 5t, 60s 21t, 2s)} s,t Z Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 7 / 37

V. Quelques équations diophantiennes L équation du premier degré Finalement, l ensemble de toutes les solutions entières de l équation 42x + 10y + 15z = 7 est donné par (x, y, z) {(1 15s + 5t, 2 + 60s 21t, 1 + 2s)} s,t Z N.B. Evidemment, les équations qu on vient d obtenir sont aussi des équations paramétriques entières d un plan «entier», c est-à-dire d un plan possédant des points dont les coordonnées sont toutes entières. Mais l ensemble des points du plan 42x + 10y + 16z = 7 dont les coordonnées sont toutes entières, est vide. On peut aussi écrire les solutions de l équation 42x + 10y + 15z = 0 sous la forme x = 15s + 5t = 5 ( 3s + t) y = 60s 21t = 3 (20s 7t) z = 2s = 2 s qui met en évidence que P.G.C.D.(10, 15) = 5, P.G.C.D.(42, 15) = 3 et P.G.C.D.(42, 10) = 2. Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 8 / 37

V. Quelques équations diophantiennes L équation de tous les cercles II. L équation de tous les cercles C est un exemple très classique, et qui met en scène les principales étapes de la résolution d une équation diophantienne du second degré. *Question* Résoudre dans Z l équation x 2 + y 2 = z 2 Solution. Si z = 0, c est facile! On peut donc supposer z 0. Comme l équation est homogène : résoudre résoudre x 2 + y 2 = z 2 X 2 + Y 2 = 1 dans Z dans Q Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 9 / 37

V. Quelques équations diophantiennes L équation de tous les cercles L équation X 2 + Y 2 = 1 possède au moins une solution rationnelle : (X ; Y ) = (1; 0). M : (a, b) est une so- la droite d AM a un lution rationnelle de = cœfficient angulaire X 2 + Y 2 = 1 rationnel Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 10 / 37

V. Quelques équations diophantiennes L équation de tous les cercles... Et la réciproque est vraie!!! Pour le prouver, on cherche les solutions du système : { X 2 + Y 2 = 1 Y = m(x 1)) Cela revient à déterminer les racines de l équation du second degré : ( m 2 + 1 ) X 2 2m 2 X + m 2 1 = 0 Or, une de ces racines doit être 1, et le produit des racines égale m 2 1 m 2 + 1 C est donc aussi la valeur de l autre racine! La valeur correspondante de Y est alors : ( m 2 ) 1 m m 2 + 1 1 2 = m m 2 + 1 = 2m m 2 + 1 Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 11 / 37

V. Quelques équations diophantiennes L équation de tous les cercles L ensemble de toutes les solutions rationnelles de X 2 + Y 2 = 1 est donc donné par { m 2 } 1 (X ; Y ) m 2 + 1 ; 2m m 2 + 1 m Q L ensemble de toutes les solutions entières de x 2 + y 2 = z 2 est alors donné par (x; y; z) { n(p 2 q 2 ) ; 2npq ; n(p 2 + q 2 ) } n,p,q Z La méthode précédente est appelée la méthode de la sécante. Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 12 / 37

N.B. V. Quelques équations diophantiennes L équation de tous les cercles Pour l essentiel, on a ainsi montré qu il existe une infinité d angles dont le sinus et le cosinus sont des nombres rationnels. Mais il est (très!) difficile d en citer (... qui soient non multiples entiers de π 2 ). Avec m := tan θ, on peut résoudre X 2 + Y 2 = 1 dans Q trigonométriquement : 2θ θ a = cos (π + 2θ) = cos 2θ = 1 tan2 θ 1 + tan 2 θ = 1 m2 1 + m 2 b = sin (π + 2θ) = sin 2θ = 2 tan θ 1 + tan 2 θ = 2m 1 + m 2 La structure du groupe des points rationnels sur le cercle de rayon 1 est remarquable... Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 13 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées III. Les coniques centrées Il s agit de résoudre en nombres entiers, ou en nombres rationnels, les équations du second degré du type avec A, B et C Z, et C 0. AX 2 + BY 2 = C On fait toujours les hypothèses suivantes : A, B et C sont sans facteurs carrés. P.G.C.D.(A, B) = P.G.C.D.(A, C) = P.G.C.D.(B, C) = 1. Les équations ne sont pas du type X 2 ± BY 2 = 1 ou ±AX 2 + Y 2 = 1 (mais on fera une petite exception... ) Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 14 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées 1. Les principes de résolution Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que l équation admette au moins une solution (rationnelle... ) Appliquer la méthode de la sécante pour en déduire toutes les solutions rationnelles. S il y a des solutions entières, elles sont parmi les solutions rationnelles (... mais il reste à les isoler... ) Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 15 / 37

2. Un exemple V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées *Question* Résoudre l équation X 2 + 2Y 2 = 5 dans Q, ou, de manière équivalente, résoudre l équation x 2 + 2y 2 = 5z 2 dans Z. Solution. Par «descente» on montre qu il n y a /emphpas de solutions entières de x 2 + 2y 2 = 5z 2. En réduisant modulo 5, on déduit de x 2 + 2y 2 0 (mod 5) que x et y 0 (mod 5), et donc qu il existe u et v Z tels que { x = 5 u y = 5 v On tire alors de x 2 + 2y 2 = 5z 2 qu il existe t Z avec z = 5 t. Il s agit alors de résoudre u 2 + 2v 2 = 5t 2 avec u < x, v < y et z < t,... Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 16 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées 3. Des conditions nécessaires... et suffisantes Supposons qu il existe une solution dans Z de Ax 2 + By 2 = Cz 2. Alors il existe aussi une solution dans Z/C Z de Ax 2 + By 2 0 (mod C) Comme P.G.C.D.(A, C) = 1, on en déduit une solution dans Z/C Z de A 2 x 2 + ABy 2 0 (mod C) Enfin, les hypothèses faites impliquent aussi que P.G.C.D.(y, C) = 1, donc y 2 est inversible dans Z/C Z, et il existe donc u Z/C Z tel que : u 2 AB (mod C) Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 17 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées On montre pareillement qu il existe une solution (resp. dans Z/B Z et Z/A Z) aux congruences v 2 AC (mod B) et w 2 BC (mod A) En résumé : s il existe une solution entière de l équation Ax 2 + By 2 = Cz 2, alors il existe aussi des solutions (dans les anneaux convenables) aux congruences u 2 AB (mod C) v 2 AC (mod B) w 2 BC (mod A) Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 18 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées Ces conditions nécessaires sont aussi suffisantes ; c est un théorème dû à A.-M. Legendre (1752-1833). Théorème Avec les hypothèses signalées plus haut, l équation Ax 2 + By 2 = Cz 2 admet une solution dans les entiers si et seulement si les trois congruences u 2 AB (mod C) v 2 AC (mod B) w 2 BC (mod A) admettent des solutions dans les anneaux correspondants. Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 19 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées 4. Encore un exemple Question Résoudre l équation 41X 2 + 31Y 2 = 1 dans Q. Solution. On applique le théorème de Legendre à l équation 41x 2 + 31y 2 = z 2 Il n y a que deux congruences à résoudre : { u 2 41 (mod 31) v 2 31 (mod 41) (la première peut être remplacée par u 2 10 (mod 31)). Bien sûr, on peut résoudre ces congruences brutalement : u = 14 et v = 20. Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 20 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées Une solution entière de 41x 2 + 31y 2 = z 2 est donnée par : (x, y, z) = (3, 1, 20) On en déduit une solution rationnelle de 41X 2 + 31Y 2 = 1 : ( 3 (X, Y ) = 20, 1 ) 20 On en déduit l ensemble de toutes les solutions rationnelles de l équation 41X 2 + 31Y 2 = 1 : { 93m 2 } 62m 123 (X, Y ) 20(31m 2, 31m2 246m + 41 + 41) 20(31m 2 + 41) m Q Evidemment, l équation 41X 2 + 31Y 2 = 1 n a aucune solution entière! Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 21 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées N.B. La loi de réciprocité quadratique permet de se passer de la résolution explicite des congruences dans le théorème de Legendre. Comme 31 et 41 sont premiers, cette loi permet d abord de vérifier que les congruences en question sont simultanément solubles ou insolubles : ( ) ( ) 41 31 = ( 1) 31 1 41 1 2 2 = +1 31 41 Et on calcule ensuite ( ) 10 = 31 ( ) ( ) 5 2 = = (+1) (+1) = +1 31 31 Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 22 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées 5. Un autre exemple, classique... Et même si on avait prévu de ne pas s y intéresser... Question Résoudre l équation X 2 7Y 2 = 1 dans Q, et même dans Z. Solution. La méthode de la sécante s applique telle quelle, au départ de la solution évidente (X, Y ) = (1, 0). On trouve comme ensemble de solutions rationnelles : { 7m 2 } + 1 (X, Y ) 7m 2 1, 2m 7m 2 1 m Q Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 23 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées Si D est un entier naturel sans facteurs carrés, l équation X 2 DY 2 = 1 est l équation de Pell. Théorème Si D est un entier naturel sans facteurs carrés, l équation X 2 DY 2 = 1 admet une infinité de solutions entières. Plus précisément, il existe une solution entière (X 1, Y 1 ) de cette équation avec Y 1 0 et, quel que soit n N, le couple de nombres entiers (X n, Y n ) défini par : ( X 1 + Y 1 D) n =: Xn + Y n D est toujours une solution de X 2 DY 2 = 1. Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 24 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées Le développement en fraction continuée de D permet de déterminer la solution (X 1, Y 1 ) utilisée dans le théorème. Plus précisément, si on note l la longueur de la période du développement en fraction continuée de D, et si R i = P i Q i est la i ème réduite (irréductible) de ce développement, alors : si l est pair : si l est impair : (X 1, Y 1 ) = (P l 1, Q l 1 ) (X 1, Y 1 ) = (P 2l 1, Q 2l 1 ) Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 25 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées Par exemple, si D = 7, on a : [ ] 7 = 2; 1, 1, 1, 4 }{{},... Donc l = 4. On calcule R 4 1 = R 3 = 8 3, d où (X 1, Y 1 ) = (8, 3) Voici les premières valeurs obtenues comme solutions entières de X 2 7Y 2 = 1 : n X n Y n 1 8 3 2 127 48 3 2024 765 4 32257 12192 5 514088 194307 Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 26 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées N.B. Les conditions, ou congruences, du théorème de Legendre sont toujours vérifiées pour l équation de Pell, puisqu elles se réduisent à u 2 1 (mod D) On tire immédiatement du théorème concernant l équation de Pell que, pour k Z 0, si l équation x 2 Dy 2 = k admet une solution entière, alors elle en admet une infinité! On en verra un exemple dans la question suivante. Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 27 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées 6. Un exemple un peu plus corsé Question Résoudre l équation 2X 2 2XY 7Y 2 = 17 dans Q, et même dans Z. Solution. On considère l équation équivalente 4X 2 4XY 14Y 2 = 34 pour la réduire à (2X Y ) 2 15Y 2 = 34 On applique le théorème de Legendre à l équation x 2 15y 2 = 34z 2. Il n y a que deux congruences à résoudre : { u 2 15 (mod 34) v 2 34 (mod 15) (la seconde peut être remplacée par v 2 4 (mod 15)). On obtient par exemple : u = 7 et v = 2. Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 28 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées Une solution entière de x 2 15y 2 = 34z 2 est donnée par : (x, y, z) = (7, 1, 1) On en déduit une solution rationnelle de (2X Y ) 2 15Y 2 = 34 : ( 7 (2X Y, Y ) = 1, 1 ) = (7, 1) 1 D où (X, Y ) = (4, 1) qui se trouve être aussi une solution entière! On en déduit l ensemble de toutes les solutions rationnelles de l équation 2X 2 2XY 7Y 2 = 17 : { 2 (14m 2 } 7m 3) (X, Y ) 7m 2, 15m2 + 16m 2 + 2m 2 7m 2 + 2m 2 m Q Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 29 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Les coniques centrées N.B. Il existe une infinité de solutions entières de l équation 2X 2 2XY 7Y 2 = 17. Pour le voir, il suffit de combiner les résultats que l on vient d obtenir avec ceux de la question précédente concernant l équation de Pell. Plus précisément, pour n N on définit les nombres u n et v n Z par : u n v n 15 := (7 ) ( 15 4 ) n 15 On obtient ainsi un ensemble infini de solutions entières de l équation u 2 15v 2 = 34. Un ensemble infini de solutions entières de l équation 2X 2 2XY 7Y 2 = 17 s en déduit pourvu qu on sache toujours résoudre le système { 2X Y = un Y = v n ce qui revient à montrer que, quel que soit n N : u n + v n est toujours pair. Or, les formules de récurrence : { un = 4u n 1 + 15v n 1 impliquent v n = u n 1 + 4v n 1 u n + v n = 5u n 1 + 19v n 1 = 4u n 1 + 18v n 1 + (u n 1 + v n 1) Dès lors,... Par exemple, pour n = 5, on trouve X = 103451 et Y = 42459. Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 30 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Une autre courbe... IV. Une autre courbe... La méthode de la sécante fonctionne pour d autres courbes que celles du second degré, pourvu qu on l adapte. *Question* Résoudre l équation Y 2 = X 3 17X dans Q. Solution. L ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient cette équation est la réunion du graphique de deux fonctions (algébriques scolaires) : f 1 (x) = x 3 17x et f 2 (x) = x 3 17x Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 31 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Une autre courbe... ( 1; 4) ( 4; 2) Y 2 = X 3 17X ( 4; 2) ( 1; 4) Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 32 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Une autre courbe... L équation possède des solutions rationnelles (et même entières) telles que ( 1; ±4) ou ( 4; ±2). Une droite du type Y = mx + p coupe en général la courbe considérée en 3 points. Toute droite passant par deux points à coordonnées rationnelles possède une équation à cœfficients rationnels. Le raisonnement utilisé dans la méthode de la sécante (avec le produit des racines de l équation aux abscisses) implique qu une droite passant par deux points à coordonnées rationnelles a nécessairement son troisième point d intersection avec la courbe qui sera lui aussi à coordonnées rationnelles. Par un raisonnement analogue, toute tangente à cette courbe en un point à coordonnées rationnelles a nécessairement son troisième point d intersection avec la courbe qui sera lui aussi à coordonnées rationnelles. Ces constructions permettent d obtenir des solutions rationnelles de l équation Y 2 = X 3 17X. Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 33 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Une autre courbe... Exemple. La construction par tangente au départ du point ( 1; 4). Le cœfficient angulaire de cette tangente est calculé à partir de 2y y = 3x 2 17 d où y ( 1,4) = 3x 2 17 2y = 14 ( 1,4) 8 Il reste alors à résoudre le système { y 2 = x 3 17x = 7 4 y = 7 4 (x + 1) + 4 L équation aux abscisses qui en résulte : 0 = 16x 3 49x 2 146x 81 = (x + 1) 2 (16x 81) donne x = 16 423 81, d où y = 64. Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 34 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Une autre courbe... ( 1; 4) ( 81 16 ; 423 ) 64 Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 35 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Une autre courbe... Exemple. La construction par tangente au départ d un point de coordonnées rationnelles (a; b). Le cœfficient angulaire de cette tangente est calculé à partir de y (a,b) = 3x 2 17 2y = 3a2 17 (a,b) 2b Il reste alors à résoudre le système { y 2 = x 3 17x y = 3a2 17 2b (x a) + b On en déduit les coordonnées (rationnelles) du troisième point d intersection : ( (34a ) + b 2 2 ( 1156a + 85b 2 a 2 b 2) ( 34a + b 2) ) (x, y) =, 2ab 8a 2 b 3 Une telle construction au départ du point ( 4; 2) fournit le point de coordonnées ( 1089 16 ; 35871 ) 64. Etc. Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 36 / 37

V. Quelques équations diophantiennes Une autre courbe... La courbe représentée par l équation Y 2 = X 3 17X est un exemple de ce qu on appelle une courbe elliptique (non singulière). Le résultat suivant règle la question de la quantité des points à coordonnées entières sur une telle courbe. Théorème Si la courbe d équation AX 3 + BX 2 Y + CXY 2 + DY 3 + EX 2 + FXY + GY 2 + HX + KY + L = 0 à cœfficients entiers, est non singulière, alors elle possède un nombre fini de points à coordonnées entières. La démonstration est difficile, et due à C. L. Siegel (1896-1981). N.B. La courbe Y 2 X 3 = 0 possède évidemment une infinité de points à coordonnées entières! Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. 27 août 2014 37 / 37