Comparaison des fonctions au voisinage d un point

DOCUMENT 29 Comprison des fonctions u voisinge d un point Pour tout 0 R on pose : V 0 = {] 0 η, 0 + η[ η > 0} si 0 R; V 0 = {], + [ R} si 0 = + et V 0 = {], [ R} si 0 =. Un élément de V 0 est ppelé un voisinge de 0. L ensemble des voisinges de 0 est stble pr intersection. Pour tout 0 R, on désigne pr F 0 l ensemble des fonctions définies dns un voisinge de 0. Cet ensemble est stble pr ddition, multipliction pr une constnte, multipliction. 1. Les reltions de domintion et de prépondérnce Définition 29.1. Soit f et g deu éléments de F 0. On dit que f est dominée pr g u voisinge de 0 s il eiste V V 0 et M > 0 tels que : V f() M g() On dit que f est négligeble devnt g ou que g est prépondérnte devnt f u voisinge de 0 si, pour tout ɛ > 0, il eiste V V 0 tel que : V f() ɛ g() On désigne respectivement pr O(g) et o(g) l ensemble des fonctions dominées pr g et l ensemble des fonctions négligebles devnt g u voisinge de 0. Il est clir que o(g) O(g) F 0. Prfois, pr bus d écriture, on note O(g) et o(g) un élément quelconque de ces ensembles (c est souvent le cs dns l écriture des développements limités). On peut ussi écrire O 0 (g) et o 0 (g) lorsque différentes vleurs de 0 interviennent. Remrquons que: Si f O(g) et si lim g() = 0 lors lim f() = 0. L fonction f est négligeble devnt une fonction constnte non nulle si et seulement si lim f() = 0. Théorème 29.1. On f o(g) si et seulement si, il eiste dns F 0 une fonction ɛ tel que lim ɛ() = 0 et f() = ɛ()g() pour tout d un voisinge de 0. Si g ne s nnule ps dns f() un voisinge de 0 lors, f o(g) équivut à lim g() = 0 On un résultt nlogue pour l reltion de domintion en remplçnt l fonction ε pr une fonction M bornée dns un voisinge de 0. 311

312 29. COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D UN POINT Preuve. Supposons f o(g) et soit ε = 1. Il eiste V 1 V 0 tel que si V 1 lors f() g(). On définit sur V 1 une fonction ɛ pr ɛ() = 0 si g() = 0 et ɛ() = f() g() si g() 0. On, pour tout V 1, f() = ɛ()g(). C est évident si g() 0 et si g() = 0 lors f() g() entrine f() = 0. Soit ε > 0. Il eiste V 2 V 0 tel que V 2 implique f() ε g() et si V 1 V 2 lors ɛ() ε. On donc lim ɛ() = 0. Réciproquement, supposons qu il eiste une fonction ɛ, définie sur un voisinge V 1 de 0, telle que lim ɛ() = 0 et f() = ɛ()g() pour tout V 1. Soit ε > 0. Il eiste V 2 V 0 tel que si V 1 V 2, ɛ() < ε. Pour V 1 V 2, f() = ɛ() g() < ε g() et donc f o(g). Dns le cs où f O(g), on définit une fonction M comme l fonction ε précédente mis cette fois M est seulement bornée dns un voisinge de 0. En utilisnt les crctéristions des reltions de domintion et de prépondérnce obtenues dns ce théorème, insi que celle de l reltion d équivlence, l pluprt des preuves de ce document sont élémentires et utilisent les trois résultts suivnts : Le produit de deu fonctions bornées u voisinge de 0 est une fonction bornée u voisinge de 0. Le produit d une fonction bornée u voisinge de 0 pr une fonction de limite nulle en 0 est une fonction de limite nulle en 0. Le produit de deu fonctions de limite nulle en 0 est une fonction de limite nulle en 0. (C est un cs prticulier du résultt précédent.) Eemples. 1) Au voisinge de + on α o(e ) et ln o( α ) si α > 0. Si 0 < α < α lors α o( α ) et e α o(e α ). 2) L fonction f possède un développement limité d ordre n u voisinge de 0, f() = 0 + 1 + + n n + n ɛ() vec lim ɛ() = 0, si et seulement si f() = 0 + 1 + + n n +o( n ). 0 Cel entrine f() = 0 + 1 + + n 1 n 1 +O( n ) mis cette dernière écriture n entrine ps que f un développement limité d ordre n. Elle implique seulement que f un développement limité d ordre n 1 cr O( n ) o( n 1 ). 3) Soit f : R R définie pr f(0) = 0 et f() = e 1 2 pour 0. On, pour tout e 1 2 n = 0 et donc f() o(n ). n N, lim u ± e u2 u n = 0 (voir le document 30) d où lim 0, 0 Désignons pr χ() l fonction crctéristique de Q et posons g() = f()χ(). Comme χ() 1, on encore g() o( n ) ce qui entrine que l fonction g possède des développements limités de tous ordres u voisinge de 0. Cette fonction est continue et dérivble en 0 et 0 est le seul point où elle est continue. Comme elle n est ps continue dns un voisinge de 0, elle n est ps deu fois dérivble en 0. 1.1. Propriétés des reltion binires de domintion et de prépondérnce. Proposition 29.1. ) Les reltions de prépondérnce et de domintion sont trnsitives. L reltion de domintion est, de plus, réfleive (c est un préordre). b) Soit f, g, h trois éléments de F 0. Si f o(g) et g O(h) lors f o(h). De même, si f O(g) et g o(h) lors f o(h)

2. L ÉQUIVALENCE DES FONCTIONS 313 Preuve. Montrons pr eemple que si f O(g) et g o(h) lors f o(h). Il eiste une fonction M bornée u voisinge de 0 et une fonction ε de limite nulle en 0 telles que f() = M()g() et g() = ε()h() pour tout d un voisinge V de 0. Pour tout de V on donc d où f o(h). f() = M()ε()h() vec lim M()ε() = 0 On remplce prfois f o(g) pr f << g. C est l nottion de Hrdy qui est intéressnte lorsque on utilise l trnsitivité de l reltion de prépondérnce. 1.2. Opértions lgébriques et reltions de domintion et de prépondérnce. Proposition 29.2. ) Les ensembles O(f) et o(f) sont des sous espces vectoriels de F 0 (stbilité pour l ddition et l multipliction pr une constnte) b) Soit f 1, f 2, g 1, g 2 dns F 0 : f 1 O(g 1 ) et f 2 O(g 2 ) f 1 f 2 O(g 1 g 2 ) f 1 o(g 1 ) et f 2 O(g 2 ) f 1 f 2 o(g 1 g 2 ) 2. L équivlence des fonctions Définition 29.2. Deu fonctions f et g de F 0 sont dites équivlentes u voisinge de 0 si f g o(g). Cette reltion est notée. Théorème 29.2. On f g si et seulement si il eiste une fonction ε dns F 0 telle que lim ε() = 0 et f() = (1 + ε())g() pour tout d un voisinge de 0. Si g ne s nnule ps f() dns un voisinge de 0 lors, f g équivut à lim g() = 1. Preuve. Si f g lors f g o(g) et il eiste une fonction ε de limite nulle en 0 telle que f() g() = ε()g() pour tout d un voisinge V de 0. Il en résulte f() = (1 + ε())g() pour tout de V. L réciproque est fcile et si g ne s nnule ps dns un voisinge de 0 lors, f() f() f g équivut à lim = 1 cr g() g() = 1 + ε(). Proposition 29.3. L reltion binire est une reltion d équivlence. Preuve. Seule l symétrie n est ps évidente. Si f g lors il eiste une fonction ε définie sur un voisinge V de 0 et de limite nulle en 0 telle que, pour tout de V, f() = (1 + ε())g(). Comme lim (1 + ε()) = 1, il eiste un voisinge W de 0 sur lequel 1 + ε() > 0. Pour tout V W, on : g() = 1 ε() f() = (1 1 + ε() 1 + ε() )f() = (1 + ε 1())f() vec ε 1 () = ε(). On lim ε 1 () = 0 et donc g f. 1 + ε() L intérêt de l notion de fonctions équivlentes est due, en grnde prtie, u résultt suivnt dont l preuve est une conséquence immédite du théorème 29.2.

314 29. COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D UN POINT Théorème 29.3. Soit f et g deu fontions équivlentes de F 0. Si f possède une limite qund 0 lors g possède l même limite qund 0. Pour l preuve, il suffit de dire que pour tout d un voisinge de 0, g() = (1 + ε())f(), vec lim ε() = 0, et utiliser l proposition donnnt l limite d une somme et d un produit de fonctions. Si les fonctions f et g ont l même limite l R lorsque 0 lors lim = 1 et f g u g voisinge de 0. En revnche, le résultt peut être fu si l = 0 ou si l est infini. Pr eemple, lim = lim + + 2 = + et on n ps 2 u voisinge de l infini. Si tend vers 0, les mêmes fonctions donnent un eemple vec l = 0. 2.1. L équivlence des fonctions et les opértions lgébriques. f Proposition 29.4. ) L reltion d équivlence est comptible vec l multipliction: pour f 1, f 2, g 1, g 2 dns F 0, f 1 f 2 et g 1 g 2 impliquent f 1 g 1 f 2 g 2. b) Si f g et si f ne s nnule ps dns un voisinge de 0 lors 1/f 1/g. c) Si f 1 g 1 et f 2 g 2 lors, g 2 o(g 1 ) implique f 1 + f 2 g 1. Preuve. L preuve de ) utilise le théorème 29.2. Pour b), on dpte l preuve l proposition 29.3. Donnons une preuve brégée de c). Il eiste des fonctions ε 1, ε 2 et ε 3 telles que f 1 () = (1 + ε 1 ())g 1 (), f 2 () = (1 + ε 2 ())g 2 (), g 2 () = ε 3 ()g 1 () d où f 1 () + f 2 () = (1 + ε 1 () + ε 3 () + ε 2 ()ε 3 ())g 1 () et donc f 1 + f 2 g 1. En générl, l équivlence des fonctions n est ps ps comptible vec l ddition : u voisinge de 0, 1 + 2 1 +, 1 1 et 2. On cependnt le résultt suivnt: Proposition 29.5. Soit f 1, f 2, g 1, g 2 dns F 0, f 1 f 2 et g 1 g 2. S il eiste un voisinge de 0 dns lequel f 1 0 et g 1 0 lors f 1 + g 1 f 2 + g 2. Preuve. Soit V le voisinge de 0 sur lequel f 1 0 et g 1 0 et ε 1, ε 2 les fonctions de limites nulles en 0 telles que f 2 () = (1 + ε 1 ())f 1 (), g 2 () = (1 + ε 2 ())g 1 (). Posons, pour dns V, ε() = 0 si f 1 () + g 1 () = 0 et ε() = ε 1()f 1 () + ε 2 ()g 1 () si f 1 () + g 1 () f 1 () + g 1 () > 0. On, pour tout de V, f 2 () + g 2 () = (1 + ε())(f 1 () + g 1 ()). Pour tout de V, ε() ε 1 () + ε 2 () : c est clir si f 1 () + g 1 () = 0 et sinon ε 1()f 1 () + ε 2 ()g 1 () f 1 () + g 1 () f 1 () ε 1 () f 1 () + g 1 () + ε g 1 () 2() f 1 () + g 1 () ε 1() + ε 2 (). Il en résulte que lim ε() = 0 et donc f 1 + g 1 f 2 + g 2. Remrques. 1) En eminnt l preuve précédente on voit qu une condition suffisnte pour que f 1 f 2 et g 1 g 2 impliquent f 1 + g 1 f 2 + g 2 est que les fonctions f 1 et g 1 ient le même

signe en chque point d un voisinge de 0. 2. L ÉQUIVALENCE DES FONCTIONS 315 2) Au voisinge de 0, e 1 + et e 1 mis l deuième reltion ne se déduit ps correctement de l première en joutnt 1 u deu membres cr e et 1 n ont ps le même signe u voisinge de 0. En revnche, l première reltion implique e + 1 2 + pr ddition de l fonction positive 1. 2.2. L composition à droite (ou le chngement de vribles). Proposition 29.6. Soit 0 et 1 deu élément de R, φ F 0, f F 1 et g F 1. Si lim φ() = 1 lors : f O 1 (g) f φ O 0 (g φ) f o 1 (g) f φ o 0 (g φ) f 1 g f φ 0 g φ Donnons une preuve de l troisième impliction. Soit ε l fonction de limite nulle en 1 telle que pour tout d un voisinge V de 1, f() = (1 + ε())g(). Supposons que φ soit définie sur un voisinge W 1 de 0. Comme V est un voisinge de 1 et comme φ l limite 1 qund tend vers 0, il eiste un voisinge W 2 de 0 tel que φ(w 1 W 2 ) V. L ensemble W 1 W 2 est un voisinge de 0 et, pour tout de W 1 W 2, on f(φ()) = (1 + ε(φ()))g(φ()). L ppliction du théorème sur l limite d une fonction composée donne lim ε(φ()) = 0 d où f φ 0 g φ. Eemples. 1). On sit qu u voisinge de 0, sin. Il en résulte qu u voisinge de 0, sin, sin 3 2 3 2... Au voisinge de 0, ln(1 + ) et donc u voisinge de +, ln(1 + 1/) 1/. 2). Au voisinge de +, ln o() et donc ln ln o(ln ) et o(e ). Remrques.. 1) On remplce prfois dns l définition de l reltion d équivlence, les voisinges pr les voisinges pointés (i.e. privés du point 0 ). Si on dopte ce point de vue, l proposition précédente peut être fusse. Pr eemple, soit f : R R définie pr f(0) = 0 et, pour 0, pr f() = cos 1. Soit ussi g : R R définie pr g(0) = 0 et g() = 1 si 0. On, u voisinge de 0, g 1 (vec les voisinges pointés) et lim f() = 0. En revnche, g f 0 n est ps équivlent à 1 u voisinge de 0 cr cette fonction n ps de limite qund tend vers 0. L epliction se trouve dns l preuve de l proposition 29.6. Cette preuve utilise le théorème reltif à l limite d une fonction composée et ce théorème est fu vec l notion de limite pr vleurs différentes. On peut énoncer un théorème de composition à droite pour les équivlents définis à l ide des voisinges pointés mis les hypothèses sont moins simples. 2) Il semble difficile de trouver des résultts intéressnts concernnt l composition à guche. Pr eemple, u voisinge de 0, 1 + 1 + 2 et ln(1 + ) ln(1 + 2 ). De même u voisinge de +, 2 2 + mis e 2 + e 2. 2.3. L équivlence des fonctions et les fonctions logrithme et eponentielle. En utilisnt le théorème 29.2, on voit que e f e g équivut à lim (f() g()) = 0 et donc, en générl, il n y ps de lien entre l équivlence de f et g et celle de e f et e g (considérer f() = 2

316 29. COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D UN POINT et g() = 2 + u voisinge de + puis h() = et k() = 2 u voisinge de 0). Pour l fonction logrithme on : Proposition 29.7. Soit f et g deu éléments de F 0 strictement positifs dns un voisinge de 0. Si g dmet une limite l R + {1} en 0 lors f g entrine ln f ln g. Preuve. Comme l 1, il eiste un voisinge V de 0 sur lequel g ne prend ps l vleur 1. Pour V, ln f() ln g() = ln f() ln g() ln g() + 1 = ɛ() + 1 ln f() g() vec ɛ() = ln g(). Comme f g, l limite de f g eiste qund tend vers 0 eiste et vut 1. L limite de son logrithme est donc 0 et lim ɛ() = 0. Finlement, ln f ln g. Si g n dmet ps de limite le résultt peut être fu ; considérer 0 = 0, f() = cos(1/) + 2 et g() = e f(). Il en est de même si l limite de g est 1 : u voisinge de 0, 1 + 1 et on n ps ln(1 + ) ln 1. On peut voir ln f ln g sns que f g. Pr eemple, u voisinge de +, ln e 2 ln e 2 +1 et on n ps e 2 e 2 +1. 2.4. Intégrtion. Proposition 29.8. Soit f une ppliction dérivble u voisinge d un point 0. (1) Si u voisinge de 0, f () o( 0 ) n (resp. f () O( 0 ) n ), n N, lors f() f( 0 ) o( 0 ) n+1 (resp. f() f( 0 ) O( 0 ) n+1 ). (2) Si u voisinge de 0, f () ( 0 ) n, n N, lors f() f( 0 ) ( 0) n+1 n + 1 Preuve. 1. Soit ε > 0. Il eiste un voisinge V de 0 tel que pour tout V, f () ε 0 n. Si > 0 et V lors f () ε( 0 ) n et l ppliction du corollire 31.4 sur le segment [ 0, ] donne f() f( 0 ) ε ( 0) n+1 ε( 0 ) n+1 = ε 0 n+1. n + 1 Si < 0 et V lors, dns le cs où n est impir, on f () ε( 0 ) n d où pr ppliction du corollire 31.4 sur [, 0 ], f() f( 0 ) ε ( 0) n+1 ε( 0 ) n+1 = ε 0 n+1. n + 1 On obtient l même inéglité si n est pir et finlement (f() f( 0 )) o( 0 ) n+1. L preuve vec l reltion de domintion est similire. 2. Si f () ( 0 ) n lors f () ( 0 ) n o( 0 ) n d où f() f( 0 ) ( 0) n+1 n + 1 et donc f() f( 0 ) ( 0) n+1. n + 1 o( 0 ) n+1 = o( ( 0) n n + 1 )

Remrques et eemples. 2. L ÉQUIVALENCE DES FONCTIONS 317 1). On n ps de résultts semblbles vec l dérivtion. Pr eemple, soit f : R R définie pr f() = 2 sin 1 si 0 et f(0) = 0. Au voisinge de 0, f() o() mis l on n ps f () o(1) cr f n ps de limite qund tend vers 0. 2). On peut déduire fcilement de l proposition précédente, le résultt usuel sur l intégrtion des développements limités insi que l formule de Tylor-Young (voir le document 31). 3). Au voisinge de 0, sin, e 1 1 et 1 d où cos 1 2 1 + 2, e 1 et ln(1 + ). 2.5. Autres propriétés de l équivlence des fonctions. Si f g lors il eiste un voisinge V de 0 dns lequel f() et g() sont de même signe. Si f g lors il eiste un voisinge V de 0 dns lequel f() = 0 équivut à g() = 0. si f g et si g est strictement positive dns un voisinge de 0 lors, pour tout α > 0, f α g α. Si f est dérivble en 0, vec f ( 0 ) 0, lors f() f( 0 ) ( 0 )f ( 0 ). Prouvons ce dernier résultt. On peut définir une fonction ε pr ε( 0 ) = 0 et ε() = f() f( 0 ) f ( 0 ) si 0. On sit que lim ε() = 0 et f() f( 0 ) = ( 0 )(f ( 0 ) + 0 ε()) d où si f ( 0 ) 0, et le résultt est démontré. f() f( 0 ) = ( 0 )f ( 0 )(1 + ε() f ( 0 ) ) C est cette dernière propriété qui permet de trouver les équivlents usuels des fonctions élémentires u voisinge de 0, chque fois que l dérivée de l fonction n est ps nulle en ce point. Pr eemple, sin, ln(1+), e 1, tn,... Si l dérivée de l fonction est nulle, il fut trouver une utre méthode. Pr eemple, à prtir de 1 cos = 2 sin 2 (/2), on obtient 1 cos 2 2 en utilisnt l proposition 29.4. Pr une preuve nlogue et en utilisnt l formule de Tylor-Young, on montre que si f possède une premire dérivée non nulle en 0, f (p) ( 0 ), lors f() f( 0 ) ( 0) p f (p) ( 0 ). p! En utilisnt ce résultt on peut obtenir cos 1 2 2 Plus générlement, si f possède un développement limité du type u voisinge de 0 (ici p = 2). f() = f( 0 ) + p ( 0 ) + o(( 0 ) p ), p 0 u voisinge de 0 lors f() f( 0 ) p ( 0 ) p.

318 29. COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D UN POINT 2.6. Eemples. 1). Trouver une fonction simple équivlente u voisinge de + à l fonction f définie, pour > 1, pr : On vec g() = ln(1 + f()) = ln f() = [ ln(1 + ) ln = ln ln(1 + ) ] 1 ln ln + ln(1 + (1/)) ln = ln(1 + g()) ln(1 + (1/)). Pr chngement de vribles, ln(1 + ) u voisinge de 0 donne ln ln(1 + (1/)) 1/ u voisinge de +, d où g() 1. Pr chngement de vribles, ln ln(1 + g()) g() cr et, en prticulier, chngement de vribles, 1 lim g() = 0. On donc u voisinge de +, ln(1 + f()) + : ln. lim ln(1 + f()) = 0. Au voisinge de 0, + e 1, d où pr un dernier f() = e ln(1+f()) 1 ln(1 + f()) 1 ln. 2). Soit (α, β, γ) R 3 et f α,β,γ l fonction définie pour > 1 pr: f α,β,γ () = e α β (ln ) γ On f α,β,γ o(f α,β,γ ) u voisinge de + si et seulement si (α, β, γ) < (α, β, γ ) pour l ordre léicogphique sur R 3, c est-à-dire si et seulement si α < α ou α = α et β < β ou α = α, β = β et γ < γ. L preuve est fcile en utilisnt les résultts concernnt les croissnces comprées des fonctions eponentielles, puissnces et logrithmes. Deu fonctions distinctes du type f α,β,γ sont toujours comprbles pour l reltion de prépondérnce (voir le document 30) et en utilisnt le lemme suivnt on voit que leur ensemble est une prtie libre de l espce vectoriel des pplictions de ]1, + [ dns R. Lemme 29.1. Soit f 1,..., f n des pplictions définies dns un voisinge de 0. Si f 1 o(f 2 ),..., f n 1 o(f n ) et si f 1 n est ps identiquement nulle dns un voisinge de 0 lors {f 1,..., f n } est une prtie libre de l espce vectoriel des fonctions définies dns un voisinge de 0. L preuve est pr récurrence sur n > 0. Le résultt est vri pour n = 1 et s il est vri pour n 1 supposons qu il eiste λ 1,..., λ n tels que,pour tout d un voisinge de 0, On pour tout k < n, f k o(f n ) d où λ 1 f 1 () +... + λ n f n () = 0. λ 1 f 1 +... + λ n 1 f n 1 o(f n ). Si λ n 0 lors λ 1 f 1 +... + λ n 1 f n 1 o(λ n f n ) (Si λ 0 lors f() = ɛ()g() f() = ɛ() (λg()) et donc f o(g) f o(λg).) λ et donc l proposition 29.2, prtie c), entrine λ 1 f 1 +... + λ n f n λ n f n

4. COMPLÉMENTS 319 ce qui est bsurde cr λ n f n n est ps identiquement nulle dns un voisinge de 0 (f n n est ps identiquement nulle dns un voisinge de 0 cr f 1 ne l est ps et f 1 o(f n )). On donc λ n = 0 et l hypothèse de récurrence chève l preuve. Le résultt précédent entrine pr eemple que les fonctions e,..., e n,... sont linéirement indépendntes. 3. Applictions Clcul de limites : c est l ppliction clssique de l notion de fonctions équivlentes. On utilise le théorème 29.3. Convergence de séries ou d intégrles, en prticulier pour les séries et les intégrles de Bertrnd. Inéglités u voisinge d un point. On déjà vu que si f g u voisinge de 0 lors f et g ont le même signe u voisinge de ce point. Si f o(g) u voisinge de 0 lors, en prennt ɛ = 1 dns l définition de l reltion de prépondérnce on f() g() pour tout d un voisinge de 0. Pr eemple, de 100 o(e ) u voisinge de +, on déduit qu il eiste 0 tel que pour > 0 on it 100 < e. 4. Compléments 4.1. Etension de l définition. Soit I une prtie non vide de R et 0 R un point d ccumultion de I. On peut remplcer F 0 pr l ensemble F 0 (I) formé des fonctions définies sur un ensemble de l forme I V vec V V 0. L pluprt des résultts précédents restent vlbles (ttention à l composition à droite) et un cs prticulier très intéressnt est 0 = + et I = N. On obtient insi le cs des suites. On peut ussi prendre I =] 0, + [, I =], 0 [ ou I = R { 0 }. 4.2. Applictions u intégrles générlisées. Soit R, b R vec < b. On considère deu fonctions f et g continues sur [, b[. Lorsque b R, les reltions de domintion, de prépondérnce et d équivlence sont u voisinge de b et à guche de b (etension de l définition vec I =], b[). Pr eemple, f g signifie qu il eiste un voisinge V de b tel que f et g soient définies sur V ], b[ et une fonction ɛ définie sur V ], b[ telle que, pour tout V ], b[, f() = (1 + ɛ())g() vec lim b,<b ɛ() = 0. S il eiste un voisinge V de b tel que g it un signe constnt sur V ], b[ lors f kg, k 0, implique que les intégrles f() d et g() d sont de même nture. On suppose qu il eiste un voisinge V de b tel que f et g soient positives sur V ], b[ et que f O(g). Si Si b g() d converge lors il en est de même pour f() d diverge lors il en est de même pour b f() d. g() d. On suppose qu il eiste un voisinge V de b tel que f et g soient positives sur V ], b[. Si g() d converge lors (u voisinge de b et à guche)

320 29. COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D UN POINT Si f O(g) f o(g) f g b b f() d O( f() d o( f() d b g() d. g() d). g() d). g() d diverge lors (u voisinge de b et à guche) f O(g) f o(g) f g f() d O( f() d o( f() d g() d. g() d). g() d).