Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments. () Fonctions réelles : 1 / 54

Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments () Fonctions réelles : 1 / 54

1 Fonctions logarithmes et exponentielles Le logarithme népérien L exponentielle Logarithmes et exponentielles de base quelconque Puissances d un nombre réel et fonctions puissances Croissances comparées 2 Fonctions trigonométriques () Fonctions réelles : 2 / 54

Plan 1 Fonctions logarithmes et exponentielles Le logarithme népérien L exponentielle Logarithmes et exponentielles de base quelconque Puissances d un nombre réel et fonctions puissances Croissances comparées 2 Fonctions trigonométriques () Fonctions réelles : 3 / 54

Le logarithme népérien Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs réelles. On appelle primitive de f toute fonction F à valeurs réelles définie et dérivable sur I telle que F = f. Nous reverrons plus tard que tout fonction continue sur un intervalle possède des primitives sur cet intervalle et que ces primitives sont égales à une constante près. On peut donc spécifier une primitive particulière en précisant sa valeur en un point de l intervalle. () Fonctions réelles : 4 / 54

Définition On appelle logarithme népérien la primitive de la fonction ]0, + [ R qui s annule en 1. x 1/x Cette fonction est notée ln. () Fonctions réelles : 5 / 54

Proposition 1 La fonction ln est définie sur ]0, + [ ; ln(1) = 0. 2 La fonction ln est dérivable sur ]0, + [ et pour tout x ]0, + [, on a ln (x) = 1 x. 3 La fonction ln est continue et strictement croissante sur ]0, + [. 4 Pour tous réels x et y strictement positifs, on a ln(xy) = ln(x) + ln(y). 5 Pour ( tous réels x et y strictement positifs, on a x ) ln = ln(x) ln(y). y 6 Pour tous réels x > 0 et tout entier relatif n, on a ln ( x n) = n ln(x). 7 lim x + ln(x) = + et lim ln(x) =. x 0 + () Fonctions réelles : 6 / 54

Démonstration. 3. La dérivée de ln est strictement positive donc ln est strictement croissante sur ]0, + [. 4. On fixe y > 0 et l on considère la fonction f : ]0, + [ R. x ln(xy) C est une application dérivable comme composée de telles applications et l on a f (x) = y 1 xy = 1. Il s ensuit que f et ln diffèrent sur ]0, + [ d une x constante C c est à dire : x > 0, f (x) = ln(x) + C. Comme ln(1) + C = 0 + C = C et f (1) = ln y, la constante C vaut ln y. Donc : x > 0, ln(xy) = ln x + ln y. Cette propriété étant établie pour une valeur quelconque de y, on en déduit 4. 5. En utilisant 4., on obtient ln(x/y) + ln y = ln x pour tous réels x et y strictement positifs. () Fonctions réelles : 7 / 54

6. Fixons x > 0 et démontrons d abord ce résultat pour tout n 0 (on s occupera du cas n < 0 ensuite). Pour tout n N, on considère la propriété (P n ) : ln(x n ) = n ln x. La propriété (P 0 ) est clairement vraie : puisque ln(x 0 ) = ln 1 = 0 et 0 ln(x) = 0, on a ln(x 0 ) = 0 ln(x). Soit n N tel que que (P n ) est vraie. On a ln(x n+1 ) = ln(x n.x) = ln(x n ) + ln x d après 4., = n ln x + ln x d après (P n ), = (n + 1) ln x, ce qui démontre que (P n+1 ) est vraie. Par récurrence, pour tout n 0, on a ln(x n ) = n ln(x). Choisissons maintenant un entier n < 0. On a alors, en appliquant 5. et (P n ) ( n est positif) : ln(x n ) = ln(1/x n ) = ln ( x n) = ( n ln(x) ) = n ln x, ce qui finit d établir 6. () Fonctions réelles : 8 / 54

Corollaire Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I à valeurs dans ]0, + [. La fonction ln u : I R x ln ( ) est dérivable sur I et l on a : u(x) x I, (ln u) (x) = u (x) u(x). Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I à valeurs dans R. La fonction f : I R x ln ( ) est dérivable sur I et l on a : u(x) x I, f (x) = u (x) u(x). () Fonctions réelles : 9 / 54

Tableau de variation de ln () Fonctions réelles : 10 / 54

Remarque: Tout nombre réel admet un unique antécédent par ln dans ]0, + [. Autrement dit : y R,!x ]0, + [, ln(x) = y. On dit que la fonction ln est une bijection (cf cours ultérieur) de ]0, + [ sur R. Définition L unique antécédent du nombre 1 par la fonction ln est noté e et s appelle le nombre de Néper. On retiendra que ln e = 1 et l on peut garder en tête que e 2, 72. () Fonctions réelles : 11 / 54

Proposition ln (1 + x) (limites classiques) On a lim = 1 et pour tout n N, x 0 x (ln x) n lim = 0 et lim x(ln x) n = 0. x + x x 0 Démonstration. La première limite exprime que le nombre dérivé de ln en 1 vaut 1 : ln(1 + x) ln(1 + x) ln(1) lim = lim = ln (1) = 1 x 0 x x 0 x 1 = 1. Pour les autres limites, cf plus loin (cas plus général). La fonction logarithme a beaucoup d autres propriétés. Entre autres, elle est concave ce qui fait que son graphe est toujours en dessous de ses tangentes. () Fonctions réelles : 12 / 54

Les renseignements glanés jusqu ici nous permettent de tracer le graphe de la fonction ln : () Fonctions réelles : 13 / 54

L exponentielle On a remarqué au paragraphe précédent que tout nombre réel admet un unique antécédent par la fonction ln dans ]0, + [. Cette remarque nous permet de définir la fonction exponentielle : Définition Pour tout x R, on appelle exponentielle de x et l on note exp(x) l unique antécédent du réel x par la fonction ln. La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction exp : R ]0, + [ x exp(x) () Fonctions réelles : 14 / 54

Remarque: On dit que la fonction exp : R ]0, + [ est la bijection x exp(x) réciproque de la bijection ln. Par définition, on peut écrire : x R, ln(exp(x)) = x Le fait que exp est la bijection réciproque de ln permet aussi d écrire (cf. cours ultérieur) : x ]0, + [, exp(ln(x)) = x En tant que bijection réciproque d une fonction dont la dérivée ne s annule pas (cf. cours ultérieur), la fonction exp est dérivable sur R. () Fonctions réelles : 15 / 54

Proposition 1 Pour tout x R, on a ln ( exp(x) ) = x et pour tout x ]0, + [, on a exp ( ln(x) ) = x. 2 On a exp (1) = e. 3 La fonction exp est dérivable sur R et pour tout x R, on a exp (x) = exp(x). 4 La fonction exp est strictement croissante sur R. 5 On a lim exp(x) = x 0+ et lim exp(x) = +. x + 6 Pour tous réels x et y, on a exp(x + y) = exp(x) exp(y). 7 Pour tous réels x et y, on a exp(x y) = exp(x) exp(y). 8 Pour tout réel x et tout entier relatif n, on a exp(nx) = (exp x) n. () Fonctions réelles : 16 / 54

Démonstration. 3. Démontrons la formule : la fonction f : R R x ln(exp(x)) est dérivable (composition de fonctions dérivables) et en utilisant la formule de dérivation des composées, on obtient : x R, f (x) = exp (x) ln (exp(x)) = exp (x) exp(x). D autre part, puisque pour tout x R, on a f (x) = x, on peut écrire : x R, f (x) = 1. On en déduit que pour tout x R, on a exp (x) exp(x) = 1 donc exp (x) = exp(x). 4. Pour tout x R, on a exp (x) > 0 donc exp est strictement croissante sur R. () Fonctions réelles : 17 / 54

6. Soit x et y deux réels. D après les propriétés de la fonction ln, on a ln ( exp(x + y) ) = x + y = ln ( exp(x) ) + ln ( exp(y) ) = ln ( exp(x) exp(y) ). Puisque ln est strictement croissante, on peut en déduire que exp(x + y) = exp(x) exp(y). () Fonctions réelles : 18 / 54

Le tableau de variations de la fonction exp est donc le suivant : () Fonctions réelles : 19 / 54

Corollaire Soit u est une fonction dérivable sur un intervalle I à valeurs dans R. La fonction exp u : I R x exp ( ) est dérivable sur I et l on a : u(x) x I, (exp u) (x) = u (x) exp (u (x)). Définition Les propriétés 6. à 8. de la proposition précédente justifient l utilisation de la notation x R, exp(x) = e x. () Fonctions réelles : 20 / 54

Tout comme la fonction logarithme, l exponentielle a encore beaucoup d autres propriétés. Entre autres, elle est convexe ce qui fait que son graphe est au dessus de toutes ses tangentes. Le graphe de l exponentielle est l image de celui du logarithme népérien par la réflexion d axe la première bissectrice du plan (propriété des bijections réciproques). () Fonctions réelles : 21 / 54

() Fonctions réelles : 22 / 54

Proposition e x 1 On retiendra la limite classique : lim = 1. x 0 x Démonstration. Cette limite est l expression du fait que exp (0) = exp(0) = 1. () Fonctions réelles : 23 / 54

Logarithmes et exponentielles de base quelconque Définition Soit un nombre réel strictement positif tel que a 1. On appelle logarithme de base a, noté log a, l application log a : ]0, + [ R x ln(x) ln(a). Pour tout x ]0, + [, on peut donc écrire log a (x) = ln(x) ln(a) () Fonctions réelles : 24 / 54

Remarque: La fonction log a est la fonction proportionnelle à ln qui vaut 1 en a. Si a = 10, on obtient le logarithme décimal que l on note aussi log et qui est notamment utilisé en chimie (ph). Le logarithme népérien est le logarithme de base e. () Fonctions réelles : 25 / 54

Proposition Soit un réel a strictement positif tel que a 1. On a 1 On a log a (1) = 0 et log a (a) = 1. 2 La fonction log a est dérivable sur ]0, + [ et pour tout x ]0, + [, on a log a(x) = 1 x ln(a). 3 Si 0 < a < 1, la fonction loga est continue et strictement décroissante sur ]0, + [. Si a > 1, la fonction loga est continue et strictement croissante sur ]0, + [. 4 Pour tous réels x et y strictement positifs, on a log a (xy) = log a (x) + log a (y). 5 Pour( tous réels x et y strictement positifs, on a x ) log a = log y a (x) log a (y). 6 Pour ( tous réels x > 0 et tout entier relatif n, on a log a x n ) = n log a (x). () Fonctions réelles : 26 / 54

Proposition 1 Si 0 < a < 1, on a lim x 0 + log a(x) = +, lim log a(x) = x + Si a > 1, on a lim log a(x) =, x 0 + lim log a(x) = + x + Démonstration. Ces propriétés découlent directement de celles du logarithme népérien. Pour 3. et 7., il suffit de distinguer les cas où ln (a) > 0 et où ln (a) < 0. () Fonctions réelles : 27 / 54

La fonction log a pour 0 < a < 1 et la fonction log a pour a > 1. () Fonctions réelles : 28 / 54

() Fonctions réelles : 29 / 54

Définition Soit un nombre réel a strictement positif. On appelle base a, notée exp a, la fonction exponentielle de exp a : R ]0, + [ x a x = exp ( x ln(a) ) Si a 1, la fonction exp a est la bijection réciproque de log a, et l on a x R, log a ( expa (x) ) = x et x ]0, + [, exp a ( loga (x) ) = x. Remarque: a x (le x est en exposant) n est pas une puissance! C est une exponentielle! C est comme e x! Attention : Seul un nombre réel strictement positif peut être élevé à une puissance quelconque. On a par exemple 2 2 = exp( 2 ln(2)) mais ( 2) 2 n a aucun sens! () Fonctions réelles : 30 / 54

Lemme Soit un nombre réel a strictement positif. 1 Pour tous réels x et y, on a exp a (x + y) = exp a (x) exp a (y), c est à dire a x+y = a x a y. 2 Pour tous réels x et y, on a exp a (x y) = exp a(x), c est à dire a x y = ax a y. exp a (y) 3 Pour tout entier relatif n, on a exp a (n) = a n,, c est à dire (a x ) n = a nx. () Fonctions réelles : 31 / 54

Proposition Soit a et b deux nombres réels strictement positifs. 1 Pour tous réels x et y, on a (a x ) y = a xy. 2 Pour tout réel x, on a (ab) x = a x b x. 3 La fonction x a x est dérivable sur R et sa dérivée est x a x ln(a). 4 Si 0 < a < 1, la fonctionx a x est continue et strictement décroissante sur R. Si a > 1, la fonction x a x est continue et strictement croissante sur R. La fonction x 1 x est la fonction constante égale à 1. 5 Si 0 < a < 1, on a lim x ax = + et lim x + ax = 0. Si a > 1, on a lim x ax = 0 et lim x + ax = +. () Fonctions réelles : 32 / 54

() Fonctions réelles : 33 / 54

Attention : Pour étudier (et en particulier pour dériver) une fonction dont l expression est de la forme f (x) = u(x) v(x) (une fonction avec du x dans la puissance), il est indispensable de revenir à l exponentielle : ( u(x) v(x) = exp v(x) ln ( u(x) )). () Fonctions réelles : 34 / 54

Puissances d un nombre réel et fonctions puissances On s intéresse aux fonctions de la forme x x a avec a un réel fixé. Ce sont les fonctions puissances. La manière dont cette fonction est définire, son ensemble de définition différent et son sens de variation dépend de la valeur de a. On va donc étudier les différents cas possibles. Si a = 0. Alors la fonction x x 0 est définie sur R et est constante égale à 1 par convention. () Fonctions réelles : 35 / 54

Si a = n est un entier strictement positif, alors x n = } x.x.x. {{....x}. La n fois fonction est définie sur R. Son sens de variation dépend de la parité de n. () Fonctions réelles : 36 / 54

Si a = n est un entier strictement négatif, alors x n = 1 x n. La fonction est définie sur R. Son sens de variation dépend de la parité de n. () Fonctions réelles : 37 / 54

Si a = 1 n avec n un entier strictement positif et pair. Alors x 1 n = n x s appelle la racine n-ième de x. L ensemble de définition de la fonction est R + et son ensemble de dérivation est R +. La racine n-ième de x le seul nombre positif vérifiant ( n x) n = x. (Par exemple, on a 4 16 = 2 car 2 4 = 16.) Si a = 1 n avec n un entier strictement positif et impair. Alors x 1 n = n x s appelle la racine n-ième de x. L ensemble de définition de la fonction est R et son ensemble de dérivation est R. La racine n-ième de x le seul nombre vérifiant ( n x) n = x. (Par exemple, on a 3 27 = 3 car ( 3) 3 = 27.) () Fonctions réelles : 38 / 54

Dans tous les autres cas. On pose x a = exp ( a ln(x) ) pour x ]0, + [. La fonction est définie et dérivable sur ]0, + [. () Fonctions réelles : 39 / 54

Proposition 1 La fonction puissance d exposant a est dérivable sur ]0, + [ et l on a x ]0, + [, f a(x) = ax a 1. 2 Si a < 0, la fonction puissance d exposant a est strictement décroissante sur ]0, + [. Si a > 0, la fonction puissance d exposant a est strictement croissante sur ]0, + [. 3 Si a < 0, on a lim x a = + et lim x a = 0 +. x 0 + x + Si a > 0, on a lim x a = 0 + et lim x a = +. x 0 + x + 4 Pour tout x ]0, + [, et tout réel a, on a x a = exp(a ln(x)) et ln(x a ) = a ln(x). () Fonctions réelles : 40 / 54

Démonstration. Pour tout x > 0, on a f a (x) = exp(a ln x) d où le résultat par dérivation. () Fonctions réelles : 41 / 54

Proposition Pour tout x ]0, + [, et tout réel a, on a x a = exp(a ln(x)) et ln(x a ) = a ln(x). () Fonctions réelles : 42 / 54

Croissances comparées Proposition Logarithme népérien et fonctions puissances En +, le logarithme népérien est négligeable devant les fonctions ln(x) puissances d exposant strictement positif : on a lim x + x b = 0 pour ln(x) tout b > 0, en particulier lim = 0. x + ( x ) a ln(x) Plus généralement, on a b > 0. lim x + x b = 0 pour tout a R et tout En 0 +, on a lim x b ln(x) = 0 pour tout b > 0, et en particulier x 0 + lim x ln(x) = 0. x 0 + Plus généralement, on a lim x b ln(x) a = 0 pour tout a R et tout x 0 + b > 0. () Fonctions réelles : 43 / 54

Proposition ( Fonctions puissances et exponentielles) En +, les fonctions puissances sont négligeables par rapport à la x b fonction exponentielle : on a lim x + e x = 0 pour tout b R, en particulier lim x x + e x = 0. Plus généralement, on a b R. En, on a lim x x ex = 0. Plus généralement, on a b > 0. lim x + x b = 0 pour tout a > 0 et tout eax lim x x b e x = 0 pour tout b > 0, et en particulier lim x x b e ax = 0 pour tout a > 0 et tout () Fonctions réelles : 44 / 54

ln(x) Démonstration. Commençons par démontrer que lim = 0. x + x On a vu que pour tout x ]0, + [, on a ln(x) x 1 et à fortiori, on a ln(x) x. Pour tout x ]0, + [, on peut donc écrire aussi ln ( x 1/2 ) x 1/2 c est-à-dire ln(x) 2 x En divisant par x, on obtient pour tout x > 1 : 0 ln(x) x Puisque limites : lim x + 2 x. 2 x = 0, on obtient avec le théorème de comparaison des ln(x) lim = 0. x + x () Fonctions réelles : 45 / 54

( ) a ln(x) Soit a R et b > 0. Montrons que lim x + x b = 0 : Si a 0, il n y a pas de forme indéterminée. Supposons a > 0. Pour tout x > 0, on pose X = x b/a et l on a ( ln(x) ) a x b = ( ln(x a/b ) ) a ( ) = aa ( ln(x ) ) a. X a/b b b a X Comme x + lorsque X +, et puisque (car a > 0), on obtient lim x + ( ln(x) ) a x b = 0. lim X + ( ln(x ) ) a = 0 X () Fonctions réelles : 46 / 54

Montrons que lim x ln(x) = 0. x 0 + Soit x > 0 et posons y = 1 x. On a x ln(x) = 1 y ln ( 1 y ) = ln(y) y donc lim x ln(x) = x 0 + lim y + ln(y) y = 0. () Fonctions réelles : 47 / 54

x b Soit b R. Démontrons que lim x + e x = 0. Soit x R et posons t = e x de sorte que x = ln(t). On a alors ( ) x b b ln(t) e x = si bien que t ( ) x b b ln(t) lim x + e x = lim = 0 t + t d après le résultat précédent. () Fonctions réelles : 48 / 54

Plan 1 Fonctions logarithmes et exponentielles Le logarithme népérien L exponentielle Logarithmes et exponentielles de base quelconque Puissances d un nombre réel et fonctions puissances Croissances comparées 2 Fonctions trigonométriques () Fonctions réelles : 49 / 54

Fonctions trigonométriques Définition Les deux fonctions sinus et cosinus sont dans l intervalle [ 1, 1] : 2π périodiques, et définie de R cos : R [ 1, 1] et sin : R [ 1, 1]. Leur quotient est la fonction tangente π périodique et définie par tan : R { π 2 + kπ, k Z} R x tan x = sin x cos x. Proposition la fonction cosinus est paire, les fonctions sinus et tangente sont impaires. () Fonctions réelles : 50 / 54

Proposition On retiendra les limites classiques : sin x lim x 0 x = 1 et lim x 0 1 cos(x) x 2 = 1 2 Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et l on a cos = sin et sin = cos. La fonction tangente est dérivable sur tout intervalle de la forme ] π 2 + kπ, π 2 + kπ [ (où k Z) et sur un tel intervalle, on a tan = 1 + tan 2 = 1 cos 2 En particulier, la fonction tangente est strictement croissante sur tout intervalle de cette forme. () Fonctions réelles : 51 / 54

La fonction cosinus. La fonction sinus. () Fonctions réelles : 52 / 54

La fonction tangente. () Fonctions réelles : 53 / 54