Le programme : Les premiers éléments de l'étude des nombres complexes ont été mis en place en première. L'objectif est de compléter cet acquis pour fournir des outils utilisés en algèbre, en trigonométrie et en sciences physiques. Les élèves doivent connaître les notations a + bi et a + bj cette dernière étant utilisée en électricité. Le temps consacré à cette partie du programme doit être plus important dans les spécialités «génie électronique» et «génie électrotechnique» où une interprétation géométrique de quelques transformations complexes élémentaires est introduite en vue des applications en électronique. Module, module d'un produit, inégalité triangulaire. Argument d'un nombre complexe non nul, notation re iθ. Relation e iθ e iθ e i θ+θ, lien avec les formules d'addition ; formule de Moivre. Formules d'euler : cosθ e iθ +e iθ ; sinθ e iθ e iθ i Interprétation géométrique de z z + a et z e iθ z. Les élèves doivent savoir interpréter géométriquement le module de ba. Toute autre formulation de propriétés géométriques à l'aide de nombres complexes doit faire l'objet d'indications. Ceci n'est au programme que des spécialités «génie électronique» et «génie électrotechnique». Résolution des équations du second degré à coefficients réels. Travaux pratiques La résolution d'équations à coefficients complexes et l'étude des racines n-ième de l'unité sont hors programme. Exemples de mise en œuvre des formules de Moivre et d'euler (linéarisation de polynômes trigonométriques...). n se bornera à des exposants peu élevés ; les formules trigonométriques ainsi obtenues n'ont pas à être mémorisées de même que les formules de conversion de sommes en produits et de produits en sommes. I. L ensemble des nombres complexes : Définition 1. n note i le nombre complexe tel que i 1. L'ensemble des nombres complexes, noté C, est l'ensemble des expressions de la forme z x+i y où (x,y) R. Le nombre réel x est appelé la partie réelle de z. Le nombre réel y est appelé la partie imaginaire de z. Le nombre complexe z x iyest appelé le complexe conjugué de z. Le nombre réel positif z x + y est appelé le module du nombre complexe z. La notation z x + iy s appelle la forme cartésienne ou encore forme algébrique du nombre complexe z. Remarque : En électricité, la lettre i désigne l intensité du courant, on utilise alors la lettre j pour les nombres complexes. n écrit z a + jb avec j 1. 1/6
Exemple : 1. Mettre sous forme algébrique z A +z B, z A z B et z B où z A 43i et z B +7i. Calculer z A et z B.. Mettre sous forme algébrique le nombre complexe 3i 3i 1 + i 3i 1 i 1 + i 1 i 1+i. 3i i + 3i 1 i 1 5i Propriété. Pour tout nombre complexe z, zz z Démonstration : Soit z x + iy un nombre complexe quelconque, zz x + iy x iy x i y x + y z Définition et propriété 3. Le plan étant rapporté au repère orthonormal (,u, v), tout nombre complexe z x + iy peut être associé soit au point M de coordonnées (x,y) soit au vecteur Mde coordonnées x y. n dit alors que z x + iy est l'affixe du point M(x,y) et du vecteur M. Le module de z représente la longueur entre et M : ρ M z x + y. Un argument de z, que l on note arg z, est une mesure en radian de l angle u, M. Soit un argument de z, les autres arguments de z sont de la forme +k avec k Z. La notation z ρ cosθ + isinθ ρ, θ s appelle la forme trigonométrique du nombre complexe z. v y u z x M Rappel : Angle θ 0 6 cosθ 1 3 1 sinθ 0 4 3 1 3 0 1 1 0 Exemple : Déterminer la forme trigonométrique du nombre z + i 3. Calcul du module : z + 3 4 + 1 4 Donc z 4 1 + i 3 Calcul de l argument : on cherche l angle tel quecosθ 1 Donc z 4e i 3. et sinθ 3 soit θ 3. II. Propriétés du module et des arguments d un complexe Propriété 4 : Soit z 1 [ 1, 1 ] et z [, ] deux nombres complexes non nuls Le module d un produit est le produit des modules : z 1 z z 1 z. 3 4 6 0 /6
L argument d un produit est la somme des arguments à un nombre entier de tours près : arg z 1 z arg z 1 + arg z + k où k Z En résumé ρ 1, θ 1 ρ, θ ρ 1 ρ, θ 1 + θ Démonstration : Soit z 1 r 1 cosθ 1 + isinθ 1 et z r cosθ + isinθ deux nombres complexes non nuls. z 1 z r 1 cosθ 1 + isinθ 1 r cosθ + isinθ z 1 z r 1 r cosθ 1 cosθ sinθ 1 sinθ + icosθ 1 sinθ + isinθ 1 cosθ or cos a + b cosacosb sinasinb et sin a + b sinacosb + cosasinb donc z 1 z r 1 r cos θ 1 + θ + isin θ 1 + θ Propriété 5 : Soit z un nombre complexe non nul Le module de l inverse est l inverse du module : 1 z 1 z. L argument de l inverse est l opposé de l argument à un nombre entier de tours près : arg 1 z arg z + k où k Z. Propriété 6 : Soit z 1 et z deux nombres complexes non nuls Le module d un quotient est le quotient des modules : z 1 z 1. z z L argument d un quotient est la différence des arguments à un nombre entier de tours près : arg z 1 z arg z 1 arg z + k où kz. En résumé ρ 1,θ 1 ρ 1, θ ρ,θ ρ 1 θ Propriété 7 : Soit z un nombre complexe non nul et n Z z n z n et arg z n narg z + k où k Z III. Equation du second degré : Théorème 8. Soit a, b, c R avec a, on considère l'équation az + bz + c 0. Pour résoudre cette équation dans C, on calcule le discriminant Δ b 4ac. si Δ > 0 alors l équation az + bz + c 0admet deux solutions réelles distinctes : z 1 b+ Δ et z a b Δ a si Δ 0 alors l équation az + bz + c 0 admet une solution réelle double z b a si Δ < 0 alors l équation az + bz + c 0 admet deux solutions complexes conjuguées z 1 b+i Δ a et Démonstration : z b i Δ a az + bz + c a z + b a z + c a b a z + a donc az + bz + c 0 est équivalent à z + b a b 4ac 4a b 4a + c a Δ 4a si Δ > 0 alors az + bz + c 0admet deux solutions réelles z 1 b+ Δ a si Δ 0 alors az + bz + c 0admet une solution réelle double z b b a z + a a et z b Δ a b 4ac 4a 3/6
si Δ < 0 alors az + bz + c 0admet deux solutions complexes conjuguées z 1 b+i Δ b i Δ a a et z Exemple : Résoudre dans C l équation suivante : x 6x + 10 0 Δ b 4ac 36 4 10 4 < 0, l équation x 6x + 10 0 possède donc deux racines complexes conjuguées : x 1 6+i 4 3 + i et x 6 i 4 3 i IV. Forme exponentielle d un nombre complexe : Définition 9. Soit x R, on note e ix le nombre complexe cosx + isinx 1, x. Remarque : Le nombre complexe z de module et d argument peut se noter z ρ, θ ρe iθ. Cette notation z ρe iθ s appelle la forme exponentielle ou polaire du nombre complexe z. Propriété 10. Pour tous x R et y R, e ix. e iy e i x+y 1 e ix e ix Propriété 11. Formule de Moivre Pour tout θ R, nz cosnθ + isinnθ e inθ e iθ n cosθ + isinθ n Exemple. La formule de Moivre est intéressante pour exprimer cos(nθ) ou sin nθ en fonction de puissnces de cos(θ) et de sin(θ). Cos(3θ) Re(cos(3θ) + isin(3θ)) Re( cosθ + isinθ 3 )Re( cos 3 θ +3icos² θsinθ-3cos θsin²θ isin 3 θ ) cos 3 θ -3cos θsin²θ Propriété 1. Formule d Euler Pour tout x R, cosx e ix +e ix sinx e ix e ix Démonstration : e ix cosx + isinx et e ix cos x + isin x cosx isinx Donc e ix + e ix cosx + isinx + cosx isinx cosx soit cosx e ix +e ix Et e ix e ix cosx + isinx cosx + isinx isinx soit sinx e ix e ix Exemple. Pour linéariser i.e. pour transformer ce produit en somme de termes du type cosnx ou sinnx avec n Z. cosxsin x eix + e ix e ix e ix eix + e ix e ix + e ix e ix e ix eix + e ix e ix + e ix i 4 4 cosxsin x 1 8 e3ix + e ix e ix + e ix + e 3ix e ix 1 8 e3ix + e 3ix e ix + e ix cosxsin x 1 8 cos3x cosx cosx cos3x 4 i i 4/6
V. Interprétation géométrique : Le plan est muni d un repère orthonormal, u, v. Théorème 13. Si A et B ont pour affixes z A et z B alors le vecteur AB a pour affixe z B z A. Conséquence : Si A et B ont pour affixes z A et z B alors z B z A AB et si AB arg z B z A u, AB B E A Propriété 14. Inégalité triangulaire : Soit z A et z B deux nombres complexes non nuls : z A + z B z A + z B Démonstration : Soit A le point s affixe z A et B celui d affixe z B donc A z A et B z B. n note E le point tel que E A + B, l affixe de E est z A + z B donc E z A + z B. r dans le triangle BE : E A + B donc z A + z B z A + z B Interprétation géométrique de arg z 3 z 1 z z 1 Soit M 1, M, et M 3 les points d affixes respectives z 1, z, et z 3, arg z 3 z 1 z z 1 arg Z M 1M 3 Z M 1M arg Z M1 M 3 arg Z M1 M + k est une mesure de l angle orienté ( u;m 1 M 3 ) u; M 1 M + k M 1 M, M 1 M 3 + k. Activité. Soit z A i, z B 1+i et z C i, placer les points A(z A ), B(z B ) et C(z C ). Soit z 1+i, placer les points A, B et C d affixes respectives z A +z, z B +z et z C +z. z A +z i +1+i 3+i, z B +z 1+i+1+i 4i et z C +z i+1+i 3 B B A A C C M (z ) w M(z) Propriété 15. Translation Soit a un nombre complexe. L application qui, à tout point M d affixe z, associe le point M d affixe z z+a est une translation de vecteur wd affixe a. 5/6
Activité. Soit z A e i, z B e i et z C 3e i3 4 placer les points A(z A ), B(z B ) et C(z C ). C A Soit z e i, placer les points A, B et C d affixes respectives zz A, zz B et zz C. A : e i z A e i e i e i A' B B' B : e i z B e i e i e i3 C' C : e i z C e i 3e i3 4 3e i5 4 M (z ) a M(z) Propriété 16. Rotation Soit a un nombre complexe. L application qui, à tout point M d affixe z, associe le point M d affixe z ze ia est une rotation de centre et d angle a rad. Exemple : 1. Quelle est la fonction f de C dans C associée à la translation T de vecteur w u + 3v?. Quelle est la transformation géométrique G correspondant à la fonction f de C dans C définie par z 1 3 i z. 6/6