Exercices : Jean-François Burnol orrections : Volker Mayer Relecture : François Lescure Exo7 Intégrales hangements de coordonnées Dans ces exercices on est censé connaître un peu la notion de système de coordonnées sur un ouvert du plan, donc nous aurons deux coordonnées et aussi ce que signifie une dérivée partielle par rapport à l une ou l autre des coordonnées d un système. Exercice Le Laplacien 2 + 2 est un opérateur différentiel qui joue un rôle important en analyse complexe. Soit x 2 y 2 f z ux,y + ivx,y une fonction holomorphe sur un ouvert du plan complexe. On sait que f, donc u et v, admettent des dérivées partielles de tous les ordres. En utilisant les équations de auchy-riemann, montrer que u et v vérifient l équation de Laplace : 2 u x 2 + 2 u y 2 2 v x 2 + 2 v y 2 On dit d une fonction vérifiant l équation de Laplace qu elle est harmonique. La fonction holomorphe f u+iv est aussi une fonction harmonique puisque f u + i v. [286] Exercice 2 On veut exprimer les équations de auchy-riemann avec les coordonnées polaires r et θ. Les équations de auchy-riemann peuvent s écrire sous la forme : x + i F y donc il s agit d exprimer x et y en fonction de r et de θ. Lorsque l on travaille sur un ouvert ne contenant pas l origine sur lequel une détermination continue de l argument θ est possible par exemple sur Ω \],]. Montrer : En déduire x cosθ r sinθ r r cosθ x + sinθ y θ r sinθ x + r cosθ y θ et y sinθ r + cosθ r x + i y eiθ r + i r θ e iθ r θ. Montrer alors : r r + i θ En déduire qu en coordonnées polaires les équations de auchy-riemann peuvent s écrire en particulier sous la forme : F θ ir F r
[287] Exercice 3 Il est intéressant que l équation de l exercice précédent F F θ ir r, peut se réécrire dans le système de coordonnées a,b logr,θ sous la forme : F b i F a, autrement dit exactement sous la même forme qu ont les équations de auchy-riemann originelles dans les coordonnées cartésiennes x,y. Or a et b sont les parties réelles et imaginaires de la combinaison a + ib qui est holomorphe comme fonction de x + iy : a + ib logx + iy. Montrer que cela est général : dans un système de coordonnées a,b telles que w a + ib est une fonction holomorphe de z x + iy les équations de auchy-riemann pour l holomorphie par rapport à x,y d une fonction F sont F b i F a ce qui équivaut à l holomorphie de F comme fonction sur le plan de w a + ib 2. Indication : prouver l identité : x + i a y x ib x a + i, b en exploitant les équations de auchy-riemann b x a y, a x + b y pour a + ib gx + iy. [288] Exercice 4 On veut exprimer le Laplacien avec les coordonnées polaires r et θ : autrement dit pour toute fonction deux fois différentiable Φ on veut calculer la fonction Φ à l aide des opérateurs de dérivées partielles r et θ, lorsque l on travaille sur un ouvert ne contenant pas l origine dans lequel une détermination continue de l argument θ est possible par exemple sur Ω \],]. Une méthode possible est d utiliser les expressions obtenues dans l exercice 2 : x cosθ r sinθ r θ y sinθ r + cosθ r θ, et de calculer ensuite x 2 et y 2 puis de faire la somme. Mais cela donne des calculs un peu longs. Voici une ruse : en reprenant une formule déjà établie dans l exercice 2 montrer x iy x + i r y r + i θ x + iy x i r y r i θ On remarquera maintenant que l opérateur différentiel x + i y appliqué à la fonction x + iy donne zéro. Donc expliquer! : x iy x + i x + iy y x i x iyx + iy y x + i y x i y Prouver alors en conclusion : 2 Φ x 2 + 2 Φ y 2 r 2 r r 2 + 2 θ 2 Φ 2 Φ r 2 + Φ r r + 2 Φ r 2 θ 2. [289] F. y i F x, ou, plus mnémotechnique : F iy F qui dit holomorphe iy est comme x. x 2. autrement dit pour qu une fonction soit holomorphe comme fonction de x+iy il est nécessaire et suffisant qu elle soit holomorphe comme fonction de a + ib. En particulier x + iy est une fonction holomorphe de a + ib : on a donc prouvé que la réciproque d une bijection holomorphe est aussi holomorphe. Nous reviendrons là-dessus avec d autres méthodes dont celle très concrète de l inversion d une série entière. 2
2 Intégrales le long d un chemin Exercice 5 Soit [A,B] + [B,] + [,D] + [D,A] le bord parcouru dans le sens direct du carré de sommets A i, B + i, + i, D i. Déterminer les intégrales suivantes :. dx, xdx, x2 dx, ydx, y2 dx, y3 dx, 2. xdx + ydy, xdy + ydx, xdy ydx, 3. dz, zdz, xdz, zdx, 4. z dz, z 2 dz, zn dz, pour n Z. [28] Exercice 6 Avec les mêmes notations on veut évaluer zn dz, n Z. Justifier les étapes suivantes : z n dz z n dz z n dz [B,] z n dz z n dz + z n dz z n dz, [,D] [D,A] [A,B] et compléter le calcul, pour tout n Z. [28] Exercice 7 On note le cercle de rayon parcouru dans le sens direct. alculer zn dz et zn dz pour tout n Z, et vérifier qu il y a toujours égalité ici R est à nouveau le bord du carré qui a été utilisé dans les exercices précédents. alculer zn dz et zn dz et trouver les cas d égalités et d inégalités. [282] Exercice 8 Soit un cercle de centre quelconque, parcouru dans le sens direct, et ne passant pas par l origine. alculer zn dz pour tout n Z dans le cas où encercle l origine, et dans le cas où n encercle pas l origine. Indication pour n : soit w l affixe du centre du cercle, et R son rayon. Paramétrer le cercle par z w + R w eiθ, π < θ +π, puis utiliser un développement en série en distinguant les cas R > w et R < w. Ou encore invoquer la fonction Logz/w. [283] Exercice 9 Soit < a < b sur l axe réel positif et soit { z r} le cercle de rayon r centré en l origine, parcouru dans le sens direct. Montrer : z az b r < a dz 2πi a b a < r < b r > b On pourra réduire la fraction en élément simples, puis se ramener au résultat de l exercice précédent. Ou encore, on pourra envisager des développements en séries, pour se ramener par étapes aux intégrales zn dz, n Z. [284] 3
3 Intégrales de Wallis Exercice Soit le cercle unité parcouru dans le sens direct. alculer z + n dz z z n N en développant par la formule du binôme et en utilisant les valeurs connues de zk dz, k Z. En déduire +π π cosn t dt. En déduire la valeur de π/2 cos n t dt pour n pair : π 2 I m cos 2m t dt.3..2m π 2.4..2m 2 [285] Exercice On pose J m π/2 cos 2m+ t dt, pour m N. En intégrant par parties J m+ obtenir la relation de récurrence J m+ 2m+2 2m+3 J m et prouver : 3 2.4..2m J m 3.5..2m + [286] Exercice 2 En utilisant I m+ J m I m, obtenir : 2m +.3..2m 3.5..2m + 2m + 2 2.4..2m 2 2 π En déduire la formule de Wallis : 2 π lim m.3 3.5 2.2 4.4 2m.2m + 2m.2m.3..2m 3.5..2m + 2.4..2m 2 m 4m 2 [287] Exercice 3 Justifier le réarrangement suivant qui découle aussi du terme de gauche dans l inégalité de l exercice précédent : 2 π 3.3.5.5..., 2 2.4.4.6... 2 m 2m+ soit encore : 2 π 4 m 2m + 2. [288] Exercice 4 Justifier également sur la base des formules précédentes les équivalents asymptotiques : 2m 2 2m m m πm + 2 2 + 2 m + 2.2..m m 2 π 3. par convention lorsque qu un produit porte sur un ensemble vide il vaut. Donc la formule est bien compatible avec J. 4
2 m m! πm [289] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 5
orrection de l exercice On a les équations de auchy-riemann u x v u y et y v x. D où : u u x x + u y y x v y v y x par le théorème de Schwarz. On procède de la même façon pour v pour en déduire qu une fonction holomorphe est harmonique. orrection de l exercice 2 et exercice et les suivants concernent des changements de variables. Rappelons que, si Φ : U V est un difféomorphisme entre ouverts U,V de R n et si on note y Φx, x x,...,x n U et y y,...,y n V, alors x i n Φ j j x i pour tout i, j {,...,n}. On a x r cosθ et y r sinθ. Donc y j et θ On peut réécrire ceci en : r r M θ r cosθ r r cosθ θ x y x x Pour retrouver les x, y en fonction de r, θ + r sinθ r + r sinθ θ avec M Jac f t y cosθ x + sinθ y y r sinθ x + r cosθ y. r cosθ r r cosθ θ r sinθ r r sinθ θ il suffit d inverser cette matrice M. Le reste est clair.. orrection de l exercice 3 On a w gz avec gz az + ibz une fonction holomorphe et avec z x + iy. Utilisons de nouveau le changement de coordonnées : x az x a + bz x b y az y a + bz y b. En utilisant les équations de auchy-riemann on en déduit x + i az bz y x + iaz y a + x az bz x ibz x a + x az x ibz x a + i b. + ibz y b + iaz x b orrection de l exercice 5 Soit Q le carré dont le bord est +... + 4 où t A + 2it, 2 t B 2t, 3 t 2it, et 4 t D + 2t, t [,]. 6
Notons aussi j,x Re j et j,y Im j, j,...,4. Alors : dx 4 4 dx j j j,xtdt j et 4 4 xdx xdx j j j,x t j,xtdt j 2t 2dt + + 2t2dt. Passons à la correction de la question 3. Alors dz zdz puisque dans les deux cas on intègre une fonction holomorphe f z et f z z dans le carré Q. On a : xdz 4 j 2idt + j,x td j t 2i + 2i 4i. 4 j,x t jtdt j 2t 2dt + 2idt + + 2t2dt En ce qui concerne la question 4., on y intègre la fonction f n z z n le long du chemin fermé. Mais attention, cette fonction admet une primitive seulement si n. D où z n dz pour n. Dans le cas restant n on trouve : D ailleurs, et là on rejoint l exercice 7, on a : f zdz 2iπ. f n zdz f n zdz où { z }. e cercle se paramétrise par σθ e 2iπθ. D où : { f n zdz e 2iπnθ 2iπe 2iπθ dθ 2iπ e 2iπn+θ 2iπ si n dθ sinon. De manière analogue on a z n dz e 2iπnθ 2iπe 2iπθ dθ 2iπ e 2iπ nθ dθ { 2iπ si n sinon. orrection de l exercice 6 Pour toute fonction f u + iv à valeurs dans, on a : Voir la correction de l exercice 5. f zdz u iv + i 2dt u + iv i 2 dt f zdz. 7
orrection de l exercice 7 Voir la correction de l exercice 5. orrection de l exercice 8 Dans le cas où n encercle pas l origine la fonction z z n est holomorphe au voisinage du disque bordé par et ceci pour tout n Z. Par conséquent, zn dz. Sinon on retrouve les valeurs obtenues précédemment. On rappelle également que : 2iπ z dz est l indice Ind, de la courbe par rapport à l origine. et indice est lorsque encercle l origine et sinon. orrection de l exercice 9 On a z az b a b z a z b dz 2iπInd,a. z a Or, Ind,a si r < a et Ind,a si r > a. Le même raisonnement s applique à z bdz, d où le résultat annoncé. orrection de l exercice omme z + z n n k on a z + n n z z k n z k z k n k n z 2k n. k Or z j dz si et seulement si j. Le seul terme de la somme précédente qui donne une contribution non nulle à l intégrale est lorsque k vérifie 2k n. Notons que ceci est possible seulement si n est un nombre pair! D où : Sinon, si n 2k est pair, on a : omme cos t 2 eit + e it, π cos n t dt π 2 n π D où π π cos ntdt si n est impair et π Par périodicité du cosinus ceci donne : I k π/2 z + n dz z z si n est impair. z + 2k dz 2k z z 2iπ. k π e it + e it n ieit dt ie it cos 2k t dt π cos 2k t dt 4 π 2 2k π 2 2k i 2 n z + n dz z z. 2k. k 2k π k 2 3... 2k. 2 4... 2k 8