Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a ε. O ote lim a = a. (ii) Ue suite (a ) N est dite de Cauchy si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout p, q 0, o a a p a q ε. Théorème.. Ue suite de réels (ou de complexes) est covergete si et seulemet si elle est de Cauchy. Propositio.3 (Critères de comparaiso). (i) Deux suites de réels (a ) N et (b ) N qui coverget respectivemet vers a et b vérifiat a b pour tout 0 (pour u 0 N), vérifiet a b. (ii) Pour trois suites de réels (a ) N, (b ) N et (c ) N vérifiat b a c pour tout 0 (pour u 0 N) et telles que (b ) N et (c ) N coverget vers la même limite l, la suite (a ) N est alors covergete vers l. Propositio.4. (i) Ue suite covergete est borée. (ii) Ue suite mootoe réelle est covergete. Défiitio.5. Soit (u ) N ue suite réelle ou complexe. Soit ϕ : N N ue applicatio strictemet croissate. O dit alors que (u ϕ() ) N est ue suite extraite (ou sous-suite) de la suite (u ) N. Propositio.6. Ue suite est covergete vers ue limite l si et seulemet si toutes ses suites extraites coverget vers la même limite l. Exercice.7. Ue suite (u ) N est covergete vers l si et seulemet si les deux suites extraites (u ) N et (u + ) N coverget vers l. Preuve. L implicatio «=»est évidete d après la propositio ci-dessus. Motros alors. Comme (u ) N et (u + ) N coverget vers l, o a pour tout ε > 0, il existe N tel que u k l < ε pour tout k et il existe N tel que u k+ l < ε pour tout k. O pose alors 0 = max{, + }, et o cosidère 0. O a { uk l si est pair et vaut = k, avec k u l = 0 u k+ l si est impair et vaut = k +, avec k + 0 + < ε, d après les défiitios de et, ce qui est la défiitio de la covergece de (u ) N vers l. 8

. Séries - Somme d ue série Défiitio.8. Soit (a ) N ue suite de réels (ou de complexes). O appelle série de terme gééral a et o ote a la suite des sommes partielles (A ) N où A = a k. Défiitio.9 (Covergece d ue série). (i) Soit a ue série réelle ou complexe. Si la suite des sommes partielles (A ) N est covergete, o dit que la série a est covergete. La limite de (A ) N est appelée somme de la série a et est otée a ou a. N (ii) Si (A ) N est divergete, o dit que la série a diverge. Exemple.0. (a) O cosidère la suite défiie par a =, 0. O a A = Aisi, la série est covergete et (b) Soit maiteat a = (+) A = k(k + ) = =0 k = (+) = lorsque. =. =0 pour. O a pour tout Aisi, la série (+) est covergete et ( + ) =. ( k ) = lorsque. k + + =0 Théorème. (Critère de Cauchy). Soit (a ) N ue suite réelle (ou complexe). La série a est covergete si et seulemet si elle vérifie le critère de Cauchy : pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que q pour tout p, q 0 (p q) o a a k ε. k=p Preuve. Il suffit d écrire le critère de Cauchy pour la suite (A ) N. Exemple.. Étude de la covergece de la série harmoique. Soit p q ; o a Pour q = p, o a A p = A p A p = p k, A q = p k=p+ k q p k=p+ k. p =. Aisi, la série harmoique e vérifie pas le critère de Cauchy, elle est doc pas covergete. Propositio.3. Le terme gééral d ue série covergete ted vers 0. La réciproque est fausse. Preuve. Si a est covergete, alors (A ) est ue suite covergete qui vérifie le critère de Cauchy, doc e particulier o a (p =, q = ) : pour tout ε > 0, il existe 0 tel que pour tout 0 + o a a = A A ε. Réciproque fausse : voir la série harmoique. Propositio.4. Soit a et b deux séries covergetes de sommes A et B. Alors pour tout λ, µ R, la série de terme gééral (λa + µb ) est covergete ; sa somme vaut alors λa + µb. 9

Preuve. Propriétés des suites covergetes (A ) et (B ). Remarque.5. Il est possible que (λa + µb ) coverge alors que i a, i b e coverget. Exemple.6. a = b =, λ =, µ =. Remarque.7. Si λ 0, alors les deux séries (λa ) et a sot de même ature..3 Séries absolumet covergetes Défiitio.8. La série a est dite absolumet covergete si la série des valeurs absolues (ou des modules s il s agit d ue série à termes complexes) a est covergete. ( ) Remarque.9. La suite a k est croissate. Pour motrer qu elle coverge, il suffit de motrer qu elle est majorée. N Théorème.0. Ue série réelle ou complexe absolumet covergete est covergete. Preuve. Critère de Cauchy et iégalité triagulaire. Propositio. (Critères de comparaiso). O cosidère a et b deux séries réelles ou complexes telles que pour tout N, o a a b. (i) Si b est absolumet covergete, alors a est aussi absolumet covergete et o a a b. =0 (ii) Supposos 0 a b pour tout N. Si a est divergete, alors b est divergete. Preuve. Pour motrer (i), o utilise le critère de Cauchy pour les séries : il est vérifié pour b et doc aussi pour a. Pour motrer (ii), il suffit de remarquer que si a est pas covergete, alors la suite des sommes partielles des b est ue suite croissate o majorée, doc divergete. Le résultat suivat doe u cirtère de covergece par des équivalets. Propositio.. Soit a ue série à termes das R ou C. Soit b ue série à termes réels positifs. O suppose que pour au voisiage de l ifii, o a a b pour C. O a (i) si b coverge, alors a est absolumet covergete (doc covergete) ; (ii) si b diverge, alors a diverge. Preuve. L hypothèse a b au voisiage de l ifii doe a b au voisiage de l ifii. Doc, pour assez grad, o a a b b. Pour motrer (i), il suffit alors de voir que cette iégalité implique que a 3 b puis d appliquer le critère de comparaiso plus haut. Pour motrer (ii), o utilise l iégalité triagulaire sur les sommes partielles et l iégalité motrée plus haut : b k a k (a b ) a b b k, ce qui implique =0 a k b k. Aisi, la suite des sommes partielles des a est pas borée, doc est pas covergete. 0

.4 Séries de Riema Afi de décider si ue série est (absolumet) covergete ou o, o utilise les critères de comparaiso du paragraphe précédet, aisi qu ue échelle de séries de référece. Défiitio.3. Toute série de la forme, pour R doé, est appelée série de Riema. Propositio.4. La série de Riema coverge si et seulemet si >. Preuve. O a déjà vu que pour =, la série est la série harmoique qui est divergete. Das le cas <, pour tout, o a et doc. Par pricipe de comparaiso, comme est divergete, la série est elle aussi divergete. Supposos maiteat >. Pour, o pose a = (+). O a alors a 0 et a k = ( + ) lorsque. Aisi, a est ue série covergete. D autre part, o a ( a = ( + ) ) lorsque. E appliquat la Propositio., et e remarquat que a au voisiage de l ifii, comme a est covergete, o obtiet que la série de terme gééral est covergete. Ceci ous permet doc de comparer des séries avec les séries de Riema. Premier critère. Soit a ue série de R ou C telle qu il existe R et k C vérifiat a k au voisiage de l ifii. Alors si, alors a diverge ; si >, alors a coverge absolumet. Preuve. Coséquece de la covergece des séries de Riema et de la Propositio.. Deuxième critère. Soit (a ) N ue suite de R ou C telle qu il existe > avec ( a ) borée. Alors la série a est absolumet covergete. Preuve. Pour, o a a M, ce qui implique a M. O applique alors la Propositio.. Exemple.5. Soit N N, soit a = N e,. O a pour = par exemple a = N+ e 0. Aisi, la suite ( a ) est covergete, doc borée. D après le deuxième critère ci-dessus ( = > ), o e déduit que la série a est absolumet covergete. Voir aussi la versio itégrales gééralisées das l Exercice.3..5 Règles de Cauchy et de d Alembert Ue autre collectio de séries de référece pour décider si ue série est covergete ou o est étudiée das ce paragraphe. Il s agit des séries géométriques. Défiitio.6. Toute série de la forme a où a R ou C est dite géométrique. Propositio.7. (i) Si a, alors a est divergete. (ii) Si a <, alors a est absolumet covergete. Preuve. Pour a, o a a k = a+ a et si a =, admet ue limite lorsque ted vers l ifii si et seulemet si a <. a k = +. Aisi, il est clair que a k

Défiitio.8 (Limites supérieure et iférieure). Pour (u ) N ue suite réelle, o ote lim sup u = lim sup{u k, k } (évetuellemet égale à + ) et o l appelle limite supérieure de la suite (u ) N ; lim if u = lim if{u k, k } (évetuellemet égale à ) et o l appelle limite iférieure de la suite (u ) N. Exemple.9. Pour la suite défiie par u = ( ), N, o a lim sup u = et lim if u =. Propositio.30. Ue suite est covergete si et seulemet si sa limite supérieure et sa limite iférieure sot égales. Preuve. : soit (u ) N ue suite covergete de limite l. Alors pour tout ε > 0, il existe 0 (ε) N tel que pour tout 0 (ε), o a u l < ε, ou ecore l ε () < u () < l + ε. Les iégalités () et () impliquet alors que pour tout 0 (ε), l ε if{u k, k } sup{u k, k } l + ε. Aisi, e preat la limite lorsque ted vers l ifii das cette triple iégalité, o obtiet pour tout ε > 0, l ε lim if u lim sup u l + ε. Comme ceci est vrai pour tout ε > 0, o peut predre la limite de la triple iégalité ci-dessus lorsque ε ted vers 0, et o obtiet l lim if u lim sup u l, ce qui motre la première implicatio de l éocé. : iversemet, supposos que lim sup u = lim if u = l. Il faut alors motrer que (u ) N coverge vers l. Par défiitio, lim sup u = l s écrit aussi de la maière suivate : pour tout ε > 0, il existe (ε) tel que pour tout (ε), o a ce qui implique que pour tout (ε), o a l ε sup{u k, k } l + ε, u l + ε. (.) De la même maière, d après la défiitio de la limite iférieure, o déduit de lim if u = l l existece, pour tout ε > 0, d u (ε) tel que pour tout (ε), o a ce qui implique que pour tout (ε), o a l ε if{u k, k } l + ε, l ε u. (.) De (.) et (.), o déduit que pour tout N(ε), avec N(ε) = max{ (ε), (ε)}, o a ce qui est la défiitio de lim u = l. l ε u l + ε,

Théorème.3 (Règle de d Alembert). Soit a ue série à termes das R ou C telle qu il existe a + (L vaut évetuellemet + ) a 0 N vérifiat : pour tout 0, a 0. O pose L = lim sup a + et l = lim if. a (i) Si L <, alors a est absolumet covergete. (ii) Si l >, alors a est divergete. (iii) Si l L, o e peut pas coclure. Preuve. (i) Supposos que L <, alors, par défiitio de la limite supérieure, pour tout ε > 0, il existe 0 (ε) N tel que pour tout 0 (ε), o a { } ak+ L ε sup ; k L + ε. a k E preat ε = L, o obtiet : pour tout 0( L ) = 0, a+ a +L = γ <. O motre alors facilemet par récurrece que pour tout 0, o a a γ a 0 γ 0. Comme la série γ est covergete (car γ < ), par comparaiso, o e déduit que la série a est covergete, et doc que a est absolumet covergete. (ii) Das le cas où l >, o motre de la même maière qu il existe u N tel que pour tout, o a a c a c, où c = l+ >. Ceci implique alors que le terme gééral de la série a e ted pas vers 0, et doc que la série a est divergete d après la Propositio.3. (iii) Pour le cas des séries de Riema, o a quelque soit R : a + a = ( + ) = ( + lorsque, ) doc l = L =. Or la série de Riema coverge si et seulemet si > (Propositio.4). Aisi, la coaissace de l L e suffit pas pour coclure à la ature de la série a. Théorème.3 (Règle de Cauchy). Soit a ue série à termes das R ou C. O ote λ = lim sup a. Alors o a (i) Si λ <, alors la série a est absolumet covergete. (ii) Si λ >, alors la série a est divergete. (iii) Si λ =, o e peut pas coclure. Preuve. La preuve de la règle de Cauchy est semblable à la preuve de la règle de d Alembert. (i) Supposos das u premier temps que λ <. O a alors, pour assez grad ( 0 ), a µ où µ = +λ <, ce qui ous permet de coclure comme das le théorème précédet. (ii) Si o a maiteat λ >, o motre qu il existe 0 N tel que pour tout 0, o a sup{ a k k, k } + λ et doc pour tout 0, il existe k (k = ϕ()) tel que a k k 3+λ 4 >. O costruit aisi ue suite extraite de (a ) N vérifiat ( ) ϕ() 3 + λ a ϕ(), N. 4 3

Cette suite extraite e coverge pas vers 0, doc (a ) N e coverge pas o plus vers 0. Par la Propositio.3, o e déduit que la série a est divergete. (iii) Efi, les séries de Riema doet u exemple de cas où λ = et où o e peut pas coclure quat à la covergece ou o de la série (par la seule coaissace de lim sup a ). Propositio.33 ( (Comparaiso ) des deux règles). Soit (a ) N ue suite ( réelle de termes strictemet positifs telle que a+ a coverge vers ue limite l. Alors la suite a est covergete vers l. N ) N Remarque.34. L iverse est pas vrai. Soit 0 < a <. O pose { a si pair a = + si impair a Alors o a a + a a et a ( + a, doc d après l Exercice.7, a+ + a est pas covergete ; sa limite supérieure est et sa limite iférieure est a : o e peut doc pas détermier la ature de ) N la série a grâce à la règle de d Alembert. E revache, il est facile de voir que lim a = a < e étudiat les suites d idices pairs et d idices impairs et e appliquat le résultat de l Exercice.7 ; la série a est absolumet covergete grâce à la règle de Cauchy. Preuve de la Propositio.33. Si l = 0, o a : pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a + a ε. Par récurrece, comme das la preuve de la règle de d Alembert, o motre alors par récurrece que Aisi, o a pour tout 0 0 a ε a 0 ε 0 0. ( 0 a a0 ) ε ε lorsque. ε 0 D où (a ) N est ue suite covergete vers 0. Das le cas où l > 0, o motre de la même maière que pour tout ε ]0, l [, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a + l a ε. Par récurrece, comme das la preuve de la règle de d Alembert, o motre alors par récurrece que Aisi, o a pour tout 0 l ε (l ε) a 0 (l + ε) 0 a (l + ε) a 0 (l + ε) 0 0. D où (a ) N est ue suite covergete vers l. ( ) ( ) a0 a0 (l ε) a (l + ε) 0 (l + ε) (l + ε) 0 l + ε. 4

.6 Séries semi-covergetes Défiitio.35. Ue série semi-covergete est ue série covergete o absolumet covergete. Théorème.36 (Séries alterées). Soit (ε ) N ue suite réelle décroissate ayat pour limite 0. Alors la série ( ) ε est covergete. Démostratio. O pose A = ( ) k ε k. Les suites (A ) N et (A + ) N sot adjacetes. E effet, comme (ε ) N est décroissate, o a A + = A ε + + ε + A doc (A ) N est décroissate. De même, o motre que (A + ) N est croissate et que pour tout N, o a A + A. Aisi, la suite (A + ) N est croissate majorée et (A ) N est décroissate miorée : elles sot toutes deux covergetes respectivemet vers A et B. O a alors A B. D autre part, A + A = ε + 0 et doc A = B. La suite (A ) N est doc ue suite dot la suite extraite des idices pairs et la suite extraite des idices impairs coverget vers la même limite : (A ) N est doc covergete d après l Exercice.7 (vers cette limite commue), ce qui est la défiitio d ue série covergete (la suite des sommes partielles est covergete). Exemple.37. La série ( ) est covergete pour tout > 0, o absolumet covergete si 0 < (séries de Riema). Défiitio.38 (Trasformatio d Abel). Soit a = ε b pour tout N. O pose B = b k. Alors pour tous, p N, o a l égalité suivate appelée la trasformatio d Abel p p a +k = (ε +k ε +k+ )B +k ε + B + ε +p+ B +p. Remarque.39. La trasformatio d Abel est ue «itégratio par partie discrète». Il suffit de voir les B comme des primitives des b k, les différeces ε + ε comme des dérivées des ε k. Théorème.40 (Théorème d Abel). Soit a ue série réelle ou complexe telle que pour tout N, o a a = ε b avec (i) la suite (B ) N est borée (où B = b k ) ; (ii) la suite (ε ) N est covergete vers 0 ; (iii) la série ε ε + est covergete. Alors la série a est covergete. Remarque.4. Le cas des séries alterées est u cas particulier du théorème d Abel. Il suffit e effet de poser b = ( ) et o a b pour tout N et si (ε ) N est décroissate vers 0, o a ε k ε k+ = (ε k ε k+ ) = ε 0 ε + ε 0. Preuve du théroème d Abel. O vérifie de critère de Cauchy pour la série a e utilisat la trasformatio d Abel et les hypothèses du théorème : p ( ) ( ) p a +k sup B k ε +k ε +k+ + ( ε + + ε +p+ ) 0. k N,p 5

Exemple.4. La série e iλ est covergete pour 0 < si λ / πz. E effet, o pose b = e iλ et ε =. La suite (ε ) N est décroissate vers 0 et o a pour λ / πz e iλk = eiλ eiλ e iλ = si(λ ) si λ si λ. Les hypothèses du théorème d Abel sot vérifiées, la série est covergete, o absolumet covergete car diverge si 0 <..7 Complémets Das le cas très particulier où le terme gééral d ue série dot o veut étudier la covergece proviet d ue foctio décroissate sur [0, [, o peut comparer l itégrale de cette foctio et la série. Soit f : [0, + [ R décroissate positive. O défiit a = f() pour tout N. Alors o a pour tout 0 a + + f(t) dt a. E effet, il suffit de remarquer que a + = f( + ) f(t) f() = a pour tout t [, + ] et d itégrer etre et +. Aisi, e sommat etre 0 et N, o a N+ a k = N a + =0 N+ 0 f(t) dt N a. Aisi, o motre que l itégrale de f sur [0, + [ et la série a sot de même ature. Exemple.43. Pour > 0, o cosidère la foctio f : [, [ R défiie par f(t) = t, t. Alors o a N+ k= N+ dt N t = =0, N. O retrouve aisi le fait que si, alors la série est divergete et si >, alors la série est covergete..8 Propositio d exercices Exercice.44 (Séries de Bertrad). Étudier, selo les valeurs de, β R la covergece de la série de terme gééral a = (l ) β,. Idicatios. O pourra s ispirer de l Exercice. sur les itégrales de Bertrad pour la versio «itégrales gééralisées». Exercice.45. (a) Calculer, pour et t R la somme, cos kt. (b) Motrer, e utilisat la trasformatio d Abel, que la série de terme gééral est covergete. (c) E remarquat que motrer que la série cos cos, cos t (cos t) = ( + cos t), t R, est pas absolumet covergete. Idicatios. Voir aussi l Exemple.7 pour la versio «itégrales gééralisée». 6