1 ère S1 Contrôle du lund 19 novembre 01 (45 mnutes) Compléter le tableau c-dessous donnant la dstrbuton de fréquences pour cet échantllon (calculs au broullon, fréquences sous forme décmale) : Prénom et nom :.... Note : / 0 Somme 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 I. (3 ponts) Dans cet exercce, on lance deux dés de couleurs dfférentes. Les dés sont équlbrés et les faces sont numérotées de 1 à 6. On s ntéresse à la somme des valeurs obtenues par les dés. 1 ) On a lancé 5 fos les dés. Les résultats sont consgnés dans le tableau c-dessous. Numéro du lancer Dé 1 Dé Somme 1 5 1 6 1 1 3 1 4 5 4 1 6 7 5 4 4 8 6 6 4 10 7 6 3 9 8 5 6 11 9 5 3 8 10 5 6 11 11 3 6 9 1 5 7 13 3 5 8 14 1 6 7 15 6 5 11 16 3 5 17 5 7 18 3 4 7 19 4 6 0 6 5 11 1 1 1 1 3 3 1 4 5 4 5 1 6 5 1 6 7 Fréquence ) On fat une smulaton de 1000 expérences avec un tableur. On a alors obtenu un échantllon de talle 1000 c est-à-dre une sute de 1000 enters comprs entre et 1. Cet échantllon est une sére statstque. La dstrbuton de fréquences est représentée par le dagramme en bâtons c-dessous. fréquences 0,01 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 La dstrbuton est donnée dans le tableau c-dessous. sommes Somme 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Fréquence 0,03 0,05 0,065 0,1 0,135 0,170 0,15 0,1 0,09 0,06 0,03 Dre s les phrases suvantes sont vraes ou fausses (sans justfer). Dans la moté des smulatons, on a une somme pare. Vra Faux La somme est supéreure ou égale à 9 dans mons de 5 % des partes. Vra Faux
II. (5 ponts) Un joueur mse euros, pus lance un dé cubque équlbré. S l obtent un numéro mpar, l gagne ; s l obtent le numéro 6, l gagne 10 et, dans les autres cas, l perd 5. X est la varable aléatore qu à une parte, assoce le gan algébrque en euros du joueur (attenton à tenr compte de la mse). 1 ) Compléter la phrase suvante sans explquer : X peut prendre les valeurs x1..., x..., x3.... ) Compléter sans explquer la lo de probablté de X (mettre toutes les probabltés au même dénomnateur). La réalsaton du programme sur calculatrce n est pas demandée (ce qu n empêche pas de le fare à la fn). Varables : x, y réels Entrée : Sasr x Tratement : x P (X = x ) Total = 1 Sorte : Affcher y 3 ) Calculer l espérance et l écart-type de X (valeur exacte). Écrre dans chaque cas la formule utlsé ; le détal des calculs n est pas demandé. Vérfer les résultats sur calculatrce. ) Justfer brèvement que pour tout réel x, on a : f (x) 0. III. (4 ponts) On consdère la foncton f défne sur par f ( x) 1 3x s x < 0 et f ( x) x s x 0. 1 ) Écrre en langage naturel un algorthme qu demande un nombre réel en entrée et qu affche en sorte son mage par f. On utlsera deux varables : - la varable x dont le contenu est égal au nombre entré au départ ; - la varable y dont le contenu est égal au nombre de sorte. IV. (8 ponts) On consdère le polynôme u( x) x x 3. 1 ) Compléter sans explcaton la phrase suvante : Les racnes de u (x) sont.
) Donner sans explcaton le tableau de sgnes de u (x). x + Sgne de u (x) 5 ) On pose g( x) x x 3. Exprmer g (x) sans barres de valeur absolue suvant les valeurs de x. 3 ) Dresser sans explcaton le tableau de varaton de u sur (mettre la valeur de l extremum). x + Varatons de u Fare des phrases exprmant les varatons de u. 4 ) On consdère la foncton f défne par f ( x) x x 3. a) Détermner l ensemble de défnton I de f. Compléter le modèle de rédacton c-dessous. f (x) exste s et seulement s. L ensemble de défnton I de f est.. b) Dresser le tableau de varaton de varaton de f sur I. Justfer par une phrase. x Varatons de f Sot P(x) un trnôme du second degré. Démontrer que s P( 1) = 0, alors P(x) peut s écrre BONUS (à trater à la fn s l reste du temps) ax ( a c) x c avec a et c réels et a 0.
I. Corrgé du contrôle 19-11-01 Mots-clefs de cet exercce : - échantllon - talle (de l échantllon) - dstrbuton de fréquences - varablté II. Un joueur mse euros, pus lance un dé cubque équlbré. S l obtent un numéro mpar, l gagne ; s l obtent le numéro 6, l gagne 10 et, dans les autres cas, l perd 5. X est la varable aléatore qu à une parte, assoce le gan algébrque en euros du joueur (attenton à tenr compte de la mse). 1 ) Valeurs possbles de X X peut prendre les valeurs x1 7, x 0, x3 8. ) Lo de probablté de X x 7 0 8 1 ) Tableau des fréquences pour l échantllon L énoncé demande les fréquences sous forme décmale (et non sous forme fractonnare). P (X = x ) 6 3 6 1 6 Total = 1 Somme 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 3 ) Calculons l espérance et l écart-type de X. Fréquence 0,08 0,04 0 0,1 0,1 0,4 0,1 0,08 0,04 0,16 0 ) Somme 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Fréquence 0,03 0,05 0,065 0,1 0,135 0,170 0,15 0,1 0,09 0,06 0,03 Dans la moté des smulatons, on a une somme pare. Vra La somme est supéreure ou égale à 9 dans mons de 5 % des partes. Faux 0,03 + 0,065 + 0,135 + 0,15 + 0,09 + 0,03 = 0,5 3 1 X X E x P x 3 1 7 0 8 6 6 6 1 3 1 X E X X V x P x 3 1 11 0 1 8 1 6 6 6 = 6 Avec la formule de Kœng-Huygens 3 1 X X X V x P x E 3 1 7 0 8 1 6 6 6 = 6 0,1 + 0,09 + 0,06 + 0,03 = 0,3 > 0,5 V X X 6 (valeur exacte)
(Avec la calculatrce, on obtent : X 5,09901951... ) On vérfe que les résultats coïncdent avec ceux obtenus avec la calculatrce. ) Justfons que pour tout réel x, on a : f (x) 0. On rasonne en dstnguant deux cas. S x < 0, on a : f ( x) 1 3x. III. f (x) = 1 3x s x < 0 x s x 0 On peut noter que la foncton f est ben défne sur (ça aurat pu être une queston du contrôle). En effet, s x < 0, l expresson 1 3x est calculable sans problème. x < 0 donc 3x > 0 d où 1 3x > 1. On en dédut que f (x) 0. S x 0, on a : f ( x) Le sgne de x. x est postf ou nul. On en dédut que f (x) 0. En concluson, on peut dre que : x f (x) 0. s x 0, l expresson x est calculable. 1 ) Écrvons un algorthme qu demande un nombre réel en entrée et qu affche en sorte son mage par f. IV. u( x) x x 3 Le barème de cet exercce état partculèrement sévère (juste ou faux) car j estmas que l on pouvat vérfer tous les résultats à la calculatrce). Varables : x, y réels Entrée : Sasr x Tratement : S x < 0 Alors y prend la valeur 1 3x Snon y prend la valeur x FnS Sorte : Affcher y 1 ) Les racnes de u (x) sont 1 et 3 (racne évdente, dscrmnant, programme sur la calculatrce). ) Tableau de sgnes de u (x) On applque la règle du sgne d un trnôme du second degré (cas où l on a deux racnes c est-à-dre où le dscrmnant est strctement postf). x 3 1 + Sgne de u (x) 0 + 0 On peut programmer cet algorthme sur la calculatrce. 3 ) Tableau de varaton de u sur x 1 + Varatons de u 4
La foncton u est crossante sur l ntervalle ] ; 1] et décrossante sur l ntervalle [ 1 ; + [. On vérfe ces varatons en effectuant le tracé sur calculatrce. 4 ) f ( x) x x 3 a) Détermnons l ensemble de défnton I de f. 5 ) g( x) x x 3 Exprmons g (x) sans barres de valeur absolue suvant les valeurs de x. On remarque que g( x) u( x). On dot étuder le sgne de l expresson placée entre les barres de valeur absolue. On utlse le tableau de sgne de u (x). f (x) exste s et seulement s x x 3 0 s et seulement s 3 x 1 x 3 1 + L ensemble de défnton I de f est [ 3 ; 1]. Sgne de u (x) + 0 0 + b) Tableau de varaton de varaton de f sur I. x 3 1 1 Varatons de f 0 0 S x ] ; 3] [1 ; + [, alors u(x) 0. Donc g( x) u( x) sot g( x) x x 3 S x [ 3 ; 1], u(x) 0. Donc g( x) u( x) sot g( x) x x 3 f ( x) u( x) x I u(x) 0 Les varatons de f et de u sur I sont les mêmes. On calcule les extremums de f afn de compléter le tableau de varatons de f. f ( 3) 3 3 3 0 f (1) 1 1 3 0 f ( 1) 4 Sot P(x) un trnôme du second degré. P( x) ax bx c (a 0) BONUS Démontrons que s P( 1) = 0, alors P(x) peut s écrre ax ( a c) x c avec a et c réels et a 0. On : ( 1) 1 1 P a b x c a b c Or P( 1) = 0 donc a b + c = 0 d où b = a + c. On vérfe ces varatons en effectuant le tracé sur calculatrce. On en dédut que P( x) ax ( a c) x c. Une autre méthode (mons bonne) consste à passer par la somme et le produt des racnes.