1 Corrigé ESC 009 par Pierre Veuillez Exercice 1 O cosidère les matrices A, B, D, P, E de M (R) suivates : ( ) 5 1 4 ( ) A B 3 3 1 3 0 7 D P 3 3 ( ) { x (1 α) x y 0 1) a: (A αi) 0 y x + ( α) y 0 ( 1 ) 1 1 E ( ) 3 0 0 1 { [(1 α) ( α) ] y 0 (1) x ( α) y [ ] α 3α α (α 3) doc { y 0 si α 0 et α 3 alors (1) et est pas valeur propre x 0 si α 0 alors (1) x y, les solutios e sot pas toutes ulles 0 est doc valeur propre associé à E 0 Vect ((, 1)) ((, 1)) est géératrice de E 0 et formée d u seul vecteur o ul, elle est libre C est doc ue base de E 0 si α 3 alors (1) y x (pour avoir la matrice de passage P ) et de même, 3 est valeur propre associée à E 3 Vect ((1, 1)) dot ue base est ((1, 1)) b: Comme A d ordre possède valeurs propres distictes, elle est doc diagoalisable et la juxtapositio de vecteurs propres associés ((1, 1), (, 1)) est ue base de R Coclusio : P est iversible et A P D P 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 L1 c: 3 L ( ) 1 0 1 1 1 L + L 1 0 1 0 3 3 L 1 1 ( ) ( ) 1 1/3 /3 doc P 0 1 1/3 1/3 1 1 ( ) 1 et o calcule P EP 3 1 1 1 B doc P 1 BP E ) Soit Φ l applicatio qui à toute matrice de M (R) associe la matrice Φ(M) AM MB a: Φ est défiie sur M (R) à valeurs das M (R) (produit et somme de matrice x ) Pour tout M et N de M (R) et α et β réels : Φ (αm + βn) A (αm + βn) (αm + βn) B α (AM MB) + β (AN NB) αφ (M) + βφ (N) Doc Φ est liéaire et Coclusio : Φ est u edomorphisme de M (R) b: K {M M (R) telles que AM MB} {M M (R) / AM MB 0} {M M (R) / Φ (M) 0} Coclusio : K est le oyau de Φ c: O a M K AM MB P 1 AP P 1 MP P 1 MP P 1 BP D(P 1 MP ) (P 1 MP )E
( ) a c d: O pose X et o a doc b d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 a c 3a 3c a c 3 0 3a c DX et XE b d b d 0 1 3b d Exercice DX XE Coclusio : les solutios de DX XE sot Vect ( ) ( ) 3a 3c 3a c 3b d { 0 0 c 0 b 0 d 0 ( ) 1 0 X a (( )) 1 0 e: Avec X P 1 MP o avait M K DX XE doc M K il existe a R tel que X P 1 MP a aa Coclusio : K V ect(a) ( ) 1 0 f: O a dim (ker (Φ)) + dim (Im (Φ)) dim (M (R)) 4 et comme (A) est géératrice de K et libre, dim (ker (Φ)) 1 Coclusio : dim (Im (Φ)) 3 1) a: h est dérivable sur R et h (x) 4x 3 4 4 ( x 3 1 ) E + : h(x) x 4 4x + 1 x 4 ( 1 4/x 3 + 1/x 4) + E : h(x) x 4 4x + 1 + x 1 + x 3 1 0 + h (x) 0 + h (x) + + soit M ap ( ) 1 0 P 1 b: h est cotiue et strictemet décroissate sur ], 1] doc bijective de ], 1] sur [h (1), lim h[ [, + [ De plus, 0 [, + [ Doc l équatio h (x) 0 a ue uique solutio α sur ], 1] de même, il existe ue uique solautio β sur ]1, + [ Coclusio : (E) a exactemet deux solutios c: O a h (0) 1 0 h (α) > h (1) et h est strictemet décroissate sur ], 1] doc 0 α < 1 O a déjà vu que β > 1 Coclusio : α [0; 1[ et β > 1 ) O cosidère la foctio g défiie sur [0; 1] par : g(x) x4 + 1 4 O défiit alors ue suite (u ) N par so premier terme u 0 0 et la relatio, valable pour tout etier aturel : u +1 (u ) 4 + 1 4
3 a: g est dérivable sur [0, 1] et g (x) x doc g est stricteme croissate sur [0, 1] g (0) 1 4 et g (1) 1 b: Pour 0 o a u 0 0 et u 1 g (u 0 ) 1 4 doc 0 u 0 u 1 1 Soit N tel que 0 u u +1 1 alors, g état strictmeet croissate sur [0, 1] et les termes e état élémets, g (0) g (u ) g (u +1 ) g (1) doc 0 1 4 u +1 u + 1 1 Coclusio : par récurrece que, pour tout N : 0 u u +1 1 c: Comme α 4 4α + 1 0 alors α 4 + 1 4α et g (α) α La suite u est croissate et majorée par 1 doc elle coverge vers ue limite l Et comme u [0, 1] pour tout, alors l [0, 1] g est doc cotiue e l et g (l) l et doc l α ERREUR! α est ue solutio est-ce la boe? g (x) x x 4 + 1 4x h (x) 0 Doc l α ou l β et comme l [0, 1] alors β Coclusio : la suite (u ) N coverge vers α d: O calcule les valeurs de u i pour i de 1 à La valeur u 0 iitialisat Program suite ; var,i :iteger ; u :real ; begi writel(? ) ;readl() ;u :0 ; for i :1 to do u :(u*u*u*u*u+1)/4 ; writel(u) ; ed ]0, 1[ ]0, 1[ R 3) Soit la foctio de deux variables f : a: f est de classe C sur ]0, 1[ ]0, 1[ (x, y) f x (x, y) x4 4x + 4y 4y f (x, y) y 4x 8xy { f x5 5 x + 4xy 4xy b: (x, y) est poit critique x (x, y) 0 f y (x, y) 0 { x 4 4x + 4y 4y { 0 x 4 4x + 4y 4y 0 et comme x 0 4x 8xy 0 4x (1 y) 0 { x 4 { 4x + 1 0 h (x) 0 y 1 y 1 et comme x ]0, 1[ alors h (x) 0 x α ( Coclusio : le seul poit critique de f est A α, 1 ) c: Les dérivée partielles secodes sot : r f x (x, y) 4x3 4 s f (x, y) 4 8y x y t f (x, y) 8x y
4 d: e ( α, ) 1 ( : r 4 α 3 1 ) < 0 ; s 0 et t 8α < 0 doc rt s > 0 Doc, sur l ouvert ]0, 1[ ]0, 1[, f présete u extremum local e A et comme r < 0, ( Coclusio : f a u maximum local au poit A α, 1 ) Exercice 3 Das cet exercice, désige u etier aturel o ul O dispose d ue pièce dot la probabilité de faire "pile" est p ]0; 1[ et de ( + 1) ures umérotées de 0 à Pour k [0; ], l ure k cotiet k boules vertes et ( k) boules rouges O cosidère l expériece E suivate : o lace fois la pièce, puis o pioche ue uique boule das l ure dot le uméro correspod au ombre de fois où pile" a été obteu Par exemple, si o a obteu quatre piles" au cours de ces lacers, o pioche das l ure 4 O ote X la variable aléatoire correspodat au ombre de piles" obteues lors des lacers et Y la variable aléatoire qui vaut 1 si l o tire ue boule verte et 0 sio 1) a: X est le ombre de pils e lacers idépedats, la probabilité de pile à chaque lacer état p Coclusio : X B (, p) et P (X k) ( k) p k (1 p) k pour k X (Ω) [[0, ]] Coclusio : E (X) p et V (X) p (1 p) b: O a alors V (X) E ( X ) E (X) et E ( X ) V (X) + E (X) p (1 p) + p Coclusio : E (X) p (1 p + p) ) a: Quad X 0, o tire ue boule de l ure 0 qui cotiet 0 vertes et rouges O tirera doc ue boule rouge et Coclusio : P (X0) (Y 0) 0 et de même si X, il y a que des boules vertes et Coclusio : P (X) (Y 0) 1 Si X et Y sot idépedates alors P (X0) (Y 0) P (Y 0) P (X) (Y 0) ce qui est pas le cas Coclusio : X et Y e sot pas idépedates b: Quad X k, o tire ue boule de l ure k qui cotiet k vertes et k rouges Ces boules état équiprobables Coclusio : P (Xk) (Y 1) k c: (X k) 0 k est u système complet d évéemets, doc (probabilités totales) P (Y 1) P (Xk) (Y 1)P (X k) k0 k0 E (X) d: Comme les valeurs de Y sot {0, 1} o a doc Coclusio : Y B (p) et E (Y ) p k P (X k) 1 kp (X k) k0 car X (Ω) [[1, ]]
5 3) a: D après le théorème de trasfert, E (XY ) k i P (X k Y i) k0 i Y (Ω) (k P (X k Y 1) + 0) k0 k P(X k Y 1) + 0 pour k 0 avec P(X k Y 1) P (X k) P Xk (Y 1) P (X k) k doc Coclusio : E(XY ) b: O a alors 1 Exercice 4 E (XY ) Coclusio : cov (X, Y ) p (1 p) 1 k k P (X k) k P (X k) k0 kp (X k Y 1) E(X ) cov (X, Y ) E (XY ) E (X) E (Y ) E(X ) 1 V (X) E(X) Soit u réel strictemet positif { f(x) e x si x O cosidère la foctio f défiie sur R par f(x) 0 si x < 1) a: Pour tout réel A, A f(x) dx A e x dx [ e x] A 1 e A b: f est cotiue sur R\ {} et positive sur R Et comme 1 e A 1 quad A + alors + f(x) dx 1 et doc + Coclusio : f est ue desité O ote X ue variable aléatoire réelle de desité f ) La foctio F X de répartitio de X est doée par F X (x) x f (t) dt 0dt + x x 0dt 0 si x < e t dt 1 e x si x f (x) dx 1
6 3) O cosidère la variable aléatoire Y X a: La foctio de répartitio F Y de Y est défiie par : F Y (y) P (Y y) P (X y + ) F X (y + ) avec y + < y < 0 doc { FY (y) 1 e y si y 0 F Y (y) 0 si y < 0 b: O recoait das cette foctio la foctio de répartitio d ue variable loi ε (1) Doc Y est à desité et Y ε (1) d où E (Y ) 1 1 1 et V (Y ) 1 c: Et comme X Y + alors X a ue espérace et ue vaariace et Coclusio : E (X) 1 + et V (X) 4) Das toute la suite, désige u etier aturel o ul et X 1, X,, X des variables aléatoires mutuellemet idépedates de même loi que X O cherche à estimer le réel à l aide de la variable aléatoire S 1 (X k 1) a: o a E (S ) 1 1 E (X k 1) 1 [E (X k ) 1] Le biais de S comme estimateur de est doc b E (S ) 0 Coclusio : S est u estimateur sas biais de b: O a V (S ) 1 ( ) 1 V (X k 1) par idépedace ( ) 1 1 Coclusio : r(s ) 1 + 0 1