A) Forme algèbrique d u ombre complexe. Théorème Il existe u esemble, oté,de ombres appelés ombres complexes, tel que : cotiet ; est mui d ue additio et d ue multiplicatio pour lesquelles les règles de calcul sot les mêmes que das ; Il existe das u ombre o réel, oté i, vérifiat i = - 1 ; Tout ombre complexe s écrit de faço uique sous la forme ( dite algèbrique ) : = a + i b où a et b sot des réels. Défiitios - Le réel a est appelé partie réelle de et est oté Re(). - Le réel b est appelé partie imagiaire de et est oté Im(). - Si b = 0 alors = a + 0i est oté = a et est u réel. - Si a = 0 alors = 0 + ib est oté = ib et est appelé imagiaire pur. - Le complexe 0 + 0i oté 0 est à la fois réel et imagiaire pur. Premières coséqueces a, b, a, b sot des réels a + i b = a + i b ( a = a et b = b ) a + i b = 0 ( a = 0 et b = 0 ) Opposé d u complexe Si = a + i b avec a et b réels alors o appelle opposé de le complexe oté tel que : - = - a + i ( - b ) 1
B) Represetatio géométrique d u ombre complexe Le pla est rapporté au repère orthoormal direct (O ; u ; v ) Défiitios Soit le complexe = a + i b, a et b réels. - Le poit M(a;b) est appelé le poit image de. b M() O le ote souvet M(). v V() - Le vecteur V (a;b) est le vecteur image de. O le ote souvet V(). O u a - Le complexe est l affixe du poit M et l affixe du vecteur V. O le ote souvet M ou V. Affixe d u vecteur AB affixe( AB) = affixe (B) affixe (A) B( B ) O ote souvet : AB B A A( A ) Propriétés Pour tous vecteurs U et V et tout réel, U V U V U U e particulier : U U Affixe du milieu d u segmet Si I est le milieu du segmet [AB] alors I A B
C) Cojugué d u ombre complexe Défiitio O appelle cojugué du complexe = a + i b, a et b réels, le complexe oté et défii par : = a i b. Iterprétatio géométrique b M(a + i b) Les images de deux complexes cojugués O a sot symétriques par rapport à l axe des abscisses (appelé souvet axe des réels). - b M (a i b) Remarque: + = Re() et - = i Im(). Théorèmes Soit u ombre complexe. est réel si et seulemet si = est imagiaire pur si et seulemet si = - Propriétés Pour tous complexes et : ' ' et ' ' Ces résultats s étedet à ue somme algébrique de termes. ' ' Ces résultats s étedet à u produit de termes : pour tout etier aturel, 1 1 si 0. ' ' si 0 Si = a + i b avec a et b réels alors = a + b doc pour 0, soit 1 a b si (a ;b) (0 ;0), o a i. C est la a b a b a b méthode utilisée pour écrire sous forme algébrique u iverse ou u quotiet. 3
D) Module et argumets d u ombre complexe o ul. Défiitio Soit u ombre complexe o ul d image M das le pla mui d u repère orthoormal direct (O ; u ; v ), et soit (r, ) u couple de coordoées polaires du poit M das (O; u ). - le réel r est appelé module de et oté ; - le réel est appelé argumet de et oté arg(). O a doc : = r = OM arg() = = u, OM [ ] Remarques Le complexe 0 a pour module 0 mais a pas d argumet. Tout complexe o ul a ue ifiité d argumets. Si est l u d eux, tout autre argumet de est de la forme + K, K. O écrit alors : arg() = [mod ] ( ou simplemet [ ] ). Coséqueces Si = a + i b avec a et b réels alors a b. Le module de tout réel x est la valeur absolue de x. réel o ul équivaut à arg() = 0 [ ]. imagiaire pur o ul équivaut à arg() = [ ]. Soit u complexe o ul : 4
E) Formes trigoométriques d u ombre complexe o ul. Théorème Soit = a + i b, avec a et b réels, u complexe o ul. Si = r et si arg() = [mod ] alors a = r cos et b = r si Défiitio Soit u ombre complexe o ul de module r et dot u argumet est. L écriture = r ( cos + i si ) est appelée forme trigoométrique de. Relatios de passage etre forme algébrique et formes trigoométriques. Forme algébrique = a + i b a et b réels r = a b ; a b cos et si r r a rcos et b rsi Formes trigoométriques r cos isi Egalité de deux complexes Deux complexes o uls sot égaux si et seulemet si ils ot le même module et des argumets égaux modulo. Théorème Si rcos isi avec r 0, alors r et = arg() [ ] 5
F) Propriétés des modules et argumets. Propriétés des modules Pour tous complexes et : = 0 = 0. ou ' ' ( iégalité triagulaire ) ' ' 1 1 ' ' et si 0. Le module d u produit de ombres complexes est égal au produit des modules de ces complexes. E particulier : pour tout etier aturel,. Propriétés des argumets Pour tous complexes o uls et arg( ) = arg() + arg( ) [ ] 1 arg = arg() [ ] arg ' = arg( ) arg() [ ] La première propriété s éted au produit de ombres complexes o uls. E particulier : pour tout etier aturel, arg arg() [ ] Formule de Moivre Pour tout réel et tout etier aturel, (cos isi ) cos( ) isi( ) 6
G) Formes expoetielles d u ombre complexe o ul. Défiitio Pour tout réel o pose : e i cos i si. Alors, si est u ombre complexe o ul de module r et dot u argumet est, o appelle forme expoetielle de l écriture : r e i. Règles de calcul sur les formes expoetielles ' et sot des réels quelcoques, r et r sot des réels > 0. i i i ' re r'e (r r' et ' [mod ] ) re i re i (re i ) re i( ) re i re i ' rr'e i( ') 1 1 e i re r r'e i ' r' e i( ' ) r e i r re i r e i, pour tout de Formules d Euler Pour tout réel : cos e i e i et si e i e i i 7
Equatio du secod degré à coefficiets réels das a b c 0, a réel 0, b et c réels. Le réel = b 4 a c est le discrimiat de l équatio. Si > 0 alors l équatio admet deux solutios réelles b b 1 et a a Si = 0 alors l équatio admet ue solutio rélle double b a Si < 0 alors l équatio admet deux solutios complexes cojuguées b i b i 1 et a a Remarque : das tous les cas a b c a( )( ) 1 H) Distaces et agles orietés Logueur d u segmet [AB] AB = B A Mesure de l agle u,ab A et B état deux poits disticts u,ab arg (mod ) B A Mesure de l agle CA, CB 8
Coséqueces Les poits A, B et C état trois poits disticts : - les poits A, b et C sot aligés si, et seulemet si, arg B - C 0 - A C [ ] - les droites (CA) et (CB) sot perpediculaires si, et seulemet si, - B C arg - A C [ ]. I) Trasformatios du pla. Homothétie de cetre et de rapport K. Soit le poit d affixe ω et k u réel o ul. Le poit M d affixe tel que ω = k ( ω) est l image du poit M d affixe par l homothétie de cetre et de rapport k. 9