Lcence Scences Economues 3ème année er semestre MICROECONOMIE APPROFONDIE ET CALCUL INTERTEMPOREL CHAPITRE PREFERENCES ET DEMANDE L aomatue, construte sur la ratonalté du consommateur, fonde le modèle théorue.. Aomes. Défnssent la relaton de préférence u détermne les cho du consommateurs face à l unvers des bens ; symboluement elle s écrt ou («préféré à» ou l nverse) : eprme la ratonalté comme un ensemble de proprétés attachées à cette capacté de l ndvdu à eprmer sa préférence entre bens uelconues ; a) réflevté : on peut écrre s et A B A B(sot «A ndfférent à B» et non «même ben») ; b) complétude (comparablté de tous les bens entre eu) : on peut écrre pour bens uelconues X et Y ou c) transtvté (consstance) : cohérence des cho ; s le consommateur eprme à la fos et l dot eprmer auss ; d) pré ordre complet : on appelle ans la relaton de préférence u possède les proprétés précédentes ; e) contnuté (eclut des ordres du type lecographue par e.) : permet de défnr une foncton de préférences condusant à une représentaton graphue (foncton d utlté) ) pas nécessare à la défnton de la ratonalté ) commodté : eprmer smplement (vsuellement) les mécansmes des cho f) non satété : foncton non décrossante par rapport au uanttés et crossante au mons pour un ben g) conveté : la foncton de satsfacton est convee par rapport à l orgne ce u veut dre u une combnason lnéare de cho ndfférents entre eu est préférée à ces cho.. Conséuences sur la lo de la demande. a) Objectf (dans la lgne d A. Marshall) : epluer cette parte du système (éulbre partel) plutôt u élément de la constructon générale (Walras, Pareto). b) Deu conséuences mportantes de ce corps d hypothèses : eplcaton de phénomènes observables mas lmtes mportantes sur le plan du réalsme. ) Effet d une varaton de pr : substtuton et revenu. Cette représentaton permet d approfondr sensblement la relaton entre demande et pr (par rapport à la relaton basue de Marshall) ; 008-009
() fonde la forme de la foncton comme conséuence des prncpau aomes () noton de revenu compensé et effet de revenu ) La foncton est strctement convee et dfférentable ( fos pour les besons de statue comparatve) en tout pont : correspond à une classe de foncton d utlté ; () problème de réalsme économue : défne pour toutes les combnasons de bens () hypothèse trop forte pour correspondre à une économe réelle. 3. Foncton de satsfacton et foncton de coût. a) Changement du rôle de la foncton d utlté : ) smple référence servant à représenter la relaton de préférence compte tenu des caractérstues (non satété, satsfacton addtonnelle décrossante avec la uantté, ) u se retrouvent dans la forme de la foncton ) les demandes n en sont pas dédutes : évte la condton de contnuté. b) Dualté des programmes : mamsaton de la satsfacton sous la contrante de ressources ou mnmsaton de la dépense pour obtenr un nveau donné de satsfacton ma u ν avec p et mn p avec ν u c) Pour chaue programme la foncton à optmser de l un est la contrante de l autre ; les solutons sont les mêmes : les demandes optmales obtenues à partr des condtons données (système de pr et goûts du consommateur) d) Les fonctons de demande sont conventonnellement écrtes : g, p demande marshallenne h u, p demande hcksenne () La dernère est appelée auss demande «compensée» ; () Leur dérvaton à partr de la foncton objectf consttue le corps du système u rele les goûts du consommateur à sa demande de bens.
e) On peut auss partr des demandes optmales pour défnr le mamum de satsfacton et le mnmum de dépense correspondants ) les solutons assurent le mamum d utlté u, ces demandes sont des fonctons du revenu et des pr ; l utlté apparaît comme une foncton ndrecte du revenu et des pr : éuaton () c dessous ( n) (, ) (, ) () u ν,,...,,..., ν g p,, g p,,..., g p,,... ψ p, () p h u p c u p k k ) le revenu est égal à la somme des demandes compensées valorsées par le système de pr, demandes u sont défnes pour un nveau de satsfacton (compensaton de Hcks) : éuaton () c dessus. f) La foncton (, p) ψ est appelée foncton d utlté ndrecte (Roy), elle s écrt auss ν ma ψ, p ; p foncton du revenu et des pr u correspond à la satsfacton mamale pour la contrante budgétare donnée ; l nverson permet de fonder sur des données mesurables, etéreures au processus de décson, la détermnaton des demandes optmales g) Elle est lée à la foncton de coût (, ) ; ν mn cup p u défnt la dépense optmale en foncton d un nveau de satsfacton et des pr (données du programme : «goûts» du consommateur et système de pr) : obtenue par la dépense mnmale permettant d attendre cette satsfacton Eemple : sot la foncton de satsfacton représentée par une foncton de type Cobb Douglas schéma marshallen : α β ma U avec, > 0 sous contrante de p p 0 on écrt le Lagrangen sans crante d une soluton vrtuelle du fat des partculartés de cette foncton (asymptote au aes donc pas de rsue d une soluton négatve, snon condtons de Kuhn Tucker : ajout de multplcateurs pour prendre en compte les contrantes supplémentares sur la non négatvté des uanttés optmales recherchées), sot 3
L + λ p p α β les condtons de er ordre donnent L L L λ ( α ) ( ) β α β α α λ p 0 λ p α β α β β β λ p 0 λ p p p on résout en λ et on obtent α β α β α β α β λ p p p p on obtent la relaton entre les uanttés optmales ndépendante du revenu («chemn d epanson») α p et fnalement en substtuant dans la contrante budgétare β p α ( α + β) β ( α + β) p p s l on pose par eemple α β on obtent l epresson des demandes marshallennes (non compensées) et p p en substtuant dans la foncton d utlté les uanttés par leur epresson donnée par les fonctons de demande on obtent U 4 p p 4
u est la foncton d utlté ndrecte, foncton d utlté ayant pour varables le revenu et les pr résoluton du schéma hcksen : c est le programme dual du précédent, on recherche mn p + p sous contrante U on écrt le Lagrangen et les condtons de er ordre L p + p + μ ( U ) L p p μ 0 μ L p p μ 0 μ L U 0 μ on résout ce système et on obtent p p d où, en utlsant la contrante, les fonctons de demande compensées p p U 0 U p p sot p U c p / et p U c p / La foncton de dépense représentant la dépense optmale (mnmale) s écrt + p p ( ppu) ( ppu) ( ppu) / / p p p U + p U p p + / / / nveau de dépense optmal foncton du nveau de satsfacton et des pr. 5
Pour obtenr les valeurs des demandes compensées l faut se donner un pont de référence, une valeur de départ des pr et du revenu,, p et p, d où la foncton d utlté ndrecte : U 4 p p pour ce nveau de satsfacton souhatée on écrt les demandes optmales compensées en remplaçant le nveau de satsfacton par l epresson c dessus, en dstnguant le pr de départ du ben u a perms de défnr le nveau de satsfacton de référence et la varable p u est un argument de la foncton de demande compensée de ce ben, sot / / / p p c U p p 4pp pp et de même pour le ben / / / c p p p U p p 4pp p p Nveau mnmum du revenu u permet de conserver le nveau de satsfacton souhaté (compensaton entre son revenu effectf et celu u permet les dépenses optmales compensées) p + pp p p p p p p la compensaton du revenu u permet l ajustement du revenu effectf à ce nveau mnmum est p C p p p 6
On peut llustrer cet eemple en prenant des valeurs partculères pour les dfférentes varables : 00 p 5 p 4 o les demandes marshallennes sont (vor la résoluton ntale) 00 5 p ( 4) 00 0 p 5 o 5 L utlté obtenue avec ces uanttés optmales est U 0 5. Pour ce nveau défn et en conservant le pr du ben fé au nveau ntal, on obtent les demandes compensées / / c 00 5 / pp 4p ( p ) / / c p 00 p / 5( p) p p ( 5) 4 défnes pour un nveau uelconue du pr du ben ; s ce pr est le pr fé pour défnr le nveau de satsfacton ntal on retrouve les valeurs des demandes marshallennes. o Nveau mnmum du revenu u permet d attendre le même nveau de satsfacton dans ces nouvelles condtons de pr : substtuer dans l éuaton de la dépense les uanttés par ces epressons des demandes compensées, sot c c p + p 5 / p 5 5 / + ( p) ( p ) / 50 p d où le montant de revenu compensatore foncton du nouveau pr du ben C ( p ) 50 00 7
avec le seul de 4 séparant les compensatons postves et négatves. o On peut à partr de ces epressons calculer les effets de revenu et de substtuton obtenus lorsue le pr du ben change, par eemple : au départ 00 p 5 p 4, la soluton optmale ntale est 5 /.5 0 on pose une varaton d un pr p 5, les demandes compensées sont c 5 5 5 ( 5).8 p 5 c ( p) 5 5 5.8 l effet de substtuton est mesuré par le passage c,.5,0 c,.8,.8 ( ) ( ) le revenu u permet de mantenr le même nveau de satsfacton ( p ) 50 50 5 donc une compensaton de sans cette compensaton la stuaton optmale au nouveau système de pr est u 00 u 00 0 0 p 5 p 5 d où l effet de revenu dédut de ce résultat : passage de la stuaton vrtuelle à la nouvelle soluton c, c.8,.8 u, u 0,0 ( ) ( ) effet d une hausse du pr : basse de la uantté décomposée en effets de même sens pour le ben concerné de sgne contrare pour l autre ben cas partculer de cette foncton d utlté : pas d effets crosés des pr donc pas d ncdence sur la demande non compensée de l autre ben ; le gan dont bénéfcerat l autre ben par substtuton est annulé par la perte de pouvor d achat du revenu : ntérêt de cette décomposton (snon substtuton avec perte pour un ben et pas de gan pour l autre??) o Autre mse en évdence de l effet composé : la relaton de Slutsky ; elle défnt l effet d une varaton de pr d un ben sur sa demande comme l effet de substtuton dmnué de l effet de revenu obtenu par la compensaton 8
d d d c dp d 0 dp du 0 d dp dp 0 dp 0 dp 0 0 sur l eemple précédent on obtent successvement sur les fonctons de demande obtenues pour la demande non compensée d dp p ( p ) d 0 dp 0 pour la demande compensée c ( pp) d c 3 dp du 0 4( p ) dp 0 p pour la «courbe d Engel» p d d p dp 0 dp 0 le terme de drote de l éuaton de Slutsky s écrt d dp 3 d 0 4( p ) p p dp 0 en remplaçant par son epresson de l optmum et pour de très pettes varatons du pr du ben 9
d dp p p p p 3 d 0 4( p ) 4 4 dp 0 p ( p ) c est l epresson recherchée o Dérvaton de l éuaton de Slutsky à partr de la dépense mnmsée : on dot retrouver la même relaton à partr de la demande compensée ue ce l on obtenat à partr de la demande marshallenne, sot c c (,, ) + p p U p p dentté des solutons du prmal et dual, et s le revenu et l utlté sont à leur pont optmal, sot et U U on peut écrre (,, ),, (,, ) p p U p p p p U c en dfférentant par rapport à p on obtent + p p p c réécrt en posant les valeurs fes des autres grandeurs : c d d d d + dp du 0 dp d 0 dp du 0 d dp 0 dp 0 dp 0 dp 0 dp 0 d où l effet sur la demande optmale d une pette varaton du pr à partr de la stuaton optmale : varaton de la demande compensée (S) et varaton due au changement de pouvor d achat (R) c d d d d dp d 0 dp du 0 dp du 0 d dp 0 dp 0 dp 0 dp 0 dp 0 sot l éuaton de Slutsky à l ecepton de l avant derner terme : la décomposton de l effet d une varaton d un pr obtenue en dérvant l éuaton de demande compensée ne correspond à ce ue donne Slutsky ue s 0
d dp du 0 dp 0 ce u est vérfé en prenant la dérvée partelle de la contrante budgétare sur les demandes marshallennes, la relaton de Slutsky est ben valdée (lemme de Hotellng). En reprenant les données chffrées de l eercce : d dp c du 0 dp 0.3 d dp du 0 dp 0 d.8 d dp 0 dp 0 sot au total.5
Applcaton de la dualté : le schéma logue de détermnaton des fonctons de demande. maν sous p mn p ν u DUAL sous soluton B Demandes marshallennes (, ) g p soluton B Demandes hcksennes (, ) h u p substtuton B F. d utlté ndrecte u (, p) ψ INVERSION substtuton B Foncton de coût (, ) c u p 4. Proprétés de la foncton de coût. a) hypothèses sur la foncton de coût homogène de degré par rapport au pr crossante en u et non décrossante en p par rapport à au mons pr concave par rapport au pr sot : le coût d une dépense obtenue à partr d un système de pr résultant de la c. l. de systèmes uelconues est supéreur ou égal à la même c. l. appluée au coûts des systèmes, sot (, θ + ( θ) ) θ (, ) + ( θ) (, ) c u p p c u p c u p
elle est contnue et dérvable fos pour toute valeur de p lorsu elles estent les dérvées premères sont les fonctons de demande hcksennes (, ) c u p p h u, p LEMME DE SHEPHARD b) On peut dérver les demandes marshallennes de ce système dans la mesure où : les uanttés sont foncton du nveau de satsfacton et des pr (d. hcksennes) la foncton d utlté ndrecte fournt la satsfacton retrée en termes de revenu et de pr ; donc, en substtuant u ψ, p dans les demandes hcksennes on obtent les uanttés comme une foncton du revenu et des pr ( ν, ) ψ (, ), (, ) h p h p p g p et de même pour les demandes marshallennes dérvées de la foncton d utlté ndrecte. Dans la logue de la dualté on défnt les fonctons d utlté ndrecte et de coût : fonctons nverses l une de l autre ψ c( u, p), p u En dérvant cette relaton par rapport à un pr p pour un nveau de satsfacton constant (dérvée en chaîne) : d où ψ c ψ + p p 0 3
ψ / p g(, p) ψ / IDENTITE DE ROY L enchaînement le plus usuel dans la présentaton des dfférentes fonctons est dérver la foncton de coût c(u,p) pour obtenr les demandes hcksennes nverser la foncton de coût pour obtenr la foncton d utlté ndrecte ψ (, p) substtuer cette foncton dans h (u,p) pour obtenr les demandes marshallennes. 5. Proprétés des fonctons de demande. On redéfnt les proprétés déjà énoncées dans la présentaton de la foncton de satsfacton : : addtvté des demandes hcksennes ou marshallennes (, ) (, ) ph u p pg p k k k k : homogénété de degré 0 par rapport au pr (Hcks), au revenu et au pr (Marshall) (, θ ) (, ) ( θ, θ ) (, ) h u p h u p g p g p 3 : symétre : les dérvées pr crosées des demandes hcksennes sont symétrues (, ) hj ( u, p) h u p p p j 4 : négatvté : la matrce des dérvées premères des demandes hcksennes est sem défne négatve. S l on désgne par s j la grandeur h / pj et par S la matrce de ces dérvées, ue l on appelle matrce de substtuton ou MATRICE DE SLUTSKY (symétrue et sem défne négatve), cette proprété sgnfe ue les s sont tous 0 Cette proprété découle drectement de la concavté de la foncton de coût. 4
Les dernères proprétés eprment le postulat de cohérence des cho du consommateur : en termes de demande marshallenne, on peut les eprmer par la relaton de Slutsky : à partr de l dentté déjà vue plus haut : on peut écrre en dfférencant h u, p g c u, p, p s j h g g + p p j j j EQUATION DE SLUTSKY g p ben j j est la dérvée non compensée de la demande du ben par rapport au pr du g j est la «compensaton» j est la dérvée du coût mnmum par rapport à pj g est la dérvée de la demande par rapport à la dépense totale (revenu) On écrt souvent cette éuaton pour eprmer la dérvée non compensée g g sj p j La varaton de la demande marshallenne, sute à une varaton de pr, est la varaton de la demande hcksenne corrgée de la compensaton : achèvement du mécansme de détermnaton de la demande dans la logue de dualté partant de la foncton de coût par l ntermédare de la foncton d utlté ndrecte. j Références René ROY De l Utlté. Contrbuton à la théore des cho, Hermann & Ce Edteurs, 94. 5