TD lgèbre liéaire (Partie II) Polyôme caractéristique. Décompositios LU et de Cholesy. Produit matriciel. Itroductio et objectifs Das cette secode partie du TD cosacré à l algèbre liéaire, ous abordos das u premier temps la méthode de Leverrier-Faddeev-Souriau pour le calcul efficace des coefficiets du polyôme caractéristique d ue matrice carrée. Nous itroduisos esuite le thème de la décompositio (ou factorisatio) matricielle à travers les décompositios LU et de Cholesy. Efi, ous présetos la méthode de Strasse pour effectuer efficacemet le produit de deux matrices carrées dot l ordre est ue puissace de. Polyôme caractéristique. La méthode de LEVERRIER FDDEEV SOURIU. Partie mathématique O cosidère ue matrice das M ( K ) où O e cherche le polyôme caractéristique χ ( ) det ( I ) K = ou et est u etier aturel o ul. = = avec = 0 X X a X a =. L idée cetrale de la méthode présetée ici cosiste à utiliser la matrice complémetaire de X I que ous otos C( X) X C C X est la trasposée de la comatrice de I = (pour rappel, ( ) = 0 X : C( X) = t com( X I ) et les C sot des matrices de ( ). Que peut-o dire du produit ( X I ).C( X). E coveat que C 0? C C = ax I = 0 = 0 =, motrer que X ( ) déduire ue relatio etre C, C et a. M K ). puis e 3. Motrer que χ ' ( X ) = Tr ( C ( X )) puis e déduire : 0;,Tr( C) ( ) a + Féelo Saite-Marie 06-07 MP*/PC-PC*/PSI* [ - 7 ] Marc Lichteberg = +.
TD lgèbre liéaire (Partie II) Polyôme caractéristique. Décompositios LU et de Cholesy. Produit matriciel. 4. Motrer que ( ) Tr C 0;, a =. Partie iformatique O a a = et C = 0. O va calculer a, a,..., a0 à l aide de C, C,..., C0 grâce à : pour allat de à 0. C = C + a I Tr( C ) a = + + Exercice N Mise e œuvre Ecrire ue foctio Pytho PolyCar recevat e argumet u array dot o vérifiera qu il correspod à ue matrice carrée et qui revoie ue liste L coteat, das cet ordre, les coefficiets a0, a,..., a, a. O utilisera des foctios du module lialg de la bibliothèque umpy. O testera le programme avec les matrices suivates : = 3 4 χ X = X 5X. avec : ( ) 3 8 0 7 3 4 3 = avec : χ 0 0 5 ( X) = X 6X + 3X X + 4. 0 0 0 0 0 0 = avec χ ( X) = X X. 0 0 0 = avec χ ( X) = X X. Exercice N Complexité Evaluer la complexité de la méthode précédete (o évaluera séparémet le ombre d additios, le ombre de multiplicatios et le ombre de divisios). Féelo Saite-Marie 06-07 MP*/PC-PC*/PSI* [ - 7 ] Marc Lichteberg
TD lgèbre liéaire (Partie II) Polyôme caractéristique. Décompositios LU et de Cholesy. Produit matriciel. Exercice N 3 Détermiat La méthode précédete permet de calculer très écoomiquemet le détermiat d ue matrice carrée. partir de la foctio PolyCar, écrire ue foctio Pytho DetLFS recevat e argumet u array dot o vérifiera qu il correspod à ue matrice carrée et qui e revoie le détermiat. Décompositio LU O cosidère ue matrice M GL ( ) K avec K = ou. O rappelle qu ue telle matrice admet ue décompositio LU si, et seulemet si, les mieurs diagoaux pricipaux Δ, Δ, Δ3,..., Δ et Δ sot o uls. La décompositio est alors uique. Validatio de l existece d ue décompositio LU Exercice N 4 Ecrire ue foctio Pytho ValidLU qui recevra comme argumets u tableau umpy M et reverra u boolée selo que la matrice M, supposée iversible, admet ou o ue décompositio LU. La foctio devra vérifier que les mieurs diagoaux pricipaux Δ, Δ, Δ3,..., Δ et Δ sot o uls. Pour les calculs des détermiats, o utilisera la foctio det du module umpy.lialg. Décompositio LU par idetificatio O rappelle que das ce cas, o costruit alterativemet les liges et les coloes des matrices L et U à partir des formules : Pour tout i das ; : i i uij = mij liuj puis l = m l u = u ii = ji ji j i Féelo Saite-Marie 06-07 MP*/PC-PC*/PSI* [ 3-7 ] Marc Lichteberg
TD lgèbre liéaire (Partie II) Polyôme caractéristique. Décompositios LU et de Cholesy. Produit matriciel. Exercice N 5 Mise e œuvre. Ecrire ue foctio Pytho DecompoLU_Idet qui recevra comme argumets u tableau umpy M et reverra u tuple de deux tableaux L et U correspodat à la décompositio LU de la matrice M, supposée iversible. La foctio devra vérifier que la matrice M est iversible. Si la matrice M est pas carrée ou iversible, la foctio devra revoyer u message adapté. O validera le code à l aide des situatios suivates : 3 0 0 M= 0 qui doe : L= 0 0 et /3 /3 0 0 0 0 M = 0 0 0 qui doe : L = 4 3 3 3 0 3 6 3 3 U= 0 0 0 /3 0 et U = 0 0 3 0 0 0 3 Factorisatio de Cholesy Présetatio Ue matrice symétrique défiie positive (SDP) M peut être écrite comme produit d ue matrice triagulaire iférieure (L, cette lettre correspodat à l aglais «lower») et de sa trasposée ( t L, qui est doc triagulaire supérieure) : M = L t L. C est la factorisatio de Cholesy. E imposat aux termes diagoaux d être strictemet positifs (ils sot tous o uls puisque le détermiat de M, qui est strictemet positif (M état SDP), est le carré du produit des coefficiets diagoaux de L (ou de t L puisqu ils sot idetiques)), cette factorisatio est uique. La matrice L (ou sa trasposée) alors obteue peut être cosidérée comme ue racie carrée de la matrice M. Féelo Saite-Marie 06-07 MP*/PC-PC*/PSI* [ 4-7 ] Marc Lichteberg
TD lgèbre liéaire (Partie II) Polyôme caractéristique. Décompositios LU et de Cholesy. Produit matriciel. Pour motrer que M ( ) M est SDP, o peut : Calculer les valeurs propres de M et motrer qu elles sot toutes strictemet positives. O predra garde aux situatios où toutes ou partie de ces valeurs propres sot proches de 0, les approximatios de calcul pouvat coclure à la ullité erroée d ue ou plusieurs valeurs propres o ulles. Utiliser le critère de Sylvester : M est SDP p ;, Δ p = detmp > 0 où = ( m ) ( ) M p ij i, j ; p Cette méthode offre l avatage de pouvoir être mise e œuvre facilemet. Exercice N 6 Mise e œuvre M et qui : Ecrire ue foctio Cholesy qui reçoit e argumet ue matrice M de ( ) Vérifie que la matrice M est bie SDP. Revoie la matrice triagulaire iférieure L ( l ) ( ) t M L L = et = telle que : ij i, j ; ;, l > 0 O calcule les coefficiets de L coloe par coloe et o vérifiera que l o a, pour toute M M SDP d ordre supérieur ou égal à : matrice ( ) l m mi i ;, li =. l = et Puis, pour tout etier ; : =... = j j= l m l l l m l i + ;, l = ( m l l l l... l l ) = m l l i i i i i i j i j l l j= O testera la foctio avec les matrices suivates : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 3 4 5 6 7 8 9 3 3 3 4 Féelo Saite-Marie 06-07 MP*/PC-PC*/PSI* [ 5-7 ] Marc Lichteberg
TD lgèbre liéaire (Partie II) Polyôme caractéristique. Décompositios LU et de Cholesy. Produit matriciel. Retour sur le produit matriciel Gééralités Cosidéros le produit matriciel des deux matrices et B carrées d ordre : a b α β aα + bγ aβ + bδ B= = c d γ δ cα + dγ cβ + dδ O doit doc effectuer 8 multiplicatios et 4 additios. E e reteat que les multiplicatios pour mesurer la complexité du calcul et e otat c = 8. celle-ci c ( ), o a doc : ( ) 3 De faço géérale, le produit de deux matrices carrées d ordre requiert u total de multiplicatios puisque le calcul de chacu des coefficiets requiert multiplicatios. La méthode de Voler STRSSEN Reveos au cas iitial des matrices carrées d ordre. Le mathématicie allemad Voler STRSSEN (936-) a proposé e 969 d effectuer la multiplicatio des matrices et B de la faço suivate : Calculer : m = ( a+ d) ( α + δ ), m = ( c+ d) α, m3 = a ( β δ ), m4 d ( γ α ) m = ( a+ b) δ, m = ( c a) ( α + β ) et m = ( b d) ( γ + δ ). 5 Calculer alors : 6 a b α β 4 5 7 3 5 B= = c d γ δ m + m4 m m + m3+ m6 O e doit plus effectuer que 7 multiplicatios 7 m + m m + m m + m =, Si ous travaillos maiteat avec des matrices et B carrées d ordre 4, ous pouvos ous rameer à la situatio précédete e effectuat ue multiplicatio par blocs : B B B M + M M + M M + M 4 5 7 3 5 = = B B M + M4 M M + M3+ M6 où les ij et les B ij sot des matrices carres d ordre. O doit doc effectuer 7 produits matriciels de matrices carrées d ordre. Le ombre total de c 4 = 7 c = 7 7= 49. multiplicatios vaudra doc cette fois : ( ) ( ) chaque fois que l o doublera l ordre de la matrice, la complexité sera multipliée par 7. E c = 7 c. d autres termes : ( ) ( ) Féelo Saite-Marie 06-07 MP*/PC-PC*/PSI* [ 6-7 ] Marc Lichteberg
TD lgèbre liéaire (Partie II) Polyôme caractéristique. Décompositios LU et de Cholesy. Produit matriciel. Pour ue matrice d ordre ( ) ( ) ( ) = p avec p, o a classiquemet : l l l 7 l 7 log ( p p p p ) l l l,807 c = c = 7 c = 7 7= 7 = 7 = 7 = e = Le gai peut e pas sembler spectaculaire mais il est détermiat pour de grades valeurs de (il est pas rare que les calculs techiques mettet e œuvre des matrices carrées dot l ordre de gradeur de est 0 000, 00 000 voire plus). Exercice N 7 Mise e œuvre Ecrire ue foctio récursive MulStrasse permettat d effectuer, selo la méthode décrite ci-dessus, la multiplicatio de deux matrices carrées d ordre = p avec p. La foctio MulStrasse s assurera que les ordres des matrices passées e argumet sot tous deux égaux à ue même puissace etière de. Féelo Saite-Marie 06-07 MP*/PC-PC*/PSI* [ 7-7 ] Marc Lichteberg