Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens

Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens I Exercices ccp 25 Analyse 39 On note l 2 l ensemble des suites x = (x n ) de nombres réels telles que la série x 2 n converge.. Démontrer que l 2 est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des suites de nombres réels. 2. (a) Démontrez que pour x = (x n ) l 2 et y = (y n ) l 2, la série x n y n converge. On pose alors (x y) = + n= x n y n. (b) Démontrer que l on définit ainsi un produit scalaire dans l 2. 3. On suppose que l 2 est muni de ce produit scalaire et de la norme associée. Soit p N. Pour tout x = (x n ) l 2, on pose ϕ(x) = x p. Démontrer que ϕ est une application linéaire et continue de l 2 dans C. 4. On considère l ensemble F des suites réelles presque nulles.( c est-àă-dire l ensemble des suites réelles dont tous les termes sont nuls sauf peut-àłtre un nombre fini de termes) Déterminer F. (au sens de ( )). Comparer F et ( F ). Algèbre 68 Soit la matrice A =.. Démontrer que A est diagonalisable de quatre manières : (a) sans calcul, (b) en calculant directement le déterminant det(λi 3 A), où I 3 est la matrice identité d ordre 3, et en déterminant les sous-espaces propres, (c) en utilisant le rang de la matrice, (d) en calculant A 2. 2. On suppose que A est la matrice d un endomorphisme u d un espace euclidien dans une base orthonormée. Trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice de u est diagonale. Algèbre 76 Soit E un R-espace vectoriel muni d un produit scalaire noté ( ). On pose x E, x = (x x).. (a) Énoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz. (b) Dans quel cas a-t-on égalité? Le démontrer. 2. Soit E = {f C ([a, b], R) {, x [a, b] f(x) > }. b } b Prouver que l ensemble f(t)dt a a f(t) dt, f E admet une borne inférieure m et déterminer la valeur de m. Algèbre 77 Soit E un espace euclidien.. Soit A un sous-espace vectoriel de E. Démontrer que ( A ) = A. 2. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. (a) Démontrer que (F + G) = F G. (b) Démontrer que (F G) = F + G. Algèbre 78 Soit E un espace euclidien de dimension n et u un endomorphisme de E. On note (x y) le produit scalaire de x et de y et. la norme euclidienne associée.

. Soit u un endomorphisme de E, tel que : x E, u(x) = x. (a) Démontrer que : (x, y) E 2 (u(x) u(y)) = (x y). (b) Démontrer que u est bijectif. 2. Démontrer que l ensemble O(E) des isométries vectorielles de E, muni de la loi, est un groupe. 3. Soit u L(E). Soit e = (e, e 2,..., e n ) une base orthonormée de E. Prouver que : u O(E) (u(e ), u(e 2 ),..., u(e n )) est une base orthonormée de E. Algèbre 79 Soit a et b deux réels tels que a<b.. Soit h une fonction continue et positive de [a, b] dans R. Démontrer que b a h(x)dx = = h =. 2. Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [a, b] dans R. On pose, (f, g) E 2, (f g) = b a f(x)g(x)dx. Démontrer que l on définit ainsi un produit scalaire sur E. 3. Majorer xe x dx en utilisant l inégalité de Cauchy-Schwarz. Algèbre 8 Soit E l espace vectoriel des applications continues et 2π-périodiques de R dans R. 2π. Démontrer que (f g) = f (t) g (t) dt définit un produit scalaire sur E. 2π 2. Soit F le sous-espace vectoriel engendré par f : x cos x et g : x cos (2x). Déterminer le projeté orthogonal sur F de la fonction u : x sin 2 x. Algèbre 8 On définit dans M 2 (R) M 2 (R) l application ϕ (A, A ) = tr ( t AA ), où tr ( t AA ) désigne la trace {( du produit ) de la matrice t A par la matrice A. a b On note F =, (a, b) R }. 2 b a On admet que ϕ est un produit scalaire sur M 2 (R).. Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de M 2 (R). 2. Déterminer une base de F. 3. Déterminer la projection orthogonale de J = 4. Calculer la distance de J àă F. ( ) sur F. Algèbre 82 Soit E un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie n >. On admet que pour tout x E, il existe un élément unique y de F tel que x y soit orthogonal( à F et ) que la distance ( de ) x à F soit égale àă x y. a b Pour A = et A a b = c d c d, on pose (A A ) = aa + bb + cc + dd.. Démontrer que (.. ) est un produit scalaire sur M 2 (R). ( ) 2. Calculez la distance de la matrice A = au sous-espace vectoriel F des 2 matrices triangulaires supérieures. Algèbre 92 Soit n N. On considère E = M n (R) l espace vectoriel des matrices carrées d ordre n. On pose (A, B) E 2, A, B = tr( t AB) où tr désigne la trace et t A désigne la transposée de la matrice A.. Prouver que, est un produit scalaire sur E. 2. On note S n (R) l ensemble matrices symétriques de E et A n (R) l ensemble des matrices antisymétriques de E. (a) Prouver que E = S n (R) A n (R). (b) Prouver que S n (R) = A n (R). 3. Soit F l ensemble des matrices diagonales de E. Déterminer F. Algèbre 93 Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, orienté par la base orthonormée (i, j, k). Soit f l endomorphisme de E dont la matrice dans la base (i, j, k) est A = 3 6 3 6 4. 6 6 2

. (a) Prouver que f est un endomorphisme orthogonal. II (b) Déterminer l ensemble des vecteurs invariants par f. 2. En déduire la nature de f ainsi que ses éléments caractéristiques. Généralités, orthogonalité, projections Faire des dessins. Lorsque des hypothèses sont données faisant intervenir la norme, penser à élever au carré : le carré de la norme euclidienne se manipule beaucoup plus facilement que la norme euclidienne. Jusqu à présent, lorsque l on devait démontrer qu un extremum était atteint, on pensait à des arguments de continuité et compacité. Pour l unicité, souvent les arguments sont de convexité ou de calcul de dérivée (ou de différentielle) pour la recherche de points critiques. Il faut maintenant penser, pour des problèmes de minimum, au théorème de projection sur un sous-espace de dimension finie. Si on pense que c est cela qu il faut appliquer, on définit un produit scalaire convenable et un sous-espace qui permet de résoudre le problème. Les problèmes de polynômes orthogonaux interviennent dans de nombreux énoncés. L orthonormalisation de Schmidt peut souvent être remplacée par une orthogonalisation, plus légère. Il faut avoir présente à l esprit l interprétation de l orthonormalisation de Schmidt en termes de projection orthogonale. Pour démontrer qu un vecteur d un espace préhilbertien réel est nul, on montrer souvent qu il est orthogonal à tout vecteur, ou encore qu il est orthogonal à luimême. Exercice 3. Soit A une matrice de M n (R), S n le sous-espace de M n (R) formé des matrices symétriques. Déterminer [ (A i,j M i,j ) ]. 2 inf M S n i,j Exercice 4 (Projection sur un convexe fermé, CCP 2 par exemple). On désigne par C une partie convexe non vide d un espace euclidien E.. On suppose C compacte. Démontrer que pour tout élément x de E il existe un unique élément y de C, que l on note p(x), tel que : x y = inf x z z C (= d(x, C)). Le fait que la norme soit euclidienne ne sert que pour l unicité. 2. On suppose seulement C fermée. Démontrer que le résultat précédent est encore vrai. 3. Soit y un élément de C ; démontrer que ( ) ( ) y = p(x) z C y x, y z (pour =, on pourra écrire que, si z C, pour tout t [, ], p(x)+t ( z p(x) ) C). 4. En déduire, si x et x sont deux éléments de E : p(x) p(x ) 2 x x, p(x) p(x ) puis démontrer que p est continue. Exercice (Oral Mines). Soit p un projecteur d un espace euclidien. Démontrer que p est un projecteur orthogonal si et seulement si sa norme subordonnée (à la norme euclidienne) est égale à (on suppose p Θ). Exercice 2 (Oral Mines). Calculer { + inf (x 3 + ax 2 + bx) 2 e 2x ; (a, b) R 2} (le calcul effectif est un peu pénible, on se contentera de donner une méthode efficace!) Exercice 5 (Oral X, écrit Mines, un produit scalaire sur l espace des polynômes). On considère le produit scalaire (P, Q). Vérifier qu il s agit bien d un produit scalaire. P (t) Q(t) dt sur R[X]. 2. Montrer qu il existe une suite orthonormale (P n ) n N d éléments de R[X] telle que deg(p n ) = n pour tout n. 3. Soit n 2. On suppose que P n possède k racines de multiplicité impaire dans ], [, a,..., a k, avec k < n.

(a) Vérifier que, si Q = k (X a i ), alors (P n Q) = (b) En écrivant (P n Q) sous forme intégrale, aboutir à une contradiction. (c) Démontrer que P n est scindé à racines simples, et que ses racines sont toutes dans ], [. 4. On fixe n N. Soit α,..., α n les racines de P n. Montrer qu il existe des réels λ,..., λ n tels que, pour tout P R n [X], on ait P (t) dt = λ i P (α i ) Donner une expression de ces scalaires en fonction des intégrales sur [, ] des L k, où les L k désignent les polynômes interpolateurs de Lagrange associés à la famille (α,..., α n ). 5. On reprend les notations de la question précédente. En utilisant la division euclidienne par P n, montrer que P R 2n [X] P (t) dt = λ i P (α i ). Ce type de résultat est à la base des méthodes de Gauss pour les calculs approchés d intégrales. Exercice 6.. Vérifier que l égalité suivante définit un produit scalaire sur l espace des fonctions polynômes réelles : P, Q 2 = t 2 P (t)q(t)dt On rappelle que les polynômes de Tchebychev sont définis par la relation, valable pour tout n entier naturel et tout réel θ : T n (cos θ) = cos nθ. Démontrer que la famille (T n ) n N est une famille orthogonale ce produit scalaire. 2. Soit E l espace C([, ], R). Montrer que, si (f, g) E 2, f, g 2 = t 2 f(t)g(t)dt est bien défini. Montrer que l on construit ainsi un produit scalaire sur E, et que la famille (T n ) n N est totale. Exercice 7. Soit E l espace vectoriel des applications continues de [, ] dans R, que l on munit du produit scalaire (f, g) f(t) g(t) dt.. Soit f un élément de E, R n sa projection orthogonale sur l espace des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n. Démontrer que la suite (R n ) n N converge vers f dans E. 2. Donner un exemple de suite totale dans E. 3. Démontrer qu il existe une famille (P n ) n N orthonormale de fonctions polynômes vérifiant, pour tout n, deg(p n ) = n. 4. Démontrer que, pour tout élément f de E, f 2 = + n= f, P n 2 Exercice 8. Vérifier que l égalité suivante définit un produit scalaire sur l espace des fonctions polynômes réelles : P, Q = + e t2 P (t)q(t)dt Démontrer qu il existe une unique suite orthogonale de polynômes (P n ) n N, tels que pour tout n, P n soit unitaire (i.e. de coefficient dominant égal à ) de degré n. Démontrer qu il existe deux suites (λ n ) et (µ n ) de réels telles que, pour tout entier naturel n 2, P n = (X λ n )P n µ n P n 2 (indication : décomposer XP n dans la base des P k ). Exercice 9 (Déterminants de Gram : exercices d oral et problèmes d écrit, dont CCP 6). Si u,..., u n sont n vecteurs d un espace préhilbertien réel ( E,.,. ), on définit leur matrice de Gram, G(u,..., u n ), comme la matrice carrée d ordre n dont le coefficient en ligne i et colonne j est u i, u j.

. Démontrer que si la famille (u,..., u n ) est liée alors le déterminant de sa matrice de Gram est nul (on pourra commencer par supposer que u n s écrit comme combinaison linéaire des autres u i ). 2. On suppose maintenant (u,..., u n ) libre, et on considère (e,..., e n ) une base orthonormale de V ect(u,..., u n ). On note : A = M (e,...,e n)(u,..., u n ). (a) Exprimer G = G(u,..., u n ) à l aide d un produit faisant intervenir A et sa transposée. (b) Montrer que le déterminant de G est strictement positif. 3. On suppose la famille (u,..., u n ) libre ; on désigne par F le s.e.v. engendré par (u,..., u n ), et par x un vecteur de E. Démontrer : [ d(x, F ) ] 2 = det ( G(u,..., u n, x) ) det ( G(u,..., u n ) ) On pourra par exemple, dans le calcul de det ( G(u,..., u n, x) ) écrire x = (x z) + z, z désignant le projeté orthogonal de x sur F. Exercice (décomposition QR, oral X, Mines).. En utilisant le procédé d orthonormalisation de Schmidt, démontrer que, si A est une matrice inversible carrée d ordre n à coefficients réels, il existe une matrice Q orthogonale d ordre n et une matrice R triangulaire supérieure à coefficients réels telle que A = QR (on interprétera A comme matrice de passage de la base canonique à la base des vecteurs colonnes, et on orthonormalisera cette dernière). On munit R n, comme d habitude, de sa structure euclidienne canonique. Soit B la base canonique de R n, B 2 = (c,..., c n ) la famille des vecteurs colonnes de A. Comme A est inversible, cette famille est libre, c est donc une base de R n. Soit enfin B 3 obtenue à partir de B 2 par le procédé d orthonormalisation de Schmidt. On a alors P B2 B = P B3 B P B2 B 3 Mais, par définition, P B2 B = A. Et Q = P B3 B est la matrice de passage d une base orthonormale de R n à une base orthonormale de R n, elle est donc orthogonale. Notons B 3 = (f,..., f n ). Le procédé de Schmidt fait que, pour tout k, Vect(c,..., c k ) = Vect(f,..., f k ) Notant R = P B2 B 3. On a alors, pour tout j, n, c j = R i,j f i mais la condition c j Vect(f,..., f j ) implique que, si i > j, R i,j =. Ce qui traduit le fait que R est triangulaire supérieure, et conclut. On n a pas utilisé les formules pour l orthonormalisation de Schmidt, elles sont utiles pour la suite (inégalité de Hadamard) mais pas pour cette première question. 2. En déduire l inégalité de Hadamard : si M est une matrice carrée réelle, (c,..., c n ) la famille de ses vecteurs colonnes,. la norme euclidienne canonique sur R n, alors det M c... c n (expliciter les coefficients diagonaux de R en reprenant l interprétation de la question précédente en termes de matrices de passage). Peut-on avoir égalité? 3. Expliquer l intérêt de la décomposition A = QR pour la résolution d un système AX = B. 4. Y-a-t-il unicité de la décomposition? Exercice (Matrices de Householder et décomposition QR). On se permet dans cet exercice d identifier un vecteur u de R n et la matrice colonne U de ses composantes dans la base canonique. L espace R n est muni de sa structure euclidienne canonique. On définit la matrice : H(u) = I n 2 u 2 U t U où u est un vecteur non nul de R n et on la confond avec l endomorphisme de R n qui lui est canoniquement associé.

. Démontrer que, pour tout vecteur x de R n, H(u)(x) = x 2 u 2 ( u x ) u Quelle est la nature géométrique de l endomorphisme H(u)? 2. Soit A une matrice carrée réelle inversible d ordre n. Soit c le premier vecteur colonne de A. Déterminer u tel que H(u)c soit une colonne de la forme t ( c,,..., ). En déduire un algorithme permettant d obtenir une décomposition QR de A. Exercice 2 (Oral Mines). Soit, dans E préhilbertien réel, (u i ) i I une famille de vecteurs unitaires de E tels que, si i j, u i u j =. Montrer qu une telle famille est libre. Si E est de dimension finie n, peut-on trouver une famille de n vecteurs ayant ces propriétés? III Isométries vectorielles, endomorphismes symétriques L outil principal pour l étude des endomorphismes symétriques (ou matrices symétriques) est le théorème fondamental ou théorème spectral, dont on se sert sous forme matricielle ou sous forme vectorielle. Si A est la matrice de u dans la base orthonormée des e i, on a a i,j = ( e i u(e j ) ). Exercice 3 (Matrices symétriques positives, définies positives). Exercice important...on traitera indépendamment les questions matricielles (les trois premières) et les questions vectorielles (les deux dernières). On dit qu une matrice symétrique M S n (R) est positive lorsque X M n, (R) X T M X On note S + n (R) l ensemble des matrices symétriques positives. Montrer qu une matrice symétrique est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont dans R +. Par théorème spectral, il existe P O n (R) et D D n (R) (matrices diagonales) telles que M = P DP = P DP T Donc X M n, (R) X T M X X M n, (R) X T P DP T X X M n, (R) (P T X) T D (P T X) Y M n, (R) Y T D Y car l application X P T X est un automorphisme de M n, (R) (réciproque : X P X). y λ... y 2. Détaillons maintenant : si Y =. et D =......,....... y n... λ n Y T D Y = λ i yi 2

...(à terminer)... 2. Montrer que tous les coefficients diagonaux d une matrice symétrique positive sont positifs. Donner un exemple de matrice symétrique positive dont tous les coefficients sont strictement négatifs sauf les coefficients diagonaux. Soit S S n (R). On remarque que, si E =,. E T S E = S, et donc, S,. De même pour tous les autres S i,i. La question suivante est plus délicate. La bonne idée est évidemment de chercher une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont positives et dont tous les coefficients hors diagonale sont strictement négatifs. On peut se souvenir (exercice sur les disques de Gerschgorin et les matrices à diagonale strictement dominante) que si les coefficients diagonaux sont «grands» devant les autres, les valeurs propres sont «proches» de ces coefficients dominants. Plus clairement, si α... α α....... S =....... α α... et si α est très petit en valeur absolue, il serait bien étonnant que les valeurs propres de S soient loin de. Mais en fait, S = αj + ( + α)i n (J la matrice dont tous les coefficients sont égaux à, et on connaît les valeurs propres de J : et n. Donc on connaît celles de S : + α et (n )α. Si on choisit α ], /(n )[, on a donc un exemple de matrice symétrique positive dont tous les coefficients sont strictement négatifs sauf les coefficients diagonaux. 3. On dit qu une matrice symétrique M S n (R) est définie positive lorsque X M n, (R) X T M X > On note S n ++ (R) l ensemble des matrices symétriques positives. Caractériser par leur spectre les éléments de S n ++ (R) parmi les éléments de S n (R). 4. Soit (E, (..)) un espace euclidien, u un endomorphisme symétrique de E. On dit que u est symétrique positif lorsque x E (x u(x)) Montrer qu un endomorphisme symétrique u est positif si et seulement si Sp(u) R +. Par théorème spectral, il existe une base orthonormale (e,..., e n ) de vecteurs propres de u : i, n u(e i ) = λ i e i où Sp(u) = {λ,..., λ n } On a alors, si x = x i e i E, (x u(x)) = λ i x 2 i (ce qui ne serait pas vrai si (e,..., e n ) était une base non orthonormale de vecteurs propres de u)....a compléter... 5. Définir et caractériser un endomorphisme symétrique «défini positif» Exercice 4 (Formule variationnelle). Soit u un endomorphisme symétrique d un espace vectoriel euclidien E. Montrer que l application x (x u(x)) x 2 atteint sur E \ { E } un minimum et un maximum, les exprimer en fonction des valeurs propres de u. Traduire ce résultat matriciellement. Par théorème spectral, il existe une base orthonormale (e,..., e n ) de vecteurs propres de u : i, n u(e i ) = λ i e i

où Sp(u) = {λ,..., λ n }. On suppose λ... λ n On a alors, si x = x i e i E, (x u(x)) = ce qui permet d encadrer : λ i x 2 i (x u(x))......a compléter... Exercice 7 (étude d une suite d endomorphismes). Soit E un espace euclidien, u une isométrie vectorielle de E, on définit v = Id E u.. Démontrer que ker v = (im v). 2. On définit P n = n u k. n Démontrer que ( P n (x) ) converge, pour tout élément x de E, vers la projection n N orthogonale de x sur ker v. k= Exercice 5 (Adjoint). Soit (E, (..)) un espace euclidien, B une base orthonormale de E, u un endomorphisme de E. On note A = M B (u), et on note u l endomorphisme de E tel que M B (u ) = A T.. Montrer que u est l unique endomorphisme de E tel que (x, y) E 2 (u(x) y) = (x u(y)) 2. Déterminer le noyau et l image de u en fonction du noyau et de l image de u. 3. Si u S(E), que vaut u? 4. Si u O(E), que vaut u? 5. Montrer qu un sous-espace vectoriel F est stable par u si et seulement si F est stable par u. Exercice 8 (Connexité par arcs de SO(2)).. Définir ( une application ) continue φ de [, ] dans SO(2) telle que φ() = I 2 et φ() = cos θ sinθ sin θ cos θ 2. On considère M SO(n) (n 2). En utilisant la réduction des isométries vectorielles, construire une application t M(t), de [, ] dans SO(n), continue, telle que M() = I n et telle que M() = M (on dit que SO(n) est connexe par arcs). 3. Montrer que, si M SO(n) et M O(n) \ SO(n), il n existe pas d application ψ continue sur [, ], à valeurs dans O(n), telle que ψ() = M et ψ() = M Exercice 9 (Produit scalaire canonique sur M n (R)).. Démontrer que l application (A, B) Tr(A T B) est un produit scalaire sur M n (R). Exercice 6 (Oral Mines). Soit A une matrice orthogonale carrée d ordre n. Soit U la colonne.. Exprimer a i,j à l aide de U et de A. En déduire : i,j Y-a-t-il des cas d égalité? a i,j n. i,j On peut le vérifier sans grande difficulté. Le plus rapide n est pas la méthode a priori la plus élégante : on développe Tr(A T B) = i,j n A i,j B i,j ce qui montre qu on a en fait défini de manière «synthétique» le produit scalaire canonique sur M n (R), i.e. le produit scalaire pour lequel la base canonique est orthonormale.

2. On note. la norme associée. Calculer la norme d une matrice en fonction de ses coefficients. 3. En utilisant une inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que pour toutes matrices A et B dans M n (R), AB A B 4. Si A est une matrice symétrique, écrire A en fonction des valeurs propres de A. 5. Quel est, pour ce produit scalaire, l orthogonal de l espace des matrices symétriques? Exercice 2 (racine carrée d une matrice symétrique positive, décomposition polaire). La décomposition polaire d un endomorphisme est analogue à la décomposition trigonométrique d un nombre complexe (forme module-argument). C était un grand classique lorsque les matrices symétriques positives et les endomorphismes symétriques positifs étaient au programme. Montrer que M S n (R) est définie positive si et seulement si 4. Soit A GL n (R). X M n, (R) \ {()} X T M X > (a) Vérifier que A T A est une matrice symétrique définie positive. (b) Démontrer qu il existe un couple (Q, S) de matrices, la première orthogonale et la seconde symétrique définie positive, telles que A = QS. 5. Montrer que GL n (R) est dense dans M n (R). 6. Montrer que O(n) est compact. 7. Soit A M n (R). 8. Démontrer, en utilisant les questions précédentes, qu il existe un couple (Q, S) de matrices, la première orthogonale et la seconde symétrique positive, telles que A = QS. On dit qu une matrice symétrique (respectivement un endomorphisme autoadjoint) est positive (respectivement positif) lorsque toutes ses valeurs propres sont positive. Soit E un espace euclidien de dimension n.. Si A est une matrice symétrique positive, montrer qu il existe B symétrique positive telle que B 2 = A Que dire de B si A est supposée définie positive, i.e. si toutes ses valeurs propres sont strictement positives? 2. Soit u un endomorphisme symétrique positif. (a) Etablir l existence d un endomorphisme h symétrique positif telle que h 2 = u. (b) En utilisant le fait que, si h 2 = u, h et u commutent, démontrer l unicité de h. Que peut-on dire de h si u est défini positif? 3. Montrer qu une matrice M S n (R) est symétrique positive si et seulement si X M n, (R) X T M X En déduire que l ensemble des matrices symétriques positives est fermé dans M n (R). Exercice 2.. On dit qu une matrice symétrique est positive lorsque toutes ses valeurs propres sont positives. Montrer qu une matrice symétrique positive admet une «racine carrée» symétrique positive (on ne demande pas d examiner l unicité). 2. Si A est symétrique positive et inversible, démontrer que A s écrit A = C t C où C est triangulaire inférieure (décomposition de Choleski). On pourra utiliser l exercice sur la la décomposition QR. Exercice 22 (Oral X). Soit E un espace euclidien de dimension n.. Soit B = (e,..., e n ) une base orthonormale de E. Montrer u L(E) tru = (e i u(e i )) 2. Soit h un endomorphisme symétrique positif dont les valeurs propres sont toutes positives. Démontrer que, pour tout automorphisme orthogonal w, tr(wh) tr(h).

Exercice 23.. Soit λ,..., λ n des réels positifs. Démontrer que [ n ] /n [ n ( + λ i ) + (λ i ) 2. On dit qu une matrice symétrique est positive lorsque toutes ses valeurs propres sont positives. Montrer qu une matrice symétrique positive admet une «racine carrée» symétrique positive (on ne demande pas d examiner l unicité). 3. Utiliser les questions précédentes pour montrer que, si A est symétrique positive d ordre n, [ det(in + A) ] /n + [ det(a) ] /n puis que, si A et B sont symétriques positives, ] /n [ det(a + B) ] /n [ det(a) ] /n + [ det(b) ] /n (on remarquera que seul le cas où au moins l une des deux matrices est inversible est intéressant. Si A est symétrique positive inversible, on écrira, en notant A /2 la «racine carrée» de A et A /2 son inverse B = A /2( A /2 BA /2) A /2 et on se ramènera à l inégalité précédente.. Démontrer que u est antisymétrique si et seulement si, pour tout vecteur x de E, u(x) est orthogonal à x. 2. Quelles sont les valeurs propres possibles pour un endomorphisme antisymétrique? peut-il être diagonalisable? 3. Soit A la matrice de l endomorphisme u dans une base orthonormale. A quelle propriété de A reconnaît-on que l endomorphisme u est antisymétrique? 4. Démontrer que L(E) est somme directe de l espace des endomorphismes antisymétriques et de l espace des endomorphismes symétriques. Quelles sont les dimensions de ces deux espaces? 5. Démontrer que, si u est antisymétrique, il existe une base orthonormale de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs du type λ J...... λ r J ( ) où J = Exercice 24 (exponentielle d une matrice symétrique). Montrer que l exponentielle d une matrice symétrique réelle est une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. Enoncer et démontrer une réciproque. Exercice 25. Montrer que les éléments de SO(2) sont les exponentielles des matrices de A 2 (R). Exercice 26 (endomorphismes antisymétriques). On dira qu un endomorphisme u de l espace euclidien E est antisymétrique lorsque (x, y) E 2 (u(x) y) = (x u(y)) Exercice 27 (étude géométrique d endomorphismes). On considère, dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, les endomorphismes dont les matrices dans une base orthonormée directe sont :, 3 2 2 2 2, 2 2 4 2 + 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 + 3 4 3 6 3 6 6 6 2 Déterminer leurs natures géométriques et leurs éléments caractéristiques, bref les «réduire». On note A(E) l ensemble des endomorphismes antisymétriques de E. Il est assez clair que c est un s.e.v. de L(E).

Exercice 28 (Même chose à l envers). Ecrire, dans R 3 muni de sa structure euclidienne canonique orientée, la matrice de la rotation d angle π/4 autour du vecteur (,, ). Exercice 29 (Oral Mines). Dans R 3 euclidien, montrer que p q r r p q q r p est la matrice d une rotation si et seulement si p, q et r sont les racines d un polynôme à déterminer. Exercice 3. Démontrer que l application t (P, Q) P (t)q(t) dt + t définit un produit scalaire sur l espace E des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n (n est un entier supérieur ou égal à 2).Démontrer que l endomorphisme L de E défini par L(P ) = (X 2 )P + (2X + )P est autoadjoint pour le produit scalaire considéré. Déterminer ses valeurs propres.. Montrer que S u t u est une matrice positive si et seulement si t us u. on commencera par traiter le cas S = I n, puis on utilisera dans le cas général une «racine carrée» de S. 2. Montrer l équivalence des deux propriétés suivantes : (A) Il existe x tel que t x S x = ( t x u) 2 (B) t u S u Pour une implication, on pourra utiliser le fait que si une application φ est continue sur R n à valeurs réelles, alors φ(r n ) est un intervalle. Exercice 33. Soit A, B deux matrices symétriques dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.. Montrer qu il existe une matrice A symétrique, dont toutes les valeurs propres sont strictement positives, et telle que A 2 = A. 2. Démontrer que AB est diagonalisable. 3. Démontrer que l application X XT A X X T X atteint un minimum et un maximum sur M n, (R) \ {()}, et exprimer ces extremums en fonction du spectre de A 4. Montrer que les valeurs propres de AB sont comprises entre le produit des plus petites valeurs propres de A et B et le produit des plus grandes. Exercice 3 (Oral Mines, X). Soit E un espace vectoriel euclidien. Démontrer que l ensemble P des projecteurs orthogonaux de E est compact. Trouver les extremums de (p, q) tr(pq) sur P 2. Exercice 34 (Oral X). Si S et T sont deux matrices symétriques dont toutes les valeurs propres sont positives, montrer que tr(st ). Exercice 32 (d après Ulm-Cachan ). Soit S une matrice n n réelle symétrique définie positive (i.e. dont toutes les valeurs propres sont strictement positives), et u R n. On confond les vecteurs de R n et les vecteurs colonnes de leurs composantes dans la base canonique. Exercice 35. Soit u, v deux endomorphismes symétriques d un espace de dimension n : E. On suppose que toutes les valeurs propres de u et de v sont positives. Démontrer que n n det(uv) tr(uv) tr(u) tr(v).

Exercice 36 (ens). Soit A S n (R), de valeurs propres λ,..., λ n, supposées strictrement positives, et f convexe sur R +. Montrer que, pour tout i, a i,i > puis que f(a i,i ) Qu obtient-on si l on prend f = ln? f(λ i ) Exercice 37 (Oral X). Sur S n (R), on définit la relation par : A B B A S + n (R) où S + n (R) est l ensemble des matrices symétriques dont les valeurs propres sont positives.. Montrer que M S n (R est symétrique positive si et seulement si X M n, (R X T AX 2. Montrer que est une relation d ordre sur S n (R). 3. Montrer que toute suite croissante et majorée dans (S n (R, ) est majorée. 4. Si A S n ++ (R) et X M n, (R), calculer sup{2 X, Y AY, Y ; Y M n, (R)} où S n ++ (R) désigne l ensemble des matrices symétriques dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. 5. En déduire que A B A B quels que soient A et B dans S n ++ (R) Exercice 38. Centrale Soit E = C 2 ([, ], R), et φ : (f, g) ( f(t)g(t) + f (t)g (t) ) dt.a. Montrer que φ est un produit scalaire.b. Soit V = {f E, f() = f() = }, W = {f E, f = f }. Montrer que E = V W ; quelle est la projection orthogonale sur W?c. Soit E α,β = {f E, f() = α et f() = β}. Déterminer { ( Inf f 2 (t) + f 2 (t) ) dt}. f E α,β