ière Parie: VIRTIONS haire 5: Mouveen à lusieurs degrés de liberé Dr Fouad OUKI HENE E P S T T E M E N N N É E 5-6
Objecifs:. es équaions différenielles d un ouveen coulé. es différenes soluions du roblèe. a noion des odes rores 4. e hénoène du aeen 5. e ouveen forcé à lusieurs degrés de liberé 6. Noions de «Résonance e nirésonance» 7. Quelques licaions
Définiions: On défini les sysèes à lusieurs degrés de liberé ar les sysèes qui nécessien lusieurs coordonnées indéendanes. e nobre de degré de liberé Déerine le nobre des équaions différenielles es odes rores du ouveen.
Il eise deu yes de sysèes : Sysèes à lusieurs sous sysèes découlés: coe le onre la figure.5: Figure.5 : Mouveen oscillaoire non coulé à deu degrés de liberé
Il eise deu degrés de liberé :, e agrangien du sysèe s écri alors: i i i i i i es deu sous sysèes son indéendans e découlés: e sysèe différeniel s erie alors: d d d d On considère des eies oscillaions devan la longueur du ressor,
On obien un sysèe différeniel découlé qui s erie coe sui: avec, es deu soluions des sous-sysèes son indéendanes de la fore: cos cos
Pour un sysèe forcé, on a le odèle rerésené dans la figure.5 coe sui: es équaions différenielles du sysèe son données coe sui: F F Figure.5 : Mouveen Forcé non coulé à deu degrés de liberé
Sysèe colee : es un sysèe consiué ar lusieurs sous-sysèes coulés coe le onre la figure.5: Figure.5 : Mouveen oscillaoire d un sysèe coulé à deu degré de liberé
e agrangien du sysèe s écri coe sui:,,, i i i i i i e sysèe différeniel s écri: d d d d es ulsaions rores : On considère les soluions du sysèe de yes sinusoïdales j j e e
o En relaçan les soluions dans le sysèe différeniel, On obien un sysèe linéaire suivan : o e sysèe ade des soluions non nulles si seuleen si: D où : o équaion araérique s écri de K 4
o On défini les consanes suivanes coe sui: K e Ou K es aelée le coefficien du coulage, o es deu ulsaions rores son : 4 4 K K
o a soluion générale su sysèe s écri sous la fore d une suerosiion des deu odes rores, coe sui : o Il eise 6 consanes à déeriner: cos cos cos cos,,,,, o fin de silifier le nobre d inconnu; On déerine les raors d aliudes au odes rores: /, /,
Il eise lusieurs yes de coulage: Figure 4.5 : oulage équivalen, Résisance-Force de froeen Figure 5.5 : oulage équivalen, aacié-ressor
aeens : On éudie le coulage de deu sysèes écaniques ideniques rerésenés dans la figure 6,5 coe sui: Figure 6.5 : Mouveen oscillaoire coulé de deu sous-sysèes ideniques
es nouvelles équaions du ouveen s écriven coe sui: es soluions du sysèe son de yes sinusoïdau : e e j j En relaçan les soluions dans le sysèe différeniel, On obien un sysèe linéaire syérique suivan : e sysèe ade des soluions non nulles si seuleen si: de
D où: lors on obien l équaion araérique suivane : rès calcul, on obien les deu ulsaions rores : es soluions générales son de la fore suivane: cos cos cos cos
On éudie les raors d aliude our chaque ode rore ; On a ainsi: Pour: Figure 7.5 : Ea du sysèe our le reier ode. «En hase»
Pour: Figure 8.5 : Ea du sysèe our le deuièe ode. «En oosiion de hase»
es soluions générales deviennen alors: cos cos cos cos On eu réécrire les soluions générales sous la fore aricielle: V P cos cos V : rerésene le veceur des odes rores P :rerésene la arice de assage vec:
En aliquan les condiions iniiales suivanes : On obien les quare équaions: sin sin cos cos sin sin cos cos
On soe e on sousrai les deu ebres de chaque équaion ; on aura : sin cos sin cos cos sin cos sin e D où : lors la soluion générale s écri coe sui: sin sin cos cos cos cos cos cos
On ose les consanes suivanes: lors les aliudes s erien coe sui: e cos cos sin sin On consae que l aliude es odulée. e hénoène es aelé les baeens ; Figure 9.5 : Phénoène les baeens Où «Modulaion d aliude»
On alique une force eérieure de fore sinusoïdale au reier sous sysèe qui s erie coe sui: j e e F R F es équaions différenielles du ouveen s écriven coe sui : F e R F d d F d d j e Mouveen oscillaoire forcé à deu degrés de liberé:
es soluions ariculières son de la fore: j j e e On obien un sysèe linéaire forcé suivan : j j e e vec F ~ ~ ~ ~ ~ ~
les odules des aliudes son eriés coe sui : F F F F quand quand e cons an a résonance ni résonance On obien deu hénoènes:
a figure.5 illusre bien les hénoènes de résonance e d anirésonance Figure.5 : Phénoène de résonance e d ani-résonnance à deu degrés de liberé
licaion: En aliquan la force de froeen au sysèe à deu degrés de liberé ; on éliinera les singulariés au niveau des odes rores. c es l une des alicaions les lus inéressanes en régie forcé. on eu cier coe eele ; l aorisseur de FRHM
e odèle écanique es donné coe sui figure.5 : Modèle écanique de l aorisseur de FRHM
es nouvelles équaions différenielles du ouveen: K K M F K K d d F d d i e cos K K M F K K En régie eranen, En relaçan la fore des soluions ariculières: i i e e e
En relaçan dans le sysèe différeniel, on obien un sysèe linéaire coe sui: ˆ ˆ ˆ K M K F K i K es odules d aliudes des soluions ariculières s écriven alors coe sui: ˆ ˆ 4 4 M K i M K M K K M K F M K i M K M K K M K F
a asse es iobile lorsque la ulsaion de la force eérieure es égale à : a K M D où l aliude es nulle dans ce cas. Dans ces condiions, un el disosiif es aelé Un éouffeur dynaique de vibraions
a figure illusre les hénoènes de résonance e d anirésonance Figure 4.5 : Phénoène de résonnance e d anirésonance
Figure.5. : licaion echnique de l aorisseur de FRHM où l Eouffeur dynaique
Il es efficace our une bande de fréquence rès réduie. En effe ; la asse doi êre lus faible que la asse M qui doi êre aorie On eu cier d aures eeles d alicaions : l oscillaion des véhicules
Pour degrés de liberé: On a le sysèe écanique à rois degrés de liberé coulé coe sui: Figure.5 : Mouveen oscillaoire à rois degrés de liberé Pour l énergie cinéique on a : E c i énergie oenielle es alculée coe sui: E
e agrangien s erie alors:,,,,, i i i d d d d d d arir du odèle de agrange, le sysèe différeniel s écri coe sui :
On obien un sysèe différeniel coulé à rois inconnus, On considère les soluions du sysèe de ye sinusoïdales; e e e j j j En relaçan les soluions dans le sysèe différeniel, On obien un sysèe linéaire suivan :
On eu réécrire le sysèe linéaire sous la fore aricielle: e sysèe ade des soluions non nulles si seuleen si de On obien l équaion araérique suivane: ] [
Donc les ulsaions rores son déerinés coe sui: cos cos cos. P insi les soluions générales s écriven en foncion des odes rores coe sui Où P es la arice de assage qui relie les soluions générales en foncion des odes rores,
es éléens de la arice de assage son les coosanes des veceurs rores associés à chaque ode rores, Pour le reier veceur rore associé à la valeur rore: V Es: V
Pour le deuièe veceur rore associé à la valeur rore: Es: V V
Pour le roisièe veceur rore associé à la valeur rore: Es: V V
a arice de assage s écri alors : V V V P a soluion générale s écri sous la fore d une cobinaison linéaire des odes rores coe sui : cos cos cos cos cos cos cos
oulage uuel: Soien deu circuis ideniques de résisances négligeables, figure 4.5. e coulage ar inducance uuelle M es caracérisé ar le coefficien de coulage: M ind Figure 48.5 : oulage uuel de deu circuis élecriques.
e sysèe a deu degrés de liberé eriés en q e q, es deu équaions différenielles du sysèe s écriven: ircui ircui q q a a ind ind di d di d M M di d di d En inroduisan le coulage: M ind ind a ircui ircui q q q q q q On obien un sysèe différeniel coulé
En osan les nouvelles variables généralisées: q q D q q S On obien les nouvelles équaions du ouveen rerésenées coe sui : D D S S Il eise deu ulsaions rores e son définies coe sui: e
es lois d évoluion des charges q e q: q q q q cos cos sin sin vec a naure du ouveen : les baeens Figure 5.5 : Phénoène : les baeens où «Modulaion d aliude»
e qu il fau reenir! es sysèes à lusieurs degrés de liberé nécessien lusieurs coordonnées indéendanes e nobre de degré de liberé déerine le nobre des équaions différenielles ainsi que les odes rores du ouveen. Il eise deu yes de sysèes: Sysèes à lusieurs sous sysèes découlés es Soluions son découlées Sysèes coulés ar lusieurs sous sysèes es Soluions son une cobinaison ar lusieurs odes rores es aeens son régis ar deu ouveens oscillaoires haroniques de êe direcion se suerosen,
si les fréquences son roches, la vibraion résulane es un ouveen oscillaoire non haronique, don l'aliude varie ériodiqueen dans le es e hénoène de résonance se anifese lorsque la réonse d'un sysèe es au aiu à eciaion consane e hénoène d nirésonance se anifese lorsque la réonse d'un sysèe es au iniu à eciaion consane