Probabilités «Pour compredre l actualité, ue formatio à la statistique est aujourd hui idispesable ; c est ue formatio qui développe des capacités d aalyse et de sythèse et exerce le regard critique. Le lagage élémetaire de la statistique (avec ses mots tels que moyee, dispersio, estimatio, fourchette de sodage, différece sigificative, correctios saisoières, espérace de vie, risque, etc.) est, das tous les pays, écessaire à la participatio aux débats publics : il coviet doc d appredre ce lagage, ses règles, sa sytaxe, sa sématique ; l eseigemet de la statistique état, par ature, associé à celui des probabilités, il s agit e fait d ue formatio à l aléatoire». Le rapport de la commissio de réflexio sur l eseigemet des mathématiques, d où la citatio précédete est extraite, évoque das les termes suivats l eseigemet au collège et au lycée : «L objectif d ue iitiatio aux probabilités et à la statistique aux iveaux collège et lycée est d erichir le lagage, de repérer des questios de ature statistique, de défiir des cocepts qui foderot u mode de pesée pertiet, rassurat, remarquablemet efficace. Les modes usuels de représetatio graphique (histogrammes, diagrammes e bâtos otammet), c est-à-dire les élémets de base du lagage graphique de la statistique sot aujourd hui eseigés e collège et ue itroductio à l aléatoire, appuyée sur le calcul de probabilités et la simulatio, est proposée das les ouveaux programmes de lycée». La mise e place du socle commu modifie cette répartitio, e demadat que les élèves, à la fi de la scolarité obligatoire, coaisset «les otios de chace ou de probabilité». Alors qu u eseigemet des probabilités a depuis logtemps trouvé sa légitimité au iveau du lycée, u tel eseigemet est ue ouveauté e Frace au iveau du collège, cotrairemet à la situatio existat das de ombreux pays voisis (Allemage, Espage, ). Le programme de troisième comporte la rubrique reproduite ci-dessous : Ce documet explicite les choix faits das le programme de troisième, e précisat les cotextes qui serot privilégiés das les premières situatios d eseigemet. Le paragraphe traite des expérieces aléatoires à deux épreuves, sur lesquelles aucue compétece est exigible das le cadre du socle commu. L aexe doe les diverses iterprétatios de la otio de chace (ou probabilité) et l aexe doe quelques élémets sur l émergece de la otio de probabilité. Das ces aexes, certais développemets ou calculs, justifiat les résultats importats, fot référece à la théorie eseigée das l eseigemet supérieur. Voir e bibliographie l ouvrage [], pages et.
. Probabilités défiies à partir de cosidératios de symétrie ou de comparaiso Das chacue des situatios ci-dessous, deux issues (ou résultats) sot possibles, et o a chace sur de tirer Pile, de tirer ue boule P rouge, ou de Ftomber sur la régio P, ce que l o traduit e disat que la probabilité de chacue d elles est égale à /. Lacer d ue pièce équilibrée Tirage d ue boule das P ue ure F Tirage avec ue roue de loterie P P G P F G R D autres situatios classiques permettet d obteir d autres valeurs pour les probabilités des différetes issues (ou évéemets) : R R Les dispositifs précédets peuvet être adaptés pour mettre e évidece des évéemets ayat pas la même probabilité. Das le tirage au hasard d ue boule das l ure, - o a chaces sur d obteir ue boule rouge. G - la probabilité d obteir ue boule jaue est /. Il y a 0% de chace d obteir ue boule jaue. P 90 0, Les justificatios solliciterot l ue quelcoque des iterprétatios de la probabilité : iterprétatio fréquetiste das sa variate «propesio» ; mais certais élèves ferot certaiemet appel à l iterprétatio épistémique, das sa variate persoelle ou iterpersoelle R ; la variate logique coduisat à faire appel au pricipe d idifférece (ou de raiso isuffisate).
R R E laçat cette roue de loterie «équilibrée», la probabilité de tomber sur la régio R est /, Par tirage das ue ure ayat la compositio suivate : où chacue des boules a la même probabilité d être tirée, les «résultats»,,, et ot respectivemet comme probabilités : /, /6, /, /6 et 90 /. L exploitatio de tels exemples peut déboucher sur la mise e place de la formule de Laplace : la probabilité d u résultat est égale au quotiet du ombre d issues favorables (issues das lesquelles o obtiet le résultat) 0, par le ombre total d issues possibles lors du tirage. Par exemple, quatre issues sot favorables au résultat, sur u total de issues possibles. O peut e déduire que la probabilité de l évéemet «e pas tirer ue boule portat le uméro» est égale à 8/ ou /, et que celle d obteir u résultat pair est égale à 90/, premier cotact avec la recherche de la probabilité d u évéemet cotraire ou de la probabilité d obteir l u ou l autre de deux évéemets. L exercice suivat, tiré de l évaluatio PISA, fait appel à ce mode de calcul d ue probabilité : La mère de Kevi lui permet de predre u bobo das u sachet opaque. Kevi e voit doc pas les bobos. Le ombre de bobos de chaque couleur coteus das le sachet est illustré par le graphique suivat : 7 6 0 Marro Violet Rose leu Vert Jaue Orage Rouge Quelle est la probabilité que Kevi pree u bobo rouge? A 0% 0% C % D 0%
Des exemples de calculs de probabilités «géométriques» tels que ceux qui suivet permettet égalemet de calculer les probabilités des évéemets du type «atteidre ue régio précise de la cible» ou «obteir u écho radar das ue zoe précise de l écra de cotrôle» : 0, O imagie qu u tireur tire parfaitemet au hasard sur la cible ci-cotre, sas jamais la rater (!). Tous les carrés sot cocetriques et leurs côtés ot pour mesure a, a et a. Quelles sot les probabilités pour qu il gage 0 poits, 0 poits, poit? La probabilité relative à ue régio est proportioelle à so aire : c est le rapport de so aire à celle de la cible. 0 9 8 7 6 Répose : /9, / ou /9, /9. La recherche de la probabilité de tirer das ue régio portat u uméro supérieur ou égal à permet de mettre e place que l o peut additioer les probabilités d évéemets icompatibles ou qu il est parfois plus facile de calculer d abord la probabilité de l évéemet cotraire. M r/ r Sur l écra circulaire de rayo r d u radar, o suppose que le poit M représetat u avio se projette au hasard sur l écra. Quelle est la probabilité pour qu il 0 apparaisse das la zoe colorée, disque de rayo r/? 0, Répose : /. O peut étudier des exemples plus compliqués du même type que le premier : 0 9 8 7 6 U tireur tire parfaitemet au hasard sur cette ouvelle cible, sas jamais la rater. Tous les cercles sot cocetriques, leurs rayos sot r, r, r, r, r et le carré a u côté de logueur r. Quelles sot les probabilités pour qu u poit d impact appartiee à chacue des régios 0, 9,,? Répose : 0,0 ; 0,06 ; 0,09 ; 0, ; 0,96 ; 0,. (Valeurs approchées). M r/ r 0
. Approche fréquetiste de la probabilité Les situatios précédetes e sot guère pertietes pour aborder l iterprétatio fréquetiste de la probabilité comme «fréquece limite». Or cette iterprétatio est très importate pour les applicatios des probabilités das des situatios de la vie courate. Elle permet e outre de doer ue justificatio des calculs de probabilités das des expérieces à deux épreuves, traités au paragraphe 6. L approche fréquetiste exige que des fréqueces soiet observées expérimetalemet ; le lacer d ue puaise (pouvat tomber suivat la positio ou la positio «0» ci-dessous) a logtemps servi d exemple das les pays aglo-saxos : P F 0 Pour u petit ombre de lacers successifs, la suite des résultats semble e suivre aucue loi. Mais, e laçat u grad ombre de fois la puaise, la suite de résultats et «0» laisse apparaître ue régularité das la fréquece de chacue des deux issues. Aisi, les fréqueces observées du résultat e foctio du ombre de lacers coaisset au début ue forte variabilité qui ted à se réduire avec le ombre de lacers. L itérêt du lacer de puaise réside das le fait que seule l expérimetatio permet de proposer ue probabilité au résultat. Il est importat, das u premier temps, que les élèves puisset costater matériellemet ce phéomèe R de stabilisatio des fréqueces. Toutefois, pour éviter les lacers de puaises (!), o peut proposer la situatio du jeu du «Frac Carreau», e cherchat à détermier approximativemet la probabilité de gager. Le jeu de «Frac Carreau» cosiste à predre ue pièce de moaie (de cm de rayo, par exemple), et à la lacer sur u carrelage dot les carreaux sot des carrés (de 0 cm de côté, par exemple). O fait «Frac Carreau» quad la pièce tombe sur ue seule case, dot elle peut toucher les bords, mais sas empiéter sur ue autre case. Das ce cas, o gage u euro ; sio, o perd u euro. Le joueur perd «Frac Carreau» : le joueur gage Le joueur a-t-il davatage de chace de gager que de perdre? L idée d etrepredre ue série de lacers et de s itéresser à la fréquece de succès est alors assez aturelle, et s appuie sur la coaissace aïve de la loi des grads ombres Voir [8] e bibliographie. Par exemple, o peut remplacer le carrelage du sol par u quadrillage sur papier.
évoquée par eroulli : «plus o fait d observatios, mois o risque de s écarter de otre but». Pour augmeter le ombre de lacers, o peut mettre e commu les résultats obteus par des groupes d élèves, puis par l esemble de la classe 6. Cette situatio présete l avatage que l o peut détermier cette probabilité à l aide de cosidératios géométriques, sas que cette valeur soit coue au départ (comme c est le cas avec le jeu de pile ou face avec ue pièce «équilibrée», ou le jeu du lacer d u dé cubique «o truqué»). O peut coduire cette justificatio avec les élèves e leur posat la questio : «Das quelle partie du carré doit se trouver le cetre de la pièce pour que le joueur puisse faire Frac Carreau?» La répose (carré de côté 8 cm, das l exemple) permet de calculer la probabilité à l aide du rapport des aires des deux carrés. Das u secod temps, pour disposer facilemet d u grad ombre d épreuves et iterpréter graphiquemet les résultats, o peut faire usage d ue simulatio sur u tableur. Par exemple, la situatio suivate : Sur u segmet S, o pred au hasard deux poits A et. O cosidère l évéemet «La logueur du segmet [A] est strictemet supérieure à la moitié de celle du segmet S». Quelle est la probabilité de cet évéemet? peut être simulée à l aide d u tableur de la maière suivate. E preat la logueur de S comme uité, A et peuvet être détermiés par leurs abscisses qui sot des ombres compris etre 0 et, ombres que l o peut obteir à l aide de la foctio ALEA(). A C D E F Expériece Abscisse Abscisse Distace A A > 0, Fréqueces N de A de =ALEA() =ALEA() =MAX(;C) MIN(;C) =SI(D>0,;;0) =E/A =A+ =ALEA() =ALEA() =MAX(;C) MIN(;C) =SI(D>0,;;0) =SOMME(E$:E)/A =A+ =ALEA() =ALEA() =MAX(;C) MIN(;C) =SI(D>0,;;0) =SOMME(E$:E)/A E recopiat la derière lige jusqu à ce qu o obtiee par exemple 00 expérieces, et e utilisat le calcul sur ordre 7, o obtiet aisi les fréqueces relatives de l évéemet das autat de séries de 00 expérieces qu o le souhaite. E exploitat les ressources graphiques du tableur, o peut visualiser l évolutio des fréqueces au fur et à mesure de l augmetatio du ombre d expérieces. Fréqueces 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0 0 00 00 00 00 00 600 Voir le paragraphe. de l aexe. 6 Le jeu du Frac Carreau est évoqué das [9] et [0]. 7 Il coviet pour cela de désactiver le mode de calcul automatique du tableur, et de passer das u mode qui selo les logiciels s appelle calcul sur ordre ou recalculer, et s obtiet au clavier à l aide de raccourcis utilisat la touche F9, selo des combiaisos dépedat du système d exploitatio. 6
Ue telle représetatio met e évidece que les fréqueces obteues pour u faible ombre d expérieces évoluet de maière assez chaotique, mais qu à la logue, elles tedet à se stabiliser autour de 0,, même si le phéomèe est pas toujours aussi visible, comme le motre les résultats au cours d ue autre série de 00 expérieces. Fréqueces 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0 0 00 00 00 00 00 600 Ce derier résultat est guère étoat car l itervalle de fluctuatio au iveau 0,9 pour égal à 00 est approximativemet [0,%, 9,%] (Voir le paragraphe. de l aexe ). L emploi d u tableur das de telles simulatios permet de doer ue formulatio aïve de la loi des grads ombres, que les élèves admettet volotiers : lorsque le ombre d expérieces augmete, la fréquece empirique se rapproche de la probabilité 0,. D ue maière plus précise, o peut dire qu il est d autat plus probable que l écart etre les deux soit proche de 0 que le ombre d expérieces est grad. Cet exemple 8 présete le même avatage que le jeu du Frac Carreau : o peut justifier que 0, est bie la valeur de la probabilité, e rameat la questio à u problème de «probabilités géométriques». Toutefois, la justificatio complète présetée ci-dessous est mois facile d accès aux élèves que das le cas du jeu du Frac Carreau. Justificatio géométrique O pred la logueur du segmet comme uité, et o repère tout poit du segmet par so abscisse, ombre compris etre 0 et. E désigat par x et y les abscisses respectives de A et : - si y > x, A > 0, est équivalet à y x > 0,, c est-à-dire y > x + 0,. - si y x, A > 0, est équivalet à x y > 0,, c est-à-dire x 0, > y, ou ecore y < x 0,. Représetos chaque segmet [A] par le poit du pla dot les coordoées das u repère orthoormal sot (x, y). Les segmets [A] dot la mesure est strictemet supérieure à 0, sot ceux qui sot représetés par u poit apparteat à la régio grisée ci-dessous : y 0, 0 0, La probabilité recherchée est doc le rapport de l aire grisée à celle du carré uité. x 8 Que l o trouvera, etre autres, das [], pages 7 à 9. 7
x+0, y x Pour éviter les difficultés liées au régioemet qui précède, o peut se coteter d ue illustratio avec u tableur, e faisat afficher sur u graphique les seuls poits qui satisfot la coditio : ils se répartisset das la zoe grisée ci-dessus. L exercice suivat, tiré de l évaluatio PISA, sollicite la coaissace de l iterprétatio fréquetiste de la probabilité. Le bulleti météorologique du jour prévoit que, de à 8 heures, les probabilités de pluie sot de 0 %. 0, y Laquelle des affirmatios suivates est la meilleure iterprétatio de ce bulleti? A - Il va pleuvoir sur 0 % de la zoe cocerée par les prévisios. - Il pleuvra pedat 0 % des 6 heures (u total de 08 miutes). C - Das cette zoe, 0 persoes sur 00 aurot de la pluie. D - Si la même prévisio était faite /6 pour 00 jours, il pleuvrait à peu près 0 jours sur 00. E - La quatité de pluie tombée sera 0 % de celle tombée lors d ue forte pluie (mesurée e termes de précipitatios par uité de temps). /6 /6 La répose attedue est la répose D. /6 /6. Moyes de représetatio et de traitemet /6 x /6 Les 0exemples d expérieces 0, à ue seule /6 épreuve, évoqués ci-dessus, sot mis à profit pour mettre e place u moye de représetatio et de traitemet qui sera /6 réutilisé das les /6 expérieces à deux épreuves, qui sot évoquées das le paragraphe /6 6 : l arbre. Ce derier permet de représeter les différetes issues d ue expériece aléatoire, puis e le podérat de faire apparaître les probabilités de chacue d elles, comme le motret les exemples suivats. 6 0 x 0, x+0, y 6 Arbre Arbre podéré avec les Situatio des possibles probabilités /6 x y x 0, 0, Tirage à pile ou face x P F / / P F y y 0, 0, /6 /6 0 0, Lacer d u dé x équilibré x 0 0, /6 /6 /6 /6 0 x 0, x+0, y 0 x 0, x+0, y 6 6 y x 0, 0, x y x 0, 0, x 8
R Tirage d ue boule das l ure / /6 / /6 / / 90 P 0, x 0, O exploite / ce derier exemple pour mettre e évidece l emploi de l arbre podéré pour F calculer la probabilité de l évéemet «e pas tirer ue boule portat le uméro» : e additioat les probabilités figurat sur les braches relatives aux résultats autres que : o trouve 8/, c est-à-dire / ; e utilisat le fait que la somme des probabilités figurat sur l esemble des braches est égale à, et e preat le complémet à de celle figurat sur la première brache. / / //6 / /6 / No P F No / / No P Pair 0, x / /6 Impair Pair / Pair P F / /6 / Impair Pair Impair / Impair Impair U traitemet avec l arbre permet de calculer la probabilité de tirer / ue boule portat u uméro pair, e additioat les probabilités figurat sur les braches relatives à u uméro /6 Impair F pair. No. Lagage et propriétés / Impair À partir des exemples traités, quelques élémets de lagage et propriétés sot istitutioalisés, e employat le lagage des évéemets. /6 / Impair Pair Deux évéemets sot icompatibles s ils e peuvet se produire e même temps. L évéemet cotraire d u évéemet est celui qui se réalise lorsque / l évéemet a pas lieu. Impair /6 / /6 9 Impair
La probabilité d u évéemet est comprise etre 0 et. O peut l exprimer sous diverses formes (décimale, fractioaire, pourcetage). La probabilité d u évéemet qui se produit écessairemet (évéemet certai) est égale à. Si deux évéemets sot icompatibles, la probabilité que l u ou l autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités. Plus gééralemet, o peut additioer les probabilités d évéemets deux à deux icompatibles. U évéemet et so cotraire sot icompatibles et la réalisatio de l u ou de l autre est certaie. Doc la somme de leurs probabilités est égale à. E particulier, la probabilité d u évéemet qui e peut pas se produire (évéemet impossible) est égale à 0. Pour faciliter les échages, les évéemets (obteir «Face», obteir u ombre impair, ) peuvet être désigés par des lettres ou des symboles (ici, par exemple, la lettre F, la lettre I). La probabilité d obteir «Face» peut alors être otée p(obteir «Face») ou p(face) ou p(f).. Expérieces à deux épreuves Aucue compétece sur les expérieces à deux épreuves est exigible das le cadre du socle commu. Les expérieces à deux épreuves proposées aux élèves doivet rester élémetaires. Aisi, pour les situatios doat lieu à des calculs de probabilités, o se borera à des expérieces coduisat à u maximum de 6 cas (, ou ). O abordera pas, e revache, les cas de tirages successifs das ue ure (avec ou sas remise). O cosidère l expériece suivate, qui se déroule e deux étapes : d abord, o fait tourer la roue de loterie située ci-dessous à gauche (o obtiet la couleur «Rouge» avec ue P probabilité de 0, et la couleur «leu» avec ue probabilité de 0,7). Esuite, o fait tourer la deuxième roue de loterie (o obtiet le uméro avec la probabilité /6, le uméro avec la probabilité / et le uméro avec la probabilité /). G U arbre o podéré permet de détermier tous les résultats possibles à l issue de ces deux étapes. Les résultats possibles peuvet être otés aisi : (R, ), (R, ), (R, ), (, ), (, ), (, ). Chacu de ces résultats est représeté das l arbre ci-dessous par la successio de deux braches 9. 9 Ue telle successio de braches est souvet appelée chemi. 0
/6 / R / Ω O cherche la probabilité d obteir chacu des six résultats possibles à l issue des deux étapes : (R, ),, (, ). O peut podérer l arbre avec les probabilités : / R /6 / / /6 / / / /6 / / Commet évaluer la probabilité du résultat (R, )? L approche fréquetiste de la probabilité permet la justificatio suivate : Imagios que l o reproduise 0 000 (ou N) fois l expériece. / de ces expérieces eviro suivrot la brache vers R, et parmi celles-ci /6 eviro irot vers. Doc il y e a eviro 0000 ou N, soit 000 (ou N/) qui coduirot au 6 6 résultat (R,). La fréquece correspodate est 000/0 000 ou /. De maière plus géérale, ceci coduit à admettre que la probabilité d obteir R à la première épreuve et à la deuxième est égale au produit des probabilités / et /6, recotrées sur le chemi représetat le résultat (R, ). Ce résultat peut être istitutioalisé, par exemple sous la forme suivate : Das u arbre, la probabilité du résultat auquel coduit u chemi est égal au produit des probabilités recotrées le log de ce chemi. Mais cette coaissace est pas u objectif du programme et o e proposera que des exemples très simples das lesquels u raisoemet permet facilemet de trouver les résultats e leur doat du ses.
R / /6 /6 / / x /6 (R,) J / R / / / x / / / x / (R,) (R,) / /6 / / / x /6 / x / / x / (,) (,) (,) L exercice suivat, ispiré de l évaluatio PISA 00, peut être utilisé de diverses maières pour l étude des expérieces à deux épreuves : U stad à la foire du pritemps propose u jeu das lequel il faut d abord faire tourer ue roulette. / Esuite, si la roulette s arrête sur u ombre pair, le joueur peut tirer ue bille das u sac. La roulette et le sac de billes sot représetés ci-dessous : Des prix sot distribués aux joueurs qui tiret ue bille oire. Suzy tete sa chace ue fois. / R 0 6 8 Cocerat le fait que Suzy gage u prix, peut-o dire que : A C est impossible. C est peu probable. C Il y a eviro ue chace sur deux. D C est très probable. E C est certai. L exemple suivat, tiré de [], motre l itérêt d ue représetatio par u arbre das ue situatio de la vie courate. Reposat essetiellemet sur des calculs de pourcetages (pourcetages de pourcetages), cet exercice coforte l explicatio proposée das l exemple itroductif pour le calcul de (R,). O peut proposer, comme variate, de détermier les effectifs de chaque catégorie d électeurs, e doat le ombre d habitats de la ville. U scruti a été orgaisé pour reouveler le coseil muicipal d ue ville. Pour l aalyse des résultats, o distigue d ue part les électeurs, c est-à-dire les persoes qui ot le droit de vote, d autre part les votats, c est-à-dire les persoes qui ot effectivemet pris part au vote. De plus, pour cette aalyse du scruti, les électeurs sot répartis e trois groupes, e foctio de leur âge : - le groupe I, compreat les électeurs de mois de as, représete 8% de l esemble des électeurs ; - le groupe II, compreat les électeurs de à 60 as, représete % de l esemble des électeurs ; - le groupe III, compreat les électeurs de plus de 60 as, représete 9% de l esemble des électeurs. Efi, les taux de participatio ot pu être détermiés das chacu des groupes : 8% das le groupe I, 8% das le groupe II, 69% das le groupe III. O choisit au hasard u électeur. Quelle est la probabilité pour qu il ait voté?
L éocé permet de costruire l arbre podéré ci-dessous : Pour trouver la probabilité e questio, il 0,8 V 0,9 C suffit d additioer les probabilités des I chemis qui aboutisset à 0,6 AV : 0,0 0,8 0,8 0,8 + 0, 0,8 + 0,9 0,69 ov o C c est-à-dire eviro 80%. 0,8 V 0, 0,7 C 0, II 0,9 III 0,69 ov V ov A p A () U autre type d exemples liés à la vie courate cocerat p(a) la qualité de produits maufacturés permet de réivestir les méthodes précédetes. U même produit maufacturé P est fabriqué das deux usies A et. Sur le marché coceré, l usie A assure p% de la productio Ωet l usie ( p%). Ue equête a permis d établir que q% des produits fabriqués par A satisfot aux ormes, le pourcetage correspodat pour l usie état de r%. O demade quelle est la probabilité qu u produit P acheté au hasard soit coforme aux ormes. L arbre suivat correspod aux valeurs suivates de p, q et r : 6, 9, 7. R 0, o C /6 /,8 V 0,9 C ov 0,6 A 0,0 o C 0,8 V 0, 0,7 C ov 0, o C 0,69 V Cet arbre permet de répodre à la questio. Pour ce type d exemple, il pourra être proposé, e variate, de détermier les effectifs de chaque brache e doat u ombre total assez grad d objets maufacturés. ov Art et hasard (site www.statistix.fr) : Des efats réaliset des tableaux aléatoires avec des gommettes bleues, jaues et vertes. Pour cela ils lacet plusieurs fois deux dés : À chaque lacer - si les deux faces obteues sot impaires, ils collet ue gommette bleue - si les deux faces obteues sot paires, ils collet ue gommette jaue - si les deux faces sot de parités différetes, ils collet ue gommette verte. /6 R
Que peser des proportios de gommettes de chaque couleur? O peut das u premier temps simuler au tableur le tirage aléatoire : A C D E Tirage Tirage Couleur dé Couleur dé Couleur gommette =ALEA() =ALEA() =SI(A<0,;"";"J") =SI(<0,;"";"J") =SI(C=D;C;"V") =ALEA() =ALEA() =SI(A<0,;"";"J") =SI(<0,;"";"J") =SI(C=D;C;"V") O peut esuite expliquer les fréqueces observées e umérotat les deux dés pour représeter la situatio aléatoire par u arbre dot les chemis sot les résultats du dé puis du dé : (,), (,J), (J,), (J,J).
O trouvera ci-dessous deux exercices proposés das l évaluatio PISA, permettat d évoquer avec les élèves des idées fausses cocerat les jeux de hasard. LOTERIE Pour ue loterie atioale, six boules sot tirées au hasard chaque semaie parmi quarate boules idetiques umérotées de à 0. Les gagats du gros lot sot les joueurs qui ot choisi les six uméros tirés. Le motat total du prix est partagé etre les gagats. U joural publie les uméros gagats de la semaie précédete aisi qu ue liste des uméros qui e sot plus sortis depuis logtemps. Etourez soit «Vrai», soit «Faux» pour chacue des affirmatios ci-dessous : Affirmatio Les iformatios publiées par le joural e sot d aucue utilité pour prévoir les uméros de la semaie suivate, parce que toutes les combiaisos de six uméros ot autat de chaces de sortir. Les uméros de la semaie précédete ot davatage de chaces de sortir parce qu ils sot «chauds». Les uméros de la semaie précédete ot mois de chaces de sortir parce qu il est peu probable qu u uméro sorte deux fois de suite. Les uméros qui e sot plus sortis depuis logtemps ot davatage de chaces de sortir. Vrai ou Faux Vrai / Faux Vrai / Faux Vrai / Faux Vrai / Faux PILE OU FACE O a lacé fois de suite ue pièce de moaie o truquée et chaque fois le résultat a été face. Si o lace la même pièce ue fois de plus, laquelle des affirmatios suivates sera correcte? A O a autat de chaces d obteir pile que face. O a plus de chaces d obteir pile. C O a plus de chaces d obteir face. D O e peut pas obteir à ouveau face.
I ov 0,6 A 0,0 o C II III V 0,8 0, 6. Cotiuité avec l eseigemet au lycée L arbre est u mode de représetatio et de traitemet que 0, les élèves retrouverot s ils poursuivet ovleur scolarité 0. Il permet de traiter les questios faisat iterveir o C des probabilités coditioelles. De maière géérale, u chemi (successio de plusieurs braches) tel que 0,69 ceux qui ot V été utilisés précédemmet sera iterprété de la maière suivate das le cadre de la théorie des probabilités : ov 0,7 p A () A p(a) C Ω Au bout du chemi, se trouve ue feuille (qui est pas toujours idiquée), qui représete l évéemet A et. Sa probabilité est le produit des probabilités recotrées sur les braches le log du chemi : p( A et ) = p( A) p A ( ). /6 Puisque A et et et A désiget le même évéemet, o a égalemet : p( A et ) = p( ) p ( A). / R Le cas où les évéemets A et sot (stochastiquemet) idépedats est u cas particulier importat. O a alors p( A et ) = p( A) p( ). R J 0 Pour davatage de détails sur l emploi des arbres, voir [], [] et [] et plus gééralemet sur l eseigemet des probabilités au lycée, voir []. 6
Élémets de bibliographie : [] Kahae J.-P. (dir.), 00, Rapport au miistre de l Educatio atioale, L eseigemet des scieces mathématiques, Commissio de réflexio sur l eseigemet des mathématiques, CNDP & Éditios Odile Jacob. [] Hackig I., 00, L émergece de la probabilité, Editios du Seuil. [] Hackig I., Dufour M., 00, L ouverture au probable, Elémets de logique iductive, Armad Coli. [] HENRY M., 99, L'eseigemet du calcul des probabilités das le secod degré : perspectives historiques, épistémologiques et didactiques, Repères IREM N. [] PICHARD J.-F., 998, Approche épistémologique et diverses coceptios de la probabilité, Repères IREM N. [6] de Fietti., 97, La prévisio : ses lois logiques, ses sources subjectives, Aales de l I.H.P., Tome 7,, -68. Téléchargeable sur le site : http://www.umdam.org/item?id=aihp_97 7 0. [7] Picard P., 007, Hasard et probabilités. Histoire, théorie et applicatio des probabilités, Vuibert. [8] Egel A., 97, L eseigemet des probabilités et de la statistique, Cedic. [9] GIRARD J.-C., HENRY M., PICHARD J.-F., 00, Quelle place pour l'aléatoire au collège? Repères IREM N. [0] HENRY M., 00, Des lois cotiues, pourquoi et pour quoi faire? Repères IREM N. [] DUTARTE P., 006, L iductio statistique au lycée, Didier. [] PARZYSZ, 990, U outil sous-estimé : l arbre probabiliste, ulleti de l APMEP 7, pp. 7-. [] PARZYSZ., 99, Des statistiques aux probabilités : exploitos les arbres, Repères IREM 0. [] GRANGE J.-P., Arbres et tableaux e probabilités coditioelles, i Probabilités au lycée, Commissio Iter-IREM Statistique et Probabilités, rochure APMEP, 00. [] HENRY M., 999, L'itroductio des probabilités au lycée : u processus de modélisatio comparable à celui de la géométrie, Repères IREM N 6. 7
Aexe : Différetes iterprétatios de la probabilité La théorie modere des probabilités s édifie axiomatiquemet ; l exposé complet e a été doé e 9 par Kolmogorov. Par ailleurs, le rôle de la combiatoire das la aissace du calcul des probabilités (travaux de Pascal par exemple) a beaucoup été étudié et vulgarisé. Cepedat l émergece du cocept de probabilité e peut se réduire à la résolutio de problèmes issus de jeux de hasard, et l axiomatisatio de la théorie igore volotairemet l iterprétatio de la probabilité et l utilisatio qui peut e être faite. Des travaux récets (Voir [], [] et []), otammet ceux de Ia Hackig, professeur au Collège de Frace, motret la complexité de cette évolutio, faisat apparaître essetiellemet deux iterprétatios de la probabilité : e terme de croyace ou bie e terme de fréquece. Das la première, que Hackig omme «probabilité épistémique», le mot «probable» est associé aux otios de croyace, cofiace, crédibilité, idice ; das la deuxième, ommée «probabilité de type fréquetiste», so usage est associé aux otios de fréquece, dispositio, tedace, symétrie, propesio. Ces deux iterprétatios de la probabilité sot parfois déommées autremet : subjective / objective ; épistémique / aléatoire ; La descriptio de la première peut être affiée e distiguat la probabilité persoelle, la probabilité iterpersoelle, et la probabilité logique. O peut illustrer ces différetes iterprétatios e preat l exemple d ue loterie de 000 boules umérotées. La probabilité persoelle E ce qui me cocere, je e vois pas pourquoi sortirait ue boule plutôt qu ue autre. Et doc, la probabilité de tirer l ue quelcoque des boules est de /000. La probabilité iterpersoelle (ou persoaliste) Aucue persoe sesée e doerait ue probabilité plus forte à ue boule qu à ue autre. Et doc, la probabilité de tirer l ue quelcoque des boules est de /000. L approche persoaliste est ue variate de l approche épistémique qui est opposée à ue autre variate : La probabilité logique La relatio logique etre l hypothèse h j (hypothèse de tirage de la boule j) et les doées expérimetales est la même que celle existat etre toute autre hypothèse h j et ces mêmes faits. Les probabilités sot doc idetiques. Et doc, la probabilité de tirer l ue quelcoque des boules est de /000. La probabilité logique est sesée être ue relatio etre des iformatios ou idices et ue hypothèse. Lorsqu il e dispose d aucue iformatio ou idice, le partisa de la probabilité logique utilise u pricipe appelé pricipe d idifférece ou pricipe de raiso isuffisate : Le pricipe d idifférece ou de raiso isuffisate Il y a aucu idice permettat de privilégier l ue des 000 hypothèses qui sot exclusives et cojoitemet exhaustives. Il faut doc attribuer à chacue d elles la probabilité /000. O peut affier de même l iterprétatio fréquetiste, e distiguat deux iterprétatios opposées : celle de la fréquece limite et celle de propesio, que l o peut illustrer aisi, à l aide du même exemple : La probabilité comme fréquece limite Lors de tirages répétés avec remise chaque boule est tirée aussi souvet qu ue autre. Et doc la probabilité de tirer l ue quelcoque des boules est la fréquece relative du tirage de cette boule, à savoir /000. Cette iterprétatio repose sur la otio de fréquece relative à log terme, idéalisée e Chaire de philosophie et histoire des cocepts scietifiques. Voir [], chapitres et. Les différetes iterprétatios de la probabilité (et les déomiatios variées les cocerat) sot abordées das [] et []. Les exemples qui suivet sot tirés de [], page 60. 8
cosidérat ue suite ifiie d essais dot l idépedace est postulée. Elle isiste plus sur les résultats que l o peut voir apparaître que sur les causes sous-jacetes à ces résultats, même si ce sot ces causes qui sot à l origie de la stabilité des fréqueces relatives. C est précisémet l objet de l iterprétatio e termes de tedace ou de propesio, que l o peut illustrer aisi : La probabilité comme propesio L ure, les boules, et la procédure de tirage sot agecées de telle sorte que la propesio d ue boule à être tirée est la même que celle d ue autre. Et doc, la probabilité de tirer l ue quelcoque des boules est de /000. Cette derière iterprétatio est pertiete pour la modélisatio de phéomèes aturels tels que la radioactivité. La coceptio umérique de la probabilité date des aées 60. Pour e faire compredre l itérêt, o fait alors appel aux loteries et jeux de hasard, alors très e vogue, et ce que l o etedait par «probabilité» e posait guère problème. Il y a pas vraimet lieu de distiguer les deux grades iterprétatios de la probabilité, das u exemple typique comme celui qui précède. Au XVIII e siècle, o hésite pas à faire usage du calcul des probabilités das des cotextes géométriques, le problème type état l évaluatio «des chaces que l o a de toucher ue cible visée avec u projectile». Les coditios du tirage au sort y sot mois bie défiies que das les jeux de hasard, mais ces cotextes offret des esembles d issues qui e sot pas déombrables : ue probabilité est défiie alors comme u rapport de logueurs, d aires ou de volumes. Le problème le plus cou est sas doute celui de l aiguille de uffo (7) : O jette «au hasard» sur u pla le sol par exemple portat des droites parallèles format des bades de largeur d, ue aiguille de logueur l (l < d). O demade la probabilité de recotre etre l aiguille et l ue des droites parallèles. l Le résultat,, peut être obteu e calculat u rapport d aires, l ue d elles π d écessitat le recours au calcul itégral. U autre exemple, accessible e classe de e, est le jeu du «Frac Carreau» : O jette «au hasard» ue pièce de diamètre d sur u sol pavé avec des carrés dot les côtés sot de logueur a, a > d. O demade la probabilité de voir la pièce tomber etièremet à l itérieur d u seul carré. Sa solutio coduit à calculer le rapport des aires de deux carrés cocetriques, de côtés ( a d) respectifs a d et a : il est égal à. a O peut égalemet le démotrer e s itéressat à l espérace mathématique E(l) du ombre de poits de recotre, e igorat la restrictio l < d. E utilisat la liéarité de l espérace, il suffit de détermier le ombre k tel que E(l) = kl, ce que l o peut faire e cosidérat ue aiguille de forme circulaire de diamètre d, pour laquelle o sait que l espérace vaut. Cette méthode motre la puissace d ue autre approche des probabilités (Huyges et Va Schoote - 67) reposat sur la otio d espérace mathématique. Elle a été exploitée par Laplace, qui a gééralisé le résultat de uffo, e remplaçat les droites parallèles par u réseau à maille rectagulaire. E comptat le ombre de poits d itersectio d ue courbe avec u tel réseau, o peut aisi estimer cette espérace, et e déduire la logueur de la courbe. 9
Aexe : Élémets d histoire de la otio de probabilité Comme o l a vu das l aexe, il y a guère lieu de distiguer les deux grades iterprétatios de la probabilité (la probabilité épistémique et la probabilité de type fréquetiste) das l exemple typique du tirage de boules das ue ure. Mais ces deux grades iterprétatios refot surface quad o cosidère des exemples plus quotidies (aisi que das la modélisatio de situatios plus complexes). Elles itervieet égalemet das l eseigemet des probabilités. C est la raiso pour laquelle ces deux iterprétatios sot présetées succictemet ci-dessous : la probabilité épistémique fait l objet du paragraphe., la probabilité de type fréquetiste est traitée au.. Probabilité épistémique O cosidère u évéemet E, et deux persoes qui e savet pas si E va ou o se réaliser. La première persoe I parie x sur E et la deuxième persoe J parie y cotre E : si I gage le pari, elle empoche les y de J ; si J gage, elle empoche les x de I. La somme (x + y) est appelée ejeu du pari, x/(x + y) est le taux de pari de I sur l évéemet E, et y/(x + y) est le taux de pari de J cotre l évéemet E. Le taux de pari est égal à la mise divisée par l ejeu. Les joueurs e parlet pas de taux de pari, mais plutôt de chace. Si les chaces cotre u évéemet E sot de b cotre a, le taux de pari sur E est de a/(a + b). Parler de taux de pari ou de chace sot deux faços d exprimer la même chose. Mais la otio de taux de pari ressemble davatage à la probabilité. Cepedat, alors qu u joueur qui parie escompte u gai 6, ue probabilité (persoelle ou épistémique) est u taux de pari équitable p : la persoe cocerée estime qu il est idifféret de parier au taux p sur E ou de parier au taux ( p) cotre E. S il s agit de défiir des taux de pari relatifs à plusieurs évéemets (p pour E, p pour E, ), le mathématicie italie ruo de Fietti 7 explique das les termes qui suivet commet o peut justifier les règles de calcul sur les probabilités : Lorsqu u idividu a évalué les probabilités de certais évéemets, deux cas peuvet se préseter : ou bie il est possible de parier avec lui e s assurat de gager à coup sûr, ou bie cette possibilité existe pas. Das le premier cas, o doit dire évidemmet que l évaluatio de la probabilité doée par cet idividu cotiet ue icohérece. C est précisémet cette coditio de cohérece qui costitue le seul pricipe d où l o puisse déduire tout le calcul des probabilités : ce calcul apparaît alors comme l esemble des règles auxquelles l évaluatio subjective des probabilités de divers évéemets par u même idividu doive être assujettie si l o e veut pas qu il y ait etre elles ue cotradictio fodametale. Il démotre esuite que si E, E,, E costituet ce que l o omme aujourd hui u système complet d évéemets, p, p,, p état leurs probabilités respectives, la cohérece oblige à imposer la coditio p + p + + p =. Le lecteur trouvera das [] la démostratio de toutes les règles du calcul des probabilités à partir de cette otio de cohérece 8, y compris la formule de ayes, qui joue u rôle très importat das les applicatios de la otio de probabilité épistémique, comme le motre l exemple ci-dessous égalemet tiré de []. 6 U joueur I qui pese que No E a trois fois plus de chace de se produire que E, misera sur E e espérat gager plus que : ( + x). So taux de pari sur E est doc /( + + x). So adversaire J qui mise cotre E, veut gager plus que : ( + y), il offre pour gager ( + y) au cas où E e se produit pas. So taux de pari cotre E est doc de /( + + y). La somme des deux taux de pari est strictemet iférieure à. 7 Voir [6] e bibliographie. La première théorie systématique de la probabilité épistémique a été présetée e 96 par Frack Ramsey. Les travaux de de Fietti datet de 90 (alors que ceux de Kolmogorov datet de 9). 8 Voir [], chapitre, ititulé Cohérece. 0
Vous êtes médeci. Vous estimez tout à fait probable que l u de vos patiets ait ue agie, mais vous e êtes pas sûr. Vous faites quelques prélèvemets buccaux que vous evoyez au laboratoire pour aalyse. Comme quasimet tous les tests, celui-ci est pas parfait. Si le patiet a ue agie, das 70% des cas le laboratoire dit «oui, il y a ue agie». Mais das 0% des cas il dit qu il y a pas d agie. Si le patiet a pas d agie, das 90% des cas le laboratoire dit que le patiet a pas d agie. Mais das 0% des cas, il préted qu il e a ue. Vous evoyez successivemet ciq prélèvemets (issus du même patiet) pour aalyse. Et voici les réposes : oui, o, oui, o, oui. Qu e cocluez-vous : (a) Ces résultats e valet rie. (b) Il est probable que le patiet ait pas d agie. (c) Il est juste u peu plus probable qu il ait ue agie. (d) Il est très ettemet plus probable qu il ait ue agie. O trouvera ci-dessous la justificatio du fait que la boe répose est (d) : e supposat que la probabilité que le patiet ait ue agie soit pour le médeci de 90% (probabilité atérieure ou a priori), la probabilité que le patiet ait ue agie sachat que les résultats aux ciq tests (supposés idépedats) sot oui o oui o oui (probabilité postérieure ou a posteriori) est égale à /, soit eviro 0,997. Si l o remplace le médeci par ue persoe igorate e la matière, cette derière pourra fixer la probabilité a priori à 0%. Les mêmes calculs coduiset à ue probabilité a posteriori de / soit eviro 0,97. Justificatio : Désigos par A l évéemet Le patiet a ue agie, par O le fait que le test soit positif, et par N le fait qu il soit égatif. O coaît les probabilités coditioelles suivates : p A (O) = 0,7 ; p A (N) = 0, ; p A O ( ) = 0,; p A ( N) = 0,9. O cherche la probabilité que le patiet ait ue agie (A) sachat que les résultats aux ciq tests successifs sot respectivemet : O, N, O, N, O, que ous oteros p O et N et O et N et O ( A). O suppose que les résultats aux tests sot idépedats. O a doc : p A ( O et N et O et N et O) = 0,7 0, 0,7 0, 0,7 et p A O et N et O et N et O ( ) = 0, 0,9 0, 0,9 0,. E appliquat la formule de ayes, o obtiet : p A p O et N et O et N et O ( A) = ( ) p A ( O et N et O et N et O) ( ) p A ( O et N et O et N et O) + p A ( ) p A ( ) p A O et N et O et N et O Le médeci pred 0,9 comme valeur pour p(a). O trouve alors que p O et N et O et N et O A ( ) vaut /, soit 0,997 eviro. La persoe igorate préfère predre 0, comme valeur pour p(a). Les calculs coduiset alors au résultat /, c est-à-dire 0,97 eviro. Rappels : La formule suivate : p ( ) ( ) = p A ( ) p( A) + p A ( ) p A est appelée formule des probabilités totales. La formule de ayes permet de calculer p (A) coaissat E effet : totales : p ( A) = p( et A). Or p( ) p( ) = p A ( ) p( A) + p A ( ) p A ( ). Doc : p A ( ) et p A ( ). p( et A) = p A ( ) p( A) et d après la formule des probabilités
p ( A) = p A ( ) p( A) ( ) p( A) + p A ( ) p A p A ( ). Cette formule se gééralise e remplaçat le système complet d évéemets {A, A} par u système complet (ou partitio) formés de évéemets, souvet otés H, H,, H. Das cet exemple, la probabilité de type épistémique est clairemet mise e jeu.. Probabilité de type fréquetiste Cette iterprétatio de la probabilité est beaucoup plus familière, car tout étudiat e mathématiques e eted parler lorsqu o traite des lois des grads ombres.. Le théorème de eroulli Du poit de vue historique, le résultat fodametal permettat de compredre la faço dot se stabiliset les fréqueces des résultats au fur et à mesure que le ombre des essais augmete est le théorème de eroulli 9. Ce théorème, qui cofirme l ituitio sur la stabilité des fréqueces, est plus difficile à démotrer que la formule de ayes. La démostratio modere das la théorie axiomatique de Kolmogorov repose sur ue majoratio assez grossière doée par la formule de ieaymé - Tchebychev, majoratio peu utile e pratique. La démostratio doée par eroulli est beaucoup plus compliquée, mais présete l itérêt de préseter très clairemet sa problématique : il remarque que, das les jeux de dés ou de tirages das ue ure, la détermiatio des probabilités a priori e pose pas de problème : il suffit de predre le ratio etre le ombre de tirages fertiles et le ombre total de tirages ou le ratio etre le ombre de tirages fertiles et le ombre de tirages stériles. Mais, il costate que cette méthode est iutilisable das des problèmes cocerat les maladies, la météorologie, où les causes sot cachées, et où l éumératio des cas équiprobables est impossible. Au lieu de cela, il propose de détermier la probabilité d u cas favorable a posteriori : «O peut supposer qu ue chose particulière se produira ou o autat de fois qu elle s est produite ou o das le passé, das des circostaces semblables». Il cherche doc à détermier empiriquemet la proportio de cas favorables das le cas où elle est icoue. L origialité de la tetative de eroulli cosiste à doer u traitemet formel de la vague otio qu il décrit aisi : «Même le plus stupide des hommes, par quelque istict de la ature, par lui-même et sas aucue istructio (et c est ue chose remarquable), est covaicu que plus o fait d observatios, mois o risque de s écarter de otre but». eroulli veut démotrer ce pricipe, et motrer que la certitude morale à propos de la proportio icoue peut être approchée d aussi près que l o veut. Il cosidère ue ure coteat 000 galets blacs et 000 galets oirs. O tire u galet, avec remise. O regarde combie de fois o tire u galet blac, combie de fois o tire u galet oir. Se pose alors la questio : Peut-o tirer u ombre suffisat de fois de maière à ce qu il deviee 0 fois, 00 fois, 000 fois plus probable que les ombres de galets blacs et oirs tirés soiet das le ratio : plutôt que das tout autre ratio? eroulli précise : «Pour éviter les maletedus, o doit oter que le ratio que ous essayos de détermier 9 Ce théorème est démotré par J. eroulli das Ars Cojectadi (7), alors que la formule de ayes figure das u texte posthume de Thomas ayes ititulé Essai e vue de résoudre u problème de la doctrie des chaces.
expérimetalemet e doit pas être cosidéré comme précis et idivisible (sio, c est le cotraire qui se produirait, et il deviedrait mois probable que le vrai ratio soit trouvé e augmetat les observatios). Ce que l o veut, e revache, c est u ratio pris avec quelque latitude, c est-à-dire situé etre deux limites qui peuvet être aussi proches l ue de l autre que l o veut. Par exemple, o pred deux ratios 0:00 et 99:00 ou 00:000 et 999:000 l u qui est immédiatemet supérieur et l autre immédiatemet iférieur au ratio :. O prouvera que l o peut redre plus probable que le ratio trouvé après des expérieces répétées tombe etre ces limites plutôt qu il tombe à l extérieur.» Avec les otatios moderes usuelles, où X désige le ombre de cas fertiles et le ombre d expérieces répétées, il veut démotrer : P X p ε > cp X p > ε avec c =0,00 ou 000, ou ecore : P X p ε > c c +, avec p = r où r désige le ombre de galets blacs et s celui des oirs. Après avoir fait la r +s démostratio 0, il traite l exemple où r = 0, s = 0, p = / et ε = /0. Il trouve = 0 X pour c = 000, ce qui se traduit aisi e termes moderes : P 0 > 000 0 00. 0 est à l époque u ombre astroomique, iutilisable das la pratique (Il est pourtat bie meilleur que celui obteu e employat l iégalité de ieaymé Tchebychev, qui est égal à 600 600) : ceci coduit eroulli à e pas publier ses travaux. Remarquos que eroulli e répod pas à la questio qu il s est posée au départ, car la proportio est ici coue au départ. Il détermie le ombre de tirages suffisat pour que, avec ue probabilité très forte (supérieure à 0,999, alors qu aujourd hui o se cotete selo les secteurs d activité des iveaux 0,9 ou 0,99), la proportio de cas favorables e s écarte pas de / de plus de /0. E d autres termes, il détermie pour u itervalle de probabilité au iveau 000/00 d amplitude doée, alors qu il cherchait pour e faire u itervalle de cofiace au même iveau. ayes s est posé et a résolu u problème voisi de celui de eroulli, qu il formule aisi : «Etat doé le ombre de fois qu u évéemet icou s est réalisé ou o, o cherche la chace que la probabilité de sa réalisatio lors d ue seule épreuve soit comprise etre deux degrés quelcoques de probabilité que l o puisse assiger.» problème que l o peut traduire avec u lagage plus modere de la maière suivate : U évéemet se produit à chaque tirage avec la probabilité θ. Soit X le ombre de fois qu il se produit au cours de essais. O demade P(a < θ < b X), probabilité que θ soit comprise etre a et b, coaissat le ombre de fois où l évéemet s est produit au cours des essais. Il a illustré sa résolutio avec u dispositif origial et itéressat, cou sous le om de billard de ayes. Mais ses travaux ot cou aucue diffusio, e raiso des difficultés de calcul des itégrales mises e jeu das la solutio. 0 O trouvera ue versio moderisée de cette démostratio das [7], pages à 7 et la versio origiale das arbi E. & Lamarche J.-P., 00 (dir.), Histoires de probabilités et de statistiques, Ellipses, pages à 0, article écrit par Michel Hery. Voir le paragraphe. de cette aexe. Voir le paragraphe. de cette aexe. Voir le chapitre de Droesbeke J -J., Fie J., Saporta G, 00, Méthodes bayésiees e statistique, Editios Techip. Les auteurs, remarquat que ayes emploie simultaémet les mots «probabilité» et «chace», expliquet que si la «probabilité» peut correspodre au même cocept que celui evisagé par eroulli, la «chace» représete plutôt ue «raiso de croire».
. Théorèmes de covergece et fluctuatio d échatilloage Les travaux de De Moivre sur le développemet du biôme, de De Moivre et de Laplace sur le théorème qui porte leurs oms (et qui est u cas particulier du théorème cetral limite établi par Laplace) et ceux de Gauss sur la loi de Laplace - Gauss vot permettre d obteir les résultats essetiels et de prologer le travail de eroulli (et de ayes). O peut modéliser tirages au hasard et avec remise das ue ure coteat des boules oires et des boules blaches, la proportio de boules oires das l ure état égale à p, e itroduisat variables aléatoires idépedates X i, preat la valeur si la i ème boule tirée est oire, et 0 si elle est blache. La somme S des X i, i variat de à, doe le ombre de boules oires obteu à l issue des tirages. S suit la loi biomiale de paramètres et p, so espérace mathématique est égale à p et so écart type est égal à p( p). O S s itéresse à la fréquece F du ombre de boules oires à l issue des tirages, égale à. Le théorème de Moivre - Laplace dit que la variable aléatoire cetrée réduite R associée à S, S égale à p, coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite, c est-à-dire que p( p) lorsque ted vers l ifii, la probabilité pour que R pree des valeurs comprises etre a et b ted vers e x b dx. La variable cetrée réduite associée à F est R a = F p. π p( p) Plus précisémet, sous les hypothèses suivates : > 0, p > et ( p) >, o approxime avec ue très boe précisio la probabilité pour que R soit das l itervalle [a, b] par sa limite doée par le théorème de Moivre - Laplace. À l aide d ue table de la loi ormale ou d u tableur, o peut trouver ue valeur approchée u du ombre réel u tel que dx, itégrale otée φ(u), pree ue valeur doée. u π Il est utile de reteir que φ(,96) 0,9 ; φ(,6) 0,90 ; φ() 0,99. Par exemple, sous les coditios rappelées plus haut : P(,96 R,96) 0,9. Or,96 R,96 équivaut à : p,96 p ( p ) F p+,96 p ( p ). Doc avec ue probabilité voisie de 9%, l iégalité précédete est vraie. L itervalle ayat pour extrémités p,96 p ( p ) et p+,96 p ( p ) est appelé itervalle de probabilité (ou de pari) de iveau 9%, ou ecore itervalle de fluctuatio de iveau 9%. So iterprétatio est la suivate : das 9% des séries de tirages que l o peut faire, la fréquece empirique f obteue expérimetalemet (modélisée par F ) appartiet à cet itervalle. e x p( p) = 6 Repreos l exemple traité par eroulli, das lequel p = / et ; il cherchait tel que P 0,0 F +0,0 0,999. E utilisat le théorème de Moivre Laplace, o est coduit à chercher u tel que φ(u) = 0,999. Ue table de la loi ormale doe u,9 : aisi P(,9 R,9) 0,999. Or 0,0 F +0,0