Université du Sud Toulon-Var Module M11 : fonctions d une variable réelle L1PC 009-010 RÉVISION POUR LE RATTRAPAGE février 010 Eercice I - étude d une fonction réelle de variable réelle Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction f : R R f = ln 5 en répondant au questions suivantes : 1 domaine de définition comportement au etrémités du domaine de définition etrema locau, sens de variation et tableau des variations 4 comportement en recherche d asymptôtes 5 graphe Solution de l eercice I 1 Domaine de définition de f : il faut 5 > 0 donc D f =], 1[ ]0,+1[ Comportement de f au etrémités du domaine de définition : f = +, f =, + f =, 1 f = +1 + Etrema locau, sens de variation et tableau des variations de f : la dérivée de f est l application Dans D f on a f : D f R f = 1 54 1 4 f > 0 ssi ]0;5 1/4 [, f = 0 ssi = 5 1/4, f < 0 ssi ] ; 1[ ]5 1/4 ;1[ On conclut que f est strictement croissante sur ]0;5 1/4 [, f est strictement décroissante sur ] ; 1[ et sur ]5 1/4 ;1[, M = 5 1/4 est un point de minimum local et on a f M < 0 Le tableau des variations est alors le suivant : -1 0 5 1/4 +1 f + f + f M 4 Comportement de f en recherche d un asymptôte : Il n y a pas d asymptôtes en 5 Graphe de f : voir la figure 1 f = 1/9
Université du Sud Toulon-Var Module M11 : fonctions d une variable réelle L1PC 009-010 y M 1 0 1 f M FIGURE 1: f = ln 5 /9
Université du Sud Toulon-Var Module M11 : fonctions d une variable réelle L1PC 009-010 Eercice II - continuité, dérivabilité Soit f α : R R une application définie par f α = α cos 1, si 0, 0, si = 0 Pour chaque valeur de α indiqué, répondre au questions suivantes : α f est-elle continue en = 0? f est-elle dérivable en = 0? f est-elle de classe C 1 R? 0 1 Solution de l eercice II cos 1 Cas α = 0 : f 0 =, si 0, 0, si = 0 f 0 n est pas continue en 0 car f 0 cos 1 n eiste pas f 0 n est pas dérivable en 0 car elle n est pas continue en 0 f 0 n est pas de classe C 1 R car elle n est pas continue en 0 cos 1 Cas α = 1 : f 1 =, si 0, 0, si = 0 f 1 est continue en 0 car f 1 = 0 = f 1 0 il suffit d observer que cos 1 f f 1 n est pas dérivable en 0 car 1 f 1 0 0 cos 1 n eiste pas f 1 n est pas de classe C 1 R car elle n est pas dérivable en 0 cos 1 Cas α = : f =, si 0, 0, si = 0 f est continue en 0 car f = 0 = f 0 il suffit d observer que cos 1 f f est dérivable en 0 car f 0 0 cos 1 = 0 il suffit d observer que cos 1 f n est pas de classe C 1 R car cos f 1 = + sin 1, si 0, 0, si = 0, et f n eiste pas car sin 1 n eiste pas cos 1 Cas α = : f =, si 0, 0, si = 0 f est continue en 0 car f = 0 = f 0 il suffit d observer que cos 1 De plus, elle est coninue dans tout R f f est dérivable en 0 car f 0 0 cos 1 = 0 il suffit d observer que cos 1 f est de classe C 1 R car f = cos 1 + sin 1, si 0, 0, si = 0, Donc on a et f = 0 = f 0 α f est-elle continue en = 0? f est-elle dérivable en = 0? f est-elle de classe C 1 R? 0 Non Non Non 1 Oui Non Non Oui Oui Non Oui Oui Oui /9
Université du Sud Toulon-Var Module M11 : fonctions d une variable réelle L1PC 009-010 Eercice III - calcul de ites avec DLs et/ou règle de L Hôpital 1 Calculer la ite Calculer la ite Calculer la ite 1 1+ e + + 1 + + sin e 1 tan sin 4 Calculer la ite 5 sin sin a 5 Calculer la ite a a cos 6 Calculer la ite sin 7 Calculer la ite cos π π e 8 Calculer la ite e sin 9 On considère la fonction f = + + Écrire le développement ité de 1 + 1 en ± à l ordre En déduire le développement asymptotique de f à l ordre i en ii en + Écrire les équations des asymptotes pour f en i en ii en + 10 Trouver le développement ité de sin en π à l ordre Solution de l eercice III 1 On se rappelle d abord que En utilisant le développement ité de ln1 + en 0 on a d où 1 + 1 = e ln1+ 1 + 1 +o = e = e 1 +o 1 + 1 e = e On note f = + + 1 + On réécrit d abord la fonction comme [ f = 1 + 1 + 1 1 1 + 1 1 ] On pose y = 1 Alors + + 1 1 + y + y 1 1 + y 1 + + y En utilisant le développement ité de 1 + y α en 0 on a 1 + y + y 1 1 + y 1 y En utilisant les développements ités on a : 1 + oy 1 y y + oy = 1 sin e 1 + 6 + o 1 + + + 6 1 6 + o 6 + o = 1 + o = 4/9
Université du Sud Toulon-Var Module M11 : fonctions d une variable réelle L1PC 009-010 4 En utilisant les développements ités on a : tan sin + + 5 15 + 6 5 10 + o5 5 5 = 5 4 + o5 5 = 1 4 5 sin sin a a a = cos a On s aperçoit que c est la définition de la dérivée de sin en = a 6 En utilisant les développements ités on a : 7 On pose y = π, alors cos sin cos π cos π π yy = 1 + o + 6 + o + o 6 + o = sin y y e y lnsin y = e y ln y y 6 +oy e y ln y e y ln e y ln 1 y 6 +oy e y ln y e y 6 +oy = 1 8 Pour calculer la ite donnée on peut utiliser les développements ités : = y1 y 6 +oy = e y ln y e y y 6 +oy = e e 1 + + + 6 1 + + 6 + o sin + 6 + = o Sinon on peut utiliser la règle de L Hôpital car 6 + o 6 + o = On a n = e e, d = sin, n = e + e, d = 1 cos, n = e e, d = sin, n = e + e, d = cos, n = 0; d = 0 n = 0; d = 0; n = 0; d = 0; n = ; d = 1; donc e e n sin d = 5/9
Université du Sud Toulon-Var Module M11 : fonctions d une variable réelle L1PC 009-010 9 On considère la fonction f = + + On remarque que 1 + 1 + 1, si 0, f = 1 1 + 1, si < 0 Pour écrire le développement ité de 1 + 1 en ± à l ordre on commence par se ramener à un développement ité en 0 en posant y = 1/ : il s agit alors de calculer le développement ité de 1 + y en 0 à l ordre 1 + y =0 1 + 1 y 1 8 y + oy d où 1 + 1 = 1 + 1 1 8 + o On en déduit le développement asymptotique de f à l ordre i en : ii en + : On en déduit les équtions des asymptotes pour f en i en : f = 1 + 1 8 + o = 1 + 1 8 + o 1 f = + 1 + 1 8 + o = + 1 1 4 + o 1 y = 1 ii en + : En effet, le graphe de la fonction est le suivant : y = + 1 y 1 0 1 10 Pour calculer le développement ité de sin en π à l ordre on utilise la formule de Taylor : Ici n =, a = π et f = sin d où k=n f = a k=0 f k a a k + o a k k! f = sin, f a = ; f = cos, f a = 1 ; f = sin, f a = ; f = cos, f a = 1 ; donc sin = π/ + 1 π 4 π 1 π + o π 1 6/9
Université du Sud Toulon-Var Module M11 : fonctions d une variable réelle L1PC 009-010 Eercice IV - suites récurrentes 1 Soit u n n N une suite telle que un+1 = + u n, a Montrer que pour tout n N, 1 < u n < u 0 = 1 b En supposant que la ite de u n eiste, la calculer c Montrer que u n n N est une suite monotone et en étudier sa convergence Soit u n n N une suite telle que a Montrer que pour tout n N, u n > 0 un+1 = u n, 1+un u 0 = 1 b En supposant que la ite de u n eiste, la calculer c Montrer que u n n N est une suite monotone et en étudier sa convergence Soit u n n N une suite telle que a Montrer que pour tout n N, 0 < u n < 1 u n+1 = u n +u n, u 0 = 1 b En supposant que la ite de u n eiste, la calculer c Montrer que u n n N est une suite monotone et en étudier sa convergence Solution de l eercice IV 1 a Par récurrence : 1 < u 0 = 1 < ; soit 1 < u n <, alors u n+1 = + u n < + = et u n+1 = + u n > 1 = 1 > 1 b Soit l u n avec l R Alors, en passant à la ite dans la définition, on a l = l + d où l = 1 ou l = c Puisque 1 < u n < pour tout n N, on a u n+1 u n = u n + u n = u n u n un = u n u n +1 ++u n un > 0, autrement ++u n dit la suite u n est monotone croissante Étant une suite monotone croissante vérifiant 1 < u n < pour tout n N et puisque les uniques ites réelles possibles sont l = 1 et l =, on conclut que u n = a Par récurrence : u 0 = 1 > 0 ; soit u n > 0, alors u n+1 = u n > 0 1+un b Soit l u n avec l R Alors, en passant à la ite dans la définition, on a l = l 1+l d où l = 0 c Puisque u n > 0 pour tout n N, on a u n+1 u n = u n u 1+un n = u n < 0, autrement dit la suite u 1+un n est monotone décroissante Étant une suite monotone décroissante minorée par 0 pour tout n N et puisque l unique ite réelle possible est l = 0, on conclut que u n = 0 a Par récurrence : 0 < u 0 = 1/ < 1 ; soit 0 < u n < 1, alors u n+1 = u n +u n > 0 et u n+1 = u n +u n < = 1 b Soit l u n avec l R Alors, en passant à la ite dans la définition, on a l = ll+1 d où l = 0 ou l = 1 c Puisque 0 < u n < 1 pour tout n N, on a u n+1 u n = u n u n 1 < 0, autrement dit la suite u n est monotone décroissante Étant une suite monotone décroissante minorée par 0 pour tout n N et puisque les uniques ites réelles possibles sont l = 0 et l = 1, on conclut que u n = 0 7/9
Université du Sud Toulon-Var Module M11 : fonctions d une variable réelle L1PC 009-010 Eercice V - factorisations d un polynôme 1 On considère le polynôme P = 6 5 5 + 10 4 1 + 11 7 + a Écrire la formule de Taylor de P en 1 ; montrer que 1 est une racine de P et déterminer son ordre de multiplicité b Factoriser P sur R en sachant qu il possède une autre racine réelle évidente ie elle est un diviseur du terme de degré 0 c Factoriser P sur C On considère le polynôme P = 8 + 5 7 + 9 6 + 7 5 + 4 + 5 + 9 + 7 + a Écrire la formule de Taylor de P en 1 ; montrer que 1 est une racine de P et déterminer son ordre de multiplicité b Factoriser P sur R en sachant qu il possède une autre racine réelle évidente ie elle est un diviseur du terme de degré 0 c Factoriser P sur C Solution de l eercice V 1 a Pour un polynôme P de degré 6, la formule de Taylor en 1 s écrit k=6 P = P k 1k 1 k! On calcul alors les dérivées P k pour k = 0,,6 et on les évalue en 1 : k=0 P = 6 5 5 + 10 4 1 + 11 7 + P1 = 0 P = 6 5 5 4 + 40 6 + 7 P 1 = 0 P = 0 4 100 + 10 7 + P 1 = 0 P = 10 00 + 40 7 P 1 = 1 P IV = 60 600 + 40 P IV 1 = 0 P V = 70 600 P V 1 = 10 P V I = 70 P V I 1 = 70 La formule de Taylor en 1 s écrit alors P = 1 + 1 5 + 1 6 = = 1 1 + 1 = = 1 + 1 + + 1 = = 1 + Ceci implique que 1 est une racine de P de multiplicité b On pose Q = + Une racine réelle évidente de Q est En effectuant la division euclidienne de Q par on obtient Q = + 1 Étant donné que + 1 ne se factorise pas sur R, on conclut que la factorisation de P sur R est P = 1 + 1 c Pour factoriser P sur C il ne reste que factoriser le polynôme + 1 sur C ; on a les deu racines complees conjuguées 1 = i et = +i On conclut que la factorisation de P sur C est P = 1 i + i 8/9
Université du Sud Toulon-Var Module M11 : fonctions d une variable réelle L1PC 009-010 a Pour un polynôme P de degré 8, la formule de Taylor en 1 s écrit k=8 P = P k + 1k 1 k! On calcul alors les dérivées P k pour k = 0,,8 et on les évalue en 1 : k=0 P = 8 + 5 7 + 9 6 + 7 5 + 4 + 5 + 9 + 7 + P 1 = 0 P = 8 7 + 5 6 + 54 5 + 5 4 + 1 + 15 + 18 + 7 P 1 = 0 P = 56 6 + 10 5 + 70 4 + 140 + 6 + 0 + 18 P 1 = 0 P = 6 5 + 1050 4 + 1080 + 40 + 7 + 0 P 1 = 1 P IV = 1680 4 + 400 + 40 + 840 + 7 P IV 1 = 48 P V = 670 + 1600 + 6480 + 840 P V 1 = 40 P V I = 0160 + 500 + 6480 P V I 1 = 1440 P V I I = 400 + 500 P V I I 1 = 1510 P V I I I = 400 P V I I I 1 = 400 La formule de Taylor en 1 s écrit alors P = + 1 + 1 4 + + 1 5 + + 1 6 + 1 7 + + 1 8 = = + 1 [ + 1 + + 1 + + 1 + 1 4 + + 1 5] = = + 1 [ + + 6 + + + + 1 4 + 4 + 6 + 4 + 1 + 5 + 5 4 + 10 + 10 + 5 + 1 ] = = + 1 5 + 4 + + Ceci implique que 1 est une racine de P de multiplicité b On pose Q = 5 + 4 + + Une racine réelle évidente de Q est En effectuant la division euclidienne de Q par + on obtient Q = + 4 + 1 Étant donné que 4 + 1 ne se factorise pas sur R, on conclut que la factorisation de P sur R est P = + 1 + 4 + 1 c Pour factoriser P sur C il ne reste que factoriser le polynôme 4 + 1 sur C ; on a les quatre racines 1 = 1+i, = 1 i, = 1+i et 4 = 1 i On conclut que la factorisation de P sur C est P = + 1 + 1 + i 1 i 1 + i 1 i 9/9