RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS 1 VOCABULAIRE USUEL SUR LES FONCTIONS 1.1 VALEURS D UNE FONCTION Déinition (Ensemle de déinition et imge d une onction, imge et ntécédents d un point) Soient A une prtie deet : A une onction. L ensemle A est ppelé l ensemle de déinition de et tout réel (x) vec x A est ppelé une vleur de. Pour tous x A et y, si y= (x), on dit que y est L imge de x pr et que x est UN ntécédent de y pr. Expliction Sur l igure ci-contre, y possède plusieurs ntécédents pr, rison pour lquelle on prle d UN ntécédent et non de «l» ntécédent de y. y= (x) y x 1 x x 3 Déinition (Imge d une prtie pr une onction, imge d une onction) Soient A une prtie deet : A une onction. Pour toute prtie A de A, on ppelle imge de A pr, notée (A ), l ensemle : (A )= y / x A / y= (x) = (x) x A. L imge de A tout entier est simplement ppelée l imge de et notée générlement Im plutôt que (A). Expliction L imge (A ) de A pr est l ensemle des imges pr des éléments de A. Grphiquement, pour déterminer (A ), on projette sur l xe des ordonnées l portion du grphe de qui se situe u-dessus de A, comme l illustre l igure de droite. ր (A ) ց Im On it preil pour déterminer grphiquement l imge Im de, mis vec le grphe de tout entier. տ ր A L imge de + pr l onction exponentielle est l intervlle[1,+ [. L imge de est]0,1]. L imge deπ pr l onction sinus est 0, l imge de[0,π] est[0,1], l imge de π,π est[ 1,1] et l imge de [0, π] est ussi[ 1, 1]. Déinition (Expression «à vleurs dns...») Soient A et B deux prties deet : A une onction. On dit que est à vleurs dns B si toute vleur de est élément de B, i.e. si : x A, (x) B, ou encore si : Im B. ATTENTION! Dire que est à vleurs dns B, ce n est ps dire que l imge de est B tout entier. L onction x x +1, pr exemple, est déinie suret à vleurs dns +, mis son imge n est ps + tout entier mis seulement [1,+ [ cr qund x décrit +, x +1 décrit[1,+ [. 1

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI 1. COMPOSITION DES FONCTIONS Déinition (Composée de deux onctions) Soient A et B deux prties deet : A et g : B deux onctions. On suppose à vleurs dns B. On ppelle composée de suivie de g l onction g déinie sur A pr : x A, g (x)= g (x). Expliction Pourquoi l condition «est à vleurs dns B» est-elle si importnte? Pour pouvoir prler de g (x) pour tout x A, on doit grntir que (x) pprtient à l ensemle de déinition B de g pour tout x A : x A, (x) B, utrement dit que est à vleurs dns B. L onction x ln(x+ 3) est déinie sur 3,+. En eet L onction x x+ 3 est déinie suret l onction ln sur, mis qund x décrit, x+ 3 + n pprtient ps orcément à +. Pour quels x est-il vri que : x+3>0? Réponse : x 3.,+ L onction x 1 x est déinie sur[ 1,1]. En eet L onction x 1 x est déinie suret l onction sur +, mis qund x décrit, 1 x n pprtient ps orcément à +. Pour quels x est-il vri que : 1 x =(1+x)(1 x) 0? Réponse : x [ 1,1]. x 1 1 + 1+ x 0 + 1 x + 0 1 x 0 + 0 ATTENTION! L composition n est ps commuttive, ne conondez ps g et g. Il rrive d illeurs souvent que l une de ces onctions soit déinie sns que l utre le soit. Pr exemple, si est l onction x x et si g l onction x x + 1, toutes deux déinies sur, g est l onction : x x + 1= x 4 + 1 et g l onction : x x + 1 = x 4 +x +1. Ce n est ps preil! Théorème (Associtivité de l composition) Soient A, B et C trois prties deet : A, g : B et h : C trois onctions. On suppose à vleurs dns B et g à vleurs dns C. Alors : h (g )=(h g). L onction x 1+e x x x est déinie sur]0,[. En eet L construction de cette onction requiert plus qu une simple composition, églement des sommes, produits et quotients. x 1+e x x x L quntité 1+e x x est ien déinie x si et seulement si : x x 0, x 1+e x x x x + x 1 x e x x x x x x, x 0 et x 0, i.e. si et seulement si : x 0, x, x et x 0, i.e. x ]0,[. x e x x x x x x x

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI 1.3 FONCTIONS MONOTONES, FONCTIONS MAJORÉES/MINORÉES Déinition (Monotonie) Soient A une prtie deet : A une onction. On dit que est croissnte si : x, y A, x<y = (x) (y). On dit que est strictement croissnte si : x, y A, x<y = (x)< (y). On dit que est décroissnte si : x, y A, x<y = (x) (y). On dit que est strictement décroissnte si : x, y A, x<y = (x)> (y). On dit que est (resp. strictement) monotone si est (resp. strictement) croissnte ou décroissnte. Expliction On peut ien sûr CARACTÉRISER l monotonie d une onction DÉRIVABLE pr le signe de s dérivée, mis c est là un THÉORÈME et non une DÉFINITION. L déinition ci-dessus est générle et ne requiert ps l dérivilité. Théorème (Somme de onctions monotones) Soient A une prtie deet : A et g : A deux onctions. Si et g sont croissntes, lors + g l est ussi. Si de plus ou g l est strictement, lors + g ussi. On dispose d un résultt nlogue pour les onctions décroissntes. Démonstrtion Dns le cs où est croissnte et g strictement croissnte, soient x, y A vec x<y. Comme est croissnte : (x) (y), et comme g est strictement croissnte : g(x)< g(y), donc pr somme : (x)+ g(x)< (y)+ g(y). Ps esoin de dériver pour expliquer que l onction x x+ ln x est strictement croissnte sur +! Théorème (Composée de onctions monotones) Soient A et B deux prties deet : A et g : B deux onctions. On suppose à vleurs dns B. Si et g sont (resp. strictement) monotones de même sens de vrition, lors g est (resp. strictement) croissnte. Si et g sont (resp. strictement) monotones de sens de vrition opposés, lors g est (resp. strictement) décroissnte. Démonstrtion Dns le cs où est croissnte et g décroissnte, soient x, y A vec x<y. Comme est croissnte : (x) (y), puis comme g est décroissnte : g (y) g (x). Ps esoin de dériver pour expliquer que l onction x e ex est strictement croissnte sur! Déinition (Fonction mjorée/minorée/ornée) Soient A une prtie deet : A une onction. On dit que est mjorée sur A si : M / x A, (x) M. Un tel réel M est ppelé UN mjornt de sur A. On dit usi que est mjorée pr M sur A ou que M mjore sur A. On dit que est minorée sur A si : m / x A, (x)m. Un tel réel m est ppelé UN minornt de sur A. On dit ussi que est minorée pr m sur A ou que m minore sur A. On dit que est ornée sur A si est à l ois mjorée et minorée sur A, i.e. si : K + / x A, (x) K. Fonction mjorée non minorée Fonction minorée non mjorée Fonction ornée 3

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI Démonstrtion Pr déinition, l proposition «est mjorée et minorée sur A» s écrit : m, M / x A, m (x) M, or ce n est ps l déinition donnée ci-dessus. Montrons donc l équivlence des deux ormultions. Si : K + / x A, (x) K, lors : K (x)k, donc est minorée et mjorée. À présent, si : m, M / x A, m (x) M, posons : K= mx m, M. Alors pour tout x A : K m m (x) M M K, donc : (x) K. Déinition (Mximum/minimum d une onction) Soient A une prtie de, : A une onction et A. On dit que dmet un mximum en si pour tout x A : (x) (). Le réel () est lors ppelé le mximum de en, on le note ussi mx ou mx (x). A x A On dit que dmet un minimum en si pour tout x A : (x) (). Le réel () est lors ppelé le minimum de en, on le note ussi min ou min (x). A x A ATTENTION! Une onction peut ne ps voir de mximum/minimum et qund elle en un, il peut être tteint en plusieurs points diérents. Mximum tteint deux ois Ps un mximum mis un mximum locl (notion étudiée plus trd) Ps un minimum mis un minimum locl (notion étudiée plus trd) 1.4 TRANSFORMATIONS AFFINES DU GRAPHE D UNE FONCTION Ps de minimum Théorème (Trnsormtions ines du grphe d une onction, cs des symétries) Soient A une prtie deet : A une onction. Les grphes ci-dessous sont représentés dns un repère orthonorml O, ı, j. L onction x (x) est déinie sur A et son grphe s otient à prtir de celui de pr une symétrie pr rpport à(ox). j ı y = (x) L onction x ( x) est déinie sur A, i.e. le symétrique de A pr rpport à(o y), et son grphe s otient ussi à prtir de celui de pr l même symétrie. O y = (x) y= ( x) O j y= ı (x) Théorème (Trnsormtions ines du grphe d une onction, cs des trnsltions) Soient A une prtie deet : A une onction. Les grphes ci-dessous sont représentés dns un repère orthonorml O, ı, j. j O ı y = (x)+ y 0 j y= (x) y 0 O x 0 ı j ı y= (x y= (x) + x 0 ) Soit y 0. L onction x (x)+ y 0 est déinie sur A et son grphe s otient à prtir de celui de pr une trnsltion de vecteur y 0 j. Soit x 0. L onction x (x+x 0 ) est déinie sur A x 0, i.e. l ensemle A déclé vers l guche de x 0, et son grphe s otient à prtir de celui de pr une trnsltion de vecteur x 0 ı. ATTENTION! Dns le cs de l onction x (x+x 0 ), il y ien un signe «moins» dns l expression du vecteur de trnsltion x 0 ı et c est norml, l onction x (x+x0 ) tteint l vleur (0) en x 0, puis l vleur (1) en x 0 +1, etc. Pour résumer, on peut dire que x (x+x 0 ) est EN AVANCE de x 0 sur x (x). 4

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI Théorème (Trnsormtions ines du grphe d une onction, cs des contrctions/dilttions) Soient A une prtie deet : A une onction. Les grphes ci-dessous sont représentés dns un repère orthonorml O, ı, j. Soitλ>0. L onction x λ(x) est déinie sur A et son grphe s otient à prtir de celui de pr une dilttion verticle de rpportλsiλ1et une contrction verticle de rpport 1 λ siλ<1. y= (λx) j y= (x) O ı Contrction horizontle (λ1) λ y= ( x) j O ı Dilttion verticle (λ1) y= (λx) j y= (x) O ı Dilttion horizontle (λ < 1) y = ( x) j O ı Contrction verticle (λ<1) y y= = λ ( x) (x) Soitλ>0. L onction x (λx) est déinie sur l ensemle dilté/contrcté 1 Aet son grphe λ s otient à prtir de celui de pr une contrction horizontle de rpportλsiλ1 et une dilttion horizontle de rpport 1 λ siλ<1. y= sin x y= sin(x+ 1) y= sin(x+ 1) y= sin(x+ 1) sin(x+ 1) y= y= 1 sin(x+ 1) Déinition (Prité/imprité) Soit A une prtie desymétrique pr rpport à 0, i.e. telle que : Soit : A une onction. x A, x A. On dit que est pire si : x A, ( x)= (x). Cel revient à dire que le grphe de est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées. On dit que est impire si : x A, ( x)= (x). Cel revient à dire que le grphe de est symétrique pr rpport à l origine. Fonction pire Fonction impire Le grphe d une onction impire déinie en 0 psse toujours pr l origine. En prtique Ps esoin d étudier une onction : A pire ou impire sur A tout entier, une étude sur A + suit. Déinition (Périodicité) Soient T> 0 et A une prtie de T-périodique, i.e. telle que : x A, x+ T A et x T A. Soit : A une onction. On dit que est T-périodique ou périodique de période T si : x A, (x+ T)= (x). Le réel T est lors ppelé UNE période de. T ATTENTION! Une onction périodique ne possède jmis qu une seule période. Tout multiple entier d une période T est encore une période : T,3T,4T... Voilà pourquoi on ne prle jmis de «l» période, mis toujours d UNE période. En prtique Ps esoin d étudier une onction : A T-périodique sur A tout entier, une étude sur une période suit, pr exemple A [0, T[. 5

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI Théorème (Opértions sur les onctions périodiques) Soient T> 0, A une prtie de T-périodique et : A et g : A deux onctions T-périodiques. (i) Les onctions + g et g sont ussi T-périodiques, insi que g si g ne s nnule ps. (ii) Pour toutω>0, l onction x (ωx) est T ω -périodique sur l ensemle dilté/contrcté 1 ω A. Expliction Si pr exempleω=, le grphe de l onction x (x) est l contrction horizontle de cteur de celui de. Si est T-périodique, rien d étonnnt du coup à ce que x (x) soit T -périodique. Démonstrtion (i) Concernnt + g, pour tout x A : (+ g)(x+ T)= (x+ T)+ g(x+ T)= (x)+ g(x)=(+ g)(x). (ii) Notons g l onction x (ωx) déinie en tout point x pour lequelωx A, i.e. sur 1 A. Pour tout ω x 1 ω A : g x+ T = ω x+ T = (ωx+ T)= (ωx)= g(x). ω ω L onction x sin(x) estπ-périodique cr l onction sinus est π-périodique. RAPPELS SUR LA DÉRIVATION Déinition (Dérivilité, tngente) Soient I un intervlle, : I une onction et I. (x) () On dit que est dérivle en si lim EXISTE ET EST FINIE. Cette limite est lors ppelée le nomre x x dérivé de en et notée (). L ensemle des onctions dérivles sur I tout entier, i.e. dérivles en tout point de I, est noté(i,). Pour tout (I,), l onction x (x) sur I est ppelée l dérivée de. Si est dérivle en, l droite d éqution : y= ()+ ()(x ) est ppelée l tngente de en. (x) () Expliction Si est dérivle en, lors pour x : (), donc : (x) ()+ ()(x ). x Ce risonnement sns rigueur justiie tout de même rpidement le it que l tngente de en est LA DROITE LA PLUS () () PROCHE DU GRAPHE DE AU VOISINAGE DE. Plus géométriquement, schnt que est le coeicient directeur de l corde relint les points de coordonnées, () et, (), l limite : () () ()= lim représente l «pente limite» des cordes précitées. y= (x) On it tendre vers. y= (x) () () L corde relint, () et, () () L tngente de en 6

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI Théorème (Opértions sur les dérivées) Soient I un intervlle et, g (I,). Multipliction pr un réel : Pour toutλ,λ est dérivle sur I et : (λ) =λ. Somme : + g est dérivle sur I et : (+ g) = + g. Produit : g est dérivle sur I et : ( g) = g+ g. Quotient : Si g ne s nnule ps sur I, est dérivle sur I et : = g g. g g g Soient I et J deux intervlles, (I,) et g (J,). On suppose à vleurs dns J. Composée : g est dérivle sur I et : (g ) = g. L onction x ln x+ x(1 x) est déinie sur]0,1] et dérivle sur]0,1[. Étudiez scrupuleusement l rison pour lquelle n ps priori les mêmes ensemles de déinition et de dérivilité. En eet Ensemle de déinition : L quntité ln x+ x(1 x) est ien déinie si : x(1 x)0 à cuse de l rcine crrée et si : x+ x(1 x)>0 à cuse du logrithme, i.e. si x [0,1] et x> 0. Conclusion : est déinie sur]0,1]. x 0 1 + x 0 + 1 x + 0 x(1 x) 0 + 0 Ensemle de dérivilité : L onction rcine crrée est déinie sur + mis dérivle seulement sur +. Nous llons donc devoir modiier un peu ce qui précède, remplcer «x(1 x)0»pr «x(1 x)>0». L onction x x(1 x) est dérivle sur]0,1[ À VALEURS DANS et l onction rcine crrée + est dérivle sur +, donc x x(1 x) est dérivle sur]0,1[ pr composition. Pr somme, x x+ x(1 x) est dérivle sur]0,1[, À VALEURS DANS +. L onction logrithme étnt dérivle sur, est enin dérivle sur]0,1[ pr composition. + Remrque : Nous n vons ps prouvé que N est PAS dérivle en 1, le risonnement qui prouve s onne déinition sur]0,1] montre seulement s dérivilité sur]0,1[. Théorème (Crctéristion des onctions dérivles constntes/monotones) Soient I un INTERVALLE et (I,). Ain d lléger, on n énonce ci-dessous que le cs des onctions croissntes. est constnte sur I si et seulement si est nulle sur I. est croissnte sur I si et seulement si est positive ou nulle sur I. est strictement croissnte sur I si et seulement si est positive ou nulle sur I et n est identiquement nulle sur ucun intervlle[, ] vec <. En prticulier, si est strictement positive sur I, lors est strictement croissnte sur I. En prtique À ce stde de l nnée, c est pour leur SIGNE qu on clcule des dérivées. Conséquence : FACTORISEZ TOUJOURS VOS DÉRIVÉES LE PLUS POSSIBLE! Rppelons que le signe d une onction s otient souvent grâce à un TABLEAU DE SIGNE. ATTENTION! Mine de rien, l hypothèse selon lquelle I est un INTERVALLE est indispensle. Le théorème est ux si I est une réunion d intervlles non vides disjoints. est constnte sur I 1 et sur I, donc = 0 sur I 1 et sur I, mis n est ps constnte sur I 1 I. y= (x) I 1 I y= (x) I 1 I est croissnte sur I 1 et sur I, donc 0 sur I 1 et sur I, mis n est ps croissnte sur I 1 I. 7

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI Déinition (Dérivées successives) Soit : I une onction. On commence pr poser : (0) =. Ensuite, pour tout k, SI on réussi à déinir (k) sur I u cours des étpes précédentes, et SI (k) est dérivle sur I, on pose : (k+1) = (k). Pour tout k, si l onction (k) est ien déinie, dite dérivée k ème de, on dit que est k ois dérivle sur I. On note générlement,, et plutôt que (0), (1), () et (3) respectivement. Pour tout k, l ensemle des onctions k ois dérivles sur I tout entier est noté k (I,). En prtique Le théorème «Opértions sur les dérivées» se générlise ien ux dérivées successives. Ainsi l somme et le produit de deux onctions k ois dérivles sont eux-mêmes k ois dérivles. Il en v de même de leur quotient et de leur composée qund ils ont un sens. L onction x ex x + 1 est dérivle utnt de ois qu on le veut surcr les onctions x ex et x x +1 le sont. On n ps esoin de dériver 99 ois pour svoir que l dérivée 100 ème est ien déinie! En prtique On souvent esoin de démontrer des inéglités en mthémtiques, et s il n y ps de méthode unique pour y prvenir, il y en qund même une qu il ut toujours voir en tête, l ÉTUDE DES VARIATIONS D UNE FONCTION. Pour tout x ] 1,+ [ : ln(1+ x) x. Un grnd clssique! En eet L onction x x ln(1+ x) est déinie et dérivle sur] 1,+ [ et pour tout x ] 1,+ [ : (x)=1 1 1+ x = x. On conclut grâce 1+ x u tleu ci-contre. Pour tout x [0,] : x+ 1 1 x + 3 3, 1. Pr illeurs, pour tout x : En eet x 1 0 + (x) 0 + (x) x+ 1 x + 3 1 6, 1. Tenttive nïve : Pour tout x [0,] : 0 x 4 donc 3 x + 37, et pr illeurs : 1 x+ 1 1 x+ 13, donc pr quotient : 7 x + 3 3 3 = 1 su que ce résultt est moins in que celui que nous souhitons. En encdrnt SÉPAREMENT le numérteur et le dénominteur, nous ne les vons ps it communiquer ssez, cette tenttive nïve est un échec. 0 Solution vi une étude de onction : L onction x est déinie et dérivle suret pour tout x : (x)= 1 x + 3 (x+ 1) x x + 3 = x + x 3 x + 3 = x+ 1 x + 3 (x 1)(x+ 3) x + 3. x 3 1 + (x) 0 + 0 0 1 (x) 1 6 0 On conclut grâce u tleu ci-contre, schnt que : (0)= 1 3 3 7 = (). Pour tout x + \ 1 : x+ 1 x 1 ln x. En eet Nous pourrions étudier l onction x x+ 1 ln x et l comprer x 1 à, mis l dérivée d un quotient occsionne souvent d reux clculs, donc nous llons plutôt étudier le SIGNE de x (x+ 1)ln x (x 1) sur +. Nous diviserons pr x 1 en in d étude pour otenir le résultt. Or pour tout x + : (x)=ln x+ 1 x 1 et (x)= x 1. On x conclut grâce u tleu ci-contre. En prtique Relisez ien le déut de l exemple précédent : x 0 1 + (x) 0 + (x) 0 (x) + 0 + (x) 0 (x) 0 + (x) x 1 + + Les onctions ne sont ps toutes ussi ciles à étudier les unes que les utres, ites le on choix! 8

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI Pour tout x, y ] 1,1[ : x+ y 1+ x y ] 1,1[. En eet Comment prouver une inéglité sur deux vriles? Idée : on «gèle» l une des vriles, pr exemple y, et on considère que seule x est réellement vrile. On dérive lors pr rpport à x. x Soit y ] 1,1[ FIXÉ. L onction x x+ y est déinie et dérivle sur\ 1, 1 1 1+ x y y (x) + donc ortiori sur] 1,1[. Pour tout x ] 1,1[ : conclut grâce u tleu ci-contre. (x)= 1 y > 0. On (1+ x y) (x) 1 1 3 FONCTIONS ET BONNE RÉDACTION Ensemle de déinition ATTENTION! Ensemle d rrivée Pour déinir une onction, on peut procéder insi : «On note l onction» n n. ou insi : «On note l onction n n déinie sur.» Flèche vec un PETIT TRAIT! «On note l onction déinie surpr : n, (n)= n.» «On pose pour tout n : (n)= n.» On s interdir en revnche scrupuleusement les ormultions suivntes : «On note l onction n sur.» «On note l onction n n sur.» «On pose (n)= n.» Prolème de lèche! Pour prler d une onction, on écrit «...l onction x sin x...» et non ps «... l onction sin x...» On dit qu une onction est déinie SUR tel ou tel domine. On s interdir scrupuleusement toute ormultion du type : «L onction x 1 x 5 est déinie pour tout x \ 5.» On dit qu une onction est monotone SUR tel ou tel domine. On s interdir scrupuleusement toute ormultion du type : «L onction x e x + 1 est monotone pour tout x.» On dit qu une onction est dérivle SUR tel ou tel domine. On s interdir scrupuleusement toute ormultion du type : «L onction x x est dérivle pour tout x.» x + 1 Lst ut not lest : LA NOTATION «(x)» EST TOTALEMENT INTERDITE. Qund vous dérivez une onction, disons x e sin x, n écrivez ps : «Pour tout x : (x)= e sin x = e sin x cos x», mis simplement : «Pour tout x : (x)=e sin x cos x.» 4 FONCTIONS USUELLES 4.1 FONCTIONS AFFINES Déinition (Fonctions ines) On ppelle onction ine toute onction de l orme x mx+p vec m, p. En prtique Le grphe de est lors l droite de coeicient directeur m et d ordonnée à () () l origine p. Si on connît deux vleurs () et () de vec, lors : m=. Souvent, en rélité, ce n est ps l ordonnée à l origine qu on connît, mis l ordonnée en un utre point. Le résultt suivnt est FONDAMENTAL : (x)=m(x )+ (). p y= mx+ p +1 m 9

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI On ppelle onction ine pr morceux toute onction dont le domine de déinition est l réunion d un nomre ini d intervlles disjoints sur lesquels est ine. L onction vleur solue, pr exemple, est ine pr morceux, pire, continue sur MAIS dérivle seulement sur. y= x Le grphe de l onction x En eet Tout simplement, pour tout x : y= (x) x+ 1 x + x est représenté ci-dessous. (x)= (x+ 1) x +(x ) = x 1 si x (x+ 1) x (x ) = 3 x si 0 x< (x+ 1) +x (x ) = x+ 3 si 1 x< 0 (x+ 1) +x (x ) = 1 x si x< 1, Ps dérivle en 0, il y un «ngle». et nous n vons lors plus qu à trcer des morceux de droites selon les principes de l remrque précédente. 4. FONCTIONS POLYNOMIALES ET RATIONNELLES Théorème (Fonctions puissnces entières) Pour tout n, l onction x x n est déinie et dérivle sur son ensemle de déinition, à svoirsi n0 et si n<0, de dérivée x nx n 1. n pir> 0 n impir 3 n pir< 0 n impir< 0 Nous urons plus trd dns l nnée un chpitre «Polynômes» et un chpitre «Frctions rtionnelles» importnts. Il s git ici seulement de ire rpidement connissnce vec ces ojets. Déinition (Fonctions polynomiles et rtionnelles) On ppelle onction polynomile toute onction P : de l orme x n x n + n 1 x n 1 +...+ x + 1 x+ 0 vec 0,..., n. Les réels 0,..., n sont ppelés les coeicients de P et le plus grnd exposnt de x doté d un coeicient non nul est ppelé le degré de P. On ppelle onction rtionnelle tout quotient d une onction polynomile pr une onction polynomile non nulle. L onction x 3x 5 x 4 + 7x + x est polynomile de degré 5. En prtique Pour clculer l limite en+ ou d une onction polynomile ou rtionnelle, on ctorise pr le terme de plus hut degré u numérteur et u dénominteur, puis on simpliie. Pr exemple : + x + {}}{ 4x 5 6x 4 +5= 4x 5 + et x x 1+ + x+ 7 x + 7 x = x + 3x 1 1 3 x + 5 4x }{{ 5 } 1 x + 3x 1 1 3x = 1 3 1+ x + 7 x 1 1 3x 1 x + 3. Déinition-théorème (Rcine d une onction polynomile) Soient P : une onction polynomile etλ. On dit queλest une rcine de P si : P(λ)=0. Fctoristion pr une rcine : λ est rcine de P si et seulement s il existe une onction polynomile Q : telle que pour tout x : P(x)=(x λ)q(x). 10

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI L onction x x 3 3x + x+ 3 s nnule en, et en eet, pour tout x : (x)=(x ) x x 1. Expliction Ce chpitre est conscré ux onctions dedns, mis on peut ien sûr déinir des onctions polynomiles et rtionnelles dednsu moyen de coeicients complexes et disposer nturellement d une notion de rcine complexe. Le nomre i est pr exemple rcine de x x + 1, d où l ctoristion suivnte pour tout x : x + 1=(x i)(x+ i). 4.3 FONCTIONS EXPONENTIELLE, LOGARITHME ET PUISSANCES Déinition-théorème (Fonctions exponentielle et logrithme) L onction exponentielle exp est déinie et dérivle surde dérivée elle-même. On pose e x = exp(x) pour tout x et le nomre e 1 est noté e : e,718. L onction logrithme (népérien) ln est déinie et dérivle sur + de dérivée l onction inverse x 1 x. Réciprocité : Pour tout x : ln e x = x et pour tout x + : eln x = x. Conséquence : les grphes d exp et ln sont symétriques l un de l utre pr rpport à l droite d éqution y=x nous y reviendrons plus loin. e y=x Trnsormtion somme/produit : Pour tous x, y : e x+y = e x e y, donc en prticulier : e x = 1 e x, et pour tous x, y + : y= e x 1 ln(x y)=ln x+ ln y, donc en prticulier : ln 1 = ln x. x Croissnces comprées : 1 e e x lim x + x =+, lim x + xe x = 0, ln x lim = 0 et lim x ln x= 0. x + x x 0 y= ln x Inéglités clssiques : Pour tout x : e x x+ 1 et pour tout x ] 1,+ [ : ln(1+ x) x. ATTENTION! Le réel e x n est ps «e multiplié x ois pr lui-même», cr en générl x n est ps un entier nturel que signiierit «e multiplié ois pr lui-même»? L nottion «puissnce» de e x n est qu une NOTATION, utilisée pr souci de commodité prce que l exponentielle trnsorme les sommes en produits comme les puissnces clssiques. Mis dns ce cs, qu est-ce donc qu e x si ce n est ps «e multiplié x ois pr lui-même»? Mystère, mystère... Jusqu ici, nous vions seulement déini les puissnces x n pour n ENTIER. Nous pouvons mintennt générliser. Déinition (Puissnces quelconques et rcines n èmes d un réel STRICTEMENT POSITIF) Soit x +. Pour tout y, on ppelle x puissnce y le réel : x y = e y ln x. Pour tout n (ENTIER, donc), on ppelle rcine n ème de x le réel : n x=x 1 n. ATTENTION! Cette re-déinition «x y = e y ln x» n est vlle que pour des vleurs STRICTEMENT POSITIVES de x à cuse du ln x. Ici ussi, l nottion «puissnce» n est qu une NOTATION, x y n est ps le produit y ois de x. Il n existe ucune utre déinition de x y dns le cs où y est un réel quelconque. Pr conséquent, qund vous voyez x y quelque prt, IL FAUT que l exponentielle et le logrithme vous sutent ux yeux instntnément. Pour tout x> 1 : x lnln x ln x = e lnln x ln x ln x = e ln ln x = ln x. 11

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI Théorème (Propriétés lgériques des puissnces) L nouvelle déinition des puissnces générlise ien l ncienne. (i) Pour tout x + et pour tout n, les déinitions «x n = x x... x (n ois)» et «x n = e n ln x» coïncident. (ii) Pour tous x, x + et y, y : ln x y = y ln x, x y+y = x y x y, x y y = x y y, (x x ) y = x y x y et x y = 1 1 y x x y=. Démonstrtion (i) Tout simplement : n ois n ois {}}{{}}{ n ois e n ln x ln x+...+ ln = e x {}}{ = e ln x... e ln x = x... x. (ii) ln x y = ln e y ln x = y ln x. x y+y = e (y+y ) ln x = e y ln x+y ln x = e y ln x e y ln x = x y x y. x y y = e y y ln x = e y ln(x y) = x y y. (x x ) y = e y ln(x x ) = e y ln x+y ln x = e y ln x e y ln x = x y x y. x y = e y ln x = 1 1 e y ln x= et x y = e y ln x = e y ln 1x 1 y =. x y x Théorème (Étude des onctions puissnces) Soitα. (i) L onction x x α est déinie et dérivle sur + x αx α 1. de dérivée α>1 α=1 (ii) Positions reltives : Pour tous x ]0,1] etα,β : αβ = x β x α. Pour tous x [1,+ [ etα,β : αβ = x α x β. En prticulier : pour x ]0,1] : 0... x 3 x x 1 1 x 1 1 x x3... pour x [1,+ [ : 0... 1 x 3 1 x 1 x 1 xx x 3... 0<α<1 α=0 α<0 Prolongement pr continuité en 0 pourα>0 (iii) Prolongement pr continuité en 0 pourα>0 : Dns le cs oùα>0, on prolonge l onction x x α en 0 en posnt : 0 α = 0. L nouvelle onction insi otenue est déinie et continue sur + tout entier, y compris en 0. Un tel prolongement est ppelé prolongement pr continuité. ATTENTION! Pourα ]0,1[, l onction x x α est continue en 0 mis elle y une tngente verticle, signe qu elle n est ps dérivle en 0. C est notmment ce qui rrive à l onction rcine crrée. Démonstrtion (i) x e α ln x est dérivle comme composée et pour tout x + : (x)= α x eα ln x =αx 1 x α =αx α 1. (ii) Soient x etα,β tels queαβ. + Si x ]0,1] : ln x 0, donc : β ln xαln x, et donc : x β = e β ln x e α ln x = x α. Si x [1,+ [ : ln x 0, donc : αln xβln x, et donc : x α = e α ln x e β ln x = x β. (iii) Pourα>0 : lim x α = 0, donc on otient une onction continue en 0 en posnt : 0 α = 0. x 0 Théorème (Croissnces comprées des onctions logrithme, exponentielle et puissnces) Le principe générl, c est que l exponentielle est plus puissnte que les puissnces, qui sont elles-mêmes plus puissntes que le logrithme. Précisément, pour tousα>0etβ> 0 : e x lim x + x α=+, lim x + x α =+ et (ln x) lim β x 0 xα ln x β = 0. 1

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI 4.4 FONCTIONS HYPERBOLIQUES sh, ch ET th Déinition-théorème (Fonctions sinus hyperolique et cosinus hyperolique) Pour tout x, on ppelle sinus hyperolique de x le réel : sh x= ex e x hyperolique de x le réel : ch x= ex + e x. et cosinus Les onctions sinus hyperolique et cosinus hyperolique, respectivement impire et pire, sont déinies et dérivles survec : sh = ch et ch = sh. Enin, pour tout x : ch x sh x= 1. y= ch x y= sh x Démonstrtion x 0 + Vritions : Elles sont étudiées sur le tleu ci-contre. ch x + Reltion «ch x sh x= 1» : sh x 0 ch x sh x= ch x+ sh x ch x sh x = e x e x = 1. sh x 0 + Les solutions de l éqution : ch x= d inconnue x sont : ln + 3 et ln 3. ch x 1 En eet Pour tout x : ch x= e x + e x = e x 4+e x = 0 e x e x 4e x + 1= 0 e x = + 3 ou e x = 3 Second degré en e x e x = 4+ 1 + 3>0 3>0 ou e x = 4 1 x= ln + 3 ou x= ln 3. Déinition-théorème (Fonction tngente hyperolique) 1 L onction tngente hyperolique est déinie surpr l reltion : th= sh ch. Elle est dérivle suret impire et : th = 1 th = 1 ch. y= th x Elle possède enin une symptote d éqution y= 1 u voisinge de+ (resp. y= 1 u voisinge de ). 1 Démonstrtion L onction th est dérivle pr quotient et : th = sh ch ch sh = ch sh, quntité qui vut à l ois : et 1 sh ch ch 1 ch ch = 1 th. L étude des vritions est très simple à mener. Pour l limite en+ : th x= sh x ch x = ex e x 1 e x e x + e x= 1+e 1. x x + 13

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI 4.5 TABLEAU RÉCAPITULATIF DES DÉRIVÉES USUELLES Fonction Ensemle de déinition Ensemle de dérivilité Dérivée e x e x Pr convention, 0 α = 0 siα>0. ln x + + x α = e α ln x sh x= ex e x ch x= ex + e x th x= sh x ch x siα siα \ + siα \ siα siα \ + siα \ 1 x α 1 α x ch x sh x 1 th x= 1 ch x 5 INTRODUCTION AUX BIJECTIONS ET AUX RÉCIPROQUES 5.1 NOTIONS DE BIJECTION ET DE RÉCIPROQUE Déinition (Bijection) Soient A et B deux prties deet : A B une onction. On dit que est ijective de A sur B, ou que est une ijection de A sur B, ou que rélise une ijection de A sur B, si tout élément de B possède un et un seul ntécédent pr, i.e. si : y B,! x A/ y= (x). Expliction B B y B y ATTENTION! A Fonction ijective de A sur B x 1 x A A Fonction NON ijective de A sur B, y PLUSIEURS ntécédents. Une ijection n est ps orcément strictement monotone. L igure de guche le montre ien. Fonction NON ijective de A sur B, y n AUCUN ntécédent. À moins qu il n y it ps d miguïté, il ut toujours préciser «de A sur B» qund on évoque l ijectivité d une onction. À ce propos, on ne conondr ps «de A DANS B» vec «de A SUR B» : Dire qu une onction est déinie de A DANS B, c est dire que ses vleurs sont toutes DES éléments de B mis ps orcément TOUS les éléments de B. Il y en peut-être qu elle n tteint ps. C est le même «dns» que dns l expression «à vleurs dns B». Dire qu une onction est ijective de A SUR B, c est u contrire irmer en prticulier qu elle tteint TOUS les éléments de B, que son imge est B tout entier. 14

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI A A Déinition (Identité) Soit A une prtie de. On ppelle identité de A et on note Id A l onction x x. Déinition (Réciproque) Soient A et B deux prties deet : A B une onction. On ppelle réciproque de toute onction g : B A pour lquelle : g = Id A et g= Id B. Expliction Les identités «x A, g (x)= x» et «y B, g(y)= y» expriment l idée que g déit le trvil que opère et vice vers. Ce que l une tricote, l utre le détricote. Les onctions exponentielle et logrithme sont réciproques l une de l utre cr pour tout x : ln e x = x et pour tout x + : eln x = x. Soitα. Les onctions x x α et x xα 1 sont réciproques l une de l utre cr pour tout x + : x α 1α = x 1 α= et xα x. C est en prticulier le cs des onctions x x n et x n x pour tout n sur +. Théorème (Bijectivité et réciproque) Soient A et B deux prties deet : A B une onction. est ijective de A sur B si et seulement si possède une réciproque. Une telle réciproque est lors unique, ppelée LA réciproque de et notée 1. Pour tous x A et y B : y= (x) x= 1 (y). Cette équivlence signiie géométriquement que le grphe de et celui de 1 sont symétriques l un de l utre pr rpport à l droite d éqution y=x. Expliction L symétrie des grphes de et 1 pr y=x y=x α y=x rpport à l droite d éqution y = x se visulise isément sur les igures ci-contre. L onction exponentielle est ijective desur, tndis qu à l inverse l onction logrithme est ijective de + + sur. Pour toutα, l onction x x α est ijective de y= e x y=x 1 α + sur + de réciproque x x 1 α. y= ln x Sur cette igure, α > 1. Démonstrtion Pour ne ps perdre de temps, nous lisserons de côté l unicité de l réciproque. Supposons ijective de A sur B : y B,! x A/ y= (x) et introduisons l ppliction g qui, à tout y B, ssocie l unique ntécédent de y pr. Nous llons montrer que g est une réciproque de. Pour tout y B : y= g(y) pr déinition de g(y) comme ntécédent de y pr. Conclusion : g= Id B. Pour tout x A, g (x) est pr déinition de g l unique ntécédent de (x) pr, or x est justement un tel ntécédent de (x) pr, donc : g (x) = x pr unicité. Conclusion : g = Id A. Supposons réciproquement que possède une réciproque g et montrons qu lors est ijective de A sur B. Soit y B. Nous devons prouver que y possède UN ET UN SEUL ntécédent pr dns A. Pr déinition de g : y= g(y), donc y possède AU MOINS UN ntécédent pr. Pour montrer qu il en possède AU PLUS UN, donnons-nous-en deux x et x : y= (x)= (x ). Alors : x=g (x) = g (x ) = x pr déinition de g, donc : x=x unicité. 15

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI Théorème (Réciproque d une onction ijective monotone/impire) Soient A et B deux prties deet : A B une onction ijective de A sur B. (i) Si est monotone, elle l est strictement et 1 est strictement monotone de même sens de vrition. (ii) Si A est symétrique pr rpport à 0 et si est impire, B est symétrique pr rpport à 0 et 1 est impire. Démonstrtion (i) Tritons seulement le cs où est croissnte : x, y A, x< y = (x) (y). En it est STRICTEMENT croissnte, cr s il étit possile d voir «(x)= (y)», x et y serient DEUX ntécédents d un même élément de B lors que est supposée ijective. Montrons que 1 est strictement croissnte. Soient y, y B tels que y< y. Si : 1 (y) 1 (y ), lors : y = 1 (y) 1 (y ) = y pr croissnce de, ce qui est ux. Conclusion : 1 (y)< 1 (y ). (ii) Soit y B. Alors y= (x) pour un certin x A. Or A est symétrique pr rpport à 0 donc x A. Et comme est impire : y= (x)= ( x) B. Conclusion : B est symétrique pr rpport à 0. Pr illeurs : 1 ( y)= 1 (x) = 1 ( x) = x= 1 (y), donc 1 est impire. 5. LE TVI STRICTEMENT MONOTONE Nous reviendrons très longuement et vec démonstrtions sur les énoncés de ce prgrphe u chpitre «Continuité». Déinition (Continuité) Soient I un intervlle, : I une onction et I. On dit que est continue en si : lim = (). () est continue en. () N est PAS continue en. () N est PAS continue en. Théorème (Dérivilité et continuité) Soient I un intervlle, : I et I. Si est dérivle en, lors est continue en. ATTENTION! L réciproque est usse! Pensez à l vleur solue ou à l rcine crrée en 0. Théorème (Théorème des vleurs intermédiires ou TVI) Soient, tels que < et :[, ] une onction CONTINUE. Alors tout réel y compris entre () et () possède AU MOINS UN ntécédent pr dns[, ] : x [, ]/ y= (x). y Ici, PLUSIEURS ntécédents. x 1 x x 3 x 4 ATTENTION! Avnt de poursuivre, revenons un instnt sur l notion d imge d un intervlle pr une onction. En générl : [, ] = (), (), ], [ = (), (), etc. Nous llons voir que ces églités en pprence nturelles se déduisent générlement de deux hypothèses importntes, l CONTINUITÉ et l STRICTE MONOTONIE. 16

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI () () Ici, n est ps continue sur[, ]. () Ici, n est ps strictement monotone sur[, ]. () Théorème (TVI strictement monotone) Soient, tels que <. (i) Soit :[, ] une onction CONTINUE et STRICTEMENT CROISSANTE. Alors est ijective de[, ] sur (), (). (ii) Soit :[, [ une onction CONTINUE et STRICTEMENT DÉCROISSANTE. Alors est ijective de[, [ sur lim, (). (iii) Soit :], [ une onction CONTINUE et STRICTEMENT CROISSANTE. Alors est ijective de], [ sur lim,lim. () (i) () (ii) lim (iii) () lim lim Il existe ien sûr d utres versions du théorème selon que est croissnte ou décroissnte et déinie ou non en et, vec éventuellement = et =+. ATTENTION! Nous llons utiliser ce théorème une ininité de ois cette nnée. Brûleront donc en ener tous ceux d entre vous qui l utiliseront sns soin. TROIS choses essentielles : l CONTINUITÉ, l STRICTE MONOTONIE, les VALEURS/LIMITES AUX BORNES. L onction déinie surpr (0)=1 et pour tout x : (x)= ex 1 x En eet est ijective desur +. Continuité : Comme quotient, est continue sur et en 0? Pr déinition du nomre dérivé : e x 1 lim = exp (0)=e 0 = 1, i.e. : lim = (0) continuité en 0. Ainsi est continue sur x 0 x 0 tout entier. x 0 + Stricte monotonie : Comme quotient, est dérivle sur et pour tout g (x) 0 + x : (x)= ex (x 1)+1. Le signe de dépend donc du signe x g(x) g 0 de l onction dérivle x e x (x 1)+1 sur, or pour tout x : g (x)= xe x. D près le tleu ci-contre, est inlement strictement g(x) + 0 + croissnte sur. (x) + + Étude ux ornes : lim = 0 et lim =+. + + (x) 0 On conclut grâce u TVI strictement monotone. Déinition (Point ixe) y=x Soient A une prtie deet : A une onction. On ppelle point ixe de tout élément x de A pour lequel : (x)= x. y= (x) Points ixes de 17

Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI En prtique Étudier les POINTS FIXES DE, c est étudier les ZÉROS DE x (x) x. L onction x e x possède un et un seul point ixe sur. En eet L onction x e x x est continue sur, strictement décroissnte surcomme somme de onctions strictement décroissntes, et enin : lim (x)= et lim (x)=+, donc d près x + x le TVI strictement monotone, s nnule une et une seule ois sur, ce qui est ien le résultt voulu. 5.3 CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D UNE RÉCIPROQUE Les théorèmes de ce prgrphe seront démontrés dns les chpitres «Continuité» et «Dérivilité». Théorème (Continuité et dérivilité d une réciproque) Soient I et J deux intervlles et : I J une onction ijective de I sur J. Continuité : Si est continue sur I, lors 1 est continue sur J. Dérivilité : Si est dérivle sur I ET SI NE S ANNULE PAS SUR I, lors 1 est dérivle sur J et : 1 = 1 1. Démonstrtion L continuité et l dérivilité de 1 demndent du trvil, mis l ormule de dérivtion de 1 en découle isément ensuite, il suit de dériver l reltion «1 = Id J» : 1 1 = 1. ATTENTION! L hypothèse selon lquelle ne s nnule ps est essentielle! Tngente VERTICALE, donc 1 n est ps dérivle. y= 1 (x) y=x y= (x) Tngente HORIZONTALE, s nnule. Fisons l hypothèse que nous connissons tout de l exponentielle mis rien du logrithme. L onction logrithme peut dns ce cs être DÉFINIE comme comme réciproque de l exponentielle : ln=exp 1. Or l exponentielle est dérivle suret s dérivée exp = exp ne s nnule ps sur, donc en vertu du théorème précédent, l onction logrithme est dérivle sur + et pour tout x + : ln (x)= exp 1 1 (x)= exp exp 1 (x) = 1 exp ln(x) = 1 x. 18