Nombres complexes. 1 Le corps C des nombres complexes. 1.1 Construction à partir du corps R des nombres réels

c Christophe Bertault - MPSI Nombres complexes 1 Le corps C des nombres complexes 1.1 Construction à partir du corps R des nombres réels Définition Loi de composition interne Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne sur E, ou plus simplement loi interne sur E toute application de E E dans E. Explication Une loi interne est ce que vous avez appelé une «opération» dans les classes antérieures : l addition des réels, la multiplication des réels, l addition des vecteurs... Par exemple, l addition des vecteurs est une loi interne car c est une façon d associer, à tout couple u, v de vecteurs, un autre vecteur que l on note u + v. Nous supposons dans ce qui suit que nous connaissons parfaitement l ensemble R des nombres réels muni de ses deux lois + et d addition et de multiplication. Partant de là, nous allons construire le corps C des nombres complexes. Au commencement est R. Dans tout ce chapitre, R est identifié au plan euclidien qu on a muni d un repère orthonormal direct O, ı, j ; tout vecteur du plan est par là même identifié à ses coordonnées dans le repère O, ı, j. On définit alors sur R deux lois de composition internes, notées provisoirement et, en posant : x,y,x, y R x, y x, y = x + x, y + y, x, y x, y = xx yy, xy + yx. En tant qu il est muni de ces deux lois, R est noté C et ses éléments sont appelés nombres complexes. Nous décidons à présent d identifier, pour tout x R, le réel x et le nombre complexe x,0 ; cela signifie que nous noterons désormais x à la place de x,0. Via cette identification, R peut-être vu comme une partie de C. x x Pour tous x, x = x,0 x,0 = x + x,0 = x + x R, cette identification permet d écrire : x x = x,0 x,0 = xx,0 = x x. On voit donc que, sur les réels, se comporte comme l addition usuelle + et que se comporte comme la multiplication usuelle. Les lois et sont donc des prolongements à C des lois usuelles + et qui n étaient pour le moment définies que sur R. Ce résultat nous invite à laisser de côté les notations et : désormais, et seront notées respectivement + et et appelées addition et multiplication. Le symbole sera généralement omis. Définition Parties réelle et imaginaire d un nombre complexe Imz Soit z = x, y C. Le réel x est appelé la partie réelle de z et noté Rez ; de même, le réel y est appelé la partie imaginaire de z et noté Imz. j Pour tous z, z C : z = z Rez = Rez et Imz = Imz. ı O z Rez Explication Géométriquement, Rez est l abscisse du point z dans le repère O, ı, j, et Imz est son ordonnée. Nous avons décidé plus haut de noter 1 l élément 1, 0, identifié au réel 1 ; nous décidons à présent de noter i l élément 0,1. Définition Forme algébrique d un nombre complexe Soit z C. Il existe un couple unique x, y de réels tels que z = x + iy. On a en fait x = Rez et y = Imz. Pour tous x,y R : x + iy = x,0 + [ 0, 1 y,0 ] = x,0 + 0, y = x,y. En pratique L unicité de la forme algébrique d un nombre complexe est utilisée fréquemment pour faire des identifications. Elle permet, quand on a une égalité du type a + ib = a + ib, d écrire que a = a et que b = b. Retenez bien l idée suivante : une égalité de nombres complexes, c est deux égalités de nombres réels. 1

Remarque Un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelle et imaginaire le sont. Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé un imaginaire pur. Définition Affixe d un point et d un vecteur, image d un nombre complexe Soit M un point du plan de coordonnées x,y. On appelle affixe de M le nombre complexe x + iy ; inversement M est appelé l image de x + iy. Soit u un vecteur de coordonnées x,y. On appelle affixe de u le nombre x + iy. Explication Dans la mesure où on a identifié R, C et le plan euclidien, on a en réalité M = x,y = x + iy. On conserve cependant les trois notations différentes; chacune est utile dans son contexte : il est parfois plus facile de penser en termes de points, parfois plus facile de penser en termes de nombres complexes, etc. Le théorème suivant est une conséquence directe d un théorème que nous avons démontré en géométrie élémentaire du plan. Théorème Règles de calcul sur les affixes Soient u et v deux vecteurs d affixes respectifs u et v et λ, µ R. Le vecteur λ u + µ v a pour affixe λu + µv. Soient A et B d affixes respectifs a et b. Le vecteur AB a pour affixe b a. n Soient A 1, A,..., A n des points d affixes respectifs a 1, a,..., a n et λ 1, λ,..., λ n des réels. On pose Λ = λ k et on suppose que Λ 0. Le barycentre des points pondérés A 1, λ 1,A, λ,..., A n, λ n a pour affixe 1 Λ n λ k a k. k=1 k=1 Nous disposons finalement d un quadruple point de vue sur un même objet mathématique : R est à la fois l ensemble de couples de réels, le plan euclidien constitué de points, l ensemble des vecteurs du plan et l ensemble C des nombres complexes. Nous allons à présent démontrer les propriétés usuelles des lois + et sur C. Soient donc z = x + iy, z = x + iy et z = x + iy trois nombres complexes. 1 Commutativité de + : z + z = x, y + x, y = x + x, y + y = x + x,y + y = x, y + x, y = z + z. Commutativité de : zz = x,y x, y = xx yy, xy +yx = x x y y, x y+y x = x, y x,y = z z. 3 Associativité de + : L ordre des parenthèses n a pas d importance quand on effectue des additions. z + z + z = [ x, y + x, y ] + x, y = x + x, y + y + x, y = x + x + x, y + y + y = x + x + x, y + y + y = x,y + x + x, y + y = x, y + [ x, y + x, y ] = z + z + z. 4 Associativité de : L ordre des parenthèses n a pas d importance quand on effectue des multiplications. zz z = [ x,y x, y ] x, y = xx yy, xy + yx x, y = xx yy x xy + yx y, xx yy y + xy + yx x = xx x y y yx y + y x, xx y + y x + yx x y y = x,y x x y y, x y + y x = x, y [ x, y x, y ] = zz z. 5 Distributivité de sur + : zz + z = x, y [ x, y + x, y ] = x, y x + x, y + y = xx + x yy + y, xy + y + yx + x = xx yy + xx yy, xy + yx + xy + yx = xx yy, xy + yx + xx yy, xy + yx = [ x, y x, y ] + [ x,y x, y ] = zz + zz. 6 Existence d un élément neutre pour + : Cet élément neutre unique est 0. z+0 = x, y+0,0 = x, y = z. 7 Existence d un élément neutre pour : Cet élément neutre unique est 1. z 1 = x, y 1,0 = x, y = z. 8 Existence d un inverse pour + : Tout nombre complexe z possède un inverse unique pour + qu on appelle son opposé : c est 1 z, noté z. z + z = x,y + [ 1, 0 x,y ] = x, y + x, y = 0,0 = 0.

c Christophe Bertault - MPSI 9 Existence d un inverse pour : Tout nombre complexe non nul z = x + iy possède un inverse unique pour qu on appelle son... inverse : c est x iy x + y, noté 1 z z étant non nul, x + y 0. z 1 z = x, y x x + y, y x + y = x x x + y y y x + y, x y x + y + y x = 1,0 = 1. x + y Explication Pourquoi avons-nous dans le titre de cette partie qualifié C de «corps»? Nous aurons l occasion d étudier la notion de corps dans un prochain chapitre, mais en voici tout de même une rapide définition. Un corps est un ensemble muni de deux lois de composition internes, disons + et, qui vérifient toutes les propriétés que nous venons de passer en revue à l instant : commutativité, associativité, distributivité, élément neutre, inverse. Par exemple, R et Q, munis des lois d addition et de multiplication usuelles, sont des corps. Attention! Rappelons enfin que les inégalités n ont aucun sens sur C. Quel sens donner à la proposition «i i+1»? Une inégalité sur des complexes dans une copie est un crime impardonnable. 1. Conjugué et module d un nombre complexe Définition Conjugué et module d un nombre complexe Soit z C. On appelle conjugué de z, noté z, le nombre complexe Rez iimz. On appelle module de z, noté z, le réel positif ou nul Rez + Imz. Explication Ces deux notions ont une interprétation géométrique très naturelle, comme le montre la figure cicontre : si nous notons M l image de z et M l image de z, M est le symétrique de M par rapport à l axe Ox, et z = OM. Plus généralement, si A et B sont deux points du plan d affixes respectifs a et b, alors b a = AB. Imz z M Rez Remarque La fonction module coïncide avec la fonction valeur absolue sur R, c est pourquoi leurs notations sont identiques. Imz M Théorème Pour tous z, z C : Rez = z + z z z, Imz =, z = z, z + z i = z + z et zz = z z. z = 0 z = 0, Rez z et Imz z. z z = z, z = z, zz = z. z et si z 0, z z = z z. Inégalité triangulaire : z z z ± z z + z. Explication z + z L interprétation géométrique des inégalités Rez z et Imz z est évidente à partir de la figure précédente. z Et que signifie l inégalité triangulaire? Elle signifie, sur le dessin ci-dessous, que la distance de O à z + z est inférieure ou égale à la somme des distances de O à z et de O à z. z Contentons-nous de démontrer l inégalité triangulaire z z z + z z + z. Pour démontrer cette inégalité avec z z à la place de z + z, remplacer z par z. 3

On part de l inégalité Rez z z z = z. z = z. z que l on sait être vraie. Rez z z. z z z + zz z. z z + z z + zz + z z + z. z + z z z + z z + zz + z z z + z z + z z + z réel }} z z + zz z. z z + z z + z z + z z + z z + z. L inégalité de droite est ainsi démontrée. Remarquez bien que, contrairement aux apparences, nous travaillons bien avec des inégalités sur des réels, puisque z z + zz = Rez z R. L inégalité de gauche en découle : z = z + z + z z + z + z, d où : z z z + z. Permutant les rôles de z et z, on obtient de même : z z z + z. Le résultat en découle. En pratique L égalité z z = z est utilisée généralement pour déterminer la forme algébrique de l inverse d un 1 nombre complexe. Pour tout couple de réels a, b 0,0 : a + ib = a ib a + b. La notion de module d un nombre complexe permet une description aisée des cercles et des disques dans le plan complexe. Théorème Cercles, disques et affixes Soit A un point d affixe a et R R +. } i Le cercle de centre A et de rayon R est l ensemble z C/ z a = R. } ii Le disque fermé de centre A et de rayon R est l ensemble z C/ z a R. } iii Le disque ouvert de centre A et de rayon R est l ensemble z C/ z a < R. i A R iii A ii R A R Le groupe U des nombres complexes de module 1.1 Définition, caractérisation Définition Groupe U des nombres complexes de module 1 On note U l ensemble } z C/ z = 1. Explication } U = z C/ z = 1 = x, y R / } } x + y = 1 = x, y R / x + y = 1. Dans le plan euclidien, U est donc en réalité le cercle de centre O et de rayon 1, i.e. le cercle trigonométrique. Pourquoi qualifier U de «groupe» dans la définition précédente? Nous aurons l occasion d étudier la notion de groupe dans un prochain chapitre, mais en voici tout de même une définition. Un groupe est un ensemble G muni d une loi de composition interne, disons, qui vérifie quelques propriétés intéressantes : 1 est associative : g,g, g G, g g g = g g g ; possède un élément neutre, disons e : g G, g e = e g = g ; 3 tout élément de G possède un inverse pour : g G, g G/ g g = g g = e. Dans le cas présent, U est un groupe pour la loi de multiplication des nombres complexes; on peut bien dire que est une loi de composition interne sur U car le produit de deux éléments de U est un élément de U. Définition Exponentielle iθ Soit θ R. On appelle exponentielle de iθ, notée e iθ, le nombre complexe : e iθ = cos θ + isin θ. 4

c Christophe Bertault - MPSI Explication La notation e iθ, qui cache un cosinus et un sinus, n est qu une notation : e iθ n est pas «e à la puissance iθ», ce qui n a aucun sens. Quel rapport avec l exponentielle classique alors? Le choix de la notation e iθ est justifié par l assertion iii du théorème suivant, où l on montre que e iθ se comporte comme une exponentielle classique. En réalité, la notation e iθ n est pas seulement liée par analogie à l exponentielle usuelle ; derrière tout cela se cache une et une seule exponentielle. Mais ce n est pas de votre âge. Théorème Propriétés algébriques de l exponentielle iθ Soient θ, θ R et n N. i cos θ = eiθ + e iθ ii e iθ 0 et e iθ = e iθ = 1 e iθ. iii e iθ+θ = e iθ e iθ. et iv e inθ = e iθn, ou encore : v Posons t = tan θ. Alors : eiθ = sin θ = eiθ e iθ i formules d Euler. cos θ + i sin θ n = cosnθ + isinnθ formule de Moivre. 1 + it 1 + t. iii Montrons que : e iθ+θ = e iθ e iθ. e iθ e iθ = [ cos θ + isin θ ] [cos θ + isin θ ] = [ cos θ cos θ sin θ sin θ ] + i [ sin θ cos θ + cos θ sin θ ] = cosθ + θ + isinθ + θ = e iθ+θ. iv Montrons que : Initialisation : e iθ n = e inθ. Supposons θ fixé et raisonnons par récurrence sur n. e iθ 0 = 1 = e i0 θ. Hérédité : Soit n N. On suppose que e iθn = e inθ. Montrons que e iθ n+1 = e in+1θ. Or en vertu du point précédent : e iθ n+1 = e iθn e iθ = e inθ e iθ = e inθ+θ = e in+1θ. Fin de la récurrence. v Nous savons que cos θ = 1 t t et que sin θ = 1 + t 1 + t. Du coup eiθ = 1 t + it 1 + it = 1 + t 1 + t. Théorème Paramétrisation de U par l exponentielle iθ Pour tout nombre complexe z : z U θ R/ z = e iθ. Pour tous θ, θ R, l égalité e iθ = e iθ implique l égalité de θ et θ à π près; en d autres termes : θ, θ R, e iθ = e iθ = θ θ mod π. Explication } } Le premier point signifie que U = z C/ θ R/ z = e iθ = e iθ θ R. Ce résultat n est rien de plus que la version «nombres complexes» de la paramétrisation cartésienne trigonométrique du cercle trigonométrique ; pour tout point M de coordonnées x,y : x = cos θ M appartient au cercle trigonométrique θ R/. y = sin θ Pour tout réel θ, e iθ est l affixe du point M tel que OM = 1 et ı, OM θ mod π. Montrons que : θ R, e iθ U. Soit donc θ R. Alors : e iθ = cos θ + isin θ = cos θ + sin θ = 1 = 1. Donc en effet e iθ U. Montrons que tout élément de U admet une écriture de la forme e iθ pour un certain θ R et qu un tel θ est unique à π près. Soit donc u U. Nous avons u = Reu + Imu = 1. Nous savons qu il existe alors un réel θ, unique à π près, tel que Reu = cos θ et Imu = sin θ. On a donc bien u = e iθ et θ est unique à π près. U i j O ı θ e iθ M 1 5

c Christophe Bertault - MPSI. Forme trigonométrique d un nombre complexe Définition Arguments et forme trigonométrique d un nombre complexe Soit z C non nul. Alors z z U. Il existe donc un réel θ, unique à π près, tel que z = z eiθ. Un tel réel θ est appelé un argument de z. Il existe un unique argument de z dans l intervalle ] π, π] : on l appelle l argument principal de z et on le note argz. L écriture «z = z e i argz» est appelée la forme trigonométrique de z. Géométriquement, z, argz est un couple de coordonnées polaires de l image de z. Attention! Notez bien que zéro n a pas d argument, et qu en général, faute d unicité, on parle d un argument. Théorème Propriétés des arguments Soient z, z C non nuls. z arg z argz mod π, argzz argz + argz mod π et arg argz argz mod π. z Démontrons par exemple la seconde égalité. On a : z = z e iargz et z = z e i argz. Ainsi zz = z e i argz z e i argz = zz e iargz+argz, mais par ailleurs zz = zz e i argzz. L «unicité» de la forme trigonométrique des nombres complexes montre alors que argzz argz + argz mod π comme voulu..3 Racines n èmes Pour tout entier naturel n, nous supposons connue la fonction n racine n ème sur R +, fonction réciproque de la fonction x x n bijective de R + sur R +. La fonction n est donc définie par : x,y R +, y = n x x = y n. Pour n =, on parle de racine carrée et on note simplement ; pour n = 3, de racine cubique. Nous reviendrons sur ces fonctions dans de prochaines aventures. Notez bien c est un principe général que la courbe représentative d une fonction réciproque est le symétrique par rapport à la droite d équation y = x de la courbe représentative de la fonction de départ. x x y = x x x 3 y = x x x 4 y = x 3 4 Définition Racines n èmes Soient z C et n N. On appelle racine n ème de z tout nombre complexe ζ tel que z = ζ n. Les racines n èmes de 1 sont généralement appelées les racines n èmes de l unité. Leur ensemble est noté U n. Attention! Si z est un nombre complexe qui n est pas un réel positif ou nul, la notation n z est la plus interdite des notations interdites. 6

c Christophe Bertault - MPSI Théorème Soit n N. La seule racine n ème de 0 est 0. Soit z C non nul, donné sous une forme trigonométrique z = re iθ. Alors z possède exactement n racines n èmes ; ce n sont les nombres complexes r e iθ n + ikπ n, k décrivant l ensemble 0, n 1. } En particulier : U n = e ikπ n. 0 k n 1 En pratique Vous devez connaître et savoir démontrer ce résultat parfaitement. Explication Le cas du nombre 0 est une idiotie, car un produit de nombres complexes est nul si et seulement si l un des facteurs l est. Nous allons commencer par travailler sur les racines de l unité ; nous généraliserons ensuite à partir de ce cas. Racines n èmes de l unité : Soit ω C. Notons ρ = ω et ϕ l unique argument de ω dans l intervalle [0, π[. Utilisons alors l «unicité» de la forme trigonométrique des nombres complexes : ω n = 1 ρ e iϕ n = 1 ρ n e inϕ = 1.e i.0 ρ n = 1 et nϕ 0 mod π ρ = 1 et k Z/ nϕ = kπ ρ = 1 et k Z/ ϕ = kπ n ρ = 1 et k 0, n 1 / ϕ = kπ n. On a pu remplacer Z par 0, n 1, car ϕ [0,π[. Nous avons donc obtenu l équivalence suivante : ω n = 1 k 0, n 1 / ω = e ikπ n, comme voulu. Cela nous fait bien un total de n racines n èmes de l unité, car les exponentielles ainsi découvertes sont toutes distinctes. Cas général : Soit z C non nul, donné sous une forme trigonométrique z = re iθ. On pose ζ = n r e iθ n. Il est immédiat que ζ n = z, et ζ est non nul puisque z ne l est pas. Nous disposons donc d au moins une racine n ème de z. Nous allons trouver toutes les autres à partir d elle. Soit alors ω C. ω n = z ω n = ζ n C est le résultat voulu. k 0, n 1 / Tâchons de visualiser ce théorème au moyen de quelques dessins. n ω = 1 ζ 0 ζ ω ζ = e ikπ n k 0, n 1 / ω = n r e iθ n + ikπ n. j A quoi ressemblent les racines cubiques de l unité? Posons j = e iπ 3 notation à connaître. Alors U 3 = l ensemble des trois sommets du triangle équilatéral représenté ci-contre. 1, j, j }. Graphiquement, U 3 est j = j 1 Et en général? Plus généralement, U n est l ensemble des sommets de l unique polygone régulier i.e. à côtés de même longueur à n côtés de centre O, passant par le point d affixe 1. i e 4iπ 5 e iπ 5 j = e iπ 3 e iπ 3 1 1 1 1 1 i U 4 est l ensemble des sommes d un carré e 4iπ 5 e iπ 5 U 5 est l ensemble des sommets d un pentagone régulier 7 j = j = e iπ 3 e iπ 3 U 6 est l ensemble des sommets d un hexagone régulier

Théorème Propriétés des racines n èmes de l unité Soit n N, n. i Pour tout z C : ω U n z ω = n 1 z e ikπ n = z n 1 et ω U n 1} z ω = n 1 k=1 n 1 z e ikπ n = z k. ii La somme des racines n èmes de l unité est nulle, i.e. : n 1 ω = e ikπ n = 0. En particulier, 1 + j + j = 0. ω U n i Nous démontrerons ces égalités avec plus de rigueur dans le chapitre sur les polynômes. Pour le moment, contentons-nous de remarquer que les racines n èmes de l unité sont tous les zéros de la fonction polynomiale n 1 z z n 1; cela explique qu on ait : z ω = z e ikπ n = z n 1. On obtient la seconde ω U n identité en divisant la première par z 1 division problématique quand z = 1, mais nous reverrons cela plus tard. n 1 ii Puisque n 1, e iπ n 1. Du coup : e ikπ n = n 1 iπ n e iπ k e n 1 n = e iπ n 1 = eiπ 1 = 0. e iπ n 1 En pratique Nous étudions à présent une technique susceptible de nous fournir les racines carrées d un nombre complexe donné sous forme algébrique. Pour les racines n èmes avec n, cette recherche s avère périlleuse. Soit donc z C, donné sous forme algébrique z = x + iy. Nous voulons calculer les racines carrées de z, i.e. résoudre l équation ω = z d inconnue ω C donnée sous forme algébrique ω = a + ib. L idée géniale de la méthode est cachée dans l équivalence suivante : ω = z ω = z et ω = z. Cette équivalence peut paraître idiote, mais c est pourtant grâce à elle que nous allons réussir notre calcul. ω = z ω = z et ω a b = x = z et a + b = x ab = y + y a = x + x + y, b = x + x + y et ab = y effectuer la somme et la différence des équations a + b =... et a b =... Le résultat obtenu semble compliqué, mais on en tire aisément les valeurs de a et b : les égalités a =... et b =... nous permettent de connaître a et b au signe près; pour savoir si a et b sont de même signe ou de signes contraires, on utilise l égalité ab = y. On obtient finalement, si z 0, deux racines carrées ω distinctes opposées de z. Exemple Les racines carrées de 1 + 5i sont ± 5 + i. En effet Soit ω C, donné sous forme algébrique ω = a + ib. ω = 1 + 5i ω = 1 + 5i et ω = 1 + 5i a + b = 13, a b = 1 et ab = 5 a 13 + 1 =, b 13 1 = et ab = 5 a = ± 5, b = ± 1 et ab = 5 a,b = 5 1, ou a,b = 5, 1 a + b = 1 + 5 a b = 1 ab = 5 a et b sont de même signe car ab = 5 0 ω = 5 + i ou ω = 5 + i comme annoncé. La technique précédente de calcul des racines carrées d un nombre complexe est ce dont nous avons besoin pour résoudre les équations du second degré à coefficients complexes. Théorème Equation du second degré à coefficients complexes Soient a, b, c C avec a 0. Les solutions de l équation az b ± δ +bz +c = 0 d inconnue z C sont, où δ est l une quelconque des deux racines carrées du discriminant a b 4ac. La somme de ces solutions vaut b a et leur produit c a. 8

Pour tout z C : az + bz + c = a z + b a z + c [ = a z + b ] [ b a a 4a + c = a z + b ] b 4ac a a 4a [ = a z + b ] [ δ = a z + b ] [ + δ. z + b ] δ = a z b δ z b + δ. a a a a a a a a Or un produit de nombres complexes est nul si et seulement si l un de ses facteurs l est... Exemple Les solutions de l équation 4z + 8z 3 5i = 0 d inconnue z C sont 3 ± 5 + i. En effet Le discriminant de cette équation du second degré est = 8 3 4.4. 5i = 161 + 5i. Or nous avons trouvé tout à l heure les racines carrées de 1 + 5i ; par exemple, 5 + i en est une. Du coup, δ = 4 5 + i est une racine carrée de. Les solutions recherchées sont donc bien 8 3 ± δ = 3 ± 5 + i.4..4 L exponentielle complexe Définition Exponentielle complexe Soit z C, donné sous forme algébrique z = x + iy. On appelle exponentielle de z, notée e z, le nombre complexe e z = e x e iy. Théorème Propriétés de l exponentielle complexe i L exponentielle complexe est iπ-périodique, i.e. : z C, e z+iπ = e z. ii Equation fonctionnelle : Pour tous z, z C : e z+z = e z e z. L exponentielle transforme les sommes en produits. iii L exponentielle complexe ne s annule pas, et pour tous z C, ζ C : e z = ζ k Z/ z = ln ζ + iargζ + ikπ. Explication L assertion iii implique que 0 est le seul nombre complexe qui n est l exponentielle d aucun nombre complexe ; pour tout ζ C non nul, il existe z C une infinité en fait, via la iπ-périodicité tel que ζ = e z. i Facile : z C, e z+iπ = e Rez e iimz+iπ = e Rez e iimz = e z. ii Soient z, z C. e z+z = e Rez+z e iimz+z = e Rez+Rez e iimz+iimz = e Rez e Rez e iimz e iimz = e z e z. iii L exponentielle réelle ne s annule pas, nous le savons déjà, et la fonction θ e iθ non plus car e iθ = 1 ; produit de ces deux fonctions, l exponentielle complexe ne s annule donc pas. Soient alors z C et ζ C. Utilisons l «unicité» de la forme trigonométrique des nombres complexes. e z = ζ e z = ζ et arg e z argζ mod π e Rez = ζ et Imz argζ mod π Rez = ln ζ et k Z/ Imz = argζ + kπ k Z/ z = ln ζ + iargζ + ikπ. 9

.5 Linéarisation et factorisation d expressions trigonométriques En pratique Linéariser une expression polynomiale en cos x et sin x, c est l exprimer à l aide de cos x, cosx... et sin x, sinx... en supprimant toutes les puissances qui pouvaient apparaître. Pour mener à bien une linéarisation, on dispose de deux outils : les formules d Euler et la formule du binôme de Newton. Les exemples valent ici mieux qu un long discours. Vous devez savoir faire ce genre de calcul rapidement et sans aide. Exemple x R, sin 5 sin5x 5sin3x + 10 sin x x =. 16 En effet Soit x R. Première étape : On remplace sin x grâce à la formule d Euler pour le sinus, puis on développe grâce à la formule du binôme de Newton. sin 5 e ix e ix 5 x = = 1 e 5ix 5e 3ix + 10e ix 10e ix + 5e 3ix e 5ix. i 3i Seconde étape : On regroupe les puissances de e ix de manière à pouvoir utiliser les formules d Euler dans l autre sens. sin 5 x = 1 e 5ix e 5ix 5 e 3ix e 3ix + 10 e ix e ix sin5x 5sin3x + 10sin x =. 3i 16 Exemple x R, sin xcos 4 x = En effet Soit x R. cos6x cos4x + cosx +. 3 Première étape : On remplace cos x et sin x à l aide des formules d Euler, puis on développe grâce à la formule du binôme de Newton les deux parenthèses ainsi obtenues; finalement on développe de nouveau. e sin xcos 4 ix e ix e ix + e ix 4 x = = 1 e ix + e ix e 4ix + 4e ix + 6 + 4e ix + e 4ix i 64 = 1 e 6ix + e 4ix e ix 4 e ix + e 4ix + e 6ix. 64 Seconde étape : On regroupe les puissances de e ix de manière à pouvoir utiliser les formules d Euler dans l autre sens. sin xcos 4 x = 64 1 e 6ix +e 6ix + e 4ix +e 4ix e ix +e ix cos6x cos4x + cosx + 4 =. 3 En pratique Pour effectuer des factorisations, vous devez connaître la technique de l angle moitié. Cette technique sert à écrire les complexes de la forme e ix + e iy sous forme de produit. L idée est simple : x,y R, e ix + e iy = e ix+y e ix y + e ix y = e ix+y cos x y. On parle de l angle moitié car la technique consiste seulement à mettre en facteur l exponentielle associée à l angle x + y. Cette technique s adapte bien sûr au cas des complexes de la forme e ix e iy. Exemple Soient n N et x R. n coskx = sin n + 1x cosnx sin x n + 1 si x / πz si x πz En effet Vous devez savoir refaire cette démonstration, l exercice est très classique. n Si x πz, alors coskx = 1 pour tout k 0, n, et donc coskx = n + 1 comme annoncé. Supposons désormais que x / πz, de sorte que e ix 1. n coskx = n Re e ikx n = Re e ikx Formule d Euler = Re e sin n + 1x inx = sin x e ix 1 = Re sin n + 1x sin x e in+1x 1 Angle moitié e ix 1. = Re ein+1x e in+1x e in+1x e ix e ix e ix Re e inx sin n + 1x = sin x cosnx. C est terminé. 10

3 Nombres complexes et géométrie plane 3.1 Interprétation géométrique de z b z a Théorème Interprétation géométrique de z b Soient a,b, z C tels que z a et z b. On note A l image de a, B z a celle de b et M celle de z. z b z a = MB z b et arg MA, MB mod π. MA z a En pratique Ce résultat peut être utilisé pour démontrer l alignement de A, B et M, ou pour montrer l orthogonalité des droites AM et BM. z b A, B et M sont alignés MA, MB 0 mod π z a R. AM et BM sont orthogonales MA, MB π mod π z b z a ir. 3. Produit scalaire et déterminant Théorème Produit scalaire, déterminant et affixes Soient u et v deux vecteurs d affixes respectifs u et v. u v = Re ūv et det u, v = Im ūv. Notons u = x + iy et v = x + iy les formes algébriques de u et v respectivement. ūv = x iyx + iy = xx + yy + ixy yx = u v + idet u, v. En pratique Nous en déduisons un nouveau moyen de montrer l alignement de trois points, la colinéarité de deux vecteurs ou l orthogonalité de deux vecteurs. 3.3 Transformations usuelles Théorème Transformations usuelles élémentaires Soit M un point d affixe z. i Soit u un vecteur d affixe u. L image de M par la translation de vecteur u a pour affixe le nombre complexe z + u. ii Soit λ R. L image de M par l homothétie de centre O et de rapport λ a pour affixe le nombre complexe λz. iii Soit θ R. L image de M par la rotation de centre O et d angle de mesure θ a pour affixe le nombre complexe e iθ z. En particulier, iz est l affixe de l image de M par la rotation de centre O et d angle de mesure π. iv L image de M par la symétrie centrale de centre O a pour affixe le nombre complexe z. v L image de M par la symétrie par rapport à l axe des abscisses Ox a pour affixe le nombre complexe z. vi L image de M par la symétrie par rapport à l axe des ordonnées Oy a pour affixe le nombre complexe z. i La translation de vecteur u envoie M sur un certain point M défini par : OM = OM + u. En termes d affixes, si z est l affixe de M, nous obtenons comme voulu l égalité : z = z + u. ii L homothétie de centre O et de rapport λ envoie M sur un certain point M défini par : OM = λ OM. En termes d affixes, si z est l affixe de M, nous obtenons comme voulu l égalité : z = λz. 11

iii La rotation de centre O et d angle de mesure θ envoie M sur un certain point M défini cette fois par deux relations : OM = OM et OM, OM θ mod π. En termes d affixes, si z est l affixe de M, nous obtenons donc d abord deux égalités : z = z et argz argz θ mod π. D où enfin : z = z e iargz = z e i argz+iθ = e iθ z. iv La symétrie centrale de centre O n est autre que l homothétie de centre O et de rapport 1 utiliser l assertion ii. v Déjà observé. vi La symétrie par rapport à Oy n est autre que la composée de la symétrie par rapport à Ox et de la symétrie centrale par rapport à O utiliser les assertions iv et v. En pratique Il est important de connaître la démonstration précédente, qui d ailleurs est très simple. Car elle nous fournit la méthode à adopter pour caractériser en termes d affixe n importe quelle transformation usuelle composée de transformations élémentaires. Exemple L homothétie de centre Ω = i et de rapport est l application z z i. En effet Soit M un point d affixe notée z. Notons M l image de M par l homothétie étudiée et z l affixe de M. Alors M est défini par : ΩM = ΩM. En termes d affixes, cette identité s écrit : z i = z i, i.e. z = z i. Exemple La rotation de centre A = + i et d angle de mesure π est l application z iz + 1 + 3i. En effet Soit M un point d affixe notée z. Notons M l image de M par la rotation étudiée et z l affixe de M. Alors M est défini par les deux relations : AM = AM et AM, AM π mod π, qui s écrivent en termes d affixes : z i = z i et argz i argz i π mod π. Par conséquent : z i = z i e iargz i = z i e iargz i iπ = e iπ z i. Et finalement : z = e iπ z i + + i = iz i + + i = iz + 1 + 3i comme voulu. 3.4 Similitudes et isométries Définition Similitude, isométrie Soit λ > 0. On appelle similitude plane de rapport λ toute application f du plan dans lui-même telle que pour tous points M, N : fmfn = λmn. On appelle isométrie plane toute application f du plan dans lui-même telle que pour tous points M, N : fmfn = MN. Explication Une isométrie est une application qui préserve les distances étymologiquement, «iso-métrie» signifie «même mesure». Une similitude est une application qui mulitplie les distances dans un rapport constant. En particulier, il est clair que toute isométrie est une similitude de rapport 1. Exemple Les translations, les rotations et les symétries axiales sont des isométries. Les homothéties sont des similitudes. Le théorème suivant montre que les similitudes sont des transformations très simples quand on les observe à travers le miroir des affixes. Théorème Caractérisation complexe des similitudes/isométries planes i Les similitudes planes sont exactement toutes les applications de la forme z az + b ou z a z + b, où a, b C et a 0. ii Les isométries planes sont exactement toutes les applications de la forme z az + b ou z a z + b, où a, b C et a = 1. 1

i Il est clair que toute application de la forme z az + b, où a,b C et a 0, est une similitude, car : z, z C, az + b az + b = a. z z le rapport de la similitude est précisément a. Même chose pour les applications de la forme z a z + b. Réciproquement, soit f une similitude de rapport λ > 0. Nous voulons montrer que f est soit de la forme z az + b, soit de la forme z a z + b, où a, b C et a 0. La preuve s effectue en plusieurs étapes. Puisque f est une similitude : f1 f0 = λ 1 0 = λ > 0. Par conséquent f0 f1. fz f0 Nous pouvons donc poser, pour tous z C : gz = f1 f0. Alors pour tous z, z C : gz gz = fz f0 f1 f0 fz f0 f1 f0 = fz fz fz f1 f0 = fz f1 f0 = λ z z = z z. λ 1 0 Ce calcul montre que g est une isométrie. Nous allons étudier g pour obtenir des informations sur f. Remarquons qu on a g0 = 0 et g1 = 1. Montrons que : z C, gz = z ou gz = z. Fixons z C. Introduisons les formes algébriques de z et gz : z = x + iy et gz = x + iy, où x, x, y,y R. Puisque g est une isométrie et puisque g0 = 0 et g1 = 1, alors : gz = gz g0 = z 0 = z et gz 1 = gz g1 = z 1. Ces deux égalités nous conduisent à un système de deux équations : x + y = x + y x 1 + y = x 1 + y x + y = x + y x = x L 1 L1 1 L x = x y = ±y. Ceci montre comme voulu que gz = x + iy = x + iy = z ou gz = x + iy = x iy = z. Montrons que : z C, gz = z ou z C, gz = z. Nous venons de montrer que pour tout z, gz vaut z ou z. Mais on peut avoir a priori gz = z pour certains z et gz = z pour d autres z. Il s agit maintenant de montrer qu on a soit toujours gz = z, soit toujours gz = z résultat beaucoup plus fort. Remarquons qu en vertu du point précédent, on a soit gi = i, soit gi = ī = i. 1 Supposons d abord que gi = i et montrons que : z C, gz = z. Soit z C. Faisons l hypothèse que gz = z. Alors z i = gz gi = z i, i.e. z + i = z i. Cette égalité signifie que z est équidistant des points i et i, donc que z est situé sur leur médiatrice qui est l axe des réels. Ainsi z R et donc gz = z = z. On montrerait de même que si gi = i, alors : z C, gz = z. Tâchons de conclure. Posons a = f1 f0 0 et b = f0. Alors par définition de g : z C, gz = fz b. Via le dernier point, nous avons bien soit : z C, fz = az + b, a soit : z C, fz = a z + b. Fin de la preuve. ii Les isométries sont exactement toutes les similitudes de rapport 1. Or toute similitude est de la forme z az + b ou z a z + b, où a, b C et a 0. Mais nous avons vu par ailleurs que le rapport d une telle similitude est a. Les isométries sont donc comme voulu toutes les applications de la forme z az + b ou z a z + b avec a = 1. Définition Similitude plane directe/indirecte i Toute similitude plane de la forme z az + b avec a,b C et a 0 préserve les angles orientés de vecteurs. Une telle similitude est dire directe. ii Toute similitude plane de la forme z a z + b avec a, b C et a 0 transforme tout angle orienté de vecteurs en son opposé. Une telle similitude est dire indirecte. Explication Ce résultat est tout à fait non trivial : il n était pas du tout évident, quand nous avons défini la notion de similitude, qu une application qui multiplie les distances dans un rapport constant préserve ou renverse les angles orientés. 13

c Christophe Bertault - MPSI i Soient a, b C tels que a 0 et f la similitude z az + b. Soient en outre U, V, W trois points distincts d affixes respectives u, v, w. Leurs images respectives par f sont notées U, V, W, d affixes u, v, w. Alors : u w au + b aw + b au w = = u v au + b av + b au v = u w u w u w, et donc : arg arg mod π. u v u v u v Nous avons ainsi montré l égalité : U V, U W UV, UW mod π. Comme voulu, f préserve les angles orientés. ii Imiter la preuve de l assertion i. Exemple Les translations, les rotations et les homothéties sont des similitudes directes. Les symétries axiales sont quant à elles indirectes. Théorème Caractérisation géométrique des similitudes/isométries planes directes i Toute similitude plane directe est soit une translation, soit la composée d une homothétie de rapport strictement positif et d une rotation de même centre. Dans ce second cas, si f est la composée d une homothétie de centre Ω et de rapport λ > 0 et d une rotation de même centre Ω et d angle de mesure θ, alors on dit que f est la similitude directe de centre Ω, de rapport λ et d angle de mesure θ. ii Toute isométrie plane directe est soit une translation, soit une rotation. Explication Encore un résultat non trivial. Dans le cas isométries par exemple, il n était pas du tout clair a priori qu une application qui préserve les distances et l orientation est soit une translation déplacement suivant un vecteur constant, soit une rotation déplacement angulaire constant autour d un point fixe. On aurait pu imaginer que d autres transformations plus exotiques préservaient les distances. La figure ci-contre illustre l action d une similitude s de centre Ω, de rapport λ et d angle de mesure θ sur un point M. On tourne et on dilate, ou bien on dilate et on tourne. Ω θ sm M Ici λ =. i Soient a, b C tels que a 0 et f la similitude directe z az + b. Si a = 1, alors f est la translation de vecteur d affixe b. Supposons donc désormais a 1. Alors l équation f possède un unique point fixe : l équation fω = ω d inconnue ω C possède une unique solution ω = b. Notons Ω le point d image 1 a ω. Du coup, pour tout z C : fz ω = fz fω = az+b aω+b = az ω = a e iarga z ω = e iarga a z ω }}}} Rotation de centre Ω et d angle de mesure arg a } } Homothétie de centre Ω et de rapport a > 0 Homothétie de centre Ω et de rapport a > 0 } } Rotation de centre Ω et d angle de mesure arg a Comme voulu, f apparaît comme la composée d une homothétie et d une rotation de même centre. ii Le cas des isométries directes se déduit du cas des similitudes directes : une similitude directe de rapport 1 est soit une translation, soit une rotation.. Exemple L application f : z iz + 1 est la similitude de centre 1 + i, de rapport et d angle de mesure π 5. En effet Comme le coefficient de z dans la forme de f est i 1, f n est pas une translation. Son rapport est alors i = et son angle a pour mesure argi = π. Enfin le centre de f est son unique point fixe ω. Calculons son affixe : fω = ω ω = 1 1 i = 1 + i. 5 14