Méthodes pratiques de calcul de primitives

Méthodes pratiques de calcul de primitives I - Introduction On donne dans ce qui suit des méthodes de calcul des primitives d une fonction f, dans le cas où elles s obtiennent à l aide de fonctions élémentaires (fonctions rationnelles, trigonométriques, exponentielles, et fonctions inverses des précédentes). On rappelle que, si f est continue sur un intervalle I, elle possède une primitive F dans cet intervalle, c est-à-dire une fonction F telle que F = f. L intégrale de f sur un intervalle [a, b] inclus dans I est donnée par la formule b f(t)dt = F(b) F(a). Inversement, si a appartient I, et si l on pose a F(x) = la fonction F ainsi définie et une primitive de f sur I. x a f(t)dt, Deux primitives F et F 2 d une même fonction f continue sur un intervalle I diffèrent d une constante. Mais si f est discontinue en certains points, son domaine de définition va s écrire comme une réunion d intervalles sur lesquels f est continue, et il apparaî t alors autant de constantes que d intervalles : exemple : la fonction f : x x admet comme primitive sur R la fonction F : x ln x. Les autres primitives de f sur R seront de la forme où C et C 2 sont des constantes. F(x) = { ln( x) + C si x < 0 ln x + C 2 si x > 0 Dans les calculs effectués ci-dessous les constantes seront omises. Remarques : a) plusieurs méthodes de calcul peuvent exister pour calculer les primitives d une fonction donnée. Dans certains cas, les résultats peuvent prendre des formes a priori trés différentes. Elles sont égales à une constante près

2 b) certaines méthodes de calcul introduisent des discontinuités : les primitives obtenues étant discontinues sur l intervalle I, alors que f y était continue. Il n en existe pas moins une primitive continue sur I. exemple : le calcul d une primitive de (2 + cos x) qui est continue sur R, utilise la fonction x tan(x/2) et introduit des discontinuités aux points (2k + )π (k entier). La primitive trouvée sera continue sur ](2k )π, (2k + )π [ pour tout entier k mais pas sur R. II - Méthodes générales A - Changement de variable Cette méthode est basée sur la formule de dérivation des fonctions composées : (G h) = G h h. Donc Deux cas peuvent se produire : (G h)(x) h (x)dx = (G h)(x). a) la fonction f à intégrer, s écrit sous la forme g h h. Dans ce cas on effectue le changement de variable t = h(x), on calcule une primitive G de la fonction g, alors, la fonction G h est une primitive de f. b) on veut faire un changement de variable du type x = k(t), pour ramener le calcul des primitives de f à celui des primitives de f k k. Il faut alors faire attention au domaine de définition de k, et le choisir de telle sorte que k soit bijective, de manière à pouvoir écrire t = k (x), ce qui permettra de revenir en x à la fin du calcul. Si G est une primitive de f k k, on aura alors F = G k. B - Intégration par parties Cette méthode est basée sur la formule de dérivation d un produit : (u v) = u v + v u.

3 Donc v (x) u(x)dx = u(x) v(x) u (x) v(x)dx. Cette méthode peut être utilisée pour un calcul direct de v (x) u(x)dx, en l employant au besoin plusieurs fois de suite. exemple : P(x)e x dx où P est un polynôme. Elle peut fournir une relation de récurrence permettant de calculer de proche en proche des intégrales dépendant d un paramètre. exemple : cos 2n xdx Il se peut aussi qu après plusieurs intégrations par parties on retombe sur l intégrale de départ affectée d un autre coefficient, ce qui permet de la calculer. exemple : e x cos xdx III - Primitives se ramenant à I = e ax P(x), où a est un nombre complexe, et P un polynôme de degré n. A - Cas général a) On applique n fois la formule d intégration par parties, et l on obtient un résultat de la forme e ax P(x)dx = e ax Q(x), où Q est aussi un polynôme de degré n. b) On peut également écrire a priori e ax P(x)dx = e ax (a n x n + a n x n + + a 0 ), dériver cette relation et identifier, ce qui donne un système permettant de calculer les coefficients a i. B - Primitives de la forme I = P(x)e ax cos(bx)dx et J = P(x)e ax sin(bx)dx où P est un polynôme de degré n, et a et b sont deux nombres réels.

4 a) On a alors I + ij = P(x)e (a+ib)x dx. ce qui ramène au cas général. On obtient alors I et J en prenant les parties réelle et imaginaire de la primitive trouvée. Le résultat obtenu est de la forme où Q et R sont des polynômes de degré au plus n. I (ou J) = e ax (Q(x)cos(bx) + R(x)sin(bx)) b) On peut également partir de la relation ci-dessus, dériver et identifier pour obtenir les polynômes P et Q. c) Si a = 0, on peut intégrer I et J avec n intégrations par parties. d) Si P est constant, on peut intégrer deux fois par parties, et l on retrouve l intégrale de départ, avec un coefficient différent de, ce qui donne une équation du premier degré dont I ou J est solution. C - Primitives de la forme I = P(x)e ax ch(bx) dx et J = P(x)e ax sh(bx) dx où P est un polynôme de degré n, et a et b sont deux nombres réels. a) En exprimant ch(ax) et sh(ax) sous forme exponentielle, on se ramène au cas A. b) Les résultats obtenus sont les mêmes que dans B en remplaçant sin par sh et cos par ch. c) On se ramène encore à B, en mettant ch(ax) et sh(ax) sous forme exponentielle pour des intégrales du type P(x)e ax cos(bx)ch(cx)dx etc. D - Primitives de la forme I = P(x)e ax S(sin x, cos x) dx où a est réel, P est un polynôme d une variable, et S un polynôme de deux variables. L expression S(sin x,cos x) se linéarise, et la primitive est une somme de primitives du cas B.

5 IV - Fractions rationnelles A - Cas général On décompose la fraction rationnelle en éléments simples sur R. a) La partie polynomiale s intégre directement. b) Les termes de la forme (x a) n, où a est réel et n entier, s intègrent en dx (x a) n = c) Pour les éléments de deuxième espèce de x 2 + px + q. On obtient ax + b (x 2 + px + q) n = a 2 La première partie s intègre immédiatement : 2x + p (x 2 + px + q) n dx = ln x a si n = ( n)(x a) n si n > ax + b (x 2 + px + q) n, on fait apparaî tre au numérateur la dérivée ( 2x + p (x 2 + px + q) n + b ap ) 2 (x 2 + px + q) n. ln(x 2 + px + q) si n = ( n)(x 2 + px + q) n si n > Pour intégrer le terme de degré de la deuxième partie, on utilisera la formule dx x 2 + px + q = 2 arctan 2x + p, où désigne le discriminant p 2 4q du trinôme. Pour les termes de degrés plus élévés, on commence par mettre le trinôme sous forme canonique x 2 + px + q = et l on effectue le changement de variable ( x + p ) 2 + q p2 2 4, t = 2x + p,

6 On se ramène à l intégrale I n = dt (t 2 + ) n. On peut trouver une relation de récurrence entre I n et I n, et obtenir I n en fonction de I = arctan t. Pour obtenir cette relation de récurrence, on part de la dérivée de En intégrant, on obtient, si n > ( ) t (t 2 + ) n = 3 2n 2n 2 (t 2 + + ) n (t 2 + ) n. I n = t 2n 3 2(n )(t 2 + + ) n 2n 2 I n. t (t 2 qui vaut + ) n Autre méthode : le changement de variable u = arctan t ramène le calcul de I n à celui de cos 2n 2 udu (Voir V). B - Cas particuliers a) La fraction est impaire. Elle se met sous la forme xr(x 2 ), où R est une autre fraction rationnelle. On effectue tout d abord le changement de variable t = x 2, et l on est ramené au calcul d une primitive de R. De manière plus générale, si la fraction s écrit x n R(x n ), on posera pour commencer, t = x n. b) La fraction se met sous la forme P (x), où P est un polynôme. P(x) n Elle s intègre immédiatement en P (x) P(x) n dx = ln P(x) si n = ( n)p(x) n si n >

7 c) La fraction est du type (t p ± ) n Pour calculer une primitive I n, la même technique que dans A c) permet d obtenir une relation de t récurrence entre I n et I n en partant de la dérivée de (t p ± ) n ( ) t (t p ± ) n = p + np pn p (t p ± ± ) n (t p ± ) n. Mais il faudra de toute façon calculer la primitive de t p ±. En fait la relation de récurrence obtenue entre I n et I n est vraie pour tout n réel distinct de. d) La fraction est du type ax + b (x 2 + px + q) n, avec = p2 4q > 0 On peut utiliser une méthode analogue à celle de l intégration des éléments de deuxième espèce. Le changement de variable t = 2x + p, ramène au calcul de l intégrale I n = dt (t 2 ) n, et l on peut obtenir une relation entre I n et I n, en partant de la dérivée de c). t (t 2 comme dans ) n C - Primitives de la forme I = R(x)ln S(x)dx et J = R(x)arctan S(x)dx où R et S sont des fractions rationnelles. Si R a une primitive qui est elle-même une fraction rationnelle, on intègre par parties.

8 V - Fonctions trigonométriques A - Primitives de la forme P(sinx, cos x) dx où P est un polynôme de deux variables. a) On peut linéariser, c est-à-dire exprimer P(sin x, cos x) sous forme de combinaison linéaire de fonctions cos(px) et sin(px) où p et q sont entiers. b) P(sin x,cos x) est combinaison linéaire de monômes de la forme sin p x cos q x. Pour un tel monôme : si p est impair, on écrit p = 2p + et sin p x cos q x = cos q x( cos 2 x) p sinx. Le changement de variable t = cos x ramène à intégrer le polynôme t q ( t 2 ) p. si q est impair, on procède de la même façon en inversant les rôles de sinus et cosinus. si p et q sont pairs tous les deux, on peut exprimer le monôme en fonction de cos(2x) ce qui abaisse le degré. si p ou q est nul, on peut intégrer par parties et obtenir une relation de récurrence. Par exemple I p = sin p xdx = sin p xsin xdx = cos x sin p x + (p ) sin p 2 cos 2 xdx = cos x sin p x + (p )(I p 2 I p ) d où l on tire pi p = cos x sin p x + (p )I p 2. B - Primitives de la forme sin p x cos q xdx où p et q sont des entiers relatifs. si p est impair, poser encore t = cos x si q est impair, poser encore t = sinx si p et q sont pairs, poser t = tan x on se ramène à intégrer une fraction rationnelle en t. On peut également essayer de réduire les degrés en intégrant par parties.

9 Si p ou q est nul, la relation de récurrence obtenue dans A reste valable pour un entier quelconque. Remarque : le changement de variable t = tan x dans l intégrale cos 2n dt xdx, donne ( + t 2 ) qui permet d obtenir l une des primitives en fonction de l autre quel que soit n dans Z. n+, ce C - Primitives de la forme P(tanx) dx où P est un polynôme. On effectue la division euclidienne de P(X) par X 2 +. On a alors P(X) = (X 2 + )Q(X) + ax + b, où Q est un polynôme. On en tire P(tan x)dx = Q(tan x)d(tan x) + a tan xdx + b dx, ce qui s intègre facilement. D - Primitives de la forme R(sin x, cos x, tanx) dx où R est une fraction rationnelle de 3 variables. a) Règles d essai : L élément différentiel : R(sin x,cos x,tan x)dx est invariant par le changement de x en π x, effectuer le changement de variable t = sin x x, effectuer le changement de variable t = cos x π + x, effectuer le changement de variable t = tan x Si plusieurs changements sont possibles, on peut essayer les lignes trigonométriques de 2x. b) Méthode générale (à n utiliser qu en dernier recours). On effectue le changement de variable t = tan x. On est ramené à calculer une primitive de la fraction 2 rationnelle R ( ) 2t t2 2t + t2, + t 2, t 2 2 + t 2.

0 VI - Fonctions exponentielles et hyperboliques A - Primitives de la forme R(e ax ) dx où R est une fraction rationnelle et a est un réel non nul. En effectuant le changement de variable t = e ax, on se ramène à calculer la primitive d une fraction rationnelle. B - Primitives de la forme R(sh x, ch x, thx) dx où R est une fraction rationnelle de trois variables. a) En remplaçant sh x, ch x et th x par leur expression sous forme exponentielle, on se ramène au cas A. b) Si l élément différentiel est invariant par un changement de x en x, on peut effectuer le changement de variable t = ch x. c) On peut se ramener aux fonctions trigonométriques, et utiliser V grâce au gudermanien : si x est réel, le nombre t = arctan(sh x), est un angle appelé gudermanien de x, qui vérifie les relations : tan t = shx sin t = th x cos t = ch tan t = th x 2 2. VII - Intégrales abéliennes Ce sont des intégrales du type R(x,g(x))dx, où R est une fraction rationnelle de deux variables, et où g est une fonction algébrique de x, c est-à-dire une fonction telle que y = g(x) vérifie une équation

du type h(x,y) = 0, où h est un polynôme de deux variables. exemple : Si h(x,y) = y 2 (ax 2 + bx + c) la fonction g définie par g(x) = ax 2 + bx + c est une fonction algébrique de x, et l intégrale R(x, ax 2 + bx + c)dx est abélienne. Si l on sait paramétrer la courbe algébrique d équation h(x,y) = 0, c est-à-dire, trouver deux fonctions ϕ et ψ, la première continûment dérivable et la seconde continue sur un intervalle I, telles que, pour tout t de I h(ϕ(t),ψ(t)) = 0, le changement de variable x = ϕ(t) ramène le calcul de la primitive de R(x,g(x)) à celui de la primitive de R(ϕ(t),ψ(t))ϕ (t)dt. Dans ce qui suit on étudie les intégrales abéliennes classiques. A - Primitives de la forme R x, ( ) p/q ax + b dx cx + d où R est une fraction rationnelle de deux variables, a, b, c, d sont des nombres réels tels que ad bc ne soit pas nul, et p et q des nombres entiers non nuls. On est dans la situation où h(x,y) = y q (cx + d) p (ax + b) p, et l on pose t = ( ) ax + b /q. cx + d On a alors et l on se ramène au calcul de x = dtq b a ct q et y = g(x) = t q. R ( dt q b a ct q,tq ) q(ad bc)t q (a ct q ) 2 dt,

2 qui est la primitive d une fraction rationnelle. Remarque : ce qui précède est vrai en particulier si c = 0 et d =. Par exemple pour calculer R(x, ax + b)dx, on posera t = ax + b. B - Primitives de la forme R ( x, ax 2 + bx + c ) dx où R est une fraction rationnelle de deux variables et a, b, c sont des nombres réels tels que a et le discriminant du trinôme ne soient pas nuls. On est dans la situation où h(x,y) = y 2 (ax 2 + bx + c). a) Méthodes trigonométriques. On commence par mettre le trinôme sous forme canonique ( ( ax 2 + bx + c = a x + b ) 2 + 2a ) 4ac b2 4a 2 puis, si est le discriminant du trinôme, on effectue le changement de variable t = 2ax + b. On se ramène, suivant les signes de a et de, à une primitive d un des types suivants : > 0 et a < 0 : I = S(t, t 2 )dt < 0 et a > 0 : I 2 = S(t, t 2 + )dt > 0 et a > 0 : I 3 = S(t, t 2 )dt On effectue alors un des changements de variable suivants : Pour I poser t = sin u ou t = cos u Pour I 2 poser t = sh u ou t = tan u Pour I 3 poser t = ± ch u ou t = cos u b) Paramétrage de la conique d équation y = ax 2 + bx + c par des fractions rationnelles. On peut toujours obtenir un tel paramétrage en coupant la conique par une droite mobile d équation passant par l un de ses points (x 0,y 0 ). y = at(x x 0 ) + y 0, Dans le cas où a est positif, la courbe est une hyperbole, et l on peut prendre la droite d équation y = ax t,.

3 qui est parallèle à une asymptote. On obtient alors un point de coordonnées (x(t), y(t)). Et si l on effectue le changement de variable x = x(t), on a alors ( R x, ) ax 2 + bx + c = R(x(t),y(t)), et l on est ramené à calculer la primitive d une fraction rationnelle. Pour simplifier les calculs, on a intérêt à effectuer ces opérations après transformation de l intégrale sous une des formes I, I 2 ou I 3 précédentes. exemple : R(t, t 2 )dt. La courbe d équation y = x 2 est un morceau d hyperbole. Si l on coupe par la droite d équation y = x t parallèle à l asymptote, on obtient (x t) 2 = x 2, d où l on déduit x = + t2 2t pour t décrivant ], [ ]0, [. et y = t2 2t, Et l on effectuera le changement de variable x = + t2, alors 2t x 2 = t2 2t Si l on coupe l hyperbole par la droite d équation y = t(x ), qui passe par le point (,0) de la courbe, on obtient cette fois x = t2 + t 2 et y = 2t t 2, pour t décrivant ], 0[ ], + [. c) Dans le cas où le trinôme ax 2 + bx + c a des racines réelles, on peut se ramener au cas A. Par exemple, si a est positif a(x u)(x v) = x u a x v x v. Si le terme constant du trinôme est nul, le changement de variable t = /x permet d écrire. ax 2 + bx = a + bt t, et l on se ramène au cas A. On peut aussi utiliser la méthode de la partie VIII finale.

4 d) Cas particuliers i) ux + v ax 2 + bx + c dx On utilise la même technique que pour les éléments de deuxième espèce dans les fractions rationnelles (IV A). On commence par faire apparaî tre la dérivée de la quantité sous la racine : ux + v ax 2 + bx + c = u ( 2ax + b 2a ax 2 + bx + c + v bu 2a ) ax 2 + bx + c. On a alors u 2ax + b 2a ax 2 + bx + c dx = u ax a 2 + bx + c, et en mettant le trinôme ax 2 + bx + c sous forme canonique, un changement de variable ramène à la recherche d une primitive d une des fonctions (t 2 ) /2, (t 2 +) /2 ou ( t 2 ) /2 qui sont connues. ii) I α = (ax 2 + bx + c) α dx On peut obtenir une relation entre I α et I α, en partant de la dérivée de (2ax + b)(ax 2 + bx + c) α (Voir IV B) : ((2ax + b)(ax 2 + bx + c) α ) = α(b 2 4ac)(ax 2 + bx + c) α + 2a( + 2α))(ax 2 + bx + c) α. On peut utiliser cette méthode pour des nombres α entiers ou demi-entiers. On a intérêt aussi dans ce cas à faire un changement de variable ramenant le trinôme sous une forme plus simple comme dans i) D - Primitives de la forme R ( x, n ax n + bx n ) dx où R est une fraction rationnelle de deux variables, a et b sont des réels non nuls, et n un entier positif. On a ici h(x,y) = y n (ax n + bx n ).

5 En coupant la courbe d équation y = n ax n + bx n, par une droite passant par l origine, d équation y = tx, on obtient le paramétrage x = b t n a Et l on effectue le changement de variable x = et y = bt t n a. b t n. On a alors a y = n ax n + bx n = bt t n a, et l on est ramené à la recherche d une primitive de fraction rationnelle. E - Primitives de la forme R(x)arcsin xdx, R(x)arccos xdx, R(x)argsh xdx et R(x)argch xdx où R est une fraction rationnelle. Si R possède une primitive qui est une fraction rationnelle, une intégration par parties ramène à une intégrale du type VII B. VIII - Primitives de la forme R( ax + b, cx + d)dx où R est une fraction rationnelle de deux variables, et a, b, c, d sont des réels, tels que ad bc, a et c ne soient pas nuls. On cherche un changement de variable qui mette ax + b et cx + d sous forme de carré. On peut tout d abord se ramener, en posant t = ax + b, à une intégrale du type S( t, a t + b )dt. Suivant les signes de a et b, on effectuera un des changements de variable suivants : si a > 0 et b < 0 poser t = b a ch2 u ou t = b a cos 2 u si a > 0 et b > 0 poser t = b a sh2 u ou t = b a tan2 u si a < 0 et b > 0 poser t = b a sin2 u ou t = b a cos2 u Il existe d autres possibilités. Par exemple pour la primitive de R( x +, x), on peut prendre x = cos u.

6 On se ramène dans tous les cas à une primitive du type V ou VI. Remarque : pour les fractions rationnelles contenant plus de deux radicaux, on peut, en général, par multiplications successives de quantités conjuguées du dénominateur, se ramener à une somme de fractions contenant chacune moins de radicaux que la fraction initiale. Cela peut être utile, même dans le cas où la fraction de départ ne contient que deux radicaux.